Р. Сиренко
Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов

1. Задачи сопротивления материалов

   Твердые тела при воздействии на них с какой-либо силой могут изменять свою форму и размеры, т. е. деформироваться. Если после снятия нагрузки тело возвращает свое первоначальное состояние, то деформацию называют упругой. Если после снятия нагрузки тело остается деформированным, то говорят о пластической (остаточной) деформации.
   На практике остаточные деформации, возникающие в элементах, говорят о нарушении нормальной работы конструкции. При создании машин и сооружений необходимо выбрать материал и размеры деталей таким образом, чтобы при воздействии внешних сил сооружения не подвергались разрушению и остаточной деформации, т. е. были достаточно прочными. Прочностью называют способность тел выдерживать воздействие внешних сил без разрушения и возникновения опасных последствий.
   На практике все конструкции и сооружения испытывают на себе упругие деформации. Если при достижении некоторого критического значения внешних воздействий конструкция перестает нормально функционировать, хоть и обладает необходимой прочностью, то говорят о недостаточной жесткости такой конструкции. Следовательно, жесткость – это способность тела сопротивляться влиянию упругой деформации.
   Также под воздействием внешних воздействий тела могут изменять свою форму и оставаться в таком положении. При проектировании необходимо подбирать размеры так, чтобы возникающие в элементах упругие перемещения не нарушали общей работы конструкции или сооружения. Способность тел сохранять устойчивое равновесие называют упругостью. Поэтому можно сказать, что основной задачей предмета «Сопротивление материалов» является расчет элементов конструкций и сооружений, обеспечивающий им прочность, жесткость и устойчивость.
   Сопротивление материалов – расчетно-теоретическая дисциплина. Для определения внешних сил, действующих на элементы конструкций и детали машин в эксплуатации, используют методы теоретической механики, в основном статики, в которых рассматривается равновесие абсолютно твердого тела. Составляя уравнения равновесия, допустимо заменять одну систему сил другой, эквивалентной ей, переносить силы вдоль линии их действия или заменять силы их равнодействующими, но в некоторых случаях такие упрощения могут быть причиной ошибочных расчетов. Поэтому все основные положения сопротивления материалов подвергаются многократным экспериментальным исследованиям и дополнениям.
   В некоторых случаях теоретический расчет оказывается настолько сложным, что приходится изготавливать модель проектируемой конструкции и подвергать ее испытаниям, чтобы получить данные о характере и величине деформаций.

2. Классификация сил

   Любой элемент конструкции можно рассматривать как самостоятельный, если воздействие остальных элементов считать силами внешнего воздействия. К внешним силам относят как силы, действующие со стороны других элементов, так и реакции связей (опор). Действующую на тело систему сил принято называть нагрузкой.
   Внешние силы принято делить на объемные, т. е. распределенные по всему объему, и поверхностные, действующие только на поверхность рассматриваемого элемента. Поверхностные силы в свою очередь подразделяются на сосредоточенные и распределенные по поверхности элемента или по длине элемента. Если сила передается на деталь по площадке, размеры которой пренебрежимо малы в сравнении с площадью всего элемента конструкции, силу считают сосредоточенной. Это упрощение служит для облегчения расчетов. Распределенные по поверхности нагрузки характеризуются давлением, т. е. отношением силы, действующей на элемент нормально к нему, к площади данного элемента. Распределенная по длине нагрузка характеризуется интенсивностью, выражаемой единицей силы, отнесенной к единице длины.
   Сосредоточенные силы измеряются в ньютонах (H), распределенные по поверхности (давление) – в паскалях, распределенные по длине (интенсивность нагрузки q) – в ньютонах на метр (Н/м).
   Также нагрузки подразделяются по характеру изменения во времени.
   Статические нагрузки характеризуются постоянством во времени.
   Динамические нагрузки, абсолютное значение, направление и место приложения которых изменяются во времени. Такие нагрузки могут быть кратковременными или действующими продолжительно и изменяющимися по какому-либо закону.
   Укажем самые распространенные типы связи.
   Односвязная опора (шарнирно-подвижная) изображена на Рис. 1.1. Реакция такой опоры всегда перпендикулярна опорной поверхности.
   Двухсвязная опора (шарнирно-неподвижная) схематически изображена на Рис. 1.2.
   Реакция этой опоры проходит через центр шарнира, ее направление зависит от действующих сил. Вместо отыскания числового значения и направления этой реакции удобнее найти две ее составляющие.
   В трехсвязной опоре (жесткой заделке), изображенной на Рис. 1.3 возникают реактивная пара сил (момент) и реактивная сила, последнюю удобнее представлять в виде двух ее составляющих.

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Рис. 1.3

3. Понятие о деформациях и напряжениях

   Воздействие на тело внешних сил изменяет его внутренние силы. Деформация тела вызывает изменение расстояний между атомами, при этом возникающие дополнительные внутренние силы стремятся вернуть тело в первоначальное положение. Если неограниченно увеличивать действие внешних сил, то при определенном возрастании внутренних сил происходит разрушение тела. Чтобы произвести расчет на прочность, надо уметь определять внутренние силы, зная внешние. Для определения внутренних сил (или внутренних силовых факторов) используют метод сечения. Мысленно рассекаем твердое тело и отбрасываем одну из частей. Оставшаяся часть тела находится в положении равновесия под действием приложенных внешних сил и сил, приложенных к сечению (заменяющих воздействие отброшенной части тела). Теперь при помощи теоретической физики можно определить главный вектор действия внутренних сил по сечению (закон распределения этих сил установить сложно). Совмещая плоскость сечения с системой координат, имеем в сечении шесть силовых факторов: продольная сила N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, пара поперечных сил Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

,Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, изгибающие моменты M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

,M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, крутящий момент M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Соответственно видам внутренних силовых факторов различают четыре вида деформаций тела:
   – если в сечении имеется только продольная сила – растяжение или сжатие;
   – если в сечении возникают только поперечные силы – сдвиг;
   – если в сечении возникают только изгибающие моменты – чистый изгиб, если кроме изгибающих моментов возникают поперечные силы – поперечный изгиб;
   – если в сечении возникает крутящий момент – кручение.
   Если в сечении действуют несколько силовых факторов, то возникает сложный вид деформации.
   Как уже было сказано, при определении внутренних сил методом сечения считаем эти силы приложенными к центру тяжести сечения. На самом деле они распределены по всей поверхности сечения, и интенсивность внутренних силовых факторов может быть различной. Увеличение внешней нагрузки приводит к увеличению внутренней, заставляет возрастать интенсивность во всех точках сечения и может привести к разрушению элемента или возникновению остаточных деформаций. Таким образом, говоря о прочности тела, рассматривать надо не значение внутренних сил, а их интенсивность. Меру интенсивности внутренних сил характеризует напряжение. Для удобства математического и физического анализа напряжение рассматривают как совокупность двух компонент: вектора нормального напряжения и вектора касательно напряжения, являющихся соответственно его составляющими по нормали к сечению и касательно к его плоскости.

4. Вычисление напряжений по площадкам, перпендикулярным к оси стержня

Рассмотрим небольшую площадку сечения некоторого тела, действующую на нее; внутреннюю силу обозначим ΔF. Отношение внутренней силы к единице площадки определяет среднее значение интенсивности на площадке ΔA.

Если бесконечно уменьшать площадку ΔA, напряжение стремится к своему предельному значению и называется истинным напряжением.

Разложим вектор полного напряжения p на две составляющие: нормальное напряжение σ, направленное по нормали к сечению, и касательное напряжением τ, направленное по касательной к сечению. Между величинами p, τ, σ существует зависимость, которая выражается формулой:

   Нормальные напряжения возникают, когда под действием внешних сил частицы стремятся приблизиться или отдалиться. Когда частицы стремятся сдвинуться относительно друг друга в плоскости сечения. Касательное напряжение можно разложить на две составляющие: τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Первый индекс показывает, какая ось перпендикулярна сечению, второй – параллельно какой оси действует напряжение.

   Напряжения в поперечных сечениях связаны с внутренними силовыми факторами, определенными зависимостями.
   dN -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA; dQ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA; dQ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA
   Соответствующие элементарные моменты относительно координатных осей имеют вид:
   dM -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA)y – (τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA)x; dM -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA)y;dM -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

=(σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA)x
   Просуммировав бесконечно малые силы и моменты, действующие в сечении, получим выражения, связывающие внутренние силовые факторы с напряжениями.

Полученные выражения можно рассматривать как определения, выражающие физическую сущность внутренних силовых факторов. Также, при определенных методах сечения внутренних факторов, эти формулы могут использоваться для вычисления напряжений, если известны законы, по которым эти напряжения распределяются по сечению.

5. Деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука. Коэффициент поперечной деформации

Некоторые элементы конструкций и элементов подвергаются только продольным нагрузкам, что вызывает в них деформацию растяжения или сжатия. Длина стержня, подвергнутого растяжению, увеличивается, а площадь его поперечного сечения уменьшается. При сжатии наоборот – длина уменьшается, а площадь сечения увеличивается. При этом изменение длины называют линейной продольной деформацией, а изменение площади поперечного сечения – поперечной линейной деформацией. Для оценки интенсивности деформации применяют такие понятия, как относительная продольная ε и относительная поперечная ε' – деформации, приходящиеся на единицу длины или пощади сечения стержня.

   где Δl – изменение длины стержня;
   Δa – изменение площади сечения.
   Продольную деформацию растяжения обычно считают положительной, деформацию сжатия – отрицательной. Продольная и поперечная деформации связаны соотношением

   μ – коэффициент поперечной деформации, который имеет свое значение для разных тел (в пределах упругого деформирования). Этот коэффициент называют коэффициентом Пуассона.
   В пределах упругого деформирования экспериментально была установлена прямая зависимость между нормальным напряжением σ и относительной деформацией ε.
   σ = Eε
   Это соотношение носит название закона Гука, а коэффициент пропорциональности E называется модулем упругости первого рода. Модуль упругости – это величина, постоянная для каждого материала. Из соотношения видно, что при постоянном напряжении деформация меньше при большем модуле упругости.
   Если рассматривать участок длиной l, на котором продольная сила и площадь поперечного сечения постоянны, закон Гука можно представить в виде:

Произведение EA называется жесткостью сечения.
При растяжении или сжатии стержня его сечения перемещаются. Осевое перемещение сечений друг относительно друга равно изменению длины стержня между этими сечениями. График, на котором изображены перемещения всех сечений относительно одного, принятого за неподвижное, называется эпюром перемещений.

6. Механические характеристики свойств материала

   Для правильного побора материала при расчетах машин и сооружений надо знать механические свойства подбираемых материалов, к которым относятся:
   – прочность – способность материала выдерживать воздействие внешних сил без разрушения и возникновения опасных последствий;
   – пластичность – способность материала накапливать пластические деформации до разрушения;
   – упругость – способность материала восстанавливать свою форму и размеры после удаления нагрузки;
   – жесткость – способность тела противостоять упругой деформации и разрушению при воздействии.
   Все детали перед введением в эксплуатацию подвергаются механическим испытаниям, что позволяет определить характеристики свойств материалов. Наиболее распространенным испытанием является растяжение. На начальном этапе растяжения абсолютные деформации пропорциональны нагрузке, а относительные деформации пропорциональны напряжению, т. е. справедлив закон Гука. Пределом пропорциональности σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

называется максимальное напряжение, при котором выполняется закон Гука. При достижении нагрузкой некоторой величины в образце появляются остаточные деформации. Пределом упругостиσ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

называют максимальное напряжение, при котором не возникают остаточные деформации. Принято считать за максимальное то напряжение, при котором в испытуемом образце появляются деформации 0,05 %. Предел пропорциональности, предел упругости, модуль упругости и коэффициент поперечной деформации характеризуют упругие свойства материала. Предел текучести материала σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– это наименьшее напряжение, при котором деформация увеличивается без заметного увеличения нагрузки. Если после возникновения текучести продолжать увеличивать действие нагрузки, наступает разрушение. Пределом прочности (временным сопротивлением) σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

называют напряжение, соответствующее максимальной нагрузке, предшествующей разрушению образца. Пределы текучести и прочности характеризуют прочность материала. Также существуют две величины, характеризующие пластичность материала: относительное остаточное удлинение δ (отношение изменения длины к начальной длине образца) и относительное остаточное сужение ψ (отношение изменения сечения к первоначальной площади сечения).
   Испытания на сжатие для пластичных тел в начале дают результаты, похожие на растяжение, но при нарастании нагрузки пластичные тела не разрушаются, а сплющиваются. Поэтому целесообразнее таким испытаниям подвергать хрупкие тела с малым относительным остаточным удлинением при разрыве. Как правило, в таких испытаниях определяется предел прочностиσ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– максимальное напряжение, соответствующее максимальной нагрузке.

7. Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии

Статистически неопределимые задачи – это задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений статистики. Недостающие уравнения составляются исходя из условия совместности деформаций. Для примера рассмотрим систему, представленную на Рис. 2.1.

Рис. 2.2

   Точка А в результате деформации переместится в точку А -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Отрезок АА -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– удлинение среднего стержня Δℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Отрезки АВ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и АС -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– удлинения первого стержня ∆ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и второго – ∆ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

соответственно. Определим удлинения стержней ∆ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, ∆ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, ∆ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

по закону Гука

   Найдя из чертежа зависимость между этими удлинениями, получим дополнительное уравнение совместности деформаций. Из треугольника А -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

АВ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

имеем:
   АВ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= АА -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cosα или ∆ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= ∆ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cosα
   Подставляя значения ∆ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и ∆ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

в это уравнение, получим:

   Из треугольника АВД получаем ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cosα, тогда

Подставляем значение N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

в уравнение равновесия и получаем:

   По величинам этих усилий и допускаемым напряжениям определим F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

из условий:

8. Напряжения, возникающие при изменении температуры

   В статически неопределимых системах возникают напряжения при отсутствии внешних нагрузок не только от неточности изготовления и сборки, но и от изменения температуры. Возьмем стержень, защемленный неподвижно концами при температуре t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Длина стержня ℓ, площадь поперечного сечения F, модуль упругости Е. Определить напряжения при изменении температуры до t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Выясним, какие силы будут действовать на стержень, если температура повысится от t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

до t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Стержень стремится удлиниться и будет распирать опоры А и В. Со стороны этих опор будут действовать реакции, они и вызовут сжатие стержня. Их величины нельзя найти из уравнений статики, так как единственное условие равновесия дает нам, что реакции опор в точках А и В равны по величине и прямо противоположны. Задача статически неопределимая.
   R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Для составления дополнительного уравнения мысленно отбросим одну из опор, например, опору В и дадим стержню деформироваться в зависимости от температуры на величину ∆ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. По законам физики
   ∆ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= αℓ(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

),
   где α – коэффициент линейного расширения материала. Но так как длина стержня, закрепленного концами, остается и при нагревании неизменной, вернем опору В в первоначальное положение. Стержень укоротится на величину
   ∆ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= ∆ℓ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Это и есть условие совместности деформаций; оно указывает на то, что при изменении температуры длина стержня не изменилась, он не оторвался от неподвижных опор. По закону Гука

Приравнивая обе деформации, получаем:

   откуда R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= α×(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)×EF;

Напряжение, вызванное изменением температуры в стержне постоянного сечения с жестко защемленными концами, зависит лишь от материала, коэффициента линейного расширения, разности температур и не зависит от его длины и площади поперечного сечения.

9. Напряжения по наклонным сечениям при осевом растяжении и сжатии (линейное напряженное состояние)

Вычислим напряжения, действующие по какому-либо наклонному сечению. Возьмем призматический стержень, растянутый силами Р (Рис. 3.1).

   Рис. 3.1

   Разделим его на две части сечением mn, составляющим угол α с поперечным сечением mk, перпендикулярным к оси. За положительное направление угла возьмем направление против часовой стрелки. Площадь сечения mk обозначим F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, площадь сечения mn обозначим F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Для определения напряжений применим метод сечений. Мысленно отбросим верхнюю часть и заменим ее действие на нижнюю напряжениями S -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Для равновесия нижней части напряжения S -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

должны уравновешивать силу Р и быть направлены параллельно оси стержня. Предполагая, как и раньше, что напряжения S -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

равномерно распределены по площади сечения, найдем: S -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

·F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= P, отсюда

. Но, так как

   Рис. 3.2

   Таким образом, напряжение S -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

заменяем двумя взаимно перпендикулярными напряжениями: нормальным напряжением σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и касательным напряжением τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Величины этих двух напряжений будут меняться в зависимости от изменения угла α между нормалью к площадке и направлением растягивающей силы.
   Из Рис. 3.2 имеем:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= S -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

·cosα = σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cos -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

α;
   τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

=S -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

· sinα = σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sinα · cosα = ½σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sin2α.
   Принимаем правило знаков: растягивающие напряжения σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, т. е. совпадающие с направлением внешней нормали, будем считать положительными; нормальные напряжения обратного направления – сжимающие – будем принимать со знаком минус. Касательное напряжение считается положительным, если оно дает момент по часовой стрелке относительно центра рассматриваемого сечения, отрицательным, если оно дает момент против часовой стрелки. Наличие этих двух видов напряжений соответствует наличию двух видов деформаций: продольной деформации и деформации сдвига. Для проверки прочности необходимо установить наибольшие значения σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

в зависимости от положения площадки mn. Из Рис. 3.2 понятно, что σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

достигает своего наибольшего значения, когда cos -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

α будет равен единице и угол α = 0. Максимум τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

получится при sin 2α = 1, т. е. при 2α = 90° и α = 45°. Величины этих наибольших напряжений будут равны:

10. Понятие о главных напряжениях. Виды напряженного состояния материалов

   Чтобы рассчитать прочность бруса при деформациях, нужно определить его напряжение в поперечном сечении. Если деформация сложная, то говорят о необходимости установить напряженное состояние в точке. Чтобы найти напряжение в точке, через эту точку нужно провести сечение. Через точку можно провести бесконечное множество сечений, следовательно, и напряжений в точке бесконечно много. Совокупность всех этих напряжений называется напряженным состоянием в точке.
   Для нахождения напряженного состояния в точке тела возьмем элементарный параллелепипед с длинами сторон dx, dy, dz, при уменьшении этих длин сторон параллелепипед стягивается в точку. На грани этого параллелепипеда действуют напряжения, указанные на Рис. 4.1. (Имеется в виду, что указанные напряжения действуют на все грани). При поворотах параллелепипеда его напряжения изменяются, и можно подобрать такое положение, в котором все касательные напряжения будут равны нулю (Рис. 4.2). Площадки, на которых действуют только положительные напряжения, называют главными, соответственно, нормальные напряжения на этих площадках также называются главными и обозначают σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Наибольшее из напряжений обозначается σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, наименьшее – σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Необходимо учитывать знаки: напряжения растяжений считаются положительными, напряжения сжатия – отрицательными. Если известны напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, то напряжение в точке тоже считается известным.
   Главные напряжения могут быть как положительными, так и отрицательными и действовать по всем направлениям координатных осей.
   Если напряжение действует только в направлении одной из осей, то оно называется одноосным или линейным.
   Если напряжение действует в двух направлениях, то оно называется двухосным, или плоским.
   Если напряжение действует по всем направлениям координатной оси, то такое напряжение называют трехосным, или объемным.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

11. Плосконапряженное состояние материалов

В сопротивлении материалов чаще всего встречаются задачи, когда напряжение действует в двух направлениях, т. е. является плоским. Рассмотрим такое состояние.
Возьмем произвольную точку тела и рассмотрим элементарный параллелепипед с длинами сторон dx, dy, dz в ее окрестности. Рассечем этот параллелепипед плоскостью, перпендикулярной плоскости zy (Рис. 5.1).

