Текст книги "Новые идеи в философии. Сборник номер 5"

Новые идеи в философии. Сборник номер 5

В. Е. Сеземан
Теоретическая философия Марбургской школы

I

В исторических судьбах критической философии в последнюю треть XIX в. решающую11
  Мы говорим: решающую, но не руководящую роль. Труды Ко-гена долго не находили соответствующего их философскому значению признания. Тем не менее влияние их не замедлило отразиться на направлении мысли некоторых из наиболее выдающихся представителей неокантианства (Ланге, Риль и др.) уже в 70-х и 80-х годах прошлого столетия, когда появились первые труды Г. Когена. Только в последние годы учение его получило более широкую известность в философском мире и добилось, наконец, и в пределах самой Германии заслуженной оценки. Об этом свидетельствуют вышедшие на днях и посвященные Г. Когену по случаю исполнившегося ему семидесятилетия 1) выпуск Kantstudien (В. XVII, Н. 3) и 2) сборник статей его ближайших учеников и сотрудников. (Philosoph. Abhandlungen H. Cohen Margebracht. Berlin. 1912).


[Закрыть] роль сыграла Марбургская философская школа во главе с ее маститым родоначальником Германом Когеном. Даже при самом беглом обозрении философской литературы, вышедшей из среды неокантианства наших дней, сразу бросается в глаза характерная особенность этой школы, существенно отличающая ее от всех остальных направлений современного критицизма; одна только Марбургская школа пытается создать путем преобразования и перестройки учения Канта прочно обоснованную и охватывающую все отрасли знания систему философии. Особенность эта далеко не случайная; напротив, она коренится в самом существе философского мышления Г. Когена и его последователей. – Систематическая тенденция, несомненно, роднит Марбургскую школу с теми течениями философского умозрения, который господствовали в учениях ближайших преемников Канта – Фихте, Шеллинга, Гегеля. И здесь и там главною задачею философского творчества провозглашается завершение начатого, но не доведенного Кантом до конца дела: построения на расчищенной критикой почве системы философии. За этим сходством скрывается, однако, не менее существенное различие: спекулятивные увлечения заставили философию романтизма забыть как раз о том мотиве Кантовского мышления, который всецело определяет его научный и критический характер: о требовании ориентировать философию на положительной науке. В систематических построениях Фихте, в особенности же Шеллинга и Гегеля, позитивная наука утрачивает всякую самостоятельность; она целиком поглощается диалектическим деспотизмом философии. Философия не довольствуется ролью объединительницы всех научных дисциплин, а вторгается в их внутреннюю жизнь и предуказывает каждой из них ее принципы и методы. Критический идеализм Марбургской школы, напротив, не посягает на автономность положительной науки. Он ограничивается более скромною задачею: раскрытием внутреннего логического единства всех сторон и направлений точного знания. Это значит: он не навязывает единства наукам извне, а черпает логические методы и приемы для его нахождения и установления из их собственных недр. – Итак, ориентирование на науке и стремление к систематическому единству знания – это две руководящие тенденции того направления критического идеализма, которое представляет Марбургская школа. Или вернее: это не две самостоятельные тенденции, а два момента, два аспекта единой самодовлеющей философской идеи. Как, с одной стороны, систематическое единство знания неосуществимо вне ориентирования на науке, так, с другой стороны, и внутренняя структура положительной науки требует для своего завершения логического объединения всех отраслей знания в единстве философской системы. Вот лейтмотив учения Когена и его последователей, который послужит и нам руководящею нитью в настоящем очерке теоретической философии Марбургской школы.

II

Что же означает это систематическое единство? В конечном итоге всякое философское учение хочет быть системою философии. В чем же отличительная особенность систематизма Марбургской школы? – Ответ на этот вопрос мы найдем, если обратимся к тем произведениям Г. Когена, которые посвящены интерпретации Канта. Уже в первом из них, в «Кантовой теории опыта», рельефно выступает своеобразный характер его концепции критического идеализма и его позиции по отношению к современному кантианству. Традиционное понимание Канта основывается, главным образом, на двух мотивах, которые по существу независимы один от другого и поэтому могут породить из себя два различных направления критической мысли. Один мотив, получивший главенствующее значение в гносеологии Шопенгауэра, – это учение трансцендентальной эстетики об идеальности пространства и времени. Пространство и время суть субъективные формы созерцания. Поскольку же пространственно-временные отношения обусловливают и внешние и внутренние опыты, постольку и весь мир, доступный человеческому опыту, есть не что иное, как представление познающего субъекта. – Вот квинтэссенция того критического феноменализма, который, благодаря влиянию Шопенгауэра, первоначально господствовал во вновь возродившемся во второй половине XIX в. кантианстве. Другой мотив, который послужил исходной точкой для второго наиболее влиятельного в современном критицизме направления22
  Виндельбанда, Риккерта и друг.


