Текст книги "Большой роман о математике. История мира через призму математики"

9
Навстречу неизвестному

Вернемся в Багдад. Особенный след в истории оставили работы одного из ученых, посещавших Байт аль-Хикму: его имя Мухаммад ибн аль-Хорезми.

Аль-Хорезми – персидский математик, родившийся в 780-х гг. Его семья жила в Хорезме, государстве, расположенном на территории современных Ирана, Узбекистана и Туркменистана. Нет однозначных данных, родился ли аль-Хорезми здесь или его родители эмигрировали в Багдад еще до его рождения, – доподлинно известно только то, что молодой ученый жил в Багдаде в начале IX в. Он был одним из первых ученых, работавших в Байт аль-Хикме и создавших ее репутацию как ведущего исследовательского центра своего времени.

В Багдаде аль-Хорезми был известен прежде всего как астроном. Он написал несколько теоретических работ, в основе которых лежали открытия, сделанные в Древней Греции и Индии, а также практические книги по использованию солнечных часов и изготовлению астролябии. Он также использовал свои знания для составления таблиц, в которых записывали широту и долготу важнейших географических точек. Вдохновленный Птолемеем, в качестве нулевого аль-Хорезми выбрал меридиан, проходящий через мифологические Счастливые острова в западной части мира, положение которых приблизительно соответствует Канарам.

В математике аль-Хорезми оставил свой след как автор знаменитой «Книги об индийском счете», в которой описывалась позиционная десятичная система исчисления. Одной этой работы было бы достаточно, чтобы войти в пантеон величайших математиков; однако он написал еще одну революционного книгу, благодаря которой безоговорочно обеспечил себе место среди величайших математиков истории, наряду с Архимедом или Брахмагуптой.

Эту книгу ему заказал лично Абдуллах аль-Мамун. Халиф хотел, чтобы у его подданных была книга, которая помогала бы решать задачи, возникающие у них в повседневной жизни. Аль-Хорезми начал составлять список таких проблем, сопровождая их методами решения. В его книге описаны многочисленные вопросы измерения земель, порядок коммерческих сделок, а также распределения наследства между членами семьи.

Решение описанных проблем, хотя и имело большой интерес, не носило прорывной характер, и, если бы аль-Хорезми не писал эту книгу по заказу халифа, она, вероятно, не сохранилась бы в истории. Поэтому персидский ученый решил не останавливаться на достигнутом и добавить в предисловие к книге теоретическую часть. Аль-Хорезми приводит в ней структурированные и абстрактные методы решения, которые могут быть применены для решения конкретных задач.

Книга аль-Хорезми получила название «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала», или «Краткая книга восполнения и противопоставления». Когда позднее ее перевели на латинский язык, последние слова арабского названия были транслитерированы, и книга была названа «Либер Алгебре Альмукабола» (Liber Algebræ et Almucabola). Постепенно часть термина Альмукабола была редуцирована, и осталось только одно слово, которое с тех пор обозначало дисциплину, основоположником которой был аль-Хорезми: «аль-джабр» (al-jabr), «алгебре» (algebræ), «алгебра».

В этой книге особенно ценны даже не конкретные математические примеры, а скорее используемые методы и формулировки, которые по праву могут быть названы революционными. Автор рассматривал методы решения задач безотносительно конкретных частных случаев. Чтобы понять, о чем идет речь, давайте рассмотрим следующие три задачи.

1. Ширина прямоугольного поля равна 5 единицам, а площадь – 30. Какова его длина?

2. 30-летний мужчина в 5 раз старше своего сына. Сколько лет его сыну?

3. Торговец купил 30 кг ткани в 5 равных рулонах. Сколько весит один рулон?

Во всех трех случаях ответ будет 6. Мы легко можем решить эти задачи, хотя речь в них идет о разных предметах, с точки зрения математики способ расчета тот же. Во всех трех случаях результат получается путем деления: 30 ÷ 5 = 6. Первый шаг аль-Хорезми заключался в том, что он стал рассматривать данные задачи с чисто математической точки зрения:

Найдем число, которое при умножении на 5 дает 30.

В такой формулировке нам неизвестно, что скрывается за числами 5 и 30. Это могут быть как геометрические параметры, возраст или рулоны ткани, так и что угодно еще! Это не влияет на решение поставленного вопроса. Задача алгебры – предложить методы решения математических задач, сформулированных в общем виде. Эти задачи через несколько столетий получат в Европе название «уравнения».