Рис. 5.1

   Рис. 5.2

   На Рис. 5.2 изображены напряжения на поверхности полученной призмы. Из условий равновесия треугольной призмы через проекции сил, действующих на грани, на оси y’ и z’, можно найти напряжения на наклонной грани призмы.
   s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA – σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cosα – σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sinα – τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sinα – τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cosα = 0
   τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA+ σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sinα – σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cosα – τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cosα + τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sinα = 0
   Учитывая, что dA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 1dy = dAcosα, dA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 1dz = dAsinα, записанные отношения в результате тригонометрических преобразований примут вид:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cos -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

α + σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sin -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

α + τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sin2α

Если совместить оси координат z, y c направлениями главных напряжений, то соотношения примут вид:

   Из последнего уравнения следует, что при α = 45° касательные выражения принимают свои экстремальные значения в точке.
   τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= ½(σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)
   Частный случай плоского напряженного состояния: при σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

=0, на всех проведенных через точку площадках касательные напряжения равны нулю, т. е. все площадки – главные с нормальными напряжениями σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ. Примером такого состояния может служить стенка воздушного шара, находящаяся под давлением.
   При σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= – σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ на грани элемента действуют численно равные сжимающие и растягивающие напряжения. Экстремальные касательные напряжения равны главным, а нормальные напряжения равны нулю. Такой частный случай носит название чистого сдвига.

12. Графическое определение напряжений (круг Мора)

   По известным напряжениям, действующим на площадках, взаимно перпендикулярных друг другу и проходящих через заданную точку, можно определять напряжения по другим площадкам. Это осуществляется графическим способом, который был предложен немецким физиком О. Мором.
   Запишем формулы для определения нормальных и касательных напряжений для площадок, проходящих через заданную точку, в виде:
   σ = σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cos -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

α + σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sin -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

α + τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sin2α
   τ = (σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)sin2α – τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cos2α
   Преобразуем первое выражение:
   σ = ½σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

(1 + cos2α) + ½σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

(1 – cos2α) + τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sin2α
   После тригонометрических преобразований формулы для напряжений запишутся в виде:

   τ = (σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)sin2α – τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cos2α
   Обе части этих выражений возведем в квадрат, а затем сложим:

   Сопоставим полученное 2 уравнением окружности (x – a) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ (y – b) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Будем считать ось абсцисс осью нормальных напряжений, а ось ординат – осью касательных напряжений, график зависимости между этими напряжениями представляет окружность, центр которой находится в точке с координатами

и радиусом, определяемым формулой

. График этой окружности называется кругом напряжений, или кругом Мора.
Пример напряженного состояния и построенного для него круга Мора приведен на Рис. 6.1. Координаты каждой точки этого графика представляют собой напряжения по одной из площадок, проходящих через точку тела, для которой построен график напряженности.

Рис. 6.1

Рис. 6.2

При помощи круга Мора также определяются главные напряжения и положения главных площадок (Рис. 6.2), а также экстремальные касательные напряжения.

13. Объемно-напряженное состояние материала

   Для изучения объемно-напряженного состояния материала выберем произвольную точку тела, находящегося в напряженном состоянии, и выделим в окрестности этой точки элементарный кубик, по граням которого действуют главные напряжения σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Проведем сечения, параллельные каждому из главных напряжений, и определим значение нормальных и касательных напряжений на этих площадках (Рис 7.1, Рис. 7.2, Рис. 7.3).

Рис. 7.1

Рис. 7.2

   Рис. 7.3

   Из условий равновесий составленных для отсеченных участков кубиков следует, что действующие на наклонных площадках напряжения не зависят от того из главных напряжений, параллельно которому эти площадки проведены. Обозначим угол наклона площадки α, применив принцип независимости действия сил, нормальные и касательные напряжения рассмотрим как сумму действия напряжений от σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cos -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

α + σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cos -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

(α + 90°)
   τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0,5σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sin2α + 0,5σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sin2(α + 90°)
   Выполнив математические преобразования, запишем соотношения в виде:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cos -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

α + σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sin -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

α
   τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0,5(σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)sin2α
   Полученные формулы определяют нормальные и касательные напряжения в случае объемно-напряженного состояния материала, они же соответствуют двухосному плоско-напряженному состоянию.
   Максимальное касательное напряжение при объемном напряженном состоянии материала существует на площадке, параллельной напряжению σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, нормаль к площадке составляет угол в 45° и определяется по формуле:
   τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0,5(σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)

14. Деформации при плоском и объемном напряженных состояниях (обобщенный закон Гука)

   В пределах упругого деформирования была установлена прямая зависимость между нормальным напряжением σ и относительной деформацией ε, носящая название закона Гука.
   σ = Ee
   Для нахождения деформации нужно выбрать одну из точек исследуемого тела и мысленно рассмотреть элементарный кубик в ее окрестности, на который действуют главные напряжения. Деформация кубика происходит во всех трех направлениях главных напряжений σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Такие деформации называются главными деформациями и обозначаются ε -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, ε -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, ε -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Совокупность главных деформаций в точке тела определяет деформированное состояние в точке.
   Чтобы определить главные деформации объемного напряженного состояния, сначала определим деформации, связанные с отдельными главными напряжениями и сложим результаты. Деформация ε -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

напряжения σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

в том же направлении, что и σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

из закона Гука равна:

Тогда деформация от всех главных напряжений в направлении σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Таким же образом определяются деформации в направлении других главных напряжений.
В результате получим следующую систему уравнений, представляющую собой закон Гука в общем виде:

Эти уравнения можно записать для линейного и плоского напряженного состояния материалов, если убрать соответствующие слагаемые.
Из полученной системы уравнений видно, что, зная главные напряжения, можно найти напряженное и деформированное состояния в точке, причем эти состояния могут не совпадать.

15. Потенциальная энергия при сложном напряженном состоянии

   При возникновении деформации внешние силы совершают работу, связанную со смещением точек приложения этой силы. Элементарная работа dA внешней силы F определяется по формуле:
   dA = Fdl’
   где dl’ – перемещение точки приложения силы.
   Из закона Гука известно:

   В этом соотношении l – длина рассматриваемого участка до деформации;
   dl – изменение длины;
   a – площадь поперечного сечения тела.
   Таким образом,
   dA = Eadl’dl / l
   Проинтегрировав полученное равенство от нуля до окончательного значения перемещения l’, найдем полную работу силы.

   При воздействии на тело внешних статических сил работа этих сил определяется как половина произведения окончательного значения силы на конечное значение перемещения точки приложения этой силы.
   A = F’l’ / 2
   При воздействии на тело постоянных внешних сил работа этих сил определяется как произведение значения этой силы на конечное значение перемещения точки приложения этой силы.
   A = F’l’
   Внутренние силы направлены противоположно перемещению, поэтому считается, что работа внутренних сил при нагружении отрицательна. Элементарная работа внутренних сил рассчитывается аналогично работе внешних сил.
   dA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Ndl / 2
   где N – продольная сила (внутренне усилие).
   Вновь воспользовавшись законом Гука, имеем:
   dA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dl / 2Еa
   Интегрируя соотношение по длине рассматриваемого участка, получим полную работу внутренних сил:

   Потенциальной энергией деформации называется величина, равная модулю работы внутренних сил, она представляет собой энергию, которая накапливается телом при деформации.
   U = Eal -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 2(l + dl)
   При расчетах различных конструкций и сооружений в случае деформации широко используются свойства механической энергии.
   Если под воздействием нагрузки тело переходит в деформированное состояние, то сумма работ внутренних и внешних сил равна нулю. Это свойство энергии носит название закона сохранения механической энергии.
   Действительное напряженное состояние равновесия упругого тела отличается от всех других состояний тем, что в этом состоянии потенциальная энергия деформации минимальна. Это свойство справедливо для тел, подчиняющихся закону Гука, и называется принципом наименьшей работы.

16. Проверка прочности материала при сложном напряженном состоянии

   При неограниченном нагружении материал конструкции или сооружения проходит несколько стадий своего состояния:
   – упругую стадию, когда в материале под воздействием небольших нагрузок происходят упругие деформации;
   – пластическую стадию, когда под влиянием увеличивающейся нагрузки в материале происходят пластические деформации;
   – стадию разрушения, когда под воздействием больших нагрузок тело покрывается трещинами.
   В случаях линейного напряженного состояния проверка на прочность довольно проста и осуществляется путем растяжения (сжатия). В случае сложного напряженного состояния (плоскостного или объемного) количество вариантов напряженных состояний велико, и опытным путем осуществить проверку практически невозможно. Для оценки прочности при сложном напряженном состоянии используют гипотезы прочности, которые проводить расчеты на прочность по известным характеристикам прочности. Наиболее широко используются три гипотезы, кратко рассмотрим их.
   Гипотеза максимальных касательных напряжений: два напряженных состояния считаются равноопасными в том случае, если максимальные касательные напряжения для них равны. Предполагается, что сложное напряженное состояние можно заменить равноопасным одноосным растяжением с условием, что максимальные касательные напряжения для них равны.
   Для пластичных материалов, у которых характеристики прочности одинаковы при растяжении и сжатии, эта теория хорошо подтверждается. Условие прочности записывается в виде:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

≤ [σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

]
   Если известны не главные напряжения, а нормальное и касательные напряжения в поперечном сечении, условие прочности имеет вид:

   Энергетическая гипотеза прочности: два напряженных состояния равноопасны, если их равны их удельные потенциальные энергии формоизменения. Эта гипотеза предполагает замену сложного напряженного состояния эквивалентным одноосным напряжением при условии равенства их удельных потенциальных энергий формоизменения.
   Для пластичных материалов, у которых характеристики прочности одинаковы при растяжении и сжатии, эта теория хорошо подтверждается. Ее преимущество перед гипотезой максимальных касательных напряжений состоит в том, что она включает все три главных напряжения.
   Условие прочности, если известны главные напряжения, выглядит следующим образом:

Если известны нормальное и касательное напряжения в поперечном сечении бруса, условие прочности принимает вид:

   Гипотеза прочности Мора. Немецким физиком О. Мором предложена гипотеза, учитывающая различия в сопротивлении материалов растяжения и сжатия. Условие прочности имеет вид:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– kσ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

≤ [σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

]
   Для пластичных материалов коэффициент

, для хрупких

. Если известны нормальное и касательные напряжения, условие прочности записывается в следующем виде:

17. Понятие о сдвиге. Расчет заклепок на перерезывание

На практике напряженное состояние складывается из возникающих нормальных и касательных напряжений. Если касательные напряжения в сравнении с нормальными невелики, ими пренебрегают и рассматривают сжатие (растяжение) тела. Наоборот, если нормальные напряжения незначительны, то их отбрасывают и определяют прочность исходя из наибольших касательных напряжений поперечного сечения, т. е. говорят о чистом сдвиге.
Если в поперечном сечении возникает только один силовой фактор – поперечная сила Q, такой вид деформации называется срезом.

Условие прочности на срез имеет вид:

   В этой формуле τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– касательные напряжения среза, A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– площадь среза, R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– расчетное сопротивление срезу, γ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– коэффициент условий работы.
   Расчет заклепочных соединений на срез предполагает два допущения: несущая способность соединения пропорциональна количеству поставленных заклепок; усилие, возникающее в соединении, распределяется между заклепками равномерно. На практике, находясь в упругой стадии, крайние заклепки в заклепочном соединении подвержены большей нагрузке, чем средние, но при переходе в пластическую стадию усилие перераспределяется и становится равномерным за счет текучести. Тогда условие прочности при расчете заклепок на срез имеет вид:

   где Q = N / n – поперечная сила, приходящаяся на одну заклепку;
   ΣA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= nn -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

πd -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 4 – суммарная площадь сечения, по которым срезается одна заклепка;
   N – эквивалентная расчетной нагрузке на соединение продольная сила;
   n – количество заклепок в заклепочном соединении;
   n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– число плоскостей среза одной заклепки;
   d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– расчетный диаметр;
   R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– расчетное сопротивление материала заклепок;
   γ – коэффициент условий работы заклепочного соединения;
   γ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– коэффициент условий работы соединяемых элементов.
   Для нахождения необходимого числа заклепок неравенство преобразуют:

Расчет на срез не гарантирует заклепочного соединения. При недостаточной толщине соединяемых элементов возникающее между заклепками и стенками отверстий давление способно привести к их смятию; если расстояние между заклепками мало, под воздействием давления элемент может расколоться.

18. Проверка заклепок на смятие и листов на разрыв

   Смятие – пластические деформации на месте соединения элементов. Напряжение смятия (в данном случае термином «напряжение» обозначают интенсивность не внутренних сил, а внешних сил давления элементов друг на друга) определяется:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= N / A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Расчет на смятие достаточно условен по причине того, что напряжения смятия распределяются по поверхности контакта неравномерно. Он предполагает, что давление распределяется равномерно перпендикулярно поверхности контакта. Условие прочности выглядит таким образом:

Помимо расчетов заклепок на смятие и разрыв, также проводится проверка прочности соединения на осевое усилие сечений, через которые проходят отверстия для заклепок. Условие прочности записывается как:

   где A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= A – kd -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

t – площадь нетто опасного поперечного сечения;
   A = bt – площадь брутто сечения;
   N – эквивалентная расчетной нагрузке на соединение продольная сила;
   k – количество отверстий в сечении;
   d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– диаметр отверстий;
   t и b – толщина и ширина элемента соответственно;
   R – расчетное сопротивление сжатию соединяемых материалов.
   Минимальные расстояния между центрами заклепок должны быть не менее 3d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, а от краев листа не менее 2d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.

19. Расчет сварных соединений

   Самый распространенный способ соединения стальных конструкций – это сварка.
   Существует несколько видов сварных соединений, но наиболее часто используются стыковой и нахлесточный.
   Стыковое соединение заключается в том, что пространство между соединяемыми элементами заполняется расплавленным металлом. При таком соединении предполагается, что напряжение равномерно распределяется по всей длине шва. Прочность определяется следующим неравенством:

   где σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– нормальное напряжение в шве;
   N – расчетная продольная сила в соединяемых элементах;
   A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– площадь продольного сечения шва;
   t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– толщина более тонкого элемента;
   l -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– расчетная длина шва;
   R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– расчетное сопротивление растяжению (сжатию);
   γ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– коэффициент условий работы соединяемых элементов.
   Прочность стыка на растяжение уступает прочности основных соединяемых элементов, так как если качество сварки недостаточно велико, в шве могут появиться дефекты (поры, включения). Поэтому на практике часто встречается косой стык, который увеличивает длину шва. Экспериментально установлено, что если угол стыка α ≤ 67°, то такой шов почти не уступает в прочности основному материалу соединяемых частей. Проверка прочности при косом стыке проводится по нормальным и касательным напряжениям.

При нахлесточном соединении соединяемые поверхности располагаются под углом друг к другу, полученный угол заливается расплавленным металлом. Расположенные перпендикулярно к действию усилия швы называются лобовыми, расположенные параллельно – фланговыми. Предполагается, что напряжение среза равномерно распределяется по расчетному сечению углового шва. Условие прочности выглядит следующим образом:

   В этом неравенстве ΣA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– расчетная площадь среза угловых швов в соединении, β -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– коэффициент глубины провара шва, k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– толщина углового шва, Σl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– расчетная сумма длин угловых швов соединения, R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– расчетное сопротивление соединения условному срезу, γ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– коэффициент условий работы шва (обычно принимается равным единице).
   Применение легирования для упрочнения швов порой приводит к тому, что несущая способность соединения определяется основным металлом, прочность которого меньше, чем у шва. Проводится дополнительный расчет на прочность:

Приведенные формулы справедливы как для лобовых, так и для фланговых швов.

20. Чистый сдвиг. Определение главных напряжений

Напряженное состояние тела, при котором на гранях элемента действуют только касательные напряжения, называется чистым сдвигом. Площадки, на которых действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Чистый сдвиг является частным случаем плоского напряженного состояния материала, когда два из главных напряжений отличны от нуля и равны по значению, но противоположны по знаку.
Рассмотрим пример на Рис. 8.

   Рис. 8

   Напряжения для площадки n-n запишем в виде:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= τsin2α
   τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= – τcos2α
   Из последнего равенства очевидно, что касательные напряжения по величине больше других касательных напряжений по любым другим площадкам, проходящим через точку О, так как при α ≠ 0, α ≠ 90° cos2α по модулю меньше единицы. Таким образом, касательные напряжения τ (см. рисунок) являются экстремальными, а сами грани являются площадками чистого сдвига.
   При α = 45° нормальное напряжение имеет максимальное значение σ = τ = τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, при α = -45° – минимальное σ = – t = – t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Из этого следует, что при чистом сдвиге главные напряжения и экстремальные касательные напряжения равны по абсолютной величине. Определение чистого сдвига можно сформулировать следующим образом: чистым сдвигом называется такое двухосное напряженное состояние, при котором нормальные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны, но имеют разные направления.
   При напряженном состоянии полное напряжение определяется как:

   В случае чистого сдвига
   p = τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

21. Связь между напряжениями и деформацией при чистом сдвиге. Потенциальная энергия сдвига

Чистым сдвигом называется напряженное состояние, при котором существуют только касательные напряжения, а нормальные равны нулю. При чистом сдвиге главные напряжения численно равны, но направлены в противоположные стороны. По отношению к площадкам чистого сдвига главные площадки наклонены под углом в 45°. Угол γ называется углом сдвига (угловой деформацией).

Рис. 9.1

Рис. 9.2
Экспериментально установлено, что до известных пределов нагружения между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость, определяемая законом Гука при сдвиге.

   Коэффициент G определяет способность материала противостоять деформациям и называется модулем сдвига.
   Из взаимности касательных напряжений вытекает взаимность угловых деформаций.
   Определим угол сдвига на Рис. 9.1

На Рис. 9.2 угол сдвига определяется

   Очевидно, что γ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= γ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

(угловые деформации взаимно перпендикулярных площадок) численно равны и направлены в разные стороны.
   Потенциальная энергия в случае чистого сдвига определяется по формуле:

   Если выразить потенциальную энергию через главные напряжения плоского напряженного состояния с учетом того, что σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= τ, σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= – τ:
   U = τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

(1 + v)E
   Из двух соотношений для потенциальной энергии можем получить выражение, связывающее модуль упругости второго рода (модуль сдвига) и модуль сдвига упругости первого рода.
   G = E / [2(1+v)]

22. Статический момент сечения

   Расчеты на прочность показывают, что напряжение и деформации, возникающие в твердом теле, зависят от внутренних силовых факторов и геометрических характеристик поперечного сечения. При растяжении, например, напряжение зависит от площади поперечного сечения, и, так как напряжение в этом случае распределяется по сечению равномерно, не зависит от формы сечения. При кручении напряжения зависят от размеров и формы сечения из-за неравномерного распределения напряжений. В расчетные формулы бруса при кручении входят полярный момент инерцииI -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и полярный момент сопротивленияW -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– геометрические характеристики сечения. Проводя расчеты на прочность бруса при изгибе, необходимо знать моменты инерции и моменты сопротивления сечения относительно осей, проходящих через центр тяжести бруса. Возьмем для рассмотрения некоторое сечение бруса площадью A и ось, проходящую через центр тяжести этого тела. Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси x называется сумма произведений площадей элементарных площадок, из которых состоит сечение, на расстояния этих площадок до оси, проходящей через центр тяжести. Аналогично для оси y.

   Статический момент измеряется в кубических метрах. Он может быть положительным, отрицательным или равным нулю в зависимости от выбранной оси. Если известны статические моменты и площадь сечения, то координаты центра тяжести могут быть определены как отношение статического момента к площади поперечного сечения. И наоборот, если координаты центра тяжести сечения известны – x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, статический момент равен произведению площади сечения на расстояния от центра тяжести до оси.
   S -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Ay -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   S -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Ax -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Из полученных соотношений видно, что в случае, когда ось проходит через центр тяжести, статический момент равен нулю.
   В случае, когда сечение можно рассматривать как n-ное количество составляющих частей с известными площадями A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и координатами центров тяжести x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, положение всего центра тяжести можно определить как сумму произведений:

Каждое слагаемое в числителе определяет статический момент данного участка относительно выбранной оси.