[Закрыть] – это учение о категориях («дедукция чистых рассудочных понятий»), т. е. проведенное Кантом разграничение между априорными, рациональными и апостериорными, эмпирическими элементами познания. Иначе говоря: между формой и материей (содержанием) познания.

Коген не примыкает ни к тому, ни к другому направлению. Правда, он не отрицает исторического значения феноменалистической точки зрения для критической философии и отнюдь не отвергает различения априорных и апостериорных факторов знания. Но он считает и тот и другой мотивы второстепенными моментами Кантова учения, которые служат другой, более существенной и принципиальной задаче: установлению и обоснованию внутреннего систематического единства научного знания. Эту задачу феноменализм самостоятельно решить не способен. Он выводит структуру знания из духовной организации познающего субъекта, т. е. рассматривает знание прежде всего как психический, совершающийся в сознании процесс, и объясняет однородность структуры знания из единства его психологического происхождения. Однако такое генетическое объяснение не в состоянии обеспечить те внутренние логические связи, которые составляют специфическую особенность научного знания, а потому и устанавливаемое им единство познания носит чисто внешний характер, не вырастает органически из объективного состава науки.

Словом, доказательство единства психологического генезиса знания еще не предрешает вопроса о его логическом и систематическом единстве. – Но и второе из вышеуказанных направлений критицизма не удовлетворяет критерию систематичности. Поскольку оно кладет в основу гносеологии различение формальной и материальной сторон знания, оно насквозь проникнуто дуалистической тенденцией и потому неспособно собственными силами, без помощи посторонних предпосылок, ответить на систематические запросы точного знания.

Вот те логические основания, по которым Коген отводит центральное место в первой части Кантовой критики не трансцендентальной эстетике и не дедукции категорий, а учению об «основоположениях чистого рассудка». Здесь и категории и формы чистого созерцания (пространство и время) выводятся из того состояния одиночности и изолированности, в каком их рассматривает «трансцендентальная эстетика» и аналитика понятий, и вступают в теснейшие взаимные связи и сочетания. И только в этих связях и сочетаниях раскрывается подлинная «трансцендентальная» сущность категорий: из искусственно обособленных элементов знания они превращаются в объективные определения предмета опыта, в «основоположения» научного знания, определяющие его логическую структуру и осуществляющие в себе неразрывное единство его формы и его содержания.

Однако «основоположениями чистого рассудка» не исчерпаны все трансцендентальные условия научного знания. Основоположения достаточны для обоснования математики и математического естествознания. Но эти дисциплины не захватывают предмета опыта во всей его конкретной полноте, а ограничиваются только изучением самых общих и основных форм определяющих его закономерностей. Бесконечное разнообразие явлений природы не растворяется без остатка в принципах механики. В особенности проблема органического мира нуждается для своей научной обработки в новом, немеханическом принципе. Систематическая тенденция объективного знания не позволяет поэтому остановиться на одной только математике и физике, а требует расширения его за пределы этих дисциплин установления новой группы наук, которая изучала бы неисчерпанный первою группою стороны эмпирической действительности. Таким образом, к математическому естествознанию присоединяется в виде необходимого его дополнения описательное естествознание, которое имеет своим объектом органическую природу. Принцип, на который оно опирается, – принцип формальной целесообразности. В самом широком смысле он означает зависимость частей от целого, обусловленность элементов, логического многообразия от их систематического единства. Логическая значимость этого принципа поэтому не ограничена областью одних биологических наук. Как «идея чистого разума», он требует не только восполнения математического естествознания описательным, но вообще завершения всего научного знания в единой всеобъемлющей системе наук. Действительно, всестороннее и исчерпывающее познание природы способна дать одна лишь совокупность не только эмпирически существующих, но всех вообще возможных наук. Но эта совокупность не может равняться простой сумме разнообразных научных сведений, а должна вылиться в форму самодовлеющей системы знания, ибо объектом ее служит не случайное многообразие разрозненных явлений, а природа как единое завершенное в себе целое.