Аль-Хорезми идет еще дальше в изучении уравнений. Он утверждает также, что методика расчета не зависит и от самого значения исходных чисел. Рассмотрим три уравнения, представленных ниже.

1. Найдем число, которое при умножении на 5 дает 30.

2. Найдем число, которое при умножении на 2 дает 16.

3. Найдем число, которое при умножении на 3 дает 60.

В каждом из этих уравнений уже скрывается множество различных конкретных задач. Но еще раз обратим внимание на то, что для их решения станет применяться один и тот же метод. Во всех трех случаях решение будет находиться путем деления второго числа на первое: в первом примере 30 ÷ 5 = 6; во втором 16 ÷ 2 = 8 и в третьем 60 ÷ 3 = 20.

Таким образом, становится понятным, что метод решения будет одинаковым не только для любых качественных характеристик задачи, но и для ее количественных параметров.

Поэтому становится возможным формулировать уравнения еще более абстрактно:

Найдите число, которое при умножении на число 1 дает число 2.

Любые задачи с такими условиями решаются одинаково: необходимо разделить число 2 на число 1.

Конечно же, представленный пример очень прост. В условии говорится только об умножении, и для нахождения ответа достаточно использовать только деление. Но в других случаях поиск ответа может потребовать проведения и других операций. Аль-Хорезми в основном станет описывать уравнения, в которых неизвестное может быть найдено посредством проведения четырех основных операций (сложение, вычитание, умножение и деление), а также возведения во вторую степень. Например:

Найдите число, квадрат которого равен произведению этого числа и 3, увеличенному на 10.

Решение той задачи равно 5. Квадрат 5 составляет 25, что соответствует равенству 25 = 3 × 5 + 10. В этот раз нам повезло, потому что это решение представляет собой целое число и оно наверняка выведено путем определенных поисков. Но когда решением будет очень большое число или нецелое число, необходимо иметь точный метод нахождения их значений на систематической основе. Это именно то, о чем аль-Хорезми пишет в предисловии к своей книге. Он описал шаг за шагом вычисления, которые следовало выполнить исходя из данных задачи, вне зависимости от чисел. Во второй раз он приводит доказательство того, что его методы работают.

Подход аль-Хорезми прекрасно вписывается в общую тенденцию развития математики, которая стремится к абстракции и общности. Уже достаточно давно объекты исследования в математике были отделены от реальных объектов, которые они обозначают. Аль-Хорезми использовал те же самые аргументы для того, чтобы решать абстрактные задачи.

Классификация уравнений

Не все уравнения имеют простое решение. Среди них есть и такие, которые ставят в тупик даже современных математиков. Сложность уравнения определяется тем, какие операции необходимо совершить для его решения. Так, если для нахождения ответа необходимо совершить только сложение, вычитание, умножение и деление, это уравнения первой степени. Вот несколько примеров:

К какому числу необходимо добавить 3, чтобы получилось 10?

Какое число при делении на 2 дает 15?

Какое число, если его умножить на 2, а затем вычесть из получившегося результата 10, дает 0?

Уравнения первой степени – самые простые. Немного подумав, можно вычислить решения этих трех задач соответственно: 7, т. к. 7 + 3 = 10; 30, т. к. 30 ÷ 2 = 15; 5, т. к. 5 × 2–10 = 0.

Если к этим четырем операциям добавить возведение в квадрат, иначе говоря, умножение числа на себя, то это уже будут уравнения второй степени, и их решение станет сложнее. В своей работе аль-Хорезми приводит решение именно уравнений второй степени:

Квадрат искомого числа, увеличенный на 20, равен числу, в 10 раз большему искомого.

Квадрат искомого числа, увеличенный на произведение этого числа и 10, равен 39.

Особенностью решения уравнений второй степени является то, что они могут иметь два решения. В данном случае числа 3 и 7 будут решениями первого уравнения, т. к. 3 × 3 + 21 = 3 × 10 и 7 × 7 + 21 = 7 × 10. Второе уравнение также имеет два решения: 3 и –13.

В IX в. геометрия все еще оставалась основой математики, и доказательства аль-Хорезми строились также на геометрии. Ученые Античности утверждали, что квадрат числа и умножение двух чисел можно представить в виде площади. Уравнение второй степени можно представить в геометрическом виде. Вот, например, так можно представить выше изложенные уравнения. Вопросительными знаками обозначены искомые величины.

Квадрат числа плюс 21 равен этому числу, умноженному на 10.

Квадрат числа, к которому прибавляется число в десять раз больше, равно 39.