23. Момент инерции сечения

Осевым (или экваториальным) моментом инерции плоского сечения относительно некоторой оси x называется сумма произведений площадей элементарных площадок, из которых состоит сечение на квадрат расстояния этих площадок до оси, проходящей через центр тяжести. Таким образом, осевые моменты представляют собой интегралы по всей площади сечения.

Полярным моментом инерции относительно некоторой точки (полюса) называется сумма произведений площадей элементарных площадок, из которых состоит сечение, на квадрат расстояния этих площадок до выбранной точки.

Центробежным моментом инерции относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется сумма произведений элементарных площадок, из которых состоит сечение, на расстояния этих площадок до этих осей.

   Моменты инерции измеряются в м -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Осевые и полярный моменты инерции могут быть только положительными, так как при любом знаке координаты в формуле берется квадрат этой координаты. Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю.
   Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки, где эти оси пересекаются.
   I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Действительно, ρ – это расстояние от элементарной площадки сечения до некоторой точки, он определяется как гипотенуза треугольника со сторонами x и y.
   ρ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Подставим это соотношение в выражение для полярного момента инерции и получим:

24. Моменты инерции простых сечений

   Рассмотрим моменты инерции некоторых простых фигур.
   Круг.I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Так как круг – симметричная фигура, то I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Следовательно, I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 2I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Исходя из определения полярного момента инерции и соотношения для полярного момента инерции и осевых моментов инерции в случае круга имеем:

Для кольца диаметром d и внутренним диаметром d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Полукруг. Главные центральные оси представляют собой ось симметрии этого полукруга и перпендикулярную ей ось. Для полукруга момент инерции в два раза меньше, чем момент инерции круга для той же самой оси. Если обозначить x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

ось основания, то

Из соотношения, связывающего моменты инерции параллельных осей, одна из которых является центральной, и, зная значение ординаты центра тяжести полукруга y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

≈ 0.424r можно определить моменты инерции полукруга:

   Для моментов инерции параллельных осей, одна из которых является центральной, I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

A. В данном случае расстояние a = h / 2, A = bh, момент инерции относительно осей x и y
   I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= bh -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 12
   I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= hb -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 12
   В частном случае квадрата
   I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= b -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 12
   Для треугольника вычислим момент инерции I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, относительно оси x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, совпадающей с основанием, и для этого рассмотрим сечение как сумму элементарных прямоугольников шириной b. После выполнения математических преобразований найдем значение I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= bh -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 12. Момент инерции относительно центральной оси равен I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

- a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

b, в данном случае a = h / 3, A = (1 / 2)bh. В итоге получим:
   I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= bh -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 12 – (h / 3) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

(1 / 2)bh = bh -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 36
   В общем случае ось x не является главной и
   I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= bh -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 48

25. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

   Установим зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей, одна из которых является центральной. Для этого рассмотрим сечение площадью А. (Рис. 10) Предположим, что известны координаты центра тяжести сечения C и моменты инерции I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

относительно центральных осей x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. В таком случае можно определить моменты инерций относительно осей x и y, параллельных центральным и удаленным от центральных на расстояние a и b соответственно. Запишем соотношение для координат параллельных осей:
   x = x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ b
   y = y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ a
   Тогда момент инерции сечения относительно оси x запишется в виде:

   В этом выражении первое слагаемое представляет собой момент инерции относительно оси x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, во втором слагаемом интеграл представляет статический момент (а относительно центральной оси статический момент всегда равен нулю), третье слагаемое – это площадь сечения, умноженная на квадрат расстояния между осями а. Таким образом:
   I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

A
   I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ b -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

A
   Момент инерции относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно центральной оси, параллельной данной, и произведения площади сечения фигуры на квадрат расстояния между осями.
   Мы получили соотношение для моментов инерции относительно центральных осей при переходе к параллельным им нецентральным. Эти соотношения носят также название формул параллельного переноса.
   Из полученных формул понятно, что момент инерции относительно центральной оси всегда меньше, чем момент инерции любой параллельной ей нецентральной.

Рис. 10

26. Главные оси инерции и главные моменты инерции

   Через любую точку плоскости сечения можно провести бесчисленное множество пар взаимно перпендикулярных осей. Так как сумма двух осевых моментов инерции сечения представляет собой полярный момент и является постоянной величиной, то, перемещая систему координат, можно подобрать такое положение осей, в котором один из выбранных моментов инерции будет максимальным, а второй – минимальным. Рассмотрим зависимость между моментами инерции относительно осей x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и моментами инерции относительно осей x и y, повернутыми на угол α относительно x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Найдем такие значения угла α, при которых моменты инерции перпендикулярных осей примут свои максимальное и минимальное значения. Для этого найдем первую производную по углу поворота от I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и приравняем ее нулю (математическое правило нахождения экстремумов функции).

После преобразований соотношение примет вид:

   Полученная формула определяет положение двух взаимно перпендикулярных осей, момент инерции относительно одной из которых максимален, момент инерции относительно другой минимален. Такие оси носят название главных осей инерции. Моменты инерции относительно таких осей называются главными моментами инерции. При этом центробежный момент равняется нулю.
   Оси, проходящие через центр тяжести сечения, носят название центральных осей. В практических расчетах интерес представляют главные моменты инерции относительно центральных осей, их называют главными центральными моментами инерции, а такие оси – главными центральными осями. Так как интерес представляют только центральные оси, то для краткости их называют просто главными осями, и осевые моменты инерции, вычисленные относительно таких осей называют просто главными моментами инерции.
   Одной из главных осей инерции является ось, проходящая через центр симметрии плоскости сечения, вторая – перпендикулярная ей. Ось симметрии и любая перпендикулярная ей образуют систему главных осей. Если сечение имеет несколько осей симметрии (например, круг, квадрат, равносторонний треугольник), то все центральные оси являются главными и все центральные моменты равны.

27. Вычисление моментов инерции сложных сечений

   Для нахождения момента инерции сложного сечения площадью A сечение разбивают на простые A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, … A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, для которых моменты инерции находятся по готовым формулам или таблицам.
   Момент инерции сложной фигуры находится как сумма моментов инерции, составляющих простых фигур.
   I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+… + I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Момент инерции представляет собой интеграл по площади поверхности сечения,

для интеграла справедливо:

Следовательно, можно записать, что:

   Другими словами, момент инерции составного сечения относительно некоторой оси складывается из моментов инерции составляющих этого сечения относительно той же самой оси.
   При решении задач такого рода придерживаются следующего алгоритма. Находят центр тяжести плоского сечения и определяют главные центральные оси. Из таблиц или с помощью готовых формул вычисляют значения моментов инерции составляющих частей относительно собственных центральных осей, параллельных главным центральным осям сечения. При помощи формул параллельного переноса вычисляют значения моментов инерции составляющих частей сечения относительно главных осей сечения. Путем суммирования определяют значения главных центральных моментов инерции.
   Это правило справедливо также для центробежного момента инерции.

28. Понятие о крутящем моменте

Кручение – это один из видов деформации бруса, при котором в поперечном сечении бруса возникает один внутренний силовой фактор, называемый крутящим моментом Мк. Такой вид деформации возникает, когда на брус действует пара сил, называемых скручивающими моментамиМ, приложенных перпендикулярно его продольной оси.
Нагруженный вращающими моментами брус называется валом. Сумма вращающих моментов, действующих на вал, равна нулю, если вал вращается равномерно. Вращающий момент можно определить по формуле, с условием, что известны передаваемая мощность P и угловая скорость w.

При известной частоте вращения вала угловая скорость может быть записана в виде

Следовательно, выражение для вращающего момента можно записать в виде:

   В практических расчетах реальный объект заменяется расчетной схемой. Для упрощения задачи предполагается, что вращательные моменты сосредоточены в среднем сечении деталей, а не распределены по их поверхности. В сечении произвольного вала крутящий момент можно определить, используя метод сечений, когда вал мысленно рассекается плоскостью. Одну из частей отбрасывают и заменяют ее влияние крутящим моментом Мк, затем определяют его из уравнений равновесия. Числовое значение крутящего момента складывается из сумм вращающих моментов, находящихся по одну сторону сечения.
   В поперечных сечениях бруса при кручении возникают только касательные напряжения, нормальные силы параллельны продольной оси бруса и их моменты равны нулю. Следовательно, можно сформулировать определение для крутящего момента таким образом: крутящий момент – это результирующий момент внутренних касательных сил, возникающих в поперечном сечении бруса относительно его продольной оси.
   При расчетах на прочность в случае кручения бруса необходимо найти опасное сечение бруса. Если размеры поперечного сечения вдоль оси бруса неизменны, то опасными считаются сечения с максимальным крутящим моментом. Для нахождения опасных сечений строятся эпюры крутящих моментов (графики изменения крутящих моментов по длине бруса). При построении эпюров принято считать, что крутящий момент положителен, если его направление совпадает с направлением часовой стрелки, если смотреть на проведенное сечение. Это предположение условно, так как знак крутящего момента не имеет физического смысла.

29. Определение напряжений при кручении круглого вала

   При изучении кручения валов имеют место следующие предположения:
   – гипотеза плоских сечений: плоские поперечные сечения бруса после деформации также остаются плоскими и направленными по нормали к его оси, поворачиваясь на некоторый угол относительно этой оси;
   – радиусы поперечных сечений не искривляются, и их длина остается постоянной;
   – вдоль оси бруса расстояния между поперечными сечениями остаются постоянными.
   Исходя из перечисленных предположений кручение круглого вала можно рассматривать как чистый сдвиг. Полученные на основе этих предположений формулы подтверждаются экспериментально.
   Рассмотрим кручение участка бруса круглого сечения с радиусом r длиной dz. Один из концов будем считать неподвижно закрепленным.

Рис. 11

При повороте на угол a в поперечном сечении угол сдвига, лежащий на поверхности такого вала, определяется по формуле:

Отношение полного угла закручивания на участке вала к его длине называется относительным углом закручивания.
Мысленно выделим в рассматриваемом участке вала цилиндр с радиусом ρ, угол сдвига для поверхности этого цилиндра определяется аналогично:

Согласно закону Гука в случае сдвига касательные напряжения равны:

Таким образом, при кручении касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения, причем у центра тяжести касательные напряжения равны нулю. Приближаясь к поверхности вала, они принимают свои максимальные значения.

30. Вычисление моментов, передаваемых на вал

Рассмотрим кручение участка круглого вала диметром r и длиной dz. Выделим в нем цилиндр диаметра ρ. Так как кручение представляет собой чистый сдвиг, нормальные напряжения равны нулю, а касательные напряжения при повороте на угол α распределяются следующим образом:

Крутящий момент определяется как:

А – площадь сечения. Подставив в это выражение касательное напряжение и учитывая, что интеграл от радиуса по площади сечения представляет собой полярный момент инерции сечения

, получим:

Подставив это выражение в формулу для касательных напряжений, получим:

Таким образом, касательные напряжения определяются как произведение крутящего момента и радиуса, отнесенное к полярному моменту сечения. Ясно, что для точек, удаленных от оси на одинаковые расстояния, касательные напряжения равны, максимальные значения напряжения имеют точки, расположенных на поверхности вала.

Здесь

– полярный момент сопротивления при кручении.
Для круглого сечения

Условие прочности при кручении выглядит следующим образом:

[τ] – максимально допускаемое касательное напряжение.
Эта формула позволяет также определять допускаемый крутящий момент или подбирать допустимый диаметр вала.

31, Деформация при кручении. Потенциальная энергия

В процессе кручения вращающие моменты поворачиваются вместе с сечением на какой-то угол и при этом совершают работу, которая так же, как и при других видах деформации, расходуется на создание в теле, подвергающемся деформации, определенного запаса потенциальной энергии и определяется по формуле:

Это соотношение следует из линейной зависимости крутящего момента М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

от угла поворота φ.

Рис. 12

При воздействии нагрузки крутящий момент постепенно нарастает, при этом в соответствии с законом Гука пропорционально увеличивается угол поворота. Работа, совершаемая крутящим моментом, равна потенциальной энергии деформации согласно закону сохранения энергии, следовательно,

Если в полученное соотношение подставить известную формулу для угла закручивания, то выражение примет вид:

При ступенчатом изменении крутящего момента или поперечного сечения бруса потенциальная энергия представляет собой сумму:

Если же крутящий или полярный моменты (или оба одновременно) непрерывно изменяются по длине участков бруса, то потенциальная энергия представляет интеграл по длине

32. Расчет винтовых цилиндрических пружин

   В машиностроении и приборостроении широко используются винтовые пружины, которые могут иметь цилиндрическую, конусовидную или фасонную. Чаще всего применяются пружины цилиндрической формы, изготовленные из проволоки круглого поперечного сечения: пружины растяжения (изготавливаются без просветов между витками) и пружины сжатия (с просветом). Для упрощения расчета пружин на жесткость и прочность будем считать, что угол наклона витков настолько мал, что им можно пренебречь и считать сечение вдоль оси пружины поперечным для витка. Из условий равновесия для отсеченной части пружины ясно, что в сечении возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F и крутящий момент М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= FD / 2, т. е. в сечении витка возникают только касательные напряжения. Будем считать, что касательные напряжения, связанные с поперечной силой, распределены по сечению равномерно, а касательные силы, связанные с наличием крутящего момента, распределены по линейному закону и достигают своих максимальных значений в крайних точках сечения. Наиболее напряженной окажется точка, расположенная ближе всего к оси пружины, напряжение для нее равно:

   Отношение диаметра пружины к диаметру проволоки называют индексом пружины,
   c -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= D / d
   Если считать что напряжения в витке возникают только от кручения, и пренебречь вторым слагаемым, формула запишется в следующем виде:

Полученная формула приближенна из-за пренебрежения влиянием поперечной силы и из-за того, что не учтена кривизна витков. Введем поправочный коэффициент К, зависящий от индекса пружины и угла наклона витков. Тогда условие прочности примет вид:

При воздействии нагрузки пружина изменяет свою длину. Это изменение называется осадкой пружины λ. Определим, чему равна осадка, если витки испытывают только кручение. Согласно формуле Клапейрона работа внешних статических сил равна:

Потенциальная энергия деформации

В данном случае

   где l – длина рассматриваемого участка пружины;
   n – число витков.
   Выполнив подстановку и математические преобразования, получим, что:

33. Перемещения и напряжения в винтовых пружинах

   Винтовые пружины широко используются в машиностроении как амортизирующие устройства или устройства обратной подачи. Расчет винтовых пружин хорошо демонстрирует метод определения перемещений. Винтовые пружины подразделяются на пружины растяжения, сжатия и кручения. Пружины растяжения и сжатия нагружаются силами, действующими вдоль оси пружины, пружины кручения нагружаются моментами, расположенными в плоскости, перпендикулярной оси пружины.
   Витую пружину можно рассматривать как пространственно изогнутый стержень с осью, имеющей винтовую форму. Форма пружины характеризуется следующими параметрами: диаметром пружины D, числом витков n, углом подъема θ и шагом пружины s, определяемым формулой:
   s = πDtgθ
   Обычно шаг пружины значительно меньше, чем πD, угол θ достаточно мал (меньше 5°).
   Рассмотрим пружину растяжения-сжатия. Под воздействием внешней нагрузки Р в каждом поперечном сечении возникает результирующая внутренняя сила Р и момент М = РD / 2, лежащий в плоскости действия сил Р. На Рис. 13 изображены силы, действующие в поперечном сечении пружины.

   Рис. 13

   Проекции полной силы и момента относительно системы координат, связанной с сечением, описываются следующими соотношениями:
   M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (PD / 2) × cosθ,
   M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (PD / 2) × sinθ,
   Q = P × cosθ,
   N = P × sinθ.
   Предположим, что сила Р равна 1, тогда соотношения для сил и моментов примут вид:
   M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (D / 2) × cosθ,
   M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (D / 2) × sinθ,
   Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= cosθ,
   N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= sinθ.
   Найдем осевое перемещение в пружине, пользуясь интегралом Мора. С учетом малости перемещений, вызванных нормальной и поперечными силами, а также осевого перемещения, в данном случае интеграл Мора запишется следующим образом:

   где произведение в знаменателе представляет собой жесткость пружины на кручение;
   l – длина рабочей части пружины;
   l ≈ πDn
   Вследствие малости угла наклона витков θ полагаем, что cos θ = 1, тогда

Напряжения в винтовых пружинах, работающих на сжатие-растяжение или кручение, определяются следующим образом:

34. Понятие о деформации изгиба. Изгибающий момент и поперечная сила

   Вид деформации бруса, когда в нем возникает изгибающий момент, называется изгибом. Часто вместе с изгибающим моментом возникают еще и поперечные силы, и тогда изгиб называется поперечным. В случае возникновения только изгибающего момента говорят о чистом изгибе. Деформация изгиба возникает в случае воздействия нагрузок, действующих в плоскости продольной оси бруса, перпендикулярных этой оси, и пар сил, лежащих в этих же плоскостях. Если все нагрузки действуют в одной плоскости, изгиб называется плоским. Плоскость, проходящая через продольную ось бруса и одну из его центральных осей, называется главной плоскостью бруса. Если силовая плоскость воздействия нагрузок совпадает с одной из главных плоскостей бруса, такая деформация называется прямым изгибом бруса, линию пересечения этих плоскостей называют силовой линией. В противном случае говорят о косом изгибе (в том смысле, что плоскости нагрузок и прогибов не совпадают).
   Применяя метод сечений, можно увидеть, что на брус действуют два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и изгибающий момент M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, которые определяются следующим образом:

   где A – площадь поперечного сечения.
   В произвольном сечении бруса поперечная сила равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных к отсеченной части. Изгибающий момент равен сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части относительно точки, проходящей через продольное сечение бруса, через которую проходит и сечение.
   Для нахождения изменений силовых факторов по длине бруса и нахождения опасных сечений строят графики, называемые эпюрами поперечных сил и изгибающих моментов.
   В построении эпюров поперечные силы считаются положительными, если они стремятся повернуть тело по часовой стрелке. Изгибающий момент считают положительным, если выпуклость направлена вниз, а его сжатые волокна находятся в верхней части. Это правило для определения знака крутящего момента называется правилом сжатого волокна.
   Если оба силовых фактора не равны нулю, изгиб называется поперечным прямым изгибом.
   Установлено, что в изогнутом брусе волокна выпуклом части испытывают растяжение, а волокна вогнутой части – сжатие. Между этими областями существует так называемый нейтральный слой, не испытывающий ни растяжения, ни сжатия. Пересечение нейтрального слоя с поперечным сечением бруса носит название нейтральной линии (нулевой оси). Брусья, которые работают на прямой изгиб, называют балками.

35. Зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью сплошной нагрузки

   Нахождение значений для поперечных сил и изгибающих моментов, а также построение их эпюров значительно упрощаются, если использовать дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки q, поперечной силой Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и изгибающим моментом M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Рассечем балку двумя поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на бесконечно малое расстояние dz, и будем считать, что по этому элементу нагрузка распределена равномерно. Используя метод сечений, действие отброшенных частей заменим поперечными силами и изгибающими моментами. Вследствие малости выделенного элемента в его пределах к балке не прилагается никаких сосредоточенных внешних сил и моментов. Поперечные силы и изгибающие моменты отличаются друг от друга на бесконечно малые величины dQ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и dM -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. В проекции на вертикальную ось сумма поперечных сил будет выглядеть таким образом:
   Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ qdz – (Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ dQ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) = 0
   Для элемента сумма моментов запишется:

Выполнив математические преобразования, из первого соотношения получим выражение:

Таким образом, производная от поперечной силы по координате длины балки представляет собой интенсивность нагрузки.
Рассмотрим второе выражение равновесия. Отбросим третье слагаемое ввиду его малости и получим:

Производная от изгибающего момента по координате длины балки представляет собой поперечную силу.
Объединяя две полученные дифференциальные зависимости, имеем:

Вторая производная изгибающего момента по координате длины представляет интенсивность нагрузки.