Правда, такая система наук как в целом, так и в частях эмпирически неосуществима; вследствие бесконечности и неисчерпаемости опыта, она остается недосягаемым идеалом, вечным заданием для научного мышления. Но именно в этой идеальности и сверх-эмпиричности заключается фундаментальное значение принципа систематического единства: он преодолевает односторонность и ограниченность конститутивной категориальности и служит знанию «регулятивной» идеей, т. е. той конечной, идеальною целью, которая определяет все его принципы и методы исследования.

Таким образом, согласно концепции Когена, в идее чистого разума находит свое логическое завершение та систематическая тенденция, из которой выросли основоположения чистого рассудка. Учение об идеях составляет систематическое средоточие второй части Критики – «трансцендентальной диалектики». В нем поэтому должно искать, по мнению Когена, и решения труднейшей проблемы Кантовской диалектики – проблемы вещи в себе. В толковании феноменализма вещь в себе есть прежде всего отрицательное понятие, обозначающее границу человеческого познания, дальше которой оно идти не может. Эта граница устанавливает непримиримый дуализм двух миров: имманентного мира явлений и трансцендентного мира вещей в себе. Однако с систематической концепцией критической философии допущение такого дуализма не может быть совмещено. Во всеобъемлющей, самодовлеющей системе знания нет места понятию абсолютной трансцендентности (вещи в себе). Для устранения этого противоречия Когену остаются только два выхода: либо совершенно изгнать из критической философии понятие вещи в себе, либо приписать ему такое значение, которое дало бы возможность вскрыть за противоположностью вещи в себе и явления их внутреннее систематическое единство. Следуя указаниям Кантова учения об идеях, Коген избирает этот второй путь.

Логическое содержание понятия вещи в себе – если отвлечься от его метафизической подкладки – исчерпывается двумя неразрывно связанными признаками: абсолютною объективностью и полною независимостью от сферы субъективного бытия. Но эти же самые признаки определяют также и то понятие знания, которое систематическая философия должна считать своим вечным идеалом: знания, вполне адекватного своему объекту, т. е. знания, которое целиком складывается из определений самого объекта и не заключает в себе никаких посторонних, субъективных элементов. Можно поэтому утверждать, что в конечном итоге идеалом объективного познания является познание вещи в себе. В этом смысле вещь в себе (или ноумен) означает не что иное, как объективную сторону регулятивной идеи разума, идеи завершенной системы наук. Поскольку осуществление этой системы лежит вне пределов эмпирической действительности, постольку и вещь в себе трансцендентна по отношению к положительному знанию. Но с другой стороны она ему имманентна; именно, как движущая цель, как конечный и вместе с тем бесконечно далекий идеал, постепенно осуществляющийся в непрерывном прогрессе научного знания.

Вот основные мотивы того «научного» идеализма, в котором Коген находит подлинный смысл учения Канта. В этих мотивах уже намечается в общих чертах вся философская программа Марбургской школы. Правда, в «Кантовой теории опыта» оригинальные воззрения Когена еще не получили вполне адекватного выражения; здесь он еще всячески приурочивает их к терминологии и архитектонике «Критики чистого разума»; здесь он еще ограничивается толкованием Канта, выдвигая лишь повсюду логически-систематическую сторону его учения. Однако последовательное проведение именно этой точки зрения заставляет его, наконец, выйти за пределы Кантовских традиций и построить на новых началах самостоятельную систему философии. Решительный шаг в этом направлении делает его «Логика чистого познания», вышедшая в 1902 г. В пространном введении Коген выясняет главнейшие систематические недостатки Кантовской гносеологии, вкратце намечает те пути, по которым должно идти дальнейшее развитие исто-критического научного идеализма и по которым движется и «Логика чистого познания».

Самое серьезное затруднение для идеалистической философии, исходящей от Канта, представляет понятие данности. Кант различает в составе знания два разнородных элемента: один – категориальные синтезы – есть вклад самого мышления. Другой – чувственное многообразие – дается мышлению извне в формах чистого созерцания. Иначе говоря, чувственное многообразие проистекает, по Канту, из другого источника, чем категориальные синтезы, и потому, как таковое, не подлежит ведению логической мысли.