Аль-Хорезми использовал для решения усовершенствованный метод мозаики. Он предложил отрезать, добавлять или удалять части по мере необходимости, чтобы получить фигуру, являющуюся решением. Рассмотрим, например, второе из приведенных выше уравнений и сперва разобьем прямоугольник, который в 10 раз больше искомого числа, на два, каждый из которых в 5 раз больше искомого.

Далее переставим части следующим образом:

Наконец, добавим к двум равным сторонам, фигуру площадью в 25 таким образом, чтобы сложить их вместе.

Сторона квадрата, расположенного слева, равна искомой величине, увеличенной на 5, в то время как сторона правого квадрата равна 8. Исходя из этих данных, можно сделать вывод, что искомая величина равна 3.

Обратите внимание, что описанная выше фигура имеет нестандартную форму. До того момента, когда нашли ответ 3, было невозможно определить ее форму, в связи с чем длины сторон изображались неверно. Это совершенно не важно, поскольку в данном случае значение имеют не конкретные числовые показатели, а доказательство того, что описываемый метод применим в любой аналогичной ситуации, вне зависимости от показателей, присутствующих в уравнении. Согласно одному из определений, геометрия – это искусство идеального рассуждения о неидеальных фигурах. И вот прекрасный тому пример! Заметим, однако, что найденная с помощью этого метода неизвестная величина является длиной, то есть положительным числом, что, таким образом, приводит к упущению еще одного, отрицательного, решения. Это уравнение имеет еще одно решение, равное –13, и аль-Хорезми упускает его в своих рассуждениях.

После уравнений второй степени идут уравнения третьей степени. В этот раз неизвестная величина возводится в куб. Эти уравнения еще сложнее для аль-Хорезми – и способ их решения будет сформулирован только в эпоху Ренессанса. С точки зрения геометрии данный вопрос можно изложить в категориях объема и трех измерений.

Далее идут уравнения четвертой степени. С точки зрения чисел сложностей в их решении нет. С геометрической же точки зрения становится затруднительно представить себе фигуры в четырех измерениях, т. к. мы живем в трехмерном пространстве.

Возможности алгебры разрешать проблемы, которые априори недоступны для геометрии, в значительной степени определили сдвиг, который произошел в эпоху Возрождения, в связи с чем пальма первенства в мире математики перешла от геометрии к алгебре.

В конце IX в. египетский математик Абу Камиль стал одним из ведущих преемников аль-Хорезми. Он обобщил методы персидского ученого и особенно уделил внимание системам уравнений. Эти системы предполагали одновременный поиск нескольких неизвестных исходя из нескольких заданных уравнений. Вот классический пример.

Стадо состоит из одногорбых и двугорбых верблюдов. Всего у животных в стаде 100 голов и 130 ног. Сколько животных каждого вида в стаде?

В данной задаче есть два неизвестных: количество верблюдов одного и другого вида, – и информация о них дана совокупно. Количество голов и горбов позволяют нам составить два уравнения, но их невозможно решить отдельно друг от друга: необходимо объединить их для поиска решения задачи.

Есть несколько методов решения этой задачи. Логика рассуждений следующая. Поскольку в стаде 100 голов, у 100 животных есть хотя бы по одному горбу. Так как в стаде есть только двугорбые и одногорбые верблюды, то у 30 из них будет два горба (130–100), а одногорбыми будут, соответственно, 70 верблюдов (100–30). В данном примере есть только одно правильное решение. В других же системах уравнений их может быть значительно больше. Так, в одном из приводимых примеров Абу Камиль находит 2676 различных решений!

В X в. аль-Караджи был первым, кто написал о том, что можно составить уравнения любой степени, но ему удалось описать решение далеко не всех из них. В XI–XII вв. Омар Хайям и Шарафуддин ат-Туси занимались изучением решения уравнений третьей степени. Им удалось решить отдельные примеры и в целом достичь определенных успехов, но вместе с тем еще не получилось сформулировать обобщенное решение. Некоторые математики также пытались найти решение, и возникло предположение, что, возможно, такие уравнения вообще его не имеют.

В конечном счете ответили на этот вопрос вовсе не арабские ученые. В XIII в., когда золотой век ислама был уже позади, арабская цивилизация начинает постепенно приходить в упадок. Тому было много причин, в частности господство арабской мусульманской империи привлекало внимание завистников, и арабы были вынуждены постоянно обороняться, а на первый план вышли расходы на содержание армии.

В 1219 г. орды монголо-татар под предводительством Чингисхана захватили Хорезм, родной город аль-Хорезми. В 1258 г. они достигли ворот Багдада под командованием хана Хилого, внука Чингисхана. Халиф аль-Мастачит Биллах был вынужден капитулировать. Багдад разграбили и сожгли, а его жителей убили. В это же время идет реконкиста южных территорий Испании. Кордова, столица региона, пала в 1236 г. Испания была полностью завоевана в 1492 г. после захвата Гранады и дворца Альгамбра.

Арабский научный мир был весьма децентрализован, и наиболее важные исследования продолжались вплоть до XVI в., тем не менее центром развития математики отныне стала Европа.

10
Последовательности

Следует признать, что в эпоху Средневековья математика развивалась в Европе не самыми быстрыми темпами. Тем не менее есть несколько исключений. Наиболее известный европейский математик Средневековья, вероятно, итальянский ученый Леонардо Фибоначчи, родился в Пизе в 1175 г. и умер там же в 1250-м.

Как он сумел стать в это время в Европе известным математиком? Настоящих математиков не осталось на континенте. Отец Фибоначчи был представителем торговцев республики Пиза в Бежайа, на территории современного Алжира. Именно здесь итальянский ученый получил образование и открыл для себя исследования арабских математиков, в том числе аль-Хорезми и Абу Камиля. По возвращении в Пизу он опубликовал в 1202 г. свою работу под названием «Книга абака» («Книга расчетов»), в которой описал все известные ему достижения математики того времени, включая арабские цифры, геометрию Евклида, Диофантову арифметику, расчеты числовых рядов. Один из таких рядов увековечил его имя.

Ряд – это последовательность чисел, которая может быть продолжена бесконечно. Мы уже рассмотрели некоторые из них. Например, нечетные числа (1, 3, 5, 7, 9…) и квадратные числа (1, 3, 9, 16, 25…) – одни из наиболее очевидных. В одной из глав «Книги абака» Фибоначчи пытается математически показать, каким образом будет увеличиваться количество кроликов. Он рассматривал следующие гипотезы в качестве условий:

1) первые два месяца пара кроликов не дает потомства;

2) начиная с третьего месяца пара кроликов дает еще одну пару кроликов.

С учетом этих данных можно построить схему развития пары кроликов, начиная с их рождения.

Каждая линия представляет развитие пары кроликов с течением времени. Стрелочки обозначают рождение новых пар

Проанализировав полученный ряд, можно получить числовой ряд. Столбец за столбцом дают следующие значения в первые 10 месяцев: 1, 1, 2, 3, 5, 8…

Фибоначчи обратил внимание на то, что популяция кроликов соответствует сумме популяций в два предыдущих месяца: 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8… и так до бесконечности. Это правило можно объяснить. Каждый месяц число пар, которые родились и прибавились к ранее родившимся кроликам, равно числу пар репродуктивного возраста в предыдущем месяце, то есть количеству пар, которые уже родились два месяца назад. Теперь можно вычислить числа последовательности без необходимости изображения генеалогического древа кроликов.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …

Для Фибоначчи эта последовательность носила в первую очередь характер бесконечной головоломки. Тем не менее способ определения популяции кроликов найдет в следующих столетиях много вариантов приложения: как практических, так и теоретических. Один из наиболее ярких примеров его применения можно найти в ботанике. Листорасположение – дисциплина, которая изучает, каким образом листья или различные элементы растения присоединяются к его основанию. Если вы внимательно посмотрите на шишку, вы увидите, что ее поверхность состоит из чешуек, которые закручиваются по спирали. Более конкретно можно подсчитать количество спиралей, которые закручиваются по часовой стрелке, и число спиралей, которые закручиваются в противоположном направлении.

Удивительно, но эти два числа всегда будут двумя последовательными числами из ряда Фибоначчи! Прогуливаясь по лесу, вы сможете найти шишки с количеством спиралей 5–8, 8–13 или 13–21, но никогда 6–9 или 8–11. Эти спирали Фибоначчи можно с большими или меньшими усилиями отыскать во многих других растениях. В то время как в ананасе или в цветке подсолнуха они видны невооруженным глазом, в созревшем кочане цветной капусты найти их гораздо сложнее. Тем не менее они там есть!

Золотое сечение

Помимо прочего Фибоначчи уделил особое внимание описанию числа, известного еще со времен Античности – золотого сечения. Число, приблизительно равное 1,618, которое Древние Греки считали значением идеальной пропорции. Как и число π, золотое сечение тоже является бесконечным числом, именуемым также числом φ («фи»).

Золотое сечение имеет различные варианты применения в геометрии. У прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, длина в φ раз больше ширины. Примечательно, что, если от такого прямоугольника отрезать квадрат, сторона которого станет соответствовать ширине прямоугольника, то оставшийся прямоугольник будет также построен по принципу золотого сечения.

Древние Греки использовали его в архитектуре. Фасад Парфенона в Афинах имеет очень схожие пропорции с прямоугольником, построенным по принципу золотого сечения, и, даже несмотря на то что однозначное подтверждение этого в источниках отсутствует, вполне можно предположить, что это не случайно. Впервые золотое сечение упоминалось в шестой книге «Начал» Евклида.

Также золотое сечение встречается в правильных пятиугольниках: их диагонали и стороны соотносятся именно в такой пропорции. Другими словами, длина каждой из пяти диагоналей равна длине стороны, умноженной на число φ.

Золотое сечение встречается, таким образом, в любых геометрических фигурах, где есть правильные пятиугольники. Например, в рассмотренных ранее жеоде или футбольном мяче. Чтобы рассчитать его точное значение алгебраическим путем, необходимо будет решить следующее уравнение второй степени.

Квадрат числа φ равен числу φ, увеличенному на 1.

Метод аль-Хорезми позволяет определить точную формулу расчета числа φ. Так, φ = (1+ √5) ÷ 2 ≈ 1,618034.[12]12
  √5 обозначает квадратный корень из числа 5, т. е. положительное число, квадрат которого равен 5. Это число приблизительно равно 2,236.


[Закрыть] Вы можете проверить, что 1,618034 × 1,618034 ≈ 2,618034.

Но какое к этому имеет отношение ряд Фибоначчи?

Если достаточно долго анализировать увеличение популяции кроликов, можно обратить внимание, что каждый раз она увеличивается приблизительно в φ раз! Посмотрим, например, на 6-й и 7-й месяцы. Количество кроликов в популяции равно 8 и 13, соответственно, 13 ÷ 8 = 1,625. Полученное значение приблизительно равняется золотому сечению. Если же мы возьмем в качестве примера 11 и 12 числа из ряда, то получим следующую пропорцию: 144 ÷ 89 = 1,61797… Это число уже более точно соответствует числу φ. Можно продолжить эти расчеты. Чем дальше, тем коэффициент разницы последующего и предыдущего члена будет точнее соответствовать золотому сечению!

В очередной раз констатация факта породила многочисленные дискуссии. Почему? Как так получается, что это незамысловатое число встречается в трех различных направлениях математики: геометрии, алгебре и теории рядов? На первый взгляд, можно было бы предположить, что эти числа приблизительно равны, но не соответствуют друг другу. Однако они точны настолько, что, рассчитывая отношение диагонали к стороне пятиугольника (1+√5) ÷ 2, и отношение каждого последующего числа к предыдущему в ряду Фибоначчи, в каждом из случаев будет получаться одинаковый результат.

Для того чтобы разгадать эту тайну, математики пытались приводить междисциплинарные доказательства, используя одновременно знания из различных областей математики. Такое явление встречалось раньше, когда в эпоху Античности числа представлялись в геометрической форме, что, тем самым, сближало геометрию и алгебру. В дальнейшем такой подход распространился и на другие направления математики. Ряд дисциплин, которые ранее казались не связанными друг с другом, стали использоваться совместно. Такие числа, как φ, помимо прочего, сыграли существенную роль в процессе сближения смежных математических дисциплин. Во времена Фибоначчи число π применяли не только в геометрии.

Изучение рядов чисел также помогает иначе посмотреть на парадоксы Зенона Элейского, в частности парадокс Ахиллеса и черепахи. Давайте вспомним пример древнегреческого ученого, когда черепаха начинает забег с Ахиллесом с форой в сто метров, при этом Ахиллес бежит со скоростью в два раза быстрее. В этой ситуации парадокс заключался в том, что, несмотря на медлительность черепахи, Ахиллес ее никогда не сможет догнать.

Такой вывод сделан в результате мысленного разделения гонки на бесконечное количество частей. К тому моменту, когда Ахиллес достигает начальную точку, на которой находилась черепаха, она будет уже в 50 метров дальше. Когда Ахиллес преодолеет следующие 50 метров, черепаха окажется в 25 метрах впереди и так далее. Каждый раз расстояние между ними станет сокращаться вдвое.

100 50 25 12,5 6,25 3,125 1,5625…

Если продолжать этот ряд, то можно ошибочно предположить, что Ахиллес никогда не догонит черепаху. Однако, если рассчитать сумму этой последовательности чисел, то можно найти результат, который будет конечным.

100 + 50 + 25 + 12,5 + 6,25 + 3,125 + 1,5625 +…= 200.

Это одно из удивительных свойств рядов чисел: сумма бесконечного количества чисел может быть конечной! Результат, полученный выше, доказывает, что Ахиллес догонит черепаху, пробежав 200 метров.[13]13
  Вычисление суммы бесконечного ряда чисел делается с помощью понятия предела. Данный метод заключается в том, что вместо того, чтобы складывать бесконечные числа ряда, определяется число, к которому стремится искомая сумма. В примере с Ахиллесом и черепахой если сложить первые числа ряда, получится следующий результат: 100 + 50 + 25 + 12,5 + 6,25 + 3,125 + 1,5625 = 198,4375. Если продолжить этот ряд до двадцатого числа, получится приблизительно 199,9998. Можно продемонстрировать, что, добавляя все больше и больше новых чисел ряда, сумма будет бесконечно приближаться к 200. Поэтому считается, что сумма будет равна 200.


[Закрыть]

Расчет таких бесконечных рядов имеет большое прикладное значение для расчета чисел из области геометрии, таких, как, например, π, или тригонометрических величин. В том случае, если их нельзя вычислить с помощью стандартных операций, можно рассчитать суммы рядов чисел. Одним из первых, кто предложил такой метод вычисления, был индийский математик Мадхава из Сангамаграмы, который вывел около 1500 г. формулу для числа π:

В ряду Мадхавы присутствуют как положительные, так и отрицательные числа, рассчитываемые как отношения 4 и последовательных нечетных чисел. Не стоит, однако, думать, что такой подход окончательно решил вопрос вычисления числа π. После того как данная сумма составлена, все еще требуется вычислить ее. Но если сумму некоторых из рядов чисел, таких как в примере с Ахиллесом и черепахой, можно легко рассчитать, в других случаях это весьма затруднительно, о чем рассуждает Мадхава.

Короче говоря, эта бесконечная сумма на самом деле не позволит рассчитать точное значение числа π, а всего лишь позволяет обеспечить более точное приближение.

Поскольку мы не можем сложить все числа из бесконечного ряда, можно ограничиться определением суммы конечного числа чисел. Таким образом, если сложить первые пять чисел из ряда, мы получим 3,34.

Это недостаточно точное приближение, но можно продолжать сложение чисел из ряда. Если мы возьмем первые сто чисел, получится 3,13, а если миллион, то 3,141592.

Разумеется, не очень удобно складывать миллион чисел, чтобы получить приближенное значение всего с шестью знаками после запятой. Ряд Мадхавы оказался неудачным способом для вычисления числа π, т. к. требовалось сложить слишком много его чисел. В дальнейшем другие математики, такие как швейцарец Леонард Эйлер в XVIII в., а также индийский ученый Сриниваса Рамануджан Айенгор в XX в. открыли ряд других рядов чисел, сумма которых равна π, но со значительно меньшим количеством чисел. Эти методы постепенно вытеснили метод Архимеда и позволили рассчитывать более точные значения с большим количеством знаков после запятой.

Тригонометрические соотношения также можно представить в виде суммы бесконечных рядов чисел. Так, например, можно рассчитать значение косинуса заданного угла.

Для того чтобы рассчитать косинус, достаточно просто заменить слово «угол» в приведенной выше формуле на значение заданного угла.[14]14
  Обратите внимание, что значение угла должно быть выражено не в градусах, а в радианах. Так, применительно к данной формуле, полный круг составляет не 360°, а 2π радиан. Это может показаться непривычным, но вычисление суммы данного ряда чисел приведет к правильному результату только при выражении угла в таком виде.


[Закрыть] Существуют похожие формулы для вычисления синуса, тангенса, а также ряда других чисел.

Вплоть до сего дня ряды чисел по-прежнему продолжают находить разнообразное применение. Ряд Фибоначчи до сих пор лежит в основе изучения динамики роста популяции и эволюции видов животных в течение длительного времени. Современные модели анализа, однако, учитывают гораздо больше факторов, таких как смертность, истребление хищниками, климат и изменение среды обитания животных. В целом ряды чисел используются в моделировании любого процесса, который прогрессивно продолжается на протяжении длительного времени. Сейчас они активно используются в информатике, статистике, экономике и даже метеорологии.