36. Построение эпюров поперечных сил и изгибающих моментов

   Для построения эпюров поперечных сил и изгибающих моментов в простейших случаях составляются аналитические выражения для этих функций, а затем по этим строятся графики. В сложных случаях используется способ построения по характерным точкам. Существует ряд правил, использующихся при таком способе построения эпюров. Эти правила вытекают из метода сечений и из дифференциальных зависимостей между интенсивностью нагрузки, поперечными силами и изгибающим моментом. Приведем эти правила.
   Если на каком-то участке интенсивность распределенной нагрузки равна нулю, dQ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ dz = q = 0, то эпюра Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= const представляет собой прямую. Из дифференциального соотношения следует, что функция M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

линейна и представляет собой наклонную прямую.
   1. Если на каком-то участке балки равномерно распределена нагрузка, то эпюр поперечных сил представляет собой наклонную прямую. Соответственно, изгибающий момент является квадратичной функцией, и его график представляет собой параболу.
   2. Если на каком-то участке поперечные силы Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

больше нуля, то изгибающий момент возрастает, если поперечные силы меньше нуля, то изгибающий момент убывает, если Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0, то изгибающий момент постоянен (случай чистого изгиба).
   3. Если поперечная сила, изменяясь по какому-либо закону, проходит свое нулевое положение, то изгибающий момент в соответствующем сечении принимает максимальное или минимальное значение. Касательная к эпюре M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

параллельна оси балки.
   4. При воздействии сосредоточенной силы на эпюре поперечных сил происходит скачкообразное изменение ординаты, а на эпюре изгибающего момента – резкое изменение угла наклона смежных участков.
   5. В начальной и конечной точке участка с равномерно распределенной нагрузкой параболическая и линейная части эпюра изгибающего момента сопрягаются плавно при условии, что на этом участке отсутствует действие сосредоточенных сил.
   6. При распределенной нагрузке, направленной вниз, парабола изгибающего момента обращается выпуклостью вверх.
   7. Если на свободном конце балки не приложена сосредоточенная пара сил, то изгибающий момент равен нулю, если приложена – изгибающий момент равен моменту этой пары. Поперечная сила в таком сечении равна внешней сосредоточенной силе.
   8. На участке приложения к балке сосредоточенной пары сил эпюр изгибающего момента имеет скачкообразное изменение ординаты, эпюр поперечных сил остается неизменной.
   9. В совпадающем с заделкой сечении поперечные силы и изгибающий момент равны опорной реакции и реактивному моменту.

37. Определение нормальных напряжений

Рассмотрим случай чистого изгиба. В поперечных сечениях возникает только изгибающий момент, представляющий равнодействующий момент внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении, интенсивность которых есть нормальное напряжение σ.

   Для определения нормальных напряжений σ введем ряд экспериментально основанных допущений. Во-первых, будем считать, что при изгибе поперечные сечения остаются плоскими, что позволяет использовать известный метод сечений. Во-вторых, считаем, что в средней части бруса имеется слой с неизменной длиной (т. е. в этом слое нет нормальных напряжений). Этот слой называется нейтральным, линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением называется нейтральной. В-третьих, продольные волокна бруса не надавливают друг на друга, а подвергаются только растяжению или сжатию.
   Рассмотрим участок балки малой длины dz, ограниченный двумя плоскими сечениями. Действие внешних сил отброшенных частей заменим изгибающими моментами M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Выберем одно из волокон АВ, относительная деформация для него запишется в виде:

   где ρ – радиус кривизны нейтрального слоя;
   y – расстояние от выбранного волокна до нейтрального слоя.
   Подставим полученное выражение в закон Гука, считая, что волокна подвергаются только растяжению и сжатию.

   Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения бруса прямо пропорциональны расстоянию от нейтральной линии до этой точки.
   Мы установили закон распределения напряжений по сечению. Составим уравнения равновесия и из них определим значения нормальных напряжений. Из параллельности внутренних сил σdA оси z следует, что ΣX = 0, ΣY = 0, ΣM -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0.
   Приравняем к нулю сумму проекций на ось z.

Интеграл по определению представляет собой статический момент площади сечения относительно оси x, он равен нулю. Следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Приравниваем сумму моментов относительно оси y нулю:

Полученный интеграл представляет собой центробежный момент относительно осей x, y, эти оси являются главными осями инерции, силовая линия и нейтральная ось взаимно перпендикулярны. Приравнивая сумму моментов относительно оси x нулю, получим:

Последнее соотношение позволяет вычислять значение нормального напряжения в любой точке поперечного сечения. Произведение EI -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

носит название жесткости сечения балки.

38. Прямой изгиб

   Изгиб – это такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникают изгибающие моменты.
   Рассмотрим прямой изгиб на примере бруса.
   С геометрической точки зрения изгиб характеризуется тем, что ось бруса, прямолинейная по деформации, при изгибе становится кривой линией (условно говоря, изогнутая ось бруса).
   Деформация изгиба возникает при нагружении бруса силами, действующими в плоскостях, проходящих через его продольную ось, и перпендикулярными этой оси, и парами сил, действующими в тех же плоскостях. Рассмотрим брусья, поперечные сечения которых имеют, по меньшей мере, одну ось симметрии. Ось симметрии и перпендикулярная ей центральная ось являются главными центральными осями сечения. Плоскость, проходящая через продольную ось бруса и одну из главных центральных осей его поперечного сечения, называют главной плоскостью бруса.
   Если силовая плоскость, т. е. плоскость действия нагрузок, совпадает с одной из главных плоскостей, то имеет место прямой изгиб бруса. Линию пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения бруса называют силовой линией. При прямом изгибе она совпадает с одной из главных центральных осей поперечного сечения.
   При прямом изгибе деформация происходит в силовой плоскости, т. е. в этой плоскости располагается ось изогнутого бруса.
   Применяя к брусу метод сечений и рассматривая условия равновесия отсеченной части, в общем случае прямого изгиба в поперечных сечениях бруса возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий моментМх.
   Внешние силы лежат в плоскости хОу и при этом перпендикулярны оси Ох, следовательно, их проекции на оси Ох и Оz, так же как и моменты относительно осей Оу и Оz равны нулю. Такой изгиб называют чистым прямым изгибом. Общий случай прямого изгиба, при котором изгибающий момент и поперечная сила не равны нулю, называется поперечным прямым изгибом.
   Брус при изгибе деформируется таким образом, что часть его волокон испытывает растяжение, а часть – сжатие. Волокна, расположенные в выпуклой части изогнутого бруса, растягиваются, а в вогнутой – сжимаются. Брусья, работающие на прямой изгиб, принято называть балками.
   Поперечной силой Qу называется равнодействующая внутренних касательных сил, возникающих в поперечном сечении бруса.
   Изгибающим моментом Мх, называется результирующий момент внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении бруса, взятый относительно нейтральной оси этого сечения. Зависимости между поперечной силой Q и изгибающим моментом Мх в поперечном сечении бруса таковы:

Поперечная сила представляет собой производную от изгибающего момента по координате y.

39. Косой изгиб при упругих деформациях

   Рассмотрим косой изгиб на примере изгиба бруса. Изгиб называют косым, если плоскость действия изгибающего момента, возникающего в поперечном сечении бруса, не совпадает ни с одной из его главных плоскостей.
   Различают плоский косой изгиб и пространственный косой изгиб.
   При плоском косом изгибе все нагрузки расположены в одной плоскости, т. е. существует общая для всего бруса силовая плоскость. Следовательно, углы, составляемые силовыми линиями с главными центральными осями, во всех поперечных сечениях бруса одинаковы.
   В рассматриваемом случае упругая линия бруса – плоская кривая, которая, в отличие от прямого изгиба, расположена в плоскости, не совпадающей с силовой плоскостью. Именно эта особенность характера деформации обуславливает наименование «косой изгиб».
   При пространственном косом изгибе нагрузки, вызывающие косой изгиб, расположены в разных продольных плоскостях бруса. Соответственно, углы между главными центральными осями поперечных сечений и силовыми линиями не постоянны по длине бруса.
   Упругая линия бруса в этом случае – пространственная кривая.
   Силы, перпендикулярные продольной оси бруса, но не совпадающие по направлению ни с одной из главных центральных осей его поперечного сечения, всегда могут быть разложены на составляющие по эти осям. Моменты, действующие в произвольных продольных плоскостях, могут быть разложены на составляющие относительно главных центральных осей.
   При поперечном косом изгибе (как при плоском и пространственном) в поперечных сечениях бруса возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и изгибающие моменты Мx и М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. При чистом косом изгибе поперечные силы отсутствуют.
   Для расчетов на прочность и жесткость практически безразлично, будет ли изгиб чистым или поперечным, так как влияние поперечных сил, как правило, не учитывают.
   Косой изгиб можно рассматривать как совокупность двух прямых изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях.
   Расчет на прочность при косом изгибе ведется только при нормальном напряжении.
   Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения бруса определяется на основе принципа независимости действия сил как алгебраическая сумма нормальных напряжений σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, каждое из которых обусловлено одним из прямых изгибов:
   σ = σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

y / I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

x / I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Условие прочности в случае косого изгиба имеет вид:

   где W -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, W -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– осевые моменты сечения.

40. Поперечный изгиб

Поперечному изгибу обычно подвергают элементы конструкций, называемые балками. Балка – это стержень, работающий на изгиб. Поперечный изгиб возникает в том случае, если система внешних силовых факторов (сосредоточенных сил (H, кН), моментов (Нм, кНм) или распределенных нагрузок (Н/м, кН/м)) действуют в одной плоскости, которая совпадает с одной из плоскостей симметрии балок.
На балку могут действовать разнообразные внешние силовые факторы: сосредоточенные силы; сосредоточенные моменты; равномерно распределенная нагрузка; нагрузка, распределенная по участку балки в виде треугольника, меняющаяся от 0 до Q, и произвольно распределенная нагрузка по длине балки Q = f(x) (Рис. 14).

   Рис. 14

   На балку также действуют поперечные силы и изгибающие моменты. Момент, создаваемый внутренними упругими силами, действующими в сечении, называется изгибающим моментом.
   Для определения напряжений, возникающих в различных сечениях балки, необходимо знать величину и направление внутренних усилий в любом сечении, выразив их через внешние силы:
   Q = P
   и пара с моментом
   М = Ух -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Величины сил Q и моментов М одинаковы, но направлены в разные стороны.
   Таким образом, в любом поперечном сечении балки внутренние усилия приводятся к силе Q и паре с моментом М, совместно заменяющих действие одной отсеченной части балки на другую.
   Сила Q складывается из элементарных касательных усилий, действующих в сечении, и называется поперечной или прорезывающей силой.
   Эта сила сдвигает сечение относительно другого, следовательно, она создает внутренние касательные напряжения в поперечных сечениях. Поперечная сила Q считается положительной, если внешние силы, лежащие слева от проведенного сечения, направлены вверх или справа от него – вниз.
   Момент внутренней пары, складывающийся из элементарных нормальных усилий, возникающих в поперечном сечении балки, называется изгибающим моментом.
   Изгибающий момент поворачивает это сечение относительно основного, чем и обусловлено искривление балки, т. е. изгиб ее. Создают изгибающий момент внутренние упругие силы, действующие перпендикулярно поперечным сечениям.
   Изгибающий момент считается положительным, если алгебраическая сумма моментов, расположенных слева от сечения, дает равнодействующий момент, направленный по ходу часовой стрелки, или для правой части балки, если равнодействующий момент сил, лежащих правее сечения, направлен против часовой стрелки.

41. Прогиб и поворот сечения балки

   Расчет на жесткость при изгибе требует предварительного изучения вопроса о перемещении поперечных сечений.
   Рассмотрим простую консоль, нагруженную на свободном конце силой F, линия действия которой совпадает с одной из главных осей поперечного сечения балки.
   При деформации балки центры тяжести ее поперечных сечений получают линейные перемещения, а сами сечения поворачиваются вокруг своих нейтральных осей. Допущения о малости перемещений позволяет считать, что направления линейных перемещений перпендикулярны продольной оси недеформированного бруса. Эти перемещения принято называть прогибами. Прогиб произвольного сечения обозначается ν, а наибольший прогиб – стрела прогиба – f.
   Во многих случаях по эксплуатационным соображениям максимальные прогибы балок ограничиваются определенной величиной – допускаемым прогибом vadm (fadm).
   Допускаемый прогиб зависит от назначения сооружения или машины.
   Геометрическое место центров тяжести поперечного сечения деформированного бруса, т. е. ось изогнутого бруса, называется изогнутой осью (или – чаще – упругой линией). Эта линия – плоская кривая, лежащая в силовой плоскости.
   При повороте поперечные сечения остаются перпендикулярными изогнутой оси бруса.
   Следовательно, угол поворота θ поперечного сечения равен углу касательной к упругой линии в данной точке и осью недеформированного бруса.
   Ордината упругой линии и угол наклона касательной, проведенной к ней в данной точке, полностью определяют линейное и угловое перемещение соответствующего поперечного сечения балки. Отыскание этих перемещений сводится к исследованию формы упругой линии.
   Пример
   Определить углы поворота заданной балки и прогиб посредине пролета.
   Решение
   Опорные реакции показаны на Рис. 15.

   Рис. 15

   Изгибающий момент в произвольном сечении равен:
   М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= RA -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

=M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ l
   Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии:
   EI -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

v'' =M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ l /.
   После первого интегрирования:
   EI -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

v' =EI -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

θ = M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ (2l) + C,
   после второго:
   EI -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

=M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 6l + C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ D.
   Окончательно получаем следующее уравнение углов поворота и упругой линии:
   EI -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= EI -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

=M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 2l – Ml / 6
   EI -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

=M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 6l – Ml -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 6
   Из последнего соотношения найдем прогиб посредине пролета, подставляя в него z = l/2:
   vz = l/2 = – Ml / (16EI).

42. Поперечный изгиб стержня

   Рис. 16

   Здесь силы Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

выступают как активные, а силы R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– как реактивные.
   На балку могут воздействовать разнообразные внешние силовые факторы: сосредоточенные силы; сосредоточенные моменты; равномерно распределенная нагрузка; нагрузка, нагрузка, распределенная по участку балки в виде треугольника, меняющаяся от 0 до q, и произвольно распределенная нагрузка по длине балки q = f(x).
   На балку также действуют поперечные силы и изгибающие моменты. Момент, создаваемый внутренними упругими силами, действующими в сечении, называется изгибающим моментом.
   Для определения напряжений, возникающих в различных сечениях балки, необходимо знать величину и направление внутренних усилий в любом сечении, выразив их через внешние силы.
   Q = P
   и пара с моментом:
   М = Ух -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Величины сил Q и моментов М одинаковы, но направлены в разные стороны.
   Таким образом, в любом поперечном сечении балки внутренние усилия приводятся к силе Q и паре с моментом М, совместно заменяющими действие одной отсеченной части балки на другую.
   СилаQскладывается из элементарных касательных усилий, действующих в сечении, она называется поперечной, или прорезывающей, силой.
   Эта сила сдвигает сечение относительно другого, следовательно, она создает внутренние касательные напряжения в поперечных сечениях. Поперечная сила Q считается положительной, если внешние силы, лежащие слева от проведенного сечения, направлены вверх или справа от него – вниз.
   Момент внутренней пары, складывающийся из элементарных нормальных усилий, возникающих в поперечном сечении балки, называется изгибающим моментом.
   Изгибающий момент поворачивает это сечение относительно основного, чем и обусловлено искривление балки, т. е. ее изгиб. Создают изгибающий момент внутренние упругие силы, действующие перпендикулярно поперечным сечениям.
   Изгибающий момент считается положительным, если алгебраическая сумма моментов, расположенных слева от сечения, дает равнодействующий момент, направленный по ходу часовой стрелки, или для правой части балки, если равнодействующий момент сил, лежащих правее сечения, направлен против часовой стрелки.

43. Кривизна нейтрального слоя

   Нейтральный слой – это слой, где длина волокон, лежащих в этом слое, при изгибе не изменяется.
   Элемент бруса в деформированном состоянии. Обозначим след нейтрального слоя на плоскости чертежа n – m, а его радиус – р. Определим линейную деформацию произвольного волокна, отстоящего на расстоянии у от нейтрально слоя. Длина этого волокна после деформации (длина дуги m – n) равна (р + у)dθ, где θ – угол поворота.
   Учитывая, что до деформации волокна имели одинаковую длину dz, получаем, что абсолютное удлинение рассматриваемого волокна будет:
   Δ(dz) = (p + y)dz – dz;
   следовательно, его деформация равна отношению абсолютного удлинения к первоначальной длине:
   ε = Δ(dz) / dz = [(p + y)dθ – dz] / dz.
   Очевидно dz = pdθ, так как длина волокна, лежащего в нейтральном слое, при деформации не изменилась. Следовательно,
   ε = [(p + y)dθ – pdθ] / (pdθ),
   откуда
   ε = у / p
   Для перехода от деформаций к напряжениям применим закон Гука σz = Eε.
   Подставляя сюда ε = y / p, получаем
   σz = Ey / p
   Нейтральная ось (она принята за координатную ось Ох) делит поперечное сечение бруса на две части, в одной из которых возникают растягивающие, а в другой – сжимающие напряжения. В точках, лежащих на самой нейтральной оси, нормальные напряжения равны нулю. Можно дать другое определение нейтральной оси: нейтральной осью, или нулевой линией, называется геометрическое место точек поперечного сечения бруса, в которых нормальные напряжения равны нулю.
   Положение нейтральной оси определяют из условия, что продольная сила в поперечном сечении равна нулю. Зависимость между продольной силой и нормальными напряжениями следующая:

   Радиус кривизны нейтрального слоя вычисляется по формуле
   1 / р = Мx / (EIх).
   Кривизна нейтрального слоя (изогнутой оси бруса) прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна произведению модуля упругости материала бруса на момент инерции его поперечного сечения относительно нейтральной оси.

44. Изгиб и кручение

   Валы различных машин представляют в большинстве случаев прямые брусья круглого сплошного или (реже) кольцевого сечения, работающие на совместное действие изгиба и кручения.
   При расчете валов, а также других элементов конструкций, испытывающих одновременное действие изгиба и кручения, влиянием поперечных сил, как правило, пренебрегают, так как сопутствующие им касательные напряжения в опасных точках бруса невелики по сравнению с касательными напряжениями от кручения и нормальными напряжениями от изгиба.
   Рассмотрим брус круглого поперечного сечения, который нагружается одновременно крутящим и изгибающим моментами. Касательные напряжения от кручения распределены вдоль любого радиуса и достигают максимального значения в точках контура сечения.
   Опасными являются точки пересечения контура с силовой линией, в которых одновременно и нормальные напряжения от изгиба, и касательные напряжения от кручения имеют наибольшее значение.
   Выделим элементарный кубик, расположенный в окрестности опасной точки. На его гранях возникают нормальное и касательное напряжения:

   где М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– результирующий изгибающий момент;
   М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– результирующий крутящий момент;
   W – момент сопротивления.
   В опасной точке возникает упрощенное плоское напряженное состояние.
   Расчет бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кручением ведется аналогично расчету на изгиб, но вместо изгибающего момента в формулу входит так называемый эквивалентный момент, который зависит от изгибающего и крутящего моментов.

Так как напряжение не является одноосным, для расчета используются гипотезы прочности. Согласно гипотезе прочности условие прочности максимальных касательных напряжений с учетом выражений для максимальных напряжений запишем в виде:

   При проектном расчете определяют требуемое значение момента сопротивления поперечного сечения:
   W -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

≥ М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ [σ].
   Для бруса с постоянным диаметром опасная точка находится в сечении, для которого эквивалентный момент имеет наибольшее значение. Это сечение также называют опасным.