Уже ближайшие преемники Канта заметили, что допущение подобной двойственности в составе знания в корне подрывает его внутреннее единство. Между совершенно разнородными и независимыми друг от друга элементами необходимой систематической связи быть не может; ибо всякий логический синтез требует для своего осуществления полной коррелятивности, т. е. взаимной обусловленности и зависимости объединяемых им элементов. Это значит: он требует, чтобы единство было единством многообразия и многообразие – многообразием единства, словом, чтобы один и тот же логический акт порождал оба члена логического соотношения. Следовательно, с строго логической точки зрения, чувственное многообразие должно быть рассматриваемо как данное мышлению в таком же смысле, в каком и категориальное единство – в смысле задания или проблемы. Только тогда, когда мышление безусловно автономно, когда оно не принимает никакой другой данности, кроме данности самого задания, самой проблемы, им самим же ставимой и разрешаемой, только тогда оно носит исто-систематический характер и способно построить и обосновать самодовлеющую систему наук. Предположение какой бы то ни было другой данности сразу нарушает его самостоятельность и сводит на нет систематическое единство порождаемого им знания.

Данность – основное понятие догматической теории знания. Критическая гносеология заменяет его понятием проблемы. Проблема есть прежде всего единство проблемы. Но это единство развертывается в множественность частных проблем. Другими словами, критическая философия не предполагает, а построяет как единство предмета, так и многообразие его определений. Если положительные науки и допускают, каждая в своих пределах, некоторые абсолютные непроблематические данности, т. е. такие предположения, которые они принимают без дальнейшего доказательства, то делают это только потому, что в силу своей собственной ограниченности они вынуждены предоставить обоснование и оправдание этих предположений другим, более объемлющим наукам. В системе же наук, т. е. в области философии, вместе с ограничениями понятия проблемы исчезает и последняя видимость абсолютной непроблематической данности; она целиком растворяется в понятии проблемы. В этом смысле должно понимать и требуемое трансцендентальной точкой зрения ориентирование философии на факте науки. Факт науки превращается для нее в проблему науки вообще, как единого систематического целого.

Таким образом понятие проблемы приобретает значение руководящего начала во внутреннем развитии научного идеализма. В нем пресекаются и преломляются все определения истинного (систематического) знания. Выше мы уже указывали, какой критерий научный идеализм прилагает к точному знанию: оно сплошь должно быть порождаемо мышлением. Это значит: оно возможно лишь там, где достижима полная логическая определенность и однозначность. Вот это требование логической определенности и фиксируется в понятии проблемы; мало того, оно реализуется через его посредство в научном и философском знании. Проблема ставит вопрос о трансцендентальных условиях возможности объекта и прокладывает путь к его решению, т. е. к установлению определяющих структуру объекта логических закономерностей. Чистое знание поэтому должно быть сплошь проблематично; ибо только сплошная проблематичность способна обеспечить непрерывность логических связей, обусловливающих его определенность и однозначность.

Логические элементы не могут входить в состав знания наподобие частиц, вкрапленных в неоднородную с ними среду; иначе в самом знании наличествовали бы логические неопределенности, т. е. полосы незнания. И далее: логические элементы не могут быть ничем иным, кроме логических связей и отношений, и потому допущение их прерывности и разобщенности было бы равносильно их отрицанию и уничтожению их логической сущности. Непрерывность – неотъемлемый признак чистого мышления; это – закон, который обосновывает все вообще возможные закономерные связи в составе научного знания. Непрерывность поэтому служит основной характеристикой того принципа, который Коген провозглашает путеводной звездой своей логики: принципа или суждения33
  Кантовским «основоположениям» по существу отвечают в логике Когена различные «классы суждений».


[Закрыть] изначала (Ursprung). Этот принцип в сжатой формуле содержит квинтэссенцию научного идеализма. Он требует, чтобы все многообразие логических определений объекта знаний проистекало из единого источника, и чтобы это единство происхождения логических элементов сохраняло свою силу, свою руководящую роль на всех ступенях развития объективного знания. Выполнение же этого требования, т. е. полное взаимное проникновение единства и многообразия или, выражаясь иначе, логических актов объединения и расчленения, синтеза и анализа зависит от наличности одного условия: от сплошности логических связей, т. е. возможности непрерывных переходов от единства к множеству и обратно – от множества к единству.

Из этой характеристики принципа изначала уже явствует что, в конечном итоге, это – тот же принцип систематического единства, который был нами формулировать в начале настоящего очерка, лишь приспособленный к задачам философской логики, т. е. углубленный и обогащенный двумя основными определениями объективного знания: проблематичностью и непрерывностью. В этих двух определениях заключается фундаментальное логическое преимущество систематической концепция Когена перед учением Канта. В принципе изначала спаяны воедино два самостоятельных Кантовских принципа, не сведенных в «Критике чистого разума» к высшему единству: с одной стороны, регулятивная идея, как принцип систематического единства, и трансцендентальная апперцепция, – с другой, как последняя основа категориальных синтезов. Действительно, Кантовское учение об идеях чистого разума покоится на признании бесконечности и неисчерпаемости предмета опыта. Напротив, аналитика понятий и основоположений чистого рассудка исходит из факта математического естествознания (Ньютоновой физики), как из завершенной в себе и потому конечной системы знания. Только на почве такого предположения была возможна сделанная Кантом попытка дать исчерпывающий перечень всех вообще возможных в научном знании категориальных синтезов. Однако историческое развитие математики и физики за последнее столетие представило неопровержимое доказательство тому, что эти науки, несмотря на свойственную им точность и априорность, подвержены такой же эволюции, как и чисто эмпирические науки, т. е. эволюция, которая не исчерпывается одною лишь разработкой детальных вопросов, но захватывает в такой же мере и глубочайшие их основы. Вот почему прогрессу научного знания должен соответствовать такой же бесконечный процесс выявления новых категориальных форм и синтезов.

Отсюда вытекает необходимость той поправки, которую Марбургская школа вносит в учение Канта. Не на факте науки должна ориентироваться философия – ибо факта науки, как завершенной в себе данности, нет, – а в процессе ее постепенного становления (fieri) и развития. И не действительная наука может руководить философией – это привело бы либо к полному упразднению ее самостоятельная значения, либо вернуло бы ее в докритическое состояние, – а только раскрывающаяся в развитии наук идея научности. В этом – критическое значение понятия проблемы: оно предохраняет философию от всяких уклонений в сторону эмпиристического позитивизма или беспочвенного догматизма. Научное знание – вечная проблема. Это значит: оно по существу проблематично, потому что его объект бесконечен, и оно никогда не достигает окончательных результатов. Всякий ответ рождает дальнейшие вопросы, и всякое решение чревато новыми, более глубокими заданиями.

Наконец, из проблематического характера научного знания проистекают еще две другие свойственные ему черты: его методологичность и гипотетичность. – Если знание никогда не достигает полного систематического завершения, то ему не может быть доступна и полная адекватность с предметом опыта. Оно лишь приближается к нему, как к своему трансцендентному пределу. Постепенный прогресс науки представляет как бы тот путь, который ведет к объекту; отдельные стадии его развития – этапы этого пути. В этой незавершенности знания кроется последняя причина его методологической окраски. Оно не столько схватывает самый объект, сколько указывает путь (μέθοδος) к полному его постижению. И принципы знания поэтому прежде всего – орудия, методы, ценность и значение которых обусловлено их пригодностью для определения конкретных явлений действительности. Методологический характер знания отнюдь не противоречит его объективной значимости; наоборот, его методологичность и объективность находится в неразрывной коррелятивной зависимости. В методологичности знания выражается его непосредственная направленность на противолежащий ему объект. И объективность его с другой стороны обеспечивается ничем иным, кроме его методологичности.