45. Расчет на прочность при прямом и поперечном изгибе

Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным и касательным, напряжениям, возникающих в их поперечных сечениях.
Рассмотрим поперечное сечение балки, нагруженное системой внешних сил, и построим для него эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Рассечем балку и покажем ее в более крупном масштабе (Рис. 18).

   Рис. 18

   Возьмем по высоте опасного сечения (сечение, где возникает наибольший изгибающий момент) в точке приложения силы Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

пять элементов 1, 2, 3, 4 и 5 и проанализируем их напряженное состояние.
   1. По граням элементов 1 и 5 действуют только нормальные напряжения: элемент 1 – сжат, элемент 5 – растянут. Значит, элементы 1 и 5 находятся в линейном напряженном состоянии.
   2. По граням элемента 2 и 4 действуют как нормальные, так и касательные напряжения, т. е. элемент находится в плоском напряженном состоянии.
   На основании 3-й и 4-й теорий прочности напряжение в элементе 2 и 4 определяется по формулам:

(1);

(2).
3. Элемент 3, лежащий на нейтральном слое балки, находится в состоянии чистого сдвига. Касательное напряжение, действующее по его граням, находится по формуле Журавского:

   То обстоятельство, в какой точке сечения будут тяжелые условия, зависит от величины и характера приложения внешней нагрузки.
   4. В опасном состоянии могут находиться точки 1, 5 в сечении, где действует М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Тогда условие прочности будет вычисляться по формуле:

(3).
   5. Опасно нагруженной может оказаться точка 3 в сечении, где действует Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Условие прочности запишется в виде:

(4).
6. В точках 2 и 4 напряжения σ и τ в отдельности могут не представлять опасности Но, так как они действуют одновременно, может быть создано предельное напряженное состояние:

(5);

(6).
Такие балки, как правило, рассчитываются по уравнению (3), короткие балки – по уравнению (4), особо ответственные конструкции проверяются по уравнениям (5), (6), т. е. делается полный расчет балки.

46. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки

   Изогнутой осью балки или ее упругой линией называется кривая, в которую превращается прямолинейная ось балки после приложения к ней внешней нагрузки. Плоский поперечный изгиб характеризуется двумя величинами:
   – перемещением f центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки, которое носит название прогиба;
   – углом θ поворота сечения или равным ему углом наклона касательной к упругой линии.

Рис. 19

Кривизна кривой АВ в произвольной точке Д может характеризоваться выражением:

Из этой формулы следует, что при известном уравнении кривой у = f(x) ее кривизна в каждой точке может быть вычислена через первую и вторую производные от этой функции.
Если зависимость y = f(x) выражает закон изменения прогиба по длине балки, то математическую кривизну, представленную приведенным выше уравнением, можно связать с кривизной балки, полученной при изгибе:

Приравняв правые части двух уравнений, получим:

Если балки под действием внешних нагрузок имеют значительные перемещения, то полученное дифференциальное уравнение используется для нахождения прогибов и углов поворота сечений балок. Упростив выражение, получим:

Основанием для этого может служить то, что изогнутая ось балки представляет собой пологую линию. Следовательно, tqα = (dy) / (dx) – так как тангенс угла, образованного касательной к кривой у = f(x) с осью х, и есть (dy / dx).
Введя это допущение, получим приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

Согласно правилу знаков для изгибающих моментов установлено, что изгибающие моменты в сечении считаются положительными, если балка изгибается выпуклостью вниз. Это правило согласуется с правилом знаков для математической кривизны. При условии выбора осей координат, как показано на Рис. 19, т. е. ось у должна быть направлена вверх, знак для изгибающего момента ставится при этом «по правилу дождя».

47. Определение изгибающих моментов, нормальных и поперечных сил

   Приложение к брусу нагрузки, располагающейся в одной плоскости, вызывает в каждом поперечном сечении этого бруса возникновение внутренних силовых факторов: продольной и поперечной сил и изгибающего момента.
   Продольная сила N прикладывается к центру тяжести сечения и действует перпендикулярно сечению. Считается, что при растяжении продольная сила положительна, а при сжатии отрицательна.
   Поперечная сила Q действует в плоскости сечения и проходит через центр тяжести сечения. Положительной считается такая поперечная сила, которая вращает мысленно отсеченную часть бруса по часовой стрелке относительно любой точки, нормально направленной к сечению.
   Изгибающий момент M располагается перпендикулярно плоскости сечения. Считается положительным, когда если на левой стороне отсеченной правой части он направлен по часовой стрелке, на правой стороне левой части – против часовой стрелки. Если изгибающий момент положителен, волокна верхней части бруса подвергаются сжатию, а нижние – растяжению.
   Между напряжениями, возникающими в сечении, и внутренними силовыми факторами существуют связи, определяемые нижеперечисленными формулами:

   Существуют определенные правила, определяющие внутренние силовые факторы в поперечном сечении бруса в случае плоского действия сил.
   Продольная сила бруса определяется суммой проекций всех внешних сил, приложенных к левой части бруса, на его продольную ось, и также равна сумме проекций внешних сил, приложенных к правой части бруса, на его ось и взятых с противоположным знаком.
   Поперечная сила равна сумме проекций внешних сил, приложенных к левой части бруса, на нормаль к его продольной оси и равна сумме проекций внешних сил, приложенных к правой части бруса на нормаль к его продольной оси, взятой с противоположным знаком.
   Изгибающий момент относительно центральной оси равен сумме моментов всех внешних сил, приложенных к левой части бруса, и равен сумме моментов внешних сил, приложенных к правой части оси, взятых с противоположным знаком.

48. Сжатие с изгибом

   Рассмотрим брус, на который воздействуют нагрузки, вызывающие его растяжение (сжатие) и одновременно изгиб. Из метода сечений выясняем, что в поперечном сечении действуют продольная сила N, изгибающие моменты M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и поперечные силы Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Если брус достаточно жесткий и можно пренебречь дополнительным изгибающим моментом, то на основании принципа независимости действия сил определяем напряжение как математическую сумму напряжений, вызываемых каждым из факторов:

Приравняв полученное соотношение нулю, определим положение нейтральной линии:

   x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

представляют координаты нейтральной линии сечения. Определив местонахождение нейтральной линии сечения, можно построить эпюры нормальных напряжений.
   Если можно пренебречь влиянием поперечных сил, то в любой точке бруса возникает только нормальное напряжение, и напряженное состояние является одноосным. В этом случае условие прочности имеет следующий вид:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

≤ [σ]
   Из точек сечения, удаленных от обеих главных осей инерции, опасной является угловая точка, подверженная воздействию сумме напряжений продольной силы и изгибающих моментов, имеющих одинаковые знаки. В таком случае уравнение прочности имеет вид:

Для брусьев с круглым поперечным сечением положение опасной точки не выясняют, проверка на прочность рассчитывается по формуле:

49. Графоаналитический способ определения деформации балок

   Если на балку действует сложная нагрузка, то в этом случае на разных участках закон изменения изгибающих моментов будет выражаться различными уравнениями.
   Дифференциальное уравнение изогнутой оси придется составлять для каждого участка.
   Число постоянных интегрирования будет равно удвоенному числу участков. Для определения этих постоянных всегда можно составить достаточное число уравнений, используя условия на опорах балки и условия на концах смежных участков, где прогибы и углы поворота равны между собой. Однако такой способ решения очень сложен.
   Более простой способ решения получается, если вместо неопределенного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки применить способ определенного интегрирования. При этом удается достигнуть удобной графоаналитической интерпретации решения.

   Рис. 20

   Для системы координат показанной на Рис. 20, а дифференциальное уравнение изогнутой оси балки запишется в виде:
   EIv'' = M(1),
   где v' = dv / dz; v'' =d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

v / dz,
   Учитывая, что θ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (v') -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– угол поворота сечения балок, v – прогиб балки, проинтегрируем дифференциальное уравнение, приняв пока EI = const:

   где dA = Mdz – дифференциал площади эпюры М.
   Выполнив интегрирование, получим из (2):
   EIθ = EIθ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ A(z) – A(0) = EIθ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ A' – A(0),
   или
   EIθ = EIθ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ A' (3),
   где θ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– угол поворота в начале координат;
   А(z) = А' – отсеченная площадь эпюры М;
   А(0) – отсеченная площадь для сечения, проходящего через начало координат, равная нулю.
   После математических преобразований получаем:
   EIv = EIv0 +EIθ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z + S(z) – S(0) = EIv -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ EIθ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z + S' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

(4),
   где v -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– прогиб балки в начале координат;
   S(z) = S' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= A'z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– статический момент, отсеченной площади эпюры М относительно сечения, проходящего через начало координат. Он равен нулю, так как А(0) = 0.
   Для определения линейных и угловых перемещений применяются формулы (3) и (4).
   Если балка имеет различную жесткость на разных участках, то вместо формул (3) и (4) аналогично получим:
   v' = θ = θ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

',
   v = v -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ θ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z + S' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

,
   где A' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– приведенная отсеченная площадь эпюры моментов, т. е. эпюры, ординаты которой поделены на EI;
   S' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– статический момент относительно текущего сечения приведенной отсеченной площади эпюры моментов.

50. Аналитический способ определения прогибов балок

   Проинтегрировав уравнение EIv'' = М один раз, получим уравнение углов поворота:
   EIv' = ∫Mdz + C,
   где С – постоянная интегрирования.
   Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов:
   EIv' = ∫dz ∫Mdz + Cz + D,
   где D – вторая постоянная интегрирования.
   Постоянные интегрирования определяются из условий опирания балки (граничных условий).
   Так, для балки, заделанной одним концом в месте заделки должны быть равны нулю и прогиб, и угол поворота сечения. Для балки, опертой по концам, прогиб должен быть равен нулю и на левом, и на правом конце.
   Определив постоянные интегрирования, можно определить угол поворота и прогиб любого сечения.
   Пример. Определить v -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и θ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

для консоли, нагруженной сосредоточенной силой на конце (Рис. 21).

   Рис. 21

   Решение. Начало координат помесим на левом конце балки. Изгибающий момент в сечении с абсциссой z определяем как момент внешних сил, расположенных между данным сечением и началом координат:
   М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= – Fz.
   Следовательно,
   EIv'' = – Fz.
   Интегрируем первый раз:
   EIv' = – Fz -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 2 + Cz + D.
   Интегрируем второй раз:
   EIv = – Fz -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 6 + Cz + D.
   Для определения C и D имеем следующие условия:
   1) при z = l, v = 0;
   2) при z = l, θ = v' = 0.
   Из второго условия получаем C = Fl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 2. Из первого условия получаем
   0 =Fl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 6 + Fl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 2 + D, откуда D = – Fl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 3.
   Теперь можно определить v -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и θ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Совершенно очевидно, что v -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и θ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

имеют место при z = 0. Полагая в формуле z = 0, получаем:
   v' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= θ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Fl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ (2FI);
   v -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= -Fl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ (3FI).
   Положительные значения угла поворота θ указывают, что сечение поворачивается в направлении, противоположном движению часовой стрелки.
   Отрицательное значение v показывает, что центр тяжести сечения перемещается вниз, т. е. в сторону отрицательных значений ординат v.
   Обратим внимание на то, что
   С = EIθ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   и
   D = EIv0,
   где v -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– прогиб в начале координат;
   θ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– угол поворота в начале координат.

51. Балка на упругом основании

Балкой на упругом основании называют балки, расположенные на какой-либо упругой среде. Рассмотрим пример: прямая балка опирается на близко расположенные друг от друга, не связанные между собой пружины (Рис. 22.1).

Рис. 22.1

   Рис. 22.2

   Если воздействовать на эту балку нагрузкой, то со стороны каждой пружины будут появляться реакции, причем эти реакции будут пропорциональны прогибу точек балки, которые опираются на пружины. Для упрощения задачи будем считать, что пружины расположены настолько часто, что их реакции можно считать некоторой непрерывно расположенной силой, с интенсивностью, пропорциональной прогибу (Рис. 22.2):
   q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

y,
   где k – некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от характеристик пружин и частоты их расположения.
   Знак минус в этом соотношении возникает из-за того, что прогибы балки и реакции пружин направлены в противоположные стороны.
   Для балки постоянного сечения
   Q = EIy -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Таким образом,
   EIy -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

y = q.
   Обозначим k = k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ EI, получим дифференциальное уравнение второго порядка в виде:
   y4 + k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

y / EI = q / EI.
   Если распределенная нагрузка отсутствует, то дифференциальное уравнение принимает вид:
   y4 + k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

y / EI = 0,
   и его решение находится способом наложения граничных условий.
   Решение полученного дифференциального уравнения определяется следующим образом:
   Y = e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

(C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sinkz + C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

coskz) + e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

(C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sinkz + C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

coskz) + y’
   или
   y = C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

sinkz shkz + C2 sinkz chkz + C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

coskz shkz + C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

coskz chkz + y’,
   где y’ – частное решение дифференциального уравнения;
   shkz – гиперболический синус;
   chkz – гиперболический косинус.
   Если определена функция y, то значения изгибающих моментов и поперечных сил легко определить из дифференциальных уравнений для изогнутой оси балки с постоянным сечением:
   φ = y’,
   M = EIy'',
   Q = EIy''',
   Q = EIy'''',
   где φ – угол наклона касательной к оси балки;
   M – изгибающий момент;
   Q – поперечная сила.
   Эта расчетная схема широко используется на практике. Выражение q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

y например, недостаточно точно описывает случай шпалы, лежащей на упругом грунте, так как реакция каждой точки зависит от прогиба соседних участков. В случае бруса, плавающего в воде, это соотношение дает довольно точные результаты.

52. Понятие о потенциальной энергии. Вычисление потенциальной энергии при изгибе

В теле, подверженном какой-либо деформации, накапливается потенциальная энергия деформация, равная работе внешних сил. Если внешние силы являются статическими (нарастают во времени), то работа и энергия нарастают от нуля до своего максимального значения, и согласно закону Гука нарастает деформация. Рассмотрим случай чистого изгиба балки длиной l.

Рис. 23

Выделим бесконечно малый участок балки dz = rdα (Рис. 23).

Длина нейтрального слоя этого участка постоянна. Выразим из соотношения для длины нейтрального слоя угол поворота и, учитывая выражение для кривизны нейтрального слоя, получим:

Работа изгибающих моментов определяется как половина произведения значения изгибающего момента на угол поворота с учетом полученного соотношения для угла поворота:

Потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил:

Для нахождения полного значения энергии проинтегрируем выражение по всей длине балки l:

Это выражение справедливо и для случая поперечного изгиба, так как накапливаемая энергия от поперечных сил невелика. Практические исследования доказывают, что ею можно пренебречь. Если на разных участках балки изгибающие моменты имеют разные значения, то потенциальная энергия складывается из потенциальных энергий отдельных участков:

53. Теорема Кастилиано

   Теорема Кастилиано применима для решения таких задач, когда между силами и перемещениями существует линейная зависимость: частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы.
   Под перемещением здесь понимается проекция полного перемещения по заданному направлению. Таким образом, под перемещением точки приложения силы по направлению силы понимается проекция на направление силы полного перемещения рассматриваемой точки.
   Для доказательства теоремы рассмотрим упругое тело, испытывающее на себе произвольную нагрузку системы сил P. В результате работы внешних сил в этом теле накапливается потенциальная энергия U. Одной из сил P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

дадим приращение dP -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, соответственно, потенциальная энергия получит приращение и запишется следующим образом:

   Теперь изменим порядок действующих сил, сначала воздействуем на тело силой dP -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, в точке приложения силы перемещение обозначим dδ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, тогда работа этой силы равна 1/2dP -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dδ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Теперь нагрузим тело всей системой внешних сил. В отсутствие силы dP -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

потенциальная энергия приняла бы значение U, но работа на перемещении dδ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

внесет вклад dP -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   U -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= U + dP -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ ½dP -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dδ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= U + dP -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Третье слагаемое не рассматривается вследствие его малости. Множитель 1/2 перед вторым слагаемым отсутствует, так как на перемещении dδ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

сила dP -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

постоянна.
   Можно записать:

Отсюда:

   Это и есть утверждение теоремы.
   Из полученной формулы можно сделать вывод, что сила P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

может рассматриваться как некий силовой фактор, перемещение δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– как некий обобщенный геометрический параметр, на котором обобщенная сила совершает работу.
   Теорема Кастилиано неприменима к системам, для которых принцип неизменности начальных размеров и принцип независимости действия сил не являются справедливыми.

54. Теорема о взаимности работ

Рис. 24.1

Рис. 24.2

   Рис. 24.3

   Перемещения z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

называют главными перемещениями, перемещения z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– побочными. Теорема формулируется следующим образом: работа внешних сил первого состояния на перемещениях второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещениях, вызванных силами первого состояния.
   Доказательство: нагрузим балку сначала силой F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, затем силой F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

(Рис. 24.3). При этом работа первой силы на собственное перемещение определяется как A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 2, работа второй силы на собственном перемещении A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 2, дополнительная работа первой силы на перемещение z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Так как первая сила в этом случае остается постоянной, множитель 1/2 отсутствует. Дополнительная работа первой силы на перемещения, вызванные другими силами, называется виртуальной работой (рассматривается как возможная в случае двойного нагружения бруса). Полная работа определяется как сумма работ:
   A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Теперь рассмотрим случай, когда тело подвергается воздействию силы F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, затем силы F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Работа первой силы на собственное перемещение определяется как A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 2, работа второй силы на собственном перемещении A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 2, дополнительная работа второй силы на перемещение z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Полная работа представляет собой сумму работ:
   A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Так как работа сил не зависит от порядка их приложения, A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Отсюда следует, что работа:
   A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   или
   F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Это и есть доказательство теоремы. Следует отметить, что теорема справедлива для случаев любых внешних нагрузок: сосредоточенных, распределенных, а также для внешних моментов (работа моментов вычисляется на угловых перемещениях).
   Аналогично доказывается теорема для внутренних сил.

55. Теорема Максвелла – Мора

   Частным случаем теоремы о взаимности работ является теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла): перемещение точки приложения единичной силы по направлению этой силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по направлению этой силы, вызванному действием первой единичной силы.
   Рассмотрим прогиб балки в некотором сечении. Для этого нагрузим сечение, прогиб которого будет определяться, некоторой единичной силой (эта сила используется только для возникновения перемещения и в дальнейшем рассматриваться не будет), при этом балка переместится на некоторое расстояние z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

(Рис. 25.1 и 25.2). Теперь к нагруженной балке приложим силу F (Рис. 25.3). Для простоты считаем, что сила только одна, но вывод справедлив для любой нагрузки. Перемещение сечения, к которому приложена эта сила, составит z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, а перемещение сечения, к которому приложена единичная сила, изменится на величину z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.

Рис. 25.1

Рис. 25.2

   Рис. 25.3

   Рассмотрим работу внешних приложенных к балке сил. Статическая работа единичной силы равна A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0,5 × 1 × z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Работа статической силы A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0,5 × F × z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Единичная сила является постоянной при приложении силы F, и поэтому работа силы F на перемещение в направлении единичной силы A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 1 × z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Полная работа представляет собой сумму:
   A = A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0,5z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ 0,5Fz -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Потенциальная энергия, накопленная в балке, при действии двух сил запишется в виде:

   где M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– моменты от нагрузки единичной силы и силы F.
   На основании закона сохранения энергии:

В этом уравнении первые и вторые слагаемые почленно равны, следовательно, и третьи слагаемые также будут равны.

Полученное выражение носит название интеграла Мора. Рассматривая балку, состоящую из нескольких участков, для каждого из которых можно определить изгибающие моменты, интеграл Мора определяется как сумма:

56. Способ Верещагина

При определении перемещений для тел постоянной жесткости интеграл Мора можно рассчитать графоаналитическим способом. Определим прогиб некоторой балки под действием нагрузки. К сечению, прогиб которого будет определяться, приложим единичную силу и построим эпюры изгибающих моментов от действующей нагрузки и единичной силы (Рис. 26.1 и 26.2).