Дальнейшая характеристика научного знания – его гипотетичность. Раз установлено, что сущность знания заключается в его систематическом единстве, то логический центр его необходимо должен определяться не тем или другим из образующих его факторов, взятых в отдельности, т. е. не только его последними принципами, но и не исключительно его фактической стороной, а взаимною связью и внутреннею согласованностью того и другого момента. Принципы и факты связаны не отношением односторонней, однобокой зависимости, а отношением строгой коррелятивности и взаимной обусловленности. Принципы объясняют и обосновывают факты, подчиняя их общим закономерным связям. Но, с другой стороны, и факты служат критерием истинности и методологической плодотворности принципов; только очная ставка принципов с фактами способна выяснить, насколько они удовлетворяют своему назначению – объяснению всего многообразия конкретного бытия. Всякое открытие новых фактических данных, всякое расширение и уточнение научных исследований отражается поэтому не только на экстенсивном росте знания, но ведет также неизбежно к перестройке его логического фундамента, к преобразованию его методологических начал и предпосылок. Следовательно, логическая значимость принципа остается всегда относительной; она обусловлена качественным составом подведенного под него многообразия фактов. Вот в этой относительности логических принципов и обнаруживается их гипотетический характер. Они – гипотезы (ύποδέσεις), но не в смысле простой догадки, лишенной объективной достоверности, или рабочей гипотезы, обслуживающей исключительно практические интересы науки, а в том смысле, в каком употребляет этот термин Платон в применении к идеям: т. е. в смысле основоположений, на которых зиждется объективная достоверность и внутреннее единство научного знания44
  Эта концепция идеи составляет – согласно толкованию Марбургской школы – внутреннюю пружину Платонова идеализма. Историческое и систематическое значение его поэтому должно быть учитываемо не по теории о двух мирах (чувственном и умопостигаемом), а по учению об идее-гипотезе как логической основе истинного знания. Платон – родоначальник того научного идеализма, который, снова возродившись в эпоху Ренессанса, проходит красною нитью через учения Декарта и Лейбница и, наконец, достигает своего систематического завершения в лице Канта.


[Закрыть].

Правда, на первый взгляд может показаться, что признание за логическими принципами лишь относительной, гипотетической значимости ведет роковым образом к абсолютному релятивизму, сближающему логический идеализм с противоположной ему точкой зрения – с эмпиристическим прагматизмом. Однако между этими двумя формами релятивизма лежит непреодолимая пропасть. В одном случае релятивизм основывается на предположении ненужности и бесполезности для практических целей человеческого познания какого бы то ни было безусловного и безотносительного начала. В другом – он проистекает, наоборот, из категорического требования абсолютно достоверной, негипотетической основы знания. Требование это ограничивается лишь критической оговоркой, признающей, что в пределах положительного знания оно не может быть вполне удовлетворено, т. е., что наука никогда не доходит до таких логических начал, в которых не было бы ни малейшего остатка условности и относительности. Неосуществимость этого требования, однако, отнюдь не делает его иллюзорным, и не лишает его всякого логического значения. Оно остается вечной проблемой, вечным постулатом, находящим свою реализацию не в тот или другой момент исторического развития философии и науки, а в самом процессе бесконечной и в своей бесконечности незавершаемой эволюции знания.

Основные систематические линии научного идеализма Марбургской школы теперь нами намечены. Однако за дальнейшим их развитием в построениях Когена и его последователей мы следить не будем. В узких рамках нашей статьи это была бы невыполнимая задача, тем более, что в таком случае пришлось бы упомянуть и о философских разногласиях между отдельными представителями Марбургской школы, которые сейчас не представляют для нас существенного интереса. Мы обратимся поэтому к другому вопросу, имеющему для научного идеализма решающее значение: как осуществляет он в логике выставленное им самим требование ориентирования философии на точной науке? И каковы доказательства, приводимые им в пользу того, что указанные выше систематические мотивы относятся не только к области отвлеченного философского умозрения, но проникают также конкретную проблематику положительных наук, словом, что их философское значение представляет лишь оборотную сторону, необходимый коррелят их научного значения? Прежде всего вопрос этот касается (как это было и у Канта) той отрасли знания, которая, служа необходимой предпосылкой всех остальных наук, вместе с тем являет собою образец точного и объективно достоверного знания: математики и математической части физики. В многочисленных логических исследованиях Марбургской школы, относящихся к этой области, заключается, несомненно, одна из крупнейших ее заслуг, которую придется особенно отметить будущему историку философии: она впервые ясно и определенно поставила вопрос о логических основах современной математики и физики и вместе с тем дала образцы планомерной и методической его разработки. В следующем мы ограничимся, конечно, лишь указанием важнейших, относящихся к этой проблеме, пунктов.

III

Коренное отличие современной математики от античной, отличие, которому она обязана своим быстрым развитием и методологическим превосходством, основано всецело на признании ею одного принципа, который античности остался навсегда чуждым: принципа бесконечного. К открытию и установлению его привела не одна, а целый ряд проблем, относящихся к различным отраслям математической науки. В арифметике это была проблема ряда (иррационального числа), в геометрии – проблема касательной, в механике – проблема движения. Все эти проблемы ведут свое начало из древности. Но античная математика не могла дать на них удовлетворительного ответа; она стояла еще целиком на почве Архимедова принципа, по которому объектом математики может быть только то, что доступно точному измерению. Это определение, a limine исключающее из ведения математики бесконечное, раз навсегда отрезало научной мысли античности путь к разрешению целого ряда основных проблем, неразрывно связанных с понятием бесконечности; прежде всего к решению проблемы непрерывного. Раз подчинившись принципу Архимеда, она никогда более не могла выйти за пределы прерывного и дискретного бытия.

Прямо противоположную точку зрения занимает современная математика. Отвергнув безусловную обязательность Архимедова принципа, она не только признала математическую правомерность понятия бесконечного, но вместе с тем провозгласила его руководящим началом, основным методом всех применяемых ею способов счисления. Прежде бесконечное мыслилось как понятие преимущественно отрицательное, уничтожающее и поглощающее в себе определенность (измеримость) конечного. Теперь оно приобрело новое положительное значение: высшего начала, порождающего из себя и определяющего собою мир бесконечного бытия.

Впервые право гражданства в математике было признано за понятием бесконечного Лейбницем, у которого оно и получило в дифференциальном счислении точную математическую формулировку. Правда, первоначально в более узком значении бесконечно малого. Дифференциал, как бесконечно малое, – согласно определению Лейбница, – есть то, что предшествует всякому протяжению, что само еще не есть количество, но вместе с тем уже заключает в себе закономерность всякого количества и всякого протяжения. Новейшие исследования Кантора, Веронезе и др. не только подтвердили, но и значительно расширили и обобщили установленное Лейбницем положение. Они показали, что не только бесконечно малому, но и в такой же мере и бесконечно большому может быть присвоено строго определенное математическое значение, что введение принципа бесконечного в математику значительно расширяет круг доступных ей проблем и открывает ей путь к обнаружению тех основных методологических нитей, которые могли бы связать все ее разрозненные части в одно стройное систематическое целое.

Где же логические корни научной плодотворности этого принципа и каково вообще логическое значение того внутреннего преобразования, которое испытала под его влиянием математика? – Вполне справедливо указывают на то, что современная математика, в противоположность античной, отличается качественным, а не количественным характером. Действительно, сущность числа она усматривает не в его количественной исчислимости, а в свойственной ему качественной закономерности. Ибо однозначная определенность и отличимость числа обусловлена исключительно этой качественной закономерностью и не зависит вовсе от его количественная значения (его конечности или бесконечности). Всякое число необходимо входит, как член, в какой-нибудь закономерно построенный ряд чисел и занимает в нем определенное место. Если известен закон ряда и даны отношения искомого числа к остальным его членам, т. е. отношения, которыми обусловливается занимаемое им в данном ряде место, то, независимо от его количественного значения, выполнены все условия, которые необходимы и вместе с тем достаточны для его полного и исчерпывающего определения. Количественные же значения математических чисел и величин (их исчислимость и измеримость) представляют лишь частные случаи их качественных значений и потому применимы только в пределах конечного. Что это так, т. е. что принцип Архимеда, действительно, не охватывает всей сферы математического бытия, а имеет силу лишь в ограниченной ее части, явствует уже из того, что, даже оставаясь в границах конечных рациональных чисел, математика сплошь и рядом наталкивается на такие задачи, которые без выхождения за пределы конечного либо вовсе неразрешимы, либо разрешимы только при допущении некоторой погрешности, противоречащей самому существу математики как точной науки (например, когда в результате арифметических действий над конечными рациональными числами получаются иррациональные или мнимые числа). Вместе с введением принципа бесконечного в математику сразу устраняются все эти затруднения. Sub specie infiniti раскрывается полная независимость основных законов математического объекта от его количественных определений, математика освобождается от условных ограничений, которые налагает на нее сфера конечного, и понятие числа, благодаря сведению всех количественных определений к обосновывающим их качественным закономерностям, расширяется до тех пределов, которые отвечают его истинной логической сущности. Только при помощи этого нового орудия – принципа бесконечного – математика прокладывает себе путь к исчерпывающему анализу понятия числа и установлению всех вообще возможных его разновидностей. Прерывность дискретного числа растворяется теперь в сплошности непрерывных величин, и единый ряд целых рациональных чисел разрастается в целую систему рядов чисел, связанных между собою постепенностью переходов и строго определенною закономерностью взаимных отношений. Словом, повсюду, где царила простая рядоположность и случайная разрозненность, водворяется теперь непрерывная связность и систематическая законченность.