Рассмотрим участок длиной l, для которого изгибающий момент описывается одной функцией. Границами этого участка являются сечения, имеющие изменения угла наклона. Интеграл Мора

   На грузовом эпюре выделим нем элементарную площадку с площадью dw = M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

dz. На единичном эпюре момент можно записать как M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= ztgα. В интеграле Мора вынесем за знак интеграла жесткость и рассмотрим подинтегральное выражение.

Этот интеграл представляет статический момент площади w относительно оси y, который равен произведению:

Таким образом, для участка l, как видно из рисунка и последнего выражения:

Отыскав подобные выражения для каждого участка, составляющего тело, можно записать выражение для отыскания перемещений.

Такой способ вычисления интеграла Мора носит название правила Верещагина.

57. Гипотезы прочности

   В каждой точке нагруженного тела действуют три главных напряжения (в общем случае). От соотношения этих напряжений зависит состояние тела. В случае сложного напряжения необходимо знать, какое сочетание из бесконечного множества сочетаний главных напряжений создает опасное состояние в точке тела. При составлении условий прочности сложного напряженного состояния используются допускаемые напряжения, рассчитанные в результате опытов на растяжение (сжатие). Необходимо найти так называемую эквивалентную комбинацию главных напряжений для сложного напряжения, при условии, что известны максимально допустимые безопасные напряжения для простого напряжения.
   Для нахождения такой комбинации были установлены общие критерии разрушения, носящие название гипотез прочности. Эти гипотезы (или теории) представляют собой предположения о влиянии на прочность материала таких факторов, как напряжения (нормальные и касательные) и деформации. Невозможно установить фактор, являющийся главной причиной разрушения, так как все они действуют совокупно.
   При сложном напряженном состоянии принято говорить не о предельном напряжении, а о предельном напряженном состоянии. В качестве предельного состояния в опасной точке детали принимается переход материала в окрестности данной точки из упругого состояния в пластическое или разрушение детали, выражающееся в образовании трещин.
   При сложном напряженном состоянии вводится понятие коэффициента запаса прочности, который представляет собой число, на которое нужно умножить все компоненты тензора напряжений, чтобы получить предельное напряженное состояние (Рис. 27.1). Состояния, для которых все коэффициенты запаса прочности равны, называются равноопасными. Это позволяет сравнивать напряженные состояния, заменяя их равноопасным одноосным напряженным состоянием (Рис. 27.2). Напряжение, которое нужно создать в растянутом образце, чтобы его состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию, называется эквивалентным.

Рис. 27.1

   Рис. 27.2

   Заменив сложное напряженное состояние эквивалентным растяжением, можно использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности для простого растяжения.
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

≤ [σ].
   Для предельного состояния:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

,
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.

58. Статически неопределимые системы. Общие понятия и метод расчета

Статически неопределимыми называются системы, при расчете усилий которых недостаточно уравнений статики и которые требуют составления дополнительных уравнений деформации, которые вместе с обычными уравнениями равновесия дают возможность определить все опорные реакции.

   Рис. 28.1

   Рассмотрим опорные реакции для балки с одним жестко закрепленным концом А и вторым шарнирно закрепленным В, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки P: вертикальная А, горизонтальная H -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и опорный момент M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, на опоре В возможно появление лишь одной реакции В (Рис. 28.1). Таким образом, число опорных реакций на одну больше, чем уравнений статики.
   Теперь составим уравнения статики для рассматриваемой балки путем приравниванию к нулю сумму проекций всех сил на направление оси балки, на перпендикуляр к ней, и сумму моментов относительно точки А:
   H -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0;
   A + B – Pl = 0;
   – M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ Pl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 2 – Bl = 0.
   Примем за лишнюю реакцию опоры В. Будем считать, что эта балка получена из статически определимой балки АВ с жестко закрепленным концом А, к которой была добавлена дополнительная опора в точке В (Рис. 28.2).

   Рис. 28.2

   Эта статически определимая балка называется основной системой. Наложим на эту балку равномерную нагрузку Р и приложим избыточную реакцию В. Вследствие этого основная система станет эквивалентной заданной, статически неопределимой. Для полного совпадения поставим условие: прогиб точки В статически определимой балки под воздействием нагрузки равен нулю.
   f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0.
   Это соотношение представляет собой добавочное уравнение, определяющее реакцию В, которое является условием совместности. Это уравнение можно решить несколькими способами, например способом сравнения деформаций.

59. Способ сравнения деформаций

   Для расчета статически неопределимых систем используется метод расчета, который заключается в следующем: составляются все необходимые уравнения статики, статически неопределимое уравнение приводится к виду статически определимого, отбрасывают лишние связи и составляют уравнения деформации.
   В качестве примера рассмотрим балку с одним жестко закрепленным концом А и вторым шарнирно закрепленным концом В, находящуюся под действием равномерно распределенной нагрузки P, приведенную к виду статически определимой системы (Рис. 29). Для этой балки составлено уравнение деформации f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0. Решим его методом сравнения деформаций.

   Рис. 29

   Способ деформаций заключается в том, что сначала система деформируется под действием внешней нагрузки Р, затем подбирается некоторая величина, обозначаемая в нашем примере В, которая возвращает точку прогиба в первоначальное положение. Составим уравнения статики:
   H -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0;
   A + B – Pl = 0;
   – M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ Pl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 2 – Bl = 0.
   Прогиб точки В основной системы под действием нагрузок Р и В складывается из двух прогибов: f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, вызванного нагрузкой P, и f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, вызванного реакцией В.
   f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Для определения прогибов нагрузим основную систему одной нагрузкой Р и одной реакцией В, тогда соответственно будут равны:
   f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –Pl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 8EI;
   f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Bl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 3EI.
   Тогда прогиб точки В определяется как:
   f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Bl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 3EI – Pl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 8EI = 0.
   Отсюда находим В:
   B = 3Pl / 8.
   Подставим найденное значение в уравнение статики:
   A + 3Pl / 8 – Pl = 0 => A = 5Pl / 8;
   M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Pl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– 3Pl / 8 => M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Pl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 8.
   Изгибающий момент М и поперечная сила Q определяются следующим образом:
   M = Px / 2(3l / 4 – x);
   Q = –P(3l / 8 – x).

60. Расчет неразрезных балок

Статически неопределимыми называются системы, при расчете усилий которых недостаточно уравнений статики и которые требуют составления дополнительных уравнений деформации. Статически неопределимые балки называют неразрезными балками. Их расчет обычно проводится при помощи уравнения трех моментов, которое выглядит следующим образом:

   где M – изгибающие (опорные) моменты;
   l – длины пролетов балки;
   I – моменты инерции;
   w – площади эпюров изгибающих моментов, возникающих от заданной внешней нагрузки в пролетах балки;
   a и b – расстояния от центров тяжести указанных эпюров до опор.
   Расчет неразрезных балок проводится по следующему алгоритму:
   1) статически неопределимая система преобразуется в статически определимую путем отбрасывания избыточных связей;
   2) составляется расчетная схема неразрезной балки; если один из концов балки защемлен, то со стороны этого конца к балке добавляется пролет с нулевой длиной;
   3) слева направо нумеруются опоры и пролеты балок;
   4) каждый пролет неразрезной балки рассматривается как обычная балка с двумя опорами, для каждого из них строятся эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки;
   5) для каждой промежуточной опоры балки составляется уравнение трех моментов;
   6) совместным решением системы уравнений для каждого пролета определяются значения опорных моментов;
   7) для каждого пролета строятся эпюры Q, M как для однопролетной простой балки под действием заданной нагрузки, при этом можно воспользоваться следующими уравнениями:

   Здесь M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– изгибающий момент и поперечная сила от заданной нагрузки в простой балке;

– изгибающий момент от опорных моментов M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– поперечная сила от опорных моментов M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   8) определяются опорные реакции неразрезной балки по формуле D -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

61. Уравнение трех моментов

   Статически неопределимые балки часто называют неразрезными балками. Расчет для них, как и других статически неопределимых систем, проводится при помощи метода сил:
   – определяется степень статической неопределенности системы методом подсчета лишних связей;
   – лишние связи отбрасываются и заменяются неизвестными усилиями (определяется основная система);
   – составляются дополнительные уравнения деформации, основанные на положении, что перемещения в основной системе от внешних нагрузок и лишних неизвестных должны быть такими же, как и в заданной системе;
   – определяются внутренние усилия в элементах статически неопределимой системы (по методу сечений) путем решения полученных уравнений.
   Для неразрезных балок существует другой способ расчета, называемый способ уравнения трех моментов, позволяющий получить дополнительные уравнения не более чем с тремя неизвестными в каждом уравнении. При высокой степени статической неопределимости этот способ значительно упрощает расчет. Уравнение трех моментов устанавливает зависимость между тремя опорными моментами для двух смежных пролетов. Для неразрезной балки число таких уравнений равно числу промежуточных опор балки.
   Приведем пример: многопролетную неразрезную балку. Опоры балки обозначаются слева направо 1, 2, 3, …, n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2, …. Рассмотрим два пролета балки, прилегающих к опоре n. Составляется уравнение, называемое уравнением трех моментов для опорыn.

   где M – изгибающие (опорные) моменты;
   l – длины пролетов балки;
   I – моменты инерции;
   w – площади эпюров изгибающих моментов, возникающих от заданной внешней нагрузки в пролетах балки;
   a и b – расстояния от центров тяжести указанных эпюров до опор.
   Уравнение трех моментов показывает, что взаимный угол поворота двух смежных поперечных сечений над опорой n равен нулю. В это уравнение входят три момента: M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, которые являются неизвестными. Если при решении задачи эпюры изгибающих моментов представляют собой сложные фигуры, их следует рассматривать как составляющие простых фигур, тогда в уравнении трех моментов правая часть вместо произведений wa, wb представится в виде Σwa, Σwb.
   Для балки постоянного сечения, уравнение о трех моментах записывается в виде:

62. Сложное сопротивление. Основные понятия

   В случаях простого нагружения в поперечных сечениях стержня под действием нагрузки возникает только одно внутреннее усилие (продольная или поперечная сила, крутящий или изгибающий момент). Исключением является лишь общий случай плоского изгиба (поперечный изгиб), при котором в поперечных сечениях стержня возникают одновременно два внутренних усилия: изгибающий момент и поперечная сила. Часто встречаются и более сложные случаи, когда в поперечных сечениях стержня действует несколько внутренних силовых факторов (внутренних усилий), одновременно учитываемых при расчетах на прочность (например, продольная сила и крутящий момент), либо сочетание из трех (и более) внутренних усилий. Эти случаи называют сложным сопротивлением.
   При сложной нагрузке рекомендуется строить эпюры внутренних усилий, позволяющие определить положение опасного сечения. В некоторых случаях по эпюрам внутренних усилий не представляется возможным с полной уверенностью установить, какое сечение является опасным, при этом по эпюрам устанавливают два (а иногда и более) предположительно опасных сечения и для каждого из них производят расчет. После этого на основании принципа независимости действия сил определяют нормальные и касательные напряжения от каждого внутреннего усилия отдельно. Исследуя распределения напряжений по сечению, устанавливают опасную (или предположительно опасную) точку, для которой и составляют условие прочности. При этом если окажется, что в опасной точке имеет место одноосное напряженное состояние (одноосное растяжение или сжатие), то для расчета на прочность достаточно сопоставить возникающее в этой точке суммарное (т. е. от всех внутренних усилий) нормальное напряжение с допускаемым растягивающим или сжимающим. В случае же, если напряжение в опасной точке является двуосным, расчет следует выполнить, применяя ту или иную гипотезу прочности. Выбор гипотезы прочности определяется в первую очередь состоянием материала (пластичное или хрупкое состояние).
   При необходимости определения того или иного перемещения также используется принцип независимости действия сил (перемещения складывают геометрически).
   К случаям сложного сопротивления относятся изгиб в двух плоскостях (косой изгиб), изгиб с растяжением (сжатием), внецентровое растяжение (сжатие).
   При изгибе в двух плоскостях внешние силы, перпендикулярные оси стержня, не лежат в плоскости, проходящей через главную ось его поперечного сечения. В этом случае возникающий в поперечном сечении изгибающий момент можно разложить на два изгибающих момента, действующих в плоскостях, проходящих через главные оси сечения. Таким образом, изгиб в двух плоскостях можно рассматривать как сочетание двух плоских изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях.

63. Вычисление напряжений при косом изгибе

   Если плоскость действия изгибающего момента, возникающего в поперечном сечении бруса, не совпадает ни с одной из его главных плоскостей то изгиб называют косым Различают плоский косой изгиб и пространственный косой изгиб.
   При плоском косом изгибе все нагрузки расположены в одной плоскости, т. е. существует общая для всего бруса силовая плоскость. В рассматриваемом случае упругая линия бруса – плоская кривая, которая, в отличие от прямого изгиба, расположена в плоскости, не совпадающей с силовой плоскостью. Именно эта особенность характера деформации обуславливает наименование «косой изгиб».
   При пространственном косом изгибе нагрузки, вызывающие косой изгиб, расположены в разных продольных плоскостях бруса. Упругая линия бруса в этом случае – пространственная кривая.
   При поперечном косом изгибе (как при плоском и пространственном) в поперечных сечениях бруса возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и изгибающие моменты М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. При чистом косом изгибе поперечные силы отсутствуют.
   Для расчетов на прочность и жесткость практически безразлично, будет ли изгиб чистым или поперечным, так как влияние поперечных сил, как правило, не учитывают.
   Косой изгиб можно рассматривать как совокупность двух прямых изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях.
   Расчет на прочность при косом изгибе ведется только при нормальном напряжении.
   При косом изгибе напряжения определяются, основываясь на принципе независимости сил. Рассмотрим пример – консольную балку, нагруженную силой F, расположенной под углом φ к главной плоскости сечения. Нагрузку F можно разложить по координатам, совпадающим с главными плоскостями бруса: F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Эти силы вызывают прямые изгибы бруса в плоскостях, в которых они расположены.
   Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F sinφ.
   Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F cosφ.
   М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z = Fz cosφ = M cosφ.
   М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z = Fz sinφ = M sinφ.
   Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения бруса определяется на основе принципа независимости действия сил как алгебраическая сумма нормальных напряжений σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, каждое из которых обусловлено одним из прямых изгибов:
   σ = σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

y / I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

x / I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Для имеющих две оси симметрии осей условие прочности в случае косого изгиба имеет вид:

   где W -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

W -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– осевые моменты сечения.
   Для всех остальных сечений определяется положение опасной точки, наиболее удаленной от нейтральной оси сечения. Уравнение нейтральной линии выглядит следующим образом:
   M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0.
   x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

определяют положение нейтральной оси, которая проходит через центр тяжести сечения.
   Определив положение нейтральной линии, можно найти наиболее удаленную от нее точку и определить максимальное значение напряжения в брусе.

64. Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил

   Рассмотрим одновременное воздействие на балку продольных и поперечных сил на примере (Рис. 30).
   Пусть на балку АВ одновременно воздействуют равномерно распределенная сила q и продольные сжимающие силы P. Если предположить, что прогибы балки незначительны и ими можно пренебречь, то можно считать, что продольная сила Р будет вызывать только осевой сжатие балки.
   Нормальное напряжение в любой точке произвольного поперечного сечения балки будет определяться как сумма напряжений, вызванных силами Р и нагрузкой q.
   Напряжения от сжимающей силы будут равномерно распределены по сечению:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –P / F.
   Нормальные напряжения определяются по формуле:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z / I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   где M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

представляет собой изгибающий момент;
   I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– момент инерции;
   z – координата рассматриваемой точки.
   Полное напряжение представится в виде суммы:
   σ = σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –P / F + M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

z / I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Найдем максимальное значение нормального напряжения. Вследствие того, что нормальные напряжения равномерно распределены по сечению, опасными будут точки, наиболее удаленные от центра сечения. Напряжение для них определяется следующим образом:

   Знаки каждого их слагаемых устанавливают по построенным эпюрам σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

В большинстве случаев для опасной точки знаки всех слагаемых совпадают.

   Рис. 30

   Напряжения в крайних точках сечения
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –P / F + M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ W,
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –P / F – M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ W.
   Искомое максимальное напряжение в таком случае:

Описанный ход расчета применяется и при действии на балку наклонных сил. Такую силу можно разложить на нормальную к оси, изгибающую балку, и продольную, сжимающую или растягивающую.

65. Внецентренное растяжение и сжатие

   Рассмотрим сочетание пространственного изгиба и растяжения (или сжатия) прямого бруса. Если в числе действующих на брус нагрузок есть силы, направление которых не совпадает ни с одной из главных центральных осей, их следует разложить на составляющие по этим осям.
   В произвольном поперечном сечении бруса возникают пять внутренних силовых факторов: продольная сила N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

; поперечные силы Qх и Qу; изгибающие моменты Мх и Му. В частных случаях некоторые из указанных величин могут быть равны нулю. Например, если равны нулю поперечная сила Qх и изгибающий момент Му, будет сочетание прямого изгиба в главной плоскости z Oy с растяжением или сжатием. Влияние поперечных сил не учитывается.
   Для определения положения опасного поперечного сечения следует построить эпюры Nz, Mx и Мy.
   Линейные перемещения определяют путем геометрического суммирования перемещений в трех взаимно перпендикулярных направлениях – вдоль осей х, у, z.
   При нагружении бруса внецентрово приложенной силой, параллельной его продольной оси, также получается сочетание изгиба с растяжением или сжатием (в зависимости от направления силы). В любом поперечном сечении бруса возникают три внутренних силовых фактора:
   Nх = F;
   Мх = Fy -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   My = Fx -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

,
   где у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– координаты полюса (точки приложения силы) в системе главных центральных осей.
   В общем случае внецентрового растяжения (сжатия) получается сочетание чистого косого изгиба с центральным растяжением или сжатием.
   Чистый косой изгиб в свою очередь сводится к двум чистым прямым изгибам во взаимно перпендикулярных плоскостях.
   Нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса, можно на основе принципа независимости действия сил рассматривать как результат наложения трех систем напряжений: определяемых его растяжением или сжатием (σNz), напряжений от прямого изгиба в главной плоскости zOy (σMx), то же, прямого изгиба в главной плоскости zOx (σMz).
   Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения определяется как алгебраическая сумма трех указанных напряжений:
   σ = σMz + σMy + σMx.
   При сочетании изгиба с растяжением (сжатием) нулевая (нейтральная) линия – прямая, не проходящая через начало координат (центр тяжести сечения).

66. Ядро сечения

   Некоторые материалы не могут сопротивляться растяжению или же выдерживают незначительные растягивающие напряжения, и поэтому их не применяют при изготовлении элементов конструкций и сооружений, подвергающихся деформациям изгиба, кручения или растяжения. В центрально или нецентрально сжатых элементах растяжения практически не возникают, если точка приложения внешней силы сжатия расположена в некоторой области сечения, называемой ядром сечения, и тогда указанные материалы могут использоваться для изготовления таких элементов. Ядром сечения называется некоторая область, находящаяся примерно в центре сечения, удовлетворяющая следующему условию: приложение сил сжатия к любой точке этой области вызывает появление сжимающих напряжений во всем сечении. Если сжимающие силы приложены вне ядра сечения, в поперечном сечении возникают не только сжимающие, но и растягивающие напряжения.
   Если при расчете внецентренно сжатого элемента известно положение ядра сечения, то по эксцентриситету сжимающей силы можно определить наличие в поперечном сечении растягивающих напряжений.
   При построении ядра сечения сначала определяются положение центра тяжести сечения, положение главных центральных осей, значения главных моментов инерции и квадратов радиусов инерции. После этого вершины углов многоугольника (внутренние углы не считаются) рассматриваются как полюсы, и для каждого из них определяется нулевая линия. Ограниченный нулевыми линиями контур представляет собой ядро сечения.
   Для построения нулевой линии (нейтральной оси) существуют формулы, определяющие величины отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:

   где i -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, i -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– радиусы инерции поперечного сечения бруса относительно главных центральных осей инерции;
   e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– эксцентриситеты приложенной силы относительно главных осей инерции.
   Отрезки, отсекаемые нулевой линией сечения a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, определяются следующим образом:
   y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –i -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ (Fe -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) = –(bh -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 12) / (bh -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 2) = –h / 6;
   z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –i -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ ez = –I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ (Fe -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) = –(bh -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ 12) / (–b -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

h / 2) = b / 6.

67. Расчет статически определимых систем по допускаемым нагрузкам

   При расчете статически неопределимых систем используется метод расчета, в котором используется основное условие прочности вида:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

≤ [σ]
   Такой способ предлагает выбирать такое строение конструкции, чтобы максимальное напряжение в опасной точке не превышало допускаемого. Можно выбрать другой способ и задать условие, чтобы нагрузка, действующая на конструкцию, не превышала некоторой заданной величины, и выразить это условие неравенством.
   P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

≤ P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Допускаемой нагрузкой будем считать некоторую нагрузку, составляющую 1 / k долю предельной нагрузки, т. е. той нагрузки, при превышении которой конструкция перестает нормально функционировать.
   В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух стержней АВ и АС, нагруженных некоторой силой Р (Рис. 31).

   Рис. 31

   Найдем усилия N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Так как точка А уравновешена, то:
   N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= P / 2 cosφ = N.
   Площадь каждого стержня определится по формуле:

   Исходя из способа допускаемых нагрузок:
   P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

≤ P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Запишем это неравенство в виде равенства, введя коэффициент k, определяющий запас для напряжений:

Предельной величиной нагрузки здесь является величина, при которых напряжения в стержне сравниваются с напряжениями текучести:

Обозначим

, тогда с учетом последнего выражения условие прочности запишется следующим образом:
P ≤ 2F[σ]cosφ
Отсюда:

Расчет по допускаемым нагрузкам привел в данном случае к тем же результатам, что и расчет по допускаемым напряжениям.

68. Расчет статически неопределимых систем по допускаемым нагрузкам

   Для расчетов статически определимых систем применяется способ допустимых нагрузок, в котором условие прочности определяет не максимально допустимое напряжение стержня, а максимально допустимую нагрузку, действующую на всю конструкцию. При применении к статически неопределимым системам этот метод дает другие результаты.
   Рассмотрим пример – систему, состоящую из трех стержней, находящуюся под воздействием нагрузки Q. Обозначим длины крайних стержней l -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, длину среднего стержня l -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Равные углы между соседними стержнями обозначим φ.
   Аналогично случаю статически определимой системы определим площадь F стержней.
   N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ 2N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– Q = 0.
   Δl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Δl -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cosφ
   Из закона Гука следует:
   N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cos -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

φ
   Следовательно, N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Q / (1 + 2cos -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

φ), N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Qcos -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

φ / (1 + 2cos -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

φ).
   В связи с тем, что напряжение среднего стержня превышает напряжения крайних, подбор площади определяется согласно формуле:

Согласно способу допускаемых нагрузок условие прочности представим в виде:

   Обозначим нагрузку Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

максимальную нагрузку, при достижении которой вся конструкция переходит в состояние текучести. Средний стержень напряжен сильнее, чем другие, поэтому в нем раньше напряжение достигнет предела текучести. Соответствующая этому моменту нагрузка Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

определяется следующим образом:
   Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (1+2cos -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

φ)N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   где N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Fσ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– усилие в среднем стержне, соответствующее его пределу текучести.
   Чтобы напряжения в крайних стержнях достигли напряжений текучести, нагрузку необходимо увеличивать. При этом напряжения в среднем стержне не будут увеличиваться и заданная статически неопределимая система превратится в статически определимую. Такая схема работы нашей конструкции будет иметь место, пока
   Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

≤ Q ≤ Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Таким образом, метод расчета по допускаемым нагрузкам позволяет спроектировать статически неопределимую систему из материала, обладающего площадкой текучести, экономичнее, чем при расчете по допускаемым напряжениям, так как при способе расчета по допускаемым напряжениям мы считали за предельную нагрузку нашей конструкции величину Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, при которой до предела текучести доходил лишь материал среднего стержня, крайние же были недостаточно напряжены.

69. Понятие рамы. Выбор основной системы. Метод сил

   Стержневой конструкцией называют конструкцию, которая состоит из элементов, формой напоминающих стержень. Если элементы этой конструкции работают на растяжение или сжатие, конструкцию называют фермой, если элементы работают на кручение или изгиб, конструкция называется рамой.
   Стержневые конструкции подразделяются на статически определимые и статически неопределимые. Статически определимой называют систему, для которой при помощи уравнений равновесия возможно определить все реакции опор, а затем по ним методом сечения рассчитываются внутренние силовые факторы. Статически неопределимой называется система, для которой требуется составление дополнительных уравнений перемещений.
   Количество лишних связей определяет число статической неопределимости. Для решения таких задач применяют метод сил, который заключается в следующем: необходимо преобразовать заданную статически непреодолимую систему в статически определимую путем устранения из нее лишних связей. Если к такой системе приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакцию отброшенных связей, то устранение избыточных связей не будет сказываться на внутренних усилиях и деформациях. Такая система, полученная отбрасыванием лишних связей, называется основной. Реакции отброшенных связей имеют такие значения, при которых перемещения по их направлениям равны нулю.
   Существует алгоритм преобразования статически неопределимых задач в статически определимые:
   1) определяется степень статической неопределенности системы методом подсчета лишних связей;
   2) лишние связи отбрасываются и заменяются неизвестными усилиями (определяется основная система);
   3) составляются дополнительные уравнения деформации, основанные на положении, что перемещения в основной системе от внешних нагрузок и лишних неизвестных должны быть такими же, как и в заданной системе;
   4) определяются внутренние усилия в элементах статически неопределимой системы (по методу сечений) путем решения полученных уравнений.
   Система линейных уравнений вида:
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+…+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0;
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

X + δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+…+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0;
   …………….
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+…+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0.
   называется системой канонических уравнений метода сил. В ней δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– перемещения в направлении действия i-той силы под действием j-той силы, Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– перемещения в направлении действия i-той силы под действием нагрузки P (системы внешних сил).
   Неизвестными в такой системе уравнений являются реакции отброшенных связей. Число уравнений равно числу отброшенных связей.

70. Канонические уравнения. Определения коэффициентов

   Статически неопределимыми называются стержневые системы, при расчете усилий которых недостаточно уравнений статики и которые требуют составления дополнительных уравнений деформации. Такие задачи решают, как правило, при помощи метода сил, который заключается в следующем: статически неопределимая система освобождается от лишних связей, они заменяются силами и моментами. Сначала лишние связи заменяются неизвестными усилиями, затем составляются дополнительные уравнения деформации, из которых определяются внутренние усилия.
   При устранении лишних связей мы имеем систему, называемую основной. В этой системе реакции отброшенных связей должны иметь значения, при которых перемещения по их направлению равны нулю. На основе принципа действия независимости сил можно записать выражения для перемещений в направлении каждой отброшенной связи:
   Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+…+ Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0.
   ∆ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– перемещения в направлении действия i-той силы под действием нагрузки P (системы внешних сил). Обозначим реакцию k-той связи X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, перемещения Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

:
   Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+…+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0.
   Следовательно, условия эквивалентности заданной и основной систем выглядят следующим образом:
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+…+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0.
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+…+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0.
   …………….
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+…+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0.
   Такая система уравнений называется системой канонических уравнений метода сил.

71. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости

Система, которая состоит из элементов стержнеобразной формы, подвергающихся воздействию изгиба или кручения, называется рамой. Если рама имеет симметричную форму, ее расчет значительно упрощается, так как снижается количество искомых силовых факторов.
На Рис. 32 приведены примеры нагружения рамы симметричной и несимметричной нагрузками.

   Рис. 32

   При симметричной нагрузке внешние силы, прикладываемые к одной стороне рамы, являются зеркальным отображением приложения внешних сил к другой стороне. При асимметричной (кососимметричной) нагрузке внешние силы, прикладываемые к одной стороне рамы, являются зеркальным отображением сил, приложенных к другой стороне с противоположным знаком.
   Внутренние силовые факторы классифицируются аналогично внешним. Два изгибающих момента и нормальная сила представляют собой симметричные, две поперечные силы и крутящий момент – асимметричные факторы.
   У симметричной рамы при наложении симметричной внешней нагрузки асимметричные силовые факторы в плоскости симметрии обращаются в нуль. Соответственно, при наложении асимметричной нагрузки обращаются в нуль симметричные силовые факторы. В рассматриваемой системе под воздействием симметричной нагрузки не возникает асимметричных перемещений, и наоборот, под воздействием кососимметричной нагрузки не возникает симметричных перемещений. Благодаря этому при составлении канонических уравнений, при помощи которых производятся расчеты таких систем, многие коэффициенты обращаются в нуль.
   Если приложенная к системе нагрузка не является ни симметричной, ни асимметричной, то ее можно представить в виде симметричных и асимметричных составляющих.

72. Плоскопространственные системы

   Стержневой конструкцией называется конструкция, состоящая из стержнеобразных элементов. Если эти элементы подвергаются воздействию сжатия или растяжения, то такая система называется фермой, если изгиба или кручения – рамой. Простейшим случай стержневых систем представляют собой плоские системы, в которых оси всех составляющих, действия всех внешних сил и реакций опор располагаются в одной плоскости, которая служит также и главной плоскостью сечений.
   Системы, в которых оси составляющих элементов располагаются в одной плоскости, а действующие внешние силовые факторы и реакции опор – в перпендикулярной ей, называются плоскопространственными. Все остальные системы являются пространственными.
   Плоскопространственные системы обладают следующим свойством: внутренние силовые факторы, лежащие в плоскости рамы, равны нулю. Докажем это. Рассмотрим пример плоскопространственной рамы, разрезанной в произвольном сечении. Изгибающий момент, крутящий момент, вертикальная поперечная сила, обозначим через X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Остальные факторы обозначатся через X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Одна из главных осей этого сечения располагается в плоскости рамы.
   Для решения таких задач используется метод сил и составляется система канонических уравнений. Для такой рамы система уравнений выглядит следующим образом:
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Так как при перемножении эпюров трех первых факторов на эпюры трех последних получаем нуль,
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0
   система преобразуется к виду:
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= –δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Если рама плоская, т. е. внешние силы действуют в плоскости этой рамы, то δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

обращаются в нуль и внутренние силовые факторы X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

также равны нулю. Следовательно, в случае плоской рамы в ее плоскости возникают только внутренние силовые факторы. Если внешние силы расположены перпендикулярно плоскости рамы, то в нуль обращаются δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и силовые факторы X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Если внешняя нагрузка смешанная, то ее можно разложить на составляющие и отдельно рассматривать плоскую и плоскопространственную системы.

73. Понятие об устойчивости сжатых стержней

При рассмотрении вопросов о деформации сжатия и растяжения было установлено, что тело теряет свою работоспособность при напряжениях, возникающих под воздействием нагрузки, превышающих допустимые пределы прочности и текучести. Практика показывает, что тело может потерять нормальную работоспособность и вследствие утрачивания первоначальной формы равновесия.
Тело может находиться в трех состояниях равновесия: устойчивом, безразличном и неустойчивом. Рассмотрим это утверждение на примере длинного металлического стержня.

Рис. 33.1

Рис. 33.2

   Рис. 33.3

   На ось стержня действует небольшая сила (Рис. 33.1). Если наложить на этот стержень небольшую поперечную нагрузку, стержень отклонится от своего первоначального положения (Рис. 33.2), затем вернется к своей первоначальной форме. Положение стержня на Рис. 33.1 определяет неустойчивое положение стрежня, на Рис. 33.2 – устойчивое. Если поперечная нагрузка будет увеличиваться и превысит некую допустимую, стержень изогнется, потеряет свою устойчивую форму равновесия (Рис. 33.3). Изгиб стержня, при котором теряется прямолинейное положение равновесия, называется продольным изгибом.
   СилаF -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, при которой стержень перестает сохранять свою первоначальную форму равновесия, называется критическим.
   Экспериментальным путем установлено, что при маленьких по сравнению с критической нагрузках прогибы незначительны, но при приближении нагрузки к критическому значению прогибы быстро возрастают. Условие равновесия для стержня записывается в виде:

   где F – действующая внешняя сила;
   n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– допустимый коэффициент запаса устойчивости.
   Коэффициент запаса устойчивости подбирается несколько больше допустимого коэффициента запаса прочности.
   Потеря равновесия нарушает нормальную работу конструкции, поэтому на практике критическая сила рассматривается как предельная. Потере устойчивой формы могут подвергаться не только гибкие стержни, но и тонкостенные оболочки, а также пластины.

74. Формула Эйлера для критической силы

   Определим значение критической силы для сжатого стержня. Рассмотрим стержень, находящийся в критическом состоянии. Для длинного стержня моменты инерции относительно главных осей не равны, продольный изгиб происходит в плоскости наименьшей жесткости. Запишем приближенное дифференциальное уравнение для изогнутой балки:
   Elv'' = M,
   где v – прогиб балки.
   Относительно центра тяжести изгибающий момент:
   M = –F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

v.
   Знак «–» появляется потому, что прогиб положителен, значит, момент отрицателен.
   Elv'' = –F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

v.
   Обозначим отношение F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ Fl = q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка, из высшей математики его решение имеет вид:
   v = C cosqz + D sinqz.
   C и D – постоянные интегрирования, их можно найти из известных условий на концах стержня: при z = 0, v = 0; при z = l, v = 0.
   При выполнении первого условия
   v = D sinqz,
   из чего следует, что ось изогнутого стержня представляет собой синусоиду. Из второго условия
   D sinql = 0.
   Очевидно, что коэффициент D не равен нулю, так как в этом случае при любых значениях z прогиб оставался бы равным нулю, т. е. стержень оставался бы в прямолинейном положении. Следовательно,
   sinql = 0,
   ql = 0, π, 2π…
   При ql = 0 критическая сила также равна нулю, и такое решение задачи не имеет смысла. Так как практический интерес представляет наименьшее значение критической силы, считаем решением задачи ql = π.

Это соотношение носит название формулы Эйлера.

75. Влияние способа закрепления концов стержня

Формула Эйлера, определяющая критическую нагрузку для сжатого стержня, выглядит следующим образом:

Это соотношение верно в том случае, если рассматриваемый стержень шарнирно закреплен с двух концов (см. Рис. 34.2). Рассмотрим другие варианты закрепления.

В общем случае формула Эйлера выглядит так:

   μ – так называемый коэффициент приведения длины стержня (коэффициент Ясинского), который зависит от способов закрепления стержня. Произведение μl носит название приведенной длины стержня.
   Для различных способов закрепления коэффициент приведения длины стержня имеет следующие значения:
   1) стержень жестко закреплен одним концом (Рис. 34.1):
   μ = 2;
   2) стержень закреплен шарнирно двумя концами (Рис. 34.2):
   μ = 1;
   3) стержень жестко закреплен одним концом и шарнирно – другим (Рис. 34.3):
   μ = 0,7;
   4) жесткая заделка (Рис. 34.4):
   μ =0,5
   Значения коэффициента Ясинского получены путем решения линейного дифференциального уравнения второго порядка, которое получается из уравнения для изгибающего момента M = – F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

v и дифференциального уравнения изогнутой балки Elv'' = M.
   Из формулы Эйлера в общем виде ясно, что коэффициент Ясинского обратно пропорционален критической нагрузке стержня. Из этого следует, что практически выгодно жестко закреплять стержень, что, к сожалению, не всегда возможно.

76. Пределы применимости формулы Эйлера

Напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня, под действием критической нагрузки называется критическим напряжением и определяется формулой:

   Воспользуемся формулой Эйлера для критической силы и сведем в одну две характеристики сечения I -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и А:

– минимальный радиус инерции сечения.
Отношение приведенной длины к минимальному радиусу сечения называется гибкостью стержня:

.
Таким образом, выражение для критического напряжения выглядит следующим образом:

Вывод формулы Эйлера основан на линейном дифференциальном уравнении для изогнутой балки. Следовательно, формула Эйлера справедлива только в пределах применимости закона Гука (т. е. в случаях, когда критические напряжения, возникающие в теле при нагрузке, не превышают определенного предела пропорциональности материала). Таким образом, условие применимости формулы Эйлера выглядит следующим образом:

или

Минимальную гибкость стержня применимости формулы Эйлера называют предельной.

   Значение предельной гибкости зависит от материала, из которого изготовлено рассматриваемое тело (стержень). Если гибкость стержня меньше допустимой предельной, то устойчивость стержня определяется формулой Ясинского:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= a – bλ
   Коэффициенты a и b зависят от материала стержня. При достижении гибкостью стержня некоторого значения λ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

критическое напряжение, определяемое формулой Ясинского, уравнивается с предельным напряжением сжатия.
   Стержни с гибкостью λ < λ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

называются стержнями малой гибкости и рассчитываются на прочность сжатием.
   Стержни с гибкостью λ > λ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

называются стержнями средней гибкости и рассчитываются на устойчивость при помощи формулы Ясинского.
   Стержни с гибкостью λ > λ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

называются стержнями большой гибкости и рассчитываются на устойчивость формулой Эйлера.

77. Проверка сжатых стержней на устойчивость

   Расчет стержня на устойчивость вне зависимости от гибкости может осуществляться при помощи следующей формулы:
   F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= φσ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

А
   Для подбора сечения формулу приводят к следующему виду:
   A = F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ φσ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   В этой формуле σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– основное допускаемое напряжение на сжатие, А – площадь поперечного сечения стержня, φ – коэффициент продольного изгиба, зависящий от материала и гибкости стержня.
   Известно, что допускаемое напряжение на сжатие определяется из следующего соотношения:

   где σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– предельное напряжение (считается равным пределу текучести для пластичных материалов или равным пределу прочности для хрупких материалов);
   n – коэффициент запаса прочности.
   Произведение φσ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

можно рассматривать как допускаемое напряжение при расчете на устойчивость
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= φσ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Так как
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= φσ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   коэффициент продольного изгиба
   φ = σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

n / (n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)
   Этот коэффициент зависит от материала и гибкости исследуемого стержня, его значения определяются по таблицам.

78. Энергетический метод определения критических нагрузок

   Рассмотрим стержень, вдоль оси которого действует сила Р (Рис. 35). Если Р < Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, то стержень находится в состоянии устойчивого равновесия. Воздействуем на этот стержень поперечной силой Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, при изгибе стержня обе силы совершат работу, что увеличит потенциальную энергию стержня.

   Рис. 35

   Согласно закону сохранения энергии можно записать, что
   U -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Pl’ + A -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Первое слагаемое определяет работу продольной силы, второе – работу поперечной силы.
   Энергия изгиба может иметь одно и то же значение при разных соотношениях сил Р и Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, как видно из уравнения энергетического баланса. Таким образом, вероятен случай, когда стержень примет криволинейную форму под воздействием одной только силы Р, без приложения поперечной силы. Тогда
   U -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

l’.
   Энергию изгиба можно выразить через изгибающий момент:

   Перемещение можно выразить как разность полной длины стержня l и проекцией изогнутой линии на прямую, совпадающую с осью стержня, когда на него не воздействуют
   dl’ = dz – dz cosθ,
   или, если считать вследствие малости угла θ θ = y’,

Таким образом, критическая сила определяется следующим соотношением:

Если функция y известна (критическая сила определяется легко), но в таком виде требуются довольно громоздкие расчеты для вычисления дифференциального уравнения, тогда для решения этой задачи попробуем предположить форму функции y, соблюдая выполнение ее граничных условий. Подставляя предполагаемую функцию в полученное соотношение для критической силы, мы имеем решение задачи, которое дает небольшую погрешность даже при грубых допущениях. Энергетический метод позволяет определять критические нагрузки довольно простым способом, но на практике применяется редко.

79. Метод начальных параметров при определении критических нагрузок

Один из самых распространенных методов определения критических нагрузок – метод параметров. Рассмотрим стержень с промежуточной дополнительной опорой. Выберем систему координат таким образом, чтобы ее начало совпадало с левым концом стержня. Распределенную нагрузку продлим до конца балки, а для ее компенсации приложим нагрузку обратного направления (см. Рис 36). С учетом момента М, который приложен на расстоянии а от начала координат, уравнение упругой линии в данном случае:

После интегрирования:

Снова интегрируем:

   Начальные параметры – то, что мы имеем в начале координат, т. е. для Рис. 36 М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0, Q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, прогиб y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0, угол поворота θ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

≠ 0. θ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

находим из подстановки во второе уравнение условия закрепления правой опоры: x = a + b + c; y(x) = 0.
   Даем нагрузке небольшое приращение и повторяем рассуждения снова. Шаг приращения может уменьшаться, и так до тех пор, пока не будет найдено значение критической силы с необходимой точностью.

Рис. 36

80. Напряжения и деформации в быстровращающихся дисках

   При высокой скорости вращения в валах и дисках возникают большие центробежные усилия, которые вызывают напряжения, равномерно распределяющиеся относительно оси вращения.
   Рассмотрим вращающийся диск постоянной толщины, примем ее равной единице.
   Рассмотрим элемент диска (Рис. 37) и составим для него уравнение равновесия:

   где σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– напряжения, действующие на боковых гранях элемента;
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ dσ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– напряжения на внутренней и внешней поверхностях рассматриваемого элемента;
   четвертое слагаемое определяет влияние сил инерции.

Рис. 37

Запишем уравнение условий совместности деформаций для данной задачи:

или

Продифференцируем уравнение равновесия и подставим значение

, получим:

Интегрируя это уравнение, находим:

где А и В – постоянные интегрирования, которые могут быть определены из условий на контуре диска:

.
Следовательно,

81. Определение напряжений в толстостенных цилиндрах

   При расчете тонкостенных цилиндров делается допущение, что давление равномерно распределяется по толщине стенки. В случае цилиндров с толстыми стенками такое допущение приводит к большим погрешностям.
   Рассмотрим пример: толстостенный цилиндр с наружным радиусом r -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, внутренним радиусом r -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, подвергнутый внешнему давлению Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и внутреннему Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Выберем элемент цилиндра, представляющий собой тонкое кольцо радиуса r.
   Обозначим напряжение, действующее на боковых гранях кольца σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, напряжения на внутренней и внешней поверхностях кольца – σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ dσ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. По граням элемента АВ будет действовать главное напряжение σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, будем считать его постоянным для всего поперечного сечения цилиндра.
   Составим уравнение равновесия для рассматриваемого элемента, которое будет иметь вид:

Так как в одном уравнении присутствуют два неизвестных, задача является статически неопределимой, рассмотрим деформации этого элемента. Деформации в этом случае заключаются в радиальном растяжении, обозначим его u, тогда относительное удлинение поверхности запишется как

, относительное удлинение боковых поверхностей

. Согласно закону Гука

Дифференцируем второе уравнение по r:

   заменив ε -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и ε -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, получим:

   или, после подстановки разности и преобразований σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

,

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

Из граничных условий найдем значения постоянных А и В:

Окончательно

82. Устойчивость плоской формы изгиба

   В некоторых случаях плоская форма изгиба стержня может потерять устойчивость.
   Рассмотрим плоскую форму изгиба на примере балки, концы которой нагружены моментами М, лежащими в вертикальной плоскости. Будем считать, что брус изогнулся перпендикулярно плоскости действия моментов и при этом одновременно закрутился. В произвольном сечении момент изгиба определяется как
   М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= – φМ
   φ – угол поворота поперечного сечения вокруг своей продольной оси, знак минус определяется тем, что момент изгиба направлен в сторону уменьшения кривизны.
   Определим крутящий момент этого сечения:
   M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= θМ
   θ = у' – угол поворота относительно вертикальной оси, произведение θМ представляет составляющую момента М относительно оси z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. Запишем известные дифференциальные уравнения для моментов:
   EI θ’ = М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

=> EI θ’ = – φМ;
   GI -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

φ’ = M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

=> GI -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

φ’ = θМ.
   Произведение EI представляет жесткость бруса на изгиб перпендикулярно плоскости моментов М, произведение GI -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– жесткость на кручение. Преобразуем эти выражения, получим:
   φ'' = k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

φ = 0
   коэффициентом k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

обозначили выражение

В случае балки с защемленными концами можно воспользоваться методом приведенной длины (Рис. 38),

Рис. 38

83. Учет сил инерции

   Нагрузка, постепенно возрастающая с течением времени от нуля до своего максимального значения, называется статической нагрузкой. Силами инерции такой нагрузки пренебрегают. Если нагрузка изменяется во времени достаточно быстро (т. е. время, за которое нагрузка претерпевает существенные изменения, сравнимо по порядку с периодом собственных колебаний рассматриваемой системы), то такая нагрузка называется динамической. При такой нагрузке силы инерции учитываются. Под воздействием динамической нагрузки согласно принципу Даламбера каждый элемент рассматриваемого тела можно считать находящимся в состоянии равновесия под воздействием внешних сил. При этом величина инерции, действующей на отдельный элемент тела, определяется следующим соотношением:
   dP -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= adm,
   где dm – масса;
   a – ускорение частица.
   Сила инерции направлена противоположно направлению ускорения.
   Массу элементарной частицы можно определить как отношение ее веса к ускорению силы тяжести:

Обозначим v – объемный вес материала, dV – объем элементарной частицы.
Получим:

Применяя такие рассуждения к стержневой системе, объемные силы инерции заменяют силами инерции, распределенными по оси стержней. Объем dV представим как произведение Fdx, тогда выражение, определяющее инерцию стержневых систем, представим в виде:

где F – площадь поперечного сечения.

84. Напряжение при свободных колебаниях системы

   Рассмотрим тело, например, горизонтально расположенную балку, находящуюся в состоянии статического равновесия. Если наложить на эту балку нагрузку, а затем сразу же убрать ее, то балка прогнется до какого-то своего крайнего положения, а затем под действием сил упругости примет свое противоположное крайнее положение, эти колебания будут продолжаться в течение какого-то времени. Такой вид колебательного движения при отсутствии нагрузки называют собственными колебаниями системы (или свободными колебаниями в противоположность вынужденным колебаниям, возникающим при воздействии переменных внешних сил). Частицы колеблющейся системы испытывают на себе воздействие следующих сил: собственной силы тяжести, силы упругости, действующих со стороны смежных частиц, силы инерции согласно принципу Даламбера.
   Рассмотрим теперь колебания системы с одной степенью свободы, состоящей из балки и закрепленного на ней груза массой Р. Инерция тела определяется соотношением
   Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= ma.
   Масса тела в этом примере означает массу груза, предполагается, что сама балка имеет нулевую массу. Ускорение представляет собой вторую производную от перемещения, в данном случае
   A = d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

∆ / dt -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   где ∆ – прогиб под воздействием нагрузки Р, отсчитывается от положения равновесия балки. Обозначим прогиб балки от единичной силы ∆ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, тогда прогиб ∆ = Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

∆ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Таким образом, можно записать выражение для инерции балки в следующем виде:
   – (P/g)(d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

∆ / dt -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) = ∆ / ∆ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Ускорение и сила инерции направлены противоположно, поэтому в формуле появляется знак минус.
   Приведем полученное соотношение к виду:
   (P/g)(d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

∆ / dt -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) + ∆ / ∆ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0
   Мы получили дифференциальное уравнение свободных колебаний системы, общее решение его имеет вид:
   ∆ = С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cos(wt + C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)
   и носит название уравнения свободных колебаний системы, в нем

, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– постоянные интегрирования. Это уравнение показывает, что значение перегиба ∆ периодично повторяется с течением времени. Величина wназывается циклической частотой колебаний и представляет собой число колебаний, совершаемых за промежуток времени 2πt. Временной интервал, за который система совершает одно полное колебание, носит название периода свободных колебаний, его величина определяется по формуле

   Значения максимальных и минимальных прогибов от положения статического равновесия определяются из уравнений
   cos(wt + C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) = 1;
   cos(wt + C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) = 1
   и носят название амплитуды.
   Определим значение максимального полного напряжения. Оно возникает в тот момент времени, когда прогиб балки максимален, воздействие нагрузки на балку складывается из Р и Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

. В сечении середины балки действует максимальный изгибающий момент

Исходя из этого максимальное нормальное напряжение в балке вычисляется по формуле:

здесь W – момент сопротивления поперечного сечения балки.

85. Напряжение при вынужденных колебаниях системы

   Рассмотрим горизонтально закрепленную балку, на которую статически наложена нагрузка Р, находящуюся в положении статического равновесия. Если воздействовать на эту балку внешней нагрузкой по некоторому закону, то балка периодично будет перемещаться из крайнего нижнего положения в крайнее высшее, т. е. совершать колебания, которые называются вынужденными. Предположим, что балка имеет нулевой вес, и что внешняя нагрузка S приложена в том же сечении, что и нагрузка P, закон ее изменения S(t) = S cosφt, где S – максимальное значение этой силы, φ – ее частота.
   Прогиб балки от положения статического равновесия под совместным воздействием статической силы Р и динамической S вычисляется по формуле:
   ∆ = (P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ S cosφt)∆1 => P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= ∆ / ∆ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– S cosφt,
   где ∆ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– прогиб от единичной силы.

   Рис. 39

   Момент инерции определяется соотношением
   Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= ma = (P / g)(d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

∆ / dt -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

),
   где m = P / g – масса груза Р, a = d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

∆ / dt -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– его ускорение.
   Таким образом,
   (P/g)(d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

∆ / dt -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) = ∆ / ∆ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– S cosφt.
   Приведем полученное выражение к виду:

где

– частота свободных колебаний системы. Полученное соотношение носит название дифференциального уравнения вынужденных колебаний системы второго порядка. Общее его решение называется уравнением вынужденных колебаний системы и имеет вид:
   ∆ = С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

cos(wt + C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) + (gS cosφt)(P(w -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

));
   Первое слагаемое определяет свободные колебания системы, второе – вынужденные.
   Амплитуда вынужденных колебаний определяется максимальным значением второго слагаемого.
   Полное напряжение этой системы определяется следующим образом:
   σ = σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

k + σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   где σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– напряжение от статического воздействия силы S, k = 1/(1 – φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/w -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) – динамический коэффициент, σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– напряжение от воздействия нагрузки P.

86. Удар. Определение напряжений. Проверка прочности

Под ударом понимается внезапное соприкосновение тел, при котором происходит резкое возрастание деформаций и напряжений в телах, которое постепенно уменьшается в течение короткого промежутка времени, и система приходит в состояние равновесия (Рис. 40.1). Считается, что при ударе не происходит отскока тел друг от друга, т. е. удар является неупругим.
Рассмотрим это явление на примере падения груза Р с некоторой высоты h на неподвижную систему. После удара система приходит в равновесие, напряжения и деформации в ней устанавливаются под воздействием статически приложенной силы Р (Рис. 40.2).

Рис. 40.1

Рис. 40.2

Определение напряжений и деформаций тела после удара составляет задачу расчета на удар. В основе этого расчета лежит предположение, что эпюра перемещений системы при ударе совпадает с эпюрой перемещений системы при статическом воздействии на нее:

   где Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– прогибы от удара в сечении воздействия силы Р и произвольном сечении x соответственно;
   Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и Δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– прогибы от статического воздействия силы Р в тех же сечениях;
   k – так называемый динамический коэффициент, показывающий, во сколько раз прогиб при ударе превышает прогиб от статического воздействия силы.
   Напряжения при динамическом воздействии силы относятся к напряжениям от статического воздействия силы так же, как и соответствующие перемещения:

Динамический коэффициент k учитывает вес и инерцию падающего тела, для его определения существует формула:

где v – скорость падающего тела в момент соприкосновения с системой.

87. Переменные напряжения. Основные определения

   На практике часто встречаются случаи, когда механизмы и сооружения работают в условиях напряжений, периодически изменяющихся во времени по какому-либо закону.
   – Совокупность значений напряжений в течение одного периода их изменений носит название цикла напряжений. Характеристики (параметры) цикла:
   – максимальным (минимальным) значением напряжения (σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

(σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)) называется его наибольшее (наименьшее) алгебраическое значение;
   – средним напряжением называется половина алгебраического значения суммы макисмального и минимального напряжений:
   – σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) / 2;
   – амплитудой цикла называется половина алгебраической разности максимального и минимального значений напряжений:
   – σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) / 2.
   – Если минимальное и максимальное значения напряжений численно равны, но противоположны по знаку, то цикл таких напряжений называется симметричным. В любом другом случае цикл называется асимметричным. Асимметричные циклы бывают знакопеременные и знакопостоянные Если минимальное или максимальное значение напряжений равно нулю, то цикл называется отнулевым или пульсирующим;
   – отношений минимального напряжения к максимальному называется коэффициентом асимметрии цикла:
   – R = σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

;
   – иногда в расчетах используется понятие характеристики цикла:

   Цикл можно полностью описать любыми двумя его параметрами, все остальные легко находятся из перечисленных формул.
   Экспериментально установлено, что в случае переменных напряжений напряжения разрушения гораздо меньше, чем опасные напряжения для статических нагрузок. В любом материале существует некоторая неоднородность прочности, при воздействии статических нагрузок напряжения перераспределяются и разрушения не происходит. При воздействии динамических нагрузок в местах пониженной прочности возникают микротрещины, вокруг которых в свою очередь происходит концентрация напряжений, что приводит к увеличению трещин. Этот процесс накопления повреждений материала под периодически повторяющимся воздействием нагрузки называется усталостью материала.
   Способность материала противостоять действию повторяющейся нагрузки без разрушений называется выносливостью материала. Для того чтобы определить какие-либо характеристики материала, производят так называемые испытания на выносливость, а расчет прочности конструкций при воздействии переменных напряжений – расчетом на выносливость. Пределом выносливости называется наибольшее из максимальных напряжений цикла, при котором не происходит усталостного разрушения образца после некоторого определенного (базового) количества циклов.

88. Определение предела выносливости при симметричном цикле

   Экспериментально установлено, что на предел выносливости оказывают влияние такие факторы, как концентрация напряжений, размеры поперечных сечений элементов, состояние поверхности, характер технологической обработки и т. д. Укажем, в чем заключается влияние этих факторов.
   Концентрация напряжений. Изменения формы детали снижают предел выносливости в сравнении с пределом выносливости гладких цилиндрических образцов. Для учета этого изменения служит эффективный коэффициент запаса напряжений К -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

:

Значения этого коэффициента указаны в справочниках.
Величина абсолютных размеров поперечного сечения детали. Экспериментально установленная зависимость показывает, что при уменьшении абсолютных размеров сечения предел прочности возрастает. При расчетах используется коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения, который определяется по формуле:

Качество поверхности. Грубая обработка поверхности детали уменьшает предел выносливости. Для учета влияния обработки поверхности служит коэффициент качества:

   Таким образом, предел выносливости лабораторного образца всегда больше, чем предел выносливости конкретной детали, он определяется по формуле:
   (σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

K -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

K -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ K -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

,
   При известном максимально допустимом напряжении симметричного цикла для рассматриваемой детали запас прочности по усталости определяется следующим образом:
   n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Запас прочности при кручении:
   n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ τ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   При сложном напряженном состоянии материала коэффициент запаса прочности определяется следующим образом:

89. Определение предела выносливости при несимметричном цикле

При расчетах для случая асимметричного цикла напряжений используется упрощенная диаграмма предельных напряжений, при построении которой учитываются концентрация напряжений, влияние абсолютных размеров сечения, состояние поверхности.

   Рис. 41

   Предельная амплитуда напряжений лабораторного образца определяется по формуле:
   σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

ψσ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Предельная амплитуда для реальной детали:

   Линия предельных напряжений на графике строится при помощи уравнения:
   (σ' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (σ' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

+ σ' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– ψ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

σ' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)(K -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

K -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/K -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) + σ' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

   Предположим, что нагрузка на деталь является простой, т. е. отношение

.
   Коэффициент запаса прочности в таком случае будет определяться по формуле:
   n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/((σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

K -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)/(K -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

K -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) + ψ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)
   При кручении:
   n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

/ ((σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

K -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)/(K -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

K -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) + ψ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)
   При сложном напряженном состоянии коэффициент запаса прочности определяется следующим образом:

90. Определение динамического коэффициента при ударе

   Рассмотрим падение жесткого тела А массой Q на жесткое тело В, опирающееся на какую-либо упругую систему с некоторой высоты h. Так как оба тела считаются жесткими, их деформацией можем пренебречь. На какое-то время тело В переместится на какое-то расстояние δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, в силу упругости системы, и в системе возникнут напряжения Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

(в зависимости от вида деформации нормальные или касательные). Полагаем, что кинетическая энергия падающего тела полностью переходит в потенциальную энергию деформации системы:
   Е -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= UД.
   По окончании деформации тело А пройдет путь h + δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

, энергия этого тела определяется проделанной им работой:
   Ек = Q(h + δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

).
   Как известно, при статической деформации потенциальная энергия тела определяется как половина произведения действующей силы на перемещение, вызванное этой силой:
   UД = (Q δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) / 2,
   где δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– статическая деформация, определяемая согласно закону Гука;
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Q / c;
   с – коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью системы.
   Таким образом,
   U -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (Q δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) / 2 = (с δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)/2.
   Считаем, что для этой формулы справедливы два предположения: во-первых, справедлив закон Гука, во-вторых, сила Q, напряжение Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

и деформация δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

постепенно возрастают от нулевого до своего максимального значения. Исходя из этих предпосылок, вид формулы для потенциальной энергии при ударе запишется аналогично действию статической силы Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

на упругую систему.
   U -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= (Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)/2 = (с δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

)/2 = (Q δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) / 2δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

.
   Соответственно, энергетическое уравнение системы запишется в виде:
   (Q δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

) / 2δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= Q(h + δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

).
   Откуда
   δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– 2δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

δ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

– 2hδ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------

= 0,

Максимальное значение перемещения в направлении удара

Согласно закону Гука напряжения пропорциональны деформации, т. е.

Как видно, величина динамических деформаций, напряжений и усилий зависит от величины статической деформации, т. е. от жесткости и продольных размеров ударяемого

называется динамическим коэффициентом.

91. Прочность при переменных напряжениях

   Зачастую расчеты на прочность выполняются как проверочные. Проверочный расчет проводится после построения рабочего чертежа. При этом учитывается переменность напряжения, определяются запасы прочности для предположительно опасных сечений по аналогии с похожими деталями. При проверочном расчете условие прочности определяется как
   n ≥ [n]
   Величина необходимого запаса прочности зависит от ряда причин, таких как назначение детали, условия ее работы, точность определения нагрузок и т. д. Если расчетный коэффициент прочности сильно превышает необходимый, то деталь считается неэкономичной, если расчетный коэффициент меньше требуемого, то прочность детали считается недостаточной. И в том, и в другом случае приходится вносить изменения в размеры или конструкцию детали, в некоторых случаях даже заменять материал. Обычно требуемый коэффициент находится в пределах 1,4–3,0.
   Коэффициентом запаса прочности называется отношение предела выносливости, определенного для детали, к номинальному (т. е. определенному теоретически по формулам, без учета влияющих на величину предела выносливости факторов) значению максимального напряжения, возникающего в опасной точке детали. Проще всего коэффициент запаса прочности определяется в случае симметричного цикла напряжений.
   Для определения коэффициентов выносливости различных симметричных циклов существуют определенные соотношения:
   изгиб

сжатие (растяжение)

кручение

Р. Сиренко Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов