Рис. 1
(знак берется в зависимости от знака С).
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
, называется число, равное
.
, то:
, где с – постоянная;
;
.
, тогда сходятся и последовательности {cx -------
(данное утверждение неверно для строгих неравенств).
.
;
;
, где В – некоторое число.
a -------
. Если такового предела не существует, то ряд называется расходящимся.
. Пусть даны два ряда 
a -------
, произведением ряда 
, 
, то ряд сходится. При этом если 
.
a -------
, то он равен радиусу сходимости данного ряда, т. е. L = R.
называется тригонометрическим рядом. Числа a -------
, а коэффициенты данного ряда представлены в виде коэффициентов Фурье, то такой тригонометрический ряд называется рядом Фурье функции f(x).
.
.
.
.
):
, то 
.
(или справа 
), то этот предел называется левой (правой) производной функции f(x) в точке х.
.
.
, d(arccos x) = – dx / 
. (При k = 0 наклонная асимптота становится горизонтальной.)
или тf(x)dx = тf(x)dx;
.
.
.
.
.
.
.
.
, не зависящий от способа разбиения отрезка [a, b] и выбора точек τ -------
. Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b] функцией f(x), dx – подынтегральным выражением, а – нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом, 
– интегральной суммой.
;
;
;
.
f(x)dx ≤ M(b – a).
.
называется сходящимся, в противном случае говорят, что интеграл расходится.
.
называется абсолютно сходящимся.
. Причем интеграл с двумя бесконечными пределами сходится, если сходятся оба интеграла, стоящие в правой части последнего равенства, если хотя бы один из них расходится, то расходится и интеграл с двумя бесконечными пределами.
. Для интеграла от неограниченной функции справедливы те же свойства, что и для интегралов с бесконечными пределами. Интеграл от функции, стремящейся к бесконечности при приближении к обеим концам промежутка (a, b), представляется в виде суммы двух интегралов. 23. Функции нескольких переменных. Область. Предел. Непрерывность
Переменная z называется функцией двух переменныхх, у (аргументы функции), если некоторым парам значений х, у по какому–либо правилу ставится в соответствие определенное значение переменной z. Множество пар значений х, у, которые могут принимать эти переменные, называется областью определения функции, а множество значений переменной z, принимаемых в области определения, называется областью значений функции. Графиком функции z = f(x, y) является множество точек пространства (x, y, z), у которых х, у принадлежат области определения функции, а z = f(x, y). Обычно это некоторая поверхность. Линией уровня функции двух переменных называется множество точек х, у, для которых f(x, y) = const. Аналогично определяются функции трех и более аргументов.Функцию нескольких аргументов можно задать формулой (аналитически), таблицей, пространственной моделью, способом палеток с помощью линий или поверхностей уровня.
Число А называется пределом функцииz = f(x, y) = f(М) при стремлении точки М (х, у) к точке М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), если для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ что для всех точек М из области определения этой функции удовлетворяющих условию 0 < < MM -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
< δ (ММ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– расстояние между точками М и М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), имеет место неравенство |f(M) – A| < ε, обозначается
. Если предел функции равен нулю то функция называется бесконечно малой при М → М -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Все основные свойства пределов и бесконечно малых для функции нескольких переменных аналогичны соответствующим свойствам для функции одного аргумента.
Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точкеМ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), принадлежащей области определения функции, если
.Функция z = f(x, y) называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Открытой областью (областью) называется множество точек плоскости, обладающих следующими свойствами: каждая точка принадлежит области вместе с некоторой окрестностью; всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой плоскости. Замкнутой областью называется открытая область вместе со своей границей. Ограниченной областью является область, для которой можно подобрать круг, полностью ее покрывающий. Область называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит этой области.
Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области функция нескольких переменных имеет в этой области максимальное и минимальное значения, ограниченна принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями.
24. Частные производные. Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частной производной функции z = f(x, y) по какой–нибудь переменной в точке называется обычная производная по этой переменной при фиксированных других переменных.
Величины f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ Δx, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) – f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = Δz и f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ Δy) – f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = Δz называются частными приращениями функции в точке М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
по соответствующему аргументу, полным приращением функции Δz = f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ Δx, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ Δy) – f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
).
Если полное приращение можно представить в виде Δz = AΔx + BΔy + α(Δx, Δy)Δx + β(Δx, Δy)Δy, где A, B не зависят от Δx и Δy, а α(Δx, Δy) и β(Δx, Δy) стремятся к нулю при Δx и Δy, стремящихся к нулю, то функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке (х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) а линейная часть приращения AΔx + BΔy называется полным дифференциалом функции в точке (х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
): dz = AΔx + BΔy. Из дифференцируемости функции в точке следуют ее непрерывность в этой точке и существование ее частных производных.
Справедливо:
.Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция z = f(x, y) имеет частные производные в некоторой окрестности точки М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) и эти производные непрерывны в самой точке М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, то эта функция дифференцируема в точке М -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
.
Пусть функция z = f(x, y) – сложная, т. е. х = φ(t), y = ψ(t). Тогда:
.Пусть функция задана неявноF(x, y, z) = 0. Тогда:
Частными производными второго порядка от функции z = f(x, y) называются частные производные от функций ∂z / ∂x и ∂z / ∂y. Обозначаются:
Последние два выражения являются смешанными частными производными второго порядка.
Теорема. Смешанные частные производные второго порядка равны, если они непрерывны.
25. Двойной интеграл
Пусть имеется функция z = f(x, y), непрерывная внутри области G и на ее границе. Разобьем эту область произвольно на части и в каждой этой части возьмем по точке р -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), Δσ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– площадь каждой части, λ – наибольший из диаметров частичных областей разбиения. Тогда если существует предел суммы
, не зависящий от способа разбиения области G на частичные области и выбора точек р -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
,у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) то этот предел называется двойным интегралом от функции z = f(x, y) по области G и обозначается:
.Область G называется областью интегрирования, х, у называются переменными интегрирования, функция z = f(x, y) называется интегрируемой в областиG (подынтегральная функция), dу называется элементом площади.
Теорема (о существовании двойного интеграла).
Если область G с кусочно–гладкой границей Г ограничена и замкнута, а функция z = f(x, y) непрерывна в области G, то эта функция интегрируема в области G.
Свойства двойного интеграла:
1) постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла;
2) двойной интеграл от суммы функций равен сумме двойных интегралов от этих функций;
3) если область G разбита на две части G -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
и G -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, то:
4) если функция z = f(x, y) положительна в области G, то
тоже положителен;5) двойной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования G на площадь этой области.
Вычисление двойного интеграла.
1. Пусть область интегрирования G является прямоугольником a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d. Тогда:
2. Пусть область интегрирования G имеет произвольную форму и пересекается горизонтальными или вертикальными прямыми не более чем в двух точках. Тогда:
Область G: a ≤ x ≤ b, g -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x) ≤ y ≤ g -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x) или
(область G: q -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(y) ≤ x ≤ q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(y), c ≤ y ≤ d).
3. Если область интегрирования G произвольна, то она разбивается на части, каждая из которых относилась бы к одному из двух рассмотренных случаев.
В полярных координатах:
где x = rcosφ, y = rsin φ, r, φ – полярные координаты.
26. Тройной интеграл. Криволинейные интегралы
Пусть функция f(x, y, z), непрерывная внутри пространственной области Ω и на ее границе. Разобьем эту область на части и в каждой части возьмем по точке р -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), Δv -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– объем части, λ – наибольший из диаметров частичных областей разбиения. Существует предел суммы
, не зависящий от способа разбиения области Ω на области и выбор точек р -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) в этих областях, то предел называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области Ω и обозначается:
Область Ω называется областью интегрирования, х, у, z называются переменными интегрирования, функция f(x, y, z) называется интегрируемой в области Ω (подынтегральная функция), dv называется элементом объема.
Пусть имеется функция f(x, y), непрерывная в некоторой области числовой плоскости хОу. Если взять в этой области произвольную линию АВ, разбить ее на части дуги, в каждой взять точку (х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) и составить сумму
(Δl -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– длина частичной дуги), существует предел этой суммы, не зависящий от способа деления дуги на части и от выбора точек (х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x, y) по дуге АВ, обозначается
(λ – максимальная из длин частичных дуг). Дуга АВ называется путем интегрирования,А и В называются соответственно начальной и конечной точками интегрирования.Справедливо:
.Криволинейным интегралом второго рода называется предел следующей суммы, если он существует и не зависит от способа деления дуги на части и от вы бора точек:
(где Р(х, у) и Q(x, y) – проекции вектор–функции a (х, у), определенной по дуге АВ на оси координат). Криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру:
Свойства криволинейных интегралов:
1) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;
2) криволинейный интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме криволинейных интегралов от слагаемых;
3) криволинейный интеграл по всему пути равен сумме криволинейных интегралов по всем частям этого пути;
4) криволинейный интеграл вдоль замкнутого контура не зависит от выбора начальной точки.
27. Формула Римана – Грина. Поверхностные интегралы
Формула Римана – Грина связывает двойной и криволинейный интегралы:
(L – граница области G).
Теоремы о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл
в области G не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы 
, где L – это любой замкнутый контур в области G.Теорема 2. Для того, чтобы криволинейный интеграл
в области G не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие: ∂P / ∂y = ∂Q / ∂x.Теорема 3. Для того, чтобы криволинейный интеграл
в области G не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy было в этой области полным дифференциалом.Поверхностный интеграл определяется: пусть имеется некоторая гладкая поверхность σ, разделим ее на части без общих внутренних точек, Δs -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– площадь k–ой части, λ – максимальная из площадей частей разбиения, функция f(x, y, z) определена на поверхности σ, (x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) – точка, лежащая на частичной поверхности. Тогда предел интегральной суммы:
при λ → 0 называется поверхностным интегралом первого рода от функцииf(x, y, z) по поверхностиу, обозначается
.Справедливо:
Поверхностный интеграл второго рода от функции R(x, y, z) по выбранной стороне поверхности у равен пределу при λ → 0 интегральной суммы
(здесь Δw -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– площадь проекции части разбиения поверхности у на плоскость хОу, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– точки на частичной поверхности, λ – максимальный диаметр из диаметров частичных поверхностей). Обозначается
. 28. Основные определения. Линейные операции над векторами
Вектор – это направленный отрезок, имеющий определенную длину, у которого одна из ограничивающих его точек A принимается за начало, другая B – за конец. Обозначается 
(или 
) или 
(или 
). Модуль вектора – это его длина, обозначается 
или 
.Единичный вектор – это вектор единичной длины. Нулевой вектор – это вектор, у которого совпадают начало и конец, он не имеет определенного направления, его длина равна нулю.
Коллинеарными называются ненулевые векторы, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Два коллинеарных вектора одинаковой длины называются сонаправленными, если их направления совпадают, или противоположно направленными, если их направления противоположны.
Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы равны. Вектор называется свободным, если его можно параллельно переносить, помещая его начало в любую точку пространства.
Над векторами можно производить следующие линейные операции: сложение, вычитание, умножение вектора на число.
Сумма векторов обладает переместительным свойством
и сочетательным свойством 
.Если при сложении нескольких векторов начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то, значит, сумма, этих векторов есть нулевой вектор. Сумма любого вектора с нулевым равна этому вектору.
Разностью двух векторов
и 
называется вектор , сумма которого с вычитаемым вектором 
дает вектор . Произведением ненулевого вектора на действительное число k называется такой вектор , длина которого равна 
, причем векторы и сонаправлены при неотрицательном k и противоположно направлены при отрицательном. Произведение нуля на вектор или нулевого вектора на число есть нулевой вектор.Справедливо: два вектора
и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство 
.Для любых чисел k, m и любых векторов
и справедливо:1)
;2)
;3)
. 29. Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты вектора, длина вектора
Векторы 
называются линейно зависимыми, если существуют числа k -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, не все равные нулю, такие, что справедливо равенство
. Если данное равенство справедливо лишь при k -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
=… = k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= 0, то данные векторы называются линейно независимыми.
Справедливо: если один из векторов представлен в виде линейной комбинации остальных векторов, то все эти векторы линейно зависимы, обратное тоже верно.
Теорема. Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.
Теорема. Для того чтобы два вектора на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны.
Следствие. Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.
Компланарными векторами называются векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости. Если компланарные векторы имеют общее начало, то они лежат в одной плоскости.
Теорема. Всякие четыре вектора в пространстве линейно зависимы.
Справедливо: для того чтобы три вектора в пространстве были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.
Теорема. Для того чтобы три вектора в пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.
Следствие. Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.
Базисом на плоскости называют два любых линейно независимых вектора. Два любых неколлинеарных вектора образуют базис.
Пусть векторы
и образуют базис; если вектор можно представить в виде 
, то говорят, что он разложен по базису, образованному векторами и . Числа k -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, k -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
называются координатами вектора
на плоскости относительно базиса и . Координаты вектора не меняются при параллельном переносе базиса.Теорема. Разложение вектора по базису является единственным.
Базисом в пространстве называются три линейно независимых вектора.
Теорема. При сложении (вычитании) двух векторов их координаты (относительно одного и того же базиса) складываются (вычитаются). При умножении вектора на любое число все его координаты умножаются на это число.
Угол между двумя векторами – это наименьший угол, на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым после приведения векторов к одному началу.
30. Нелинейные операции над векторами
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними 
.Свойства скалярного произведения:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6) скалярное произведение равно нулю, если один из сомножителей – нулевой вектор или если векторы перпендикулярны.
Условие перпендикулярности двух векторов: два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Если имеем два вектора с координатами
и 
, то скалярное произведение:
Векторное произведение двух векторов
и – это новый вектор , модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к общему началу, 
, который перпендикулярен к плоскости построенного параллелограмма и при этом направлен в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от к вокруг полученного вектора представлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора . Обозначается 
, или 
, или 
. Векторное произведение коллинеарных векторов есть нулевой вектор.Свойство векторного произведения:
1)
;2)
;3)
;4)
;5) если векторное произведение двух векторов есть нулевой вектор, то либо хотя бы один из перемножаемых векторов нулевой, либо перемножаемые векторы коллинеарны.
Условие коллинеарности двух векторов: для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулевому вектору.
31. Скалярные поля. Оператор Лапласа. Производная поля по направлению. Градиент
Скалярное поле считается заданным, если любой точке М некоторой пространственной области Ω соответствует по определенному закону некоторое скалярное число u(M), т. е. задана скалярная функция поляu = u(M) точки М. Скалярное поле называется стационарным, если функция поля u(M) не зависит от времени. В любой системе координат задание точки означает задание ее координат, например в прямоугольной декартовой системе координат функция стационарного поля является функцией трех переменных u = u(x, y, z). Считаем, что эта функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные.Поверхность уровня скалярного поля u(M) – это множество точек пространства, в которых функция поля имеет постоянное значение. В случае плоского поля поверхностью уровня будет линия уровня.
Оператором Лапласа (лапласианом) называется выражение вида:
(в декартовых координатах) или 
(в цилиндрических координатах).Производной скалярного поляu(M) в точкеМпо направлению
называется пределом (если он существует) отношения приращения функции u(M) при смещении точки М в направлении вектора к величине этого смещения, стремящегося к нулю:
Если cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы вектора
, то производная по направлению может быть представлена в виде:
Производная по направлению – это скорость изменения функции u(M) по направлению
.Градиентом скалярного поляu = u(M) в точке М – называется вектор
. Производная скалярного поля u(M) по направлению в точке М равна проекции градиента поля в этой же точке на это направление: 
. Следовательно, производная по направлению в точке М максимальна в направлении градиента т. е. градиент показывает направление максимального возрастания скалярного поля модуль градиента равен скорости возрастания.Если ввести оператор набла
, то тогда grad u = ∇u. 32. Векторное поле. Основные определения. Поток векторного поля. Формула Остроградского – Гаусса
Векторное поле считается заданным, если любой точке М некоторой пространственной области Ω соответствует вполне определенный вектор (M).Векторное поле называется стационарным, если вектор
(M) не зависит от времени, а зависит только от положения точки М.В прямоугольной системе координат вектор
(M) равен: 
, где a -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x, y, z), a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x, y, z), a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x, y, z) являются проекциями (декартовы координаты) вектора
(M) на оси координат и, как функции, непрерывны вместе со своими частными производными; 
– декартов прямоугольный базис.Векторное поле называется однородным, если координаты вектора являются постоянными величинами.
Векторное поле называется плоским, если проекции вектора являются функциями двух переменных, т. е.
.Траектория векторного поля – это кривая, в каждой точке которой касательная совпадает с вектором этой же точки.
Потоком П вектора
(M) или потоком векторного поля (M) через поверхность σ называется поверхностный интеграл 
, где 
– единичный вектор нормали к поверхности σ точке М. Поток вектора П есть величина скалярная. Поверхность σ считается ориентированной, т. е. выбирается определенная сторона поверхности:
В случае замкнутой поверхности σ выбор направления нормали играет особую роль. Замкнутая поверхность считается двусторонней, если направление нормали к поверхности не меняет своего направления при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на этой поверхности, при возвращении в исходную точку. Если нормаль внешняя, считается, что поток П изнутри поверхности, обозначается
(здесь а -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(M) – проекция вектора на направление нормали).
Формула Остроградского – Гаусса:
(функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) являются непрерывными вместе со своими частными производными функциями, определенными в замкнутой области Ω) или
Здесь
– дивергенция. 33. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье
Гармоническими колебаниями называется движение, которое описывается дифференциальным уравнением типа х'' + ω -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
х = 0. Решение данного уравнения можно представить в виде функции, называемой гармоникой: х = Аcos(ωt + φ), где ω – частота колебаний, φ – фаза, А – амплитуда. Гармоника – периодическая функция с периодом, равным 2π/ω.
Система функций 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x…, sinnx, cosnx… является тригонометрической системой, которая ортогональна на отрезке [–π, π]. Функции φ(х) и ψ(х) называются ортогональными на отрезке [a, b], если скалярное произведение этих функций равно нулю, т. е.
Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида: a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
/ 2 + a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
cosx + b -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
sinx + a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
cos2x + b -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
sin2x +…+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
cosnx + b -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
sinnx +…, где a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, b -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– коэффициенты ряда (постоянные числа) (n = 1, 2…). Если периодическая функция f(x) с периодом 2π является суммой тригонометрического ряда, т. е. если
, то говорят, что данная функция разлагается в тригонометрический ряд.Коэффициенты ряда:
называются коэффициентами Фурье функции f(x), а тригонометрический ряд с данными коэффициентами называется рядом Фурье.
Комплексная форма ряда Фурье:
коэффициенты равны:
Теорема Дирихле (о сходимости ряда Фурье).
Если функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [–π, π], то ряд Фурье этой функции сходится на всем рассматриваемом отрезке и сумма этого ряда равна f(x) в точках непрерывности функции, (f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– 0) + f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ 0)) / 2 – в точке х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
разрыва функции, (f(π – 0) + f(–π + 0)) / 2 – на концах отрезка [–π, π].
Если ряд Фурье некоторой функции сходится на отрезке [–π, π], то он будет сходиться и при всех вещественных х, так как члены ряда – периодические функции с периодом 2π.
Условия Дирихле для функции f(x): функция f(x) на отрезке [–π, π] непрерывна или кусочно–непрерывна и монотонна или кусочно–монотонна.
34. Полнота и замкнутость тригонометрической системы. Сходимость рядов Фурье в среднем
Система функций называется ортонормированной, если две любые функции системы ортогональны и скалярный квадрат каждой функции равен единице (скалярное произведение двух функций f(x) и g(x), определенных на отрезке [–π, π], это число, равное 
, обозначается (f(x), g(x)). Например, система функций 
является ортонормированной.Функция f(x), для которой существует интеграл
называется функцией с интегрируемым квадратом.
Ортонормированная система функций g -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, g -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, g -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, определенных на отрезке [a, b], называется замкнутой, если для каждой функции f(x) с интегрируемым квадратом выполняется равенство Парсеваля:
Теорема. Ортонормированная тригонометрическая система функций
является замкнутой на отрезке [–π, π].Ортонормированная система функций g -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, g -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, g -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, называется полной, если для каждой функции f(x) с интегрируемым квадратом, ортогональной ко всем функциям системы, выполняется равенство || f || = 0 (норма функции на отрезке [a, b] – это число, равное
.Теорема. Ортонормированная тригонометрическая система функций
является полной.Последовательность функций f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, определенных на отрезке [a, b] вещественной оси, называется сходящейся к функцииf(x) в среднем, если числовая последовательность (f – f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, f – f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), (f – f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, f – f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
)…, (f – f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, f – f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
)… сходится к нулю.
Ряд функций
называется сходящимся к функцииf(x) в среднем, если числовая последовательность частичных сумм ряда S -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, S -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, S -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, S -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
=
(n = 1, 2…) сходится к функции f(x) в среднем.Теорема. Пусть f(x) – функция с интегрируемым квадратом на отрезке [–π, π], тогда ее ряд Фурье
в среднем.
35. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье
Пусть функция f(x), которая определена на промежутке (–∞, ∞), удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном отрезке [–m, m] и абсолютно интегрируема, т. е. существует несобственный интеграл 
. Интегральной формой Фурье функции f(x): 
.Интеграл в правой части данного выражения называется интегралом Фурье.
где
.Здесь λ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= π -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
/ m, Δλ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= λ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– λ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= π / m.
Разложение функции в комплексный интеграл Фурье:
.Преобразованием Фурье функции f(x) называется функция
, а обратным преобразованием Фурье называется произведение функций:
Здесь функция f(x) называется прообразом, а функция
(λ) называется образом.Спектральной функцией для функцииf(x) называется функция
.Некоторые свойства преобразования Фурье:
1)
, где g = f -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
;
, где g = αf, α = const;2) если прообраз сдвинуть на постоянную а, то его образ умножится на e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
;
3) если функция f(x) преобразуется в
(l), то f(ax) (a = const > 0) преобразуется в 1 / a(l/a);4) если от функции f(x) взять первую производную, то образ умножится на il;
5) если функция f(х, у) зависит от двух параметров, то ее образ тоже зависит от этих параметров
(х, у);6) если последовательность функций {f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
} сходится к функции f(x) в том смысле, что
, то последовательность преобразований Фурье этих функций 
сходится к преобразованию Фурье равномерно для всех х;7) если функция f(x) удовлетворяет условию
, то ее преобразование Фурье (l) является ограниченной непрерывной функцией которая стремится к нулю при |λ| → ∞. 36. Основные определения. Дифференциальное уравнение первого порядка и его геометрический смысл
Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее производные неизвестной функции или нескольких функций. Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если аргументов несколько, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными. Обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:F(x, y(x), y'(x)…, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)) = 0,
где F(х) – известная функция;
х – независимая переменная;
у(х) – неизвестная функция.
Порядок дифференциального уравнения равен наивысшему порядку производной неизвестной функции у = у(х).
Функция у(х) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения если она n раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале и при х принадлежащих этому интервалу удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием.
Обыкновенное дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений (в основном это элементарные функции). Чтобы найти единственное (частное) решение, надо задать начальные условия (задать значение искомой функции в какой–либо точке). Совокупность всех частных решений есть общее решение дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид (общий вид):F(x, y, y') = 0 (функция F непрерывно дифференцируема по всем аргументам) или нормальная форма: y' = f(x, y) или dy / dx = f(x, y) (функция f(x, y) непрерывно дифференцируема по х и у). Его общим решением будет функция у = φ(х, С) (С – произвольная постоянная), удовлетворяющая дифференциальному уравнению при любом значении С. Такое решение называется общим интегралом уравнения. Частным решением будет функция у = φ(х, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), которая получается из общего решения при конкретном значении С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
постоянной С.
Пусть имеем уравнение: y' = f(x, y). Линия, изображающая интеграл этого уравнения, называется интегральной линией. Производная y' – это угловой коэффициент касательной к интегральной линии, т. е. дифференциальное уравнение ставит в соответствие каждой точке (х, у) из рассматриваемой области определенное направление, т. е. дифференциальное уравнение графически можно изобразить в виде поля направлений.
Изоклины – это линии постоянного наклона, т. е. линии, вдоль которых функция f(x, y) имеет постоянное значение. Во всех точках каждой изоклины направление поля одинаково. Интегральные кривые пересекают каждую изоклину. Изоклины – семейство кривых f(x, y) = с = const.
37. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Уравнения, интегрируемые в квадратурах
Задачей Коши называется задача нахождения такого решения дифференциального уравнения первого порядка dy / dx = f(x, y), что выполняется условие Коши: у(х -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, где х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– заданные числа, называемые начальными данными или данными Коши.
Формулировка теоремы для случая дифференциального уравнения первого порядка: пусть функция f(x, y) и частная производная ∂f(x, y) / ∂y непрерывны в некоторой области D плоскости (х, у), точка (х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) лежит в области D. Тогда (существование) в некоторой окрестности Ix – x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
I < δ точки х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
существует решение задачи Коши; (единственность) если у = φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) и у = φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) – два решения задачи Коши, то φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) =φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) в некоторой окрестности точки х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
.
Уравнение типа M(x) dx + N(x) dy = 0 называется уравнением с разделенными переменными. Его общий интеграл имеет вид: ∫M(x) dx + ∫N(y) dy = C. Частное решение находится подстановкой начальных условий в полученное решение.
К этому же типу уравнений относится уравнение вида dy / dx = f(x)g(y). После интегрирования получаем:
где С – произвольная постоянная, х -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
фиксированы, g(y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) ≠ 0. Уравнение типа M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(y) dx + M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(y) dy = 0 приводится к уравнению с разделенными переменными делением обоих его частей на N -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(y)M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x).
Однородным уравнением называется уравнение вида Mdx + Ndy = 0, если отношение M / N можно представить как функцию отношения у / х. Функция f(x, y) называется однородной функциейn–гоизмерения, если при любом λ справедливо: f(λx, λy) = λ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
f(x, y).
Однородное уравнение можно записать в виде: dy/dx = f(y/x), оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены z = y/x. Тогда y = xz, y' = xz' + z, dz / dx = (f(z) – z) / x. Решение:
или 
.Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, если левая часть его является дифференциалом некоторой функции, т. е. P(x, y)dx + Q(x, y)dy = df(x, y), при интегрировании которой получаем: f(x, y) = C.
Теорема. Для того чтобы левая часть уравнения P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 была полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:
.Иногда условие данной теоремы не выполняется, но возможно подобрать такой интегрирующий множительМ(х, у), что выражение М(Рdx + Qdy) становится полным дифференциалом некоторой функции F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x, y).
Уравнение Mdx + Ndy = 0 называется линейным, если отношение M / N содержит у лишь в первой степени. Иная запись линейного уравнения: y' + P(x)y = Q(x) (P(x), Q(x) – непрерывные функции). Общее решение линейного однородного уравнения (Q(x) = 0) имеет вид: y = Ce -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
.
38. Дифференциальные уравнения второго порядка. Графическая интерпретация. Некоторые типы уравнений второго порядка, приводимых к уравнению первого порядка. Линейное уравнение второго порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка:F(x, y, y', y'') = 0 или y'' = f(x, y, y').
Начальные условия х = х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у'(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = у' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(задача Коши). Дифференциальное уравнение второго порядка допускает понижение порядка.
1. Имеем уравнение вида: d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
y / dx -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= f(x, dy / dx). Здесь у' считается неизвестной функцией. Уравнение приводится к уравнению первого порядка при замене dy / dx = p (считаем р функцией х). Тогда d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
y / dx -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= dp / dx, уравнение принимает вид: dp / dx = f(x, p). Найдя решение p = р(x, c -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), интегрированием получаем общий интеграл:
y = ∫p(x, c -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
)dx + c -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
.
2. Пусть уравнение вида: d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
y / dx = f(у, dy / dx). Неизвестная функция у', но в качестве аргумента принимается у. Уравнение приводится к уравнению первого порядка при замене dy / dx = p (но считаем р функцией у). Тогда d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
y / dx -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= dp / dx = dp / dy, dy / dx = p dp /dy и уравнение принимают вид: p dp / dx = f(y, p). Найдя решение р = р(у, с -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), получаем dy / dx = p(y, c -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), тогда dy / dx = р(у, с -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
). После разделения переменных dy /p(y, c -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = dx и интегрирования находим интеграл F(x, y, c -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, c -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = 0. Линейное уравнение второго порядка: y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x). Для однородного уравнения y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 справедливо:
1) если φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) решение однородного уравнения, то функция Сφ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) (С – const) – решение уравнения;
2) если φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) и φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) – два решения однородного уравнения, то их сумма тоже является решением этого уравнения;
3) если φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) и φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) – два решения однородного уравнения, то их линейная комбинация С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) + С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) тоже является решением этого уравнения (С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– постоянные).
Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: y'' + py' + qy = 0 (p, q – постоянные). Его решение: у = е -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, где r является корнем характеристического уравнения r -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ pr + q = 0. Если характеристическое уравнение имеет два разных действительных корня, то y = C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
; если характеристическое уравнение имеет два равных корня, то
; если корни характеристического уравнения комплексные (r -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= – p / 2 ± iβ), то
.Если имеется линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами y'' + py' + qy = R(x), то его общее решение есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Вид частного решения определяется видом R(x). Если R(x) = P(x)e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, где P(x) – многочлен степени m и число k не является корнем характеристического уравнения r -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ pr + q = 0, то частное решение: y* = Q(x)e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, где Q(x) – многочлен степени m. Если число к является корнем характеристического уравнения, то частное решение: y* = xQ(x)e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(если k – однократный корень) или y* = x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
Q(x)e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(если k – двукратный корень).
39. Линейное уравнение n–порядка. Понижение порядка линейных и нелинейных дифференциальных уравнений n–порядка
Линейным уравнением порядкаn называется уравнение вида: y -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+…+ P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)y = R(x). Для этих уравнений справедливы свойства уравнений второго порядка.
В некоторых случаях удается понизить порядок дифференциального уравнения.
1. Пусть имеем однородное линейное дифференциальное уравнение: y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+…+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)y = 0. И известно его частное решение: у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) ≠ 0. Порядок этого уравнения можно понизить на единицу при введении новой переменной функции z(x) следующим образом: у(х) = у (х)z(x).
Вычислить производные функции у(х) как производные произведения: y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x) = (y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)z(x)) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
z(x) +… (рассмотрим только слагаемые с множителем z(x)). Тогда при z(x) после подстановки производных в исходное уравнение и приведения подобных получается коэффициент y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+…+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)y, который равен нулю (см. исходное уравнение). Следовательно, для новой переменной получили уравнение вида b -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x) +… + b -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)z'(x) = 0. Обозначив z'(x) = u(x), получаем уравнение порядка (n – 1): b -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)u -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x) +…+ b -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)u(x) = 0.
2. Пусть имеем однородное линейное дифференциальное уравнение: y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+…+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x)y = 0. Не зная его частного решения порядок уравнения можно понизить введением новой переменной следующим образом: y'(x) / y(x) = u(x). Тогда u'(x) = y''(x) / y(x) – (y'(x) / y(x)) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(как производная частного), отсюда в новых переменных y''(x) = (u'(x) + u -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x))y(x).
Производные имеют вид: y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x) = P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(u, u'…, u -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
)y (P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– многочлен). При такой замене порядок исходного уравнения уменьшается на единицу, т. е. получается дифференциальное уравнение вида:
f(x, u, u'…, u -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = 0.
3. Пусть имеем дифференциальное уравнение, не содержащее явно независимую переменную х:
f(у, у'…, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = 0.
Порядок данного уравнения понижается на единицу введением новой переменной р = dy / dx. Вычисляя последовательно производные от y и подставляя их в исходное уравнение, получаем в новых переменных уравнение порядка (n – 1):
f(y, p, dp / dy…, d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
p / dy -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = 0.
4. Пусть имеем дифференциальное уравнение, не содержащее явно переменную у, т. е. оно имеет вид:
f(х, у'…, у(n)) = 0.
Порядок данного уравнения понижается на единицу введением новой переменной р = dy / dx. Тогда исходное уравнение в новых переменных имеет вид:
f(х, p, dp / dy…, d -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
p / dy -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = 0.
5. Пусть имеем однородное относительно переменной у и ее производных уравнение вида:
f(x, у, у', …, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = 0,
т. е. верно f(x, у, у', …, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = с -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
f(x, су, су', …, су -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
). Порядок такого уравнения понижается на единицу подстановкой у = е -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Производные равны y' = e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
z', y'' = e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ z''), y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z'…, z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
). После подстановки в исходное уравнение и сокращения на множитель e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, получаем уравнение которое заменой z' = u приводится к уравнению порядка (n – 1).
40. Метод наименьших квадратов. Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть функция f(x), определена на отрезке [a, b]. Метод наименьших квадратов: функция f(x) заменяется одной функцией из m–параметрического семейства функций φ(х, С -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) заданных на том же отрезке, наиболее точно приближена к исходной функции f(x). Точность оценивается функцией:
(точки x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
∈ [a, b], i = 1, 2…, n).
Те значения C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(j = 1, 2…, m), при которых функция R(С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) достигает своего минимума, и будут являться значениями параметров С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
наиболее приближенной к исходной функция f(x) функции φ(х, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
). За меру приближения в данном методе выбрана сумма квадратов разностей. Необходимым условием минимума функции R(С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) является равенство
.Наиболее простым и удобным является случай, когда функции φ зависят от параметров линейно т. е. имеют вид: φ(х, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) + С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х) +…+ С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(x). В этом случае:
(здесь j = 1, 2…, m).
Получили систему m линейных уравнений с m неизвестными С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
.
Метод интерполяции: имеются функция f(x) и параметрическое семейство функций φ(х, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), определенные на отрезке [a, b]. Множество точек х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= а, х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= b называется узлами интерполяции (x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
< x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
). Задача интерполяции заключается в нахождении среди параметрического семейства такой функции, что f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = φ(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
).
Интерполяционная формула сопоставляет функции f(x) и функцию φ(х, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) при выполнении условия f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = φ(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
0, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
). Интерполяционнаяiформула Лагранжа ставит в соответствие функции f(x) многочлен вида:
В случае, когда функция f(x) имеет непрерывную производную (m+1) – порядка, то остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа имеет вид:
Здесь
.Величина остаточного члена зависит не только от значения производной функции и функции ω -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, но и от выбора узлов интерполяции.
Если параметрическое семейство функций φ(х, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), линейно зависит от параметров С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, то интерполяция в этом случае называется линейной интерполяцией, а условие f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = φ(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) приводит к системе линейных уравнений.
41. Метод Гаусса
Метод Гаусса используется при решении линейных уравнений. Пусть имеется система линейных уравнений
относительно n неизвестных x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Метод Гаусса преобразовывает исходную систему в систему так называемого ступенчатого вида. При работе по данному методу считается, что коэффициенты (назовем их диагональными) а -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, а -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, а -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, … не равны нулю. Если на каком–либо шаге метода получается, что какой–либо из этих коэффициентов равен нулю, то проводят перенумерацию и перестановку неизвестных с соответствующими им коэффициентами таким образом, чтобы исключить равенство нулю диагональных коэффициентов. На первом шаге метода из всех уравнений, начиная со второго, исключаются слагаемые с х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, на втором шаге из всех уравнений, начиная с третьего, исключаются слагаемые с х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, и т. д. Если на каком–либо шаге получается равенство 0 = b -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, а само b -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
не равно нулю, то исходная система несовместна. Возможно, что количество неизвестных превышает число уравнений. Тогда часть неизвестных сможет принимать любые значения, а остальные однозначно определяются системой через эти свободные.
Пусть дана следующая система:
Коэффициент а -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
не равен нулю. Умножаем первое уравнение системы поочередно на –2/3 и –1/3, затем полученные выражения складываем соответственно со вторым и третьим уравнением системы. В результате получаем:
т. е. исключили из второго и третьего уравнения системы слагаемые с х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Теперь умножаем второе уравнение на –1 и складываем с третьим уравнением, получаем следующую систему:
Получилась система ступенчатого вида, из последнего уравнения находим х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= –11/15, подставляем во второе уравнение, находим х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= 38/75, а затем из первого уравнения находим х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= 94/75.
Исходная система имеет вид:
42. Итерационные методы. Квадратурные формулы
Итерационные методы применяются для численного решения уравнения вида: f(x) = 0. Сначала преобразуется исходное уравнение к виду x = φ(x), равносильному заданному. Например, можно положить φ(х) = х + kf(x) (k не равно нулю) или φ(х) = х – f(x) / f'(x). Затем рассматривается последовательность чисел x -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, определенных следующим образом: x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= φ(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= φ(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), …, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= φ(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
). При определенных условиях последняя последовательность сходится к решению уравнения x = φ(x). В процессе построения последней последовательности производятся последовательные вычисления функции φ(x), называемые последовательностью итераций функцииφ(x).
Метод касательных. Пусть дана дважды дифференцируемая на отрезке [a, b] функция f(x), причем ее значения на концах отрезка f(a) и f(b) имеют разные знаки, а первая и вторая производные этой функции сохраняют свой знак на этом отрезке. Построение итерационной последовательности начинают с х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, которое равно а (если знак f(a) совпадает со знаком второй производной функции f(x)) или b (если знак f(b) противоположен знаку второй производной функции f(x)). Дальнейшие члены итерационной последовательности вычисляются по общему правилу: x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= φ(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= φ(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) и т. д.
Метод хорд применяется, когда первая производная дифференцируемой на отрезке (a, b) функции f(x), сохраняет свой знак на этом промежутке, а значения функции на концах его имеют разные знаки. Здесь за х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(первое приближение) принимается значение а – (b – a)f(a) / (f(b) – f(a)). Затем вычисляется f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), из двух интервалов (а, х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) и (х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, b) берется тот, на концах которого функция f(x) принимает значения разных знаков, и для него вычисляется х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
по формуле, аналогичной для вычисления х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. И далее по этому же принципу строится итерационная последовательность.
Метод хорд и касательных является комбинированным. При этом строятся две последовательности: одна методом касательных, другая – методом хорд, которые стремятся к искомому значению корня с разных сторон (слева и справа).
Квадратурные формулы применяются для приближенного вычисления определенных интегралов. Они имеют вид:
где x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
называются узлами квадратурной формулы, а числа С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, С -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
называются коэффициентами квадратурной формулы.
Формула трапеций имеет вид:
Здесь отрезок [a, b] разбит на n частей точками a = x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= b и y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
).
Формула Симпсона (формула парабол) имеет вид:
Здесь h = (b – a) / (2n), x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= a + ih, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), i = 0, 1, 2…, 2n.
43. Численные методы решения задачи Коши. Метод Эйлера. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений
Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.Пусть имеются дифференциальное уравнение dy / dx = f(x, y) и начальное условие: при х = х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у = у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Для нахождения решения на отрезке [x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, b] разделим его на n равных частей, шаг разбиения равен h = (b – x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) / n. Получили ряд точек x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
… x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= b и х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
=… = b – x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= Δx = h. Пусть у = φ(х) – приближенное решение исходного уравнения, т. е. у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= φ(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= φ(х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), …, у = φ(х). Пусть Δy -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, Δy -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, Δу -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Тогда в каждой из точек x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
в исходном уравнении производную можно заменить отношением конечных разностей Δy / Δx = f(x, y) или Δy = f(x, y) Δx. Тогда при х = х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
имеем Δу -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) Δx. Отсюда находим у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
)h, аналогично по известным x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, h находится у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Находим приближенные значения у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, у в точках х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, х. Ломаная Эйлера получается при последовательном соединении отрезками прямой точек (х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), (х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), …, (х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
).
Модифицированный метод Эйлера задается следующей формулой: y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ h / 2, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
h / 2)h. Он более точен.
Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение у' = f(x y) найти его решение на отрезке [x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, b] при начальном условии: х = х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у = у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Пусть у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– это приближенные значения решения в точках х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
соответственно. Пусть разности Ау -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– это разности первого порядка (первые разности). Разности второго порядка (вторые разности) равны:
Разности третьего порядка (третьи разности) являются разностями вторых разностей и т. д. Пусть у' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, y'' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
и иные – приближенные значения производных. Аналогично определяются первые, вторые и иные разности производных. Данный метод основан на применении формулы Тейлора в окрестности точки х = х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
:
Значения производных находятся из исходного дифференциального уравнения следующим способом: у' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= f(x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
). После дифференцирования по х исходного уравнения получаем
, после подстановки х -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
имеем
производные высших порядков находятся дифференцированием. Из формулы Тейлора при ограничении четырьмя членами разложения получаем формулу Адамса:
44. Основные определения. Свойства комплексных чисел
Комплексное число – это выражение вида: z = х + iу, где х, у – действительные числа, называемые соответственно действительной x = Re z и мнимой частьюy = Imz комплексного числа z, а, i – мнимая единица, определенная следующим образом: i -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= –1.
Введение комплексных чисел позволяет решить уравнения вида z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= 0 (a ≠ 0), решение имеет вид: z = ± ia. Уравнение вида a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+… + a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= 0 с комплексными коэффициентами имеет при а -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
≠ 0 в области комплексных чисел n комплексных корней (это основная теорема алгебры).
Пусть даны два комплексных числа z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ iy -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
и z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ iy -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Тогда:
z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
± z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= (x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
± x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) + i(y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
± y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
);
z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= (x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) + i (x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
);
Свойства комплексных чисел:
1) z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
;
2) (z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) + z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ (z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
);
3) z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
;
4) (z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
)z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
);
5) z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
.
Сопряженными комплексными числами называются два числа вида: x + iy и x – iy, обозначается
= x – iy или 
= x + iy. Произведение двух сопряженных комплексных чисел равно (x + iy) (x – iy) = x -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
.
Тригонометрическая форма комплексного числа:z = x + iy = r(cosφ + i sinφ), где r = |z| =
– модуль, а угол φ такой, что x = rcosφ, y = rsinφ, и он называется аргументом комплексного числа z. В тригонометрической форме произведение двух комплексных чисел равно:z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= r -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
r -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
[cos(φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) + isin(φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ φ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
)].
Формула Муавра: (cosφ + isinφ)n = cosnφ + isinnφ.
Определение предела функции комплексной переменной аналогично определению предела функции вещественной переменной.
Пусть f(z) – функция комплексной переменной, определенная в некоторой окрестности точки z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, и существует предел
. Тогда функция f(z) называется дифференцируемой в точкеz -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
а этот предел называется производной функцииf(z) в точкеz -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
.
Теорема (условие Коши – Римана или условия Эйлера – Даламбера). Пусть w = f(z) – функция комплексной переменной z = x + iy, причем w = u + iv; вещественная и мнимая части значений функции f(z) являются вещественными функциями переменных х, у: u = u(x, y) v = v(x y). Для того чтобы функция f(z) была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы в точке (x, y) функции u(x, y) и v(x, y) были дифференцируемы и выполнялись условия:
45. Изолированные особые точки функции комплексной переменной. Ряд Лорана. Вычеты
Точка z -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, принадлежащая плоскости комплексной переменной С, называется изолированной особой точкой функции комплексной переменной f(z), если существует такая окрестность точки z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, что функция f(z) определена и дифференцируема во всех точках этой окрестности, за исключением самой точки z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Если существует конечный предел
, то точка z -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
называется устранимой особой точкой. Если
, то точка z -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
называется полюсом функцииf(z). Если предел
не существует и не равен бесконечности, то особая точка z -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
называется существенно особой точкой. Полюсом кратностиk(полюсомk–го порядка) называется точка z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, являющаяся полюсом функции f(z) в случае, если существует не равный нулю конечный предел
.Если данное условие не выполняется ни при каком целом положительном k, то точка z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
является существенно особой точкой.
Пусть функция f(z) дифференцируема в окрестности точки z = z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, пусть f(z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = 0, а разложение функции f(z) в ряд Тейлора в точке z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
имеет вид: f(z) = a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z – z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z – z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+… (a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
≠ 0). Тогда точка z = z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
называется нулемk–го порядка функцииf(z).
Пусть функция f(z) аналитична внутри кольца S = {z | r < |z – z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
| < R}, где 0 ≤ r < R ≤ ∞. Тогда существует (и притом единственный) ряд
, такой, что в каждой точке z, где r < |z – z -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
| < R, его сумма равна f(z): f(z) =… + a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z – z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z – z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z – z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) + a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z – z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+…. Данный ряд называется рядом Лорана функции f(z) в кольце S. Правильной частью ряда Лорана называется ряд a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z – z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) + a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z – z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+…. Главной частью ряда Лорана называется ряд a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z – z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(z – z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+….
В окрестности устранимой особой точки главная часть ряда Лорана вырождается (все коэффициенты равны нулю); в окрестности полюса главная часть ряда Лорана конечна; в окрестности существенно особой точки главная часть ряда бесконечная.
Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
называется коэффициент а -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
ряда Лорана, обозначается Re s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
f(z).
, здесь L – малая окружность, внутри которой находится точка z -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Для неособой или устранимой особой точки вычет равен нулю.
Теорема (о вычетах основная). Пусть функция f(z) аналитична в области D, за исключением изолированных особых точек, а замкнутый контур L принадлежит вместе со своей внутренностью области D, содержит внутри себя конечное число особых точек z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, z -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
и не проходит ни через одну из них. Тогда справедливо:
46. Начальная функция и ее изображение. Единичная функция Хевисайда
Пусть имеется кусочно–непрерывная функция f(t) действительного переменного t, определенная при t ≥ 0. Считаем, что существуют такие положительные числа М и s, что |f(t)| < Me -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
при 0 ≤ t < ∞. Такая функция f(t) называется функцией конечного роста, а нижняя грань s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
множества чисел s называется показателем роста функции f(t). Пусть имеется комплексная функция e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
действительного переменного t, здесь p = a + ib (a > 0). Тогда произведение e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
f(t) тоже является комплексной функцией действительного переменного t, и несобственный интеграл от этого произведения при вышепринятых условиях существует. Он обозначается
и называется лапласовым изображением (или просто изображением) функции f(t), сама функция f(t) называется оригиналом. Соответствие F(p) → f(t) называется преобразованием Лапласа и обозначается F(p) = Lf(t).Теорема единственности. Если две непрерывные функции имеют одно и то же лапласово изображение, то эти функции тождественно равны.
Основные свойства преобразования Лапласа:
1) свойство линейности. Если F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(p) и F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(p) являются изображениями соответственно оригиналов f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) и f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t), то L(af -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) + bf -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t)) = aF -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(p) + bF -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(p) для любых комплексных чисел a, b (данное свойство справедливо и для большего числа функций);
2) свойство подобия. Если Lf(t) = F(p), то Lf(at) = 1 / a F(p / a), здесь a > 0;
3) свойство запаздывания. Если Lf(t) = F(p), то Lf(t – b) = e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
F(p), здесь b > 0;
4) свойство смещения. Если Lf(t) = F(p), то L[e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
f(t)] = F(p + a) (а – любое комплексное число).
Довольно часто применяется единичная функция Хевисайда, определенная следующим образом:
. Изображение функции Хевисайда равно L{σ -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t)} = 1 / p.
Ниже приводятся некоторые наиболее часто употребляемые преобразования Лапласа:
1) L(1) = 1 / p (здесь Re p > 0);
2) L(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = n! / p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+1 (здесь n – целое, Re p > 0);
3) L(e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = 1 / (p + a) (здесь Re p > Re a);
4) L(sin at) = a / (p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) (здесь Re p > |Im a|);
5) L(cos at) = p / (p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) (здесь Re p > |Im a|);
6) L(sh at) = a / (p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) (здесь Re p > |Re a|);
7) L(ch at) = p/ (p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– a -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) (здесь Re p > |Re a|);
8) L(e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
cos wt) = (p + a) / [(p + a) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ w -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
] (здесь Re p > – Re a);
9) L(e -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
sin wt) = w / [(p + a) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ w -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
] (здесь Re p > – Re a).
47. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения. Свертка функций. Обращение преобразования Лапласа
Дифференцирование оригинала: если функция f(t) – функция конечного роста с показателем роста s -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
и Lf(t) = F(p), причем при t > 0 существует производная f'(t) (тоже имеющая конечный рост), то Lf'(t) = pF(p) – f(0), Re p > s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, где
. Если существуют и имеют конечный рост производные выше первого порядка, то: Lf -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) = p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
F(p) – p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
f(0) – p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
f'(0) – … – f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(0).
Дифференцирование изображения: если функция f(t) – функция конечного роста с показателем роста s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
и Lf(t) = F(p), то L(–tf(t)) = F'(p) для таких p, что Re p > s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. В общем случае справедливо выражение:
Интегрирование оригинала: если функция f(t) – функция конечного роста с показателем роста s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
и Lf(t) = F(p) то
– тоже функция конечного роста и Lg(t) = F(p) / p.Интегрирование изображения: если Lf(t) = F(p) то
(при условии, что интеграл 
сходится).Пусть a(t) и b(t) – кусочно–непрерывные функции действительной переменной t, определенные на всей числовой оси, и a(t) = b(t) = 0 при t < 0. Тогда сверткой функцийa(t) и b(t) называется функция c(t), определенная следующим образом:
. Свертку этих функций обозначают a*b(t). Свертывание – это вычисление свертки.Теорема свертывания (об умножении изображений). Свертке оригиналов соответствует произведение изображений, т. е. если f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) и f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) – функции конечного роста и Lf -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) = F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(p), Lf -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) = F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(p), то Lf -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
*f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) = F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(p)F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(p).
Теорема (интеграл Дюамеля). Пусть f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) – непрерывная функция, а f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) – непрерывно дифференцированная на интервале [0, ∞) функция конечного роста, такие, что f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) = f -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) = 0 при t < 0 и Lf -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) = F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(p), Lf -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(t) = F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(p). Тогда справедливо равенство (интеграл Дюамеля):
.Теорема (об обращении преобразования Лапласа). Пусть f(t) – кусочно–гладкая на каждом интервале функция конечного роста, такая, что f(t) = 0 при t < 0 и Lf(t) = F(p). Тогда в каждой точке, в которой функция f(t) дифференцируема, имеет место равенство
где интеграл берется вдоль любой прямой Re p = c > s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
.
48. Основные определения. Основные формулы комбинаторики
Испытанием называется опыт, эксперимент или наблюдение. Событие – это результат испытания.Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.
Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы, но одно из них обязательно происходит (обозначается: событию А противоположно событие
или является дополнительным к событию А).Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.
Событие называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.
Результатом любого испытания может быть некоторое количество исходов (событий). Полная группа событий – это совокупность событий в данном испытании, если результатом этого испытания становится хотя бы одно из событий.
Элементарными событиями называются события, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий.
Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.
ВероятностьюР(А) события А называется отношение m / n числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу n всех элементарных событий Р(А) = m / n. Абсолютной частотой события А называется число m, а отношение m / n называется относительной частотой события А.
Статистическое определение вероятности: вероятностью события А в данном испытании называют число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.
Два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае эти события называются зависимыми.
Свойства вероятности:
1) вероятность достоверного события равна единице P(A) = 1 (m = n);
2) вероятность невозможного события равна нулю Р(А) = 0 (m = 0);
3) вероятность случайного события есть положительное число больше нуля, но меньше единицы.
Объединением (суммой) событий А и В называется событие, которое означает осуществление хотя бы одного из событий А и В обозначается А∩В.
Пересечением (произведением) событий А и В называется событие, которое означает выполнение обоих событий А и В, обозначается АUВ.
Разностью событий А и В называется событие которое означает что происходит событие А но не происходит событие В обозначается А / В.
49. Теоремы о сложении и умножении вероятностей. Последовательность независимых испытаний
Теорема (о сумме вероятностей несовместимых событий). Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В).Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А) + Р(
) = 1.Теорема (о сумме вероятностей совместимых событий). Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Условной вероятностьюР -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило. Здесь А и В – два зависимых события.
Теорема (о произведении зависимых событий).
Вероятность появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А)Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(В).
Теорема (о произведении независимых событий). Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А)Р(В).
Теорема (формула полной вероятности). Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
P(А) = Р(В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
)Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(А) + Р(В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
)Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(А) +…+ Р(В)P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(A).
Теорема Байсе (формулы Байсе). Пусть события В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
попарно несовместны, и пусть событие А может наступить только вместе с одним из событий В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Известны вероятности Р(В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), Р(В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), …, Р(В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) и условные вероятности Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(А), Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(А), …, Р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(A) события А при условиях В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Тогда вероятности событий В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
при условии, что событие А наступило, находятся по формуле:
где i = 1, 2, …, n.
События В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
часто называют гипотезами.
Суть схемы Бернулли, описывающей последовательность независимых испытаний состоит в следующем: вероятность Р(А) наступления события А в любом испытании из серии n испытаний постоянна, т. е. не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предыдущих испытаний. При этом справедлива формула Бернулли, показывающая, что вероятность P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(k) того, что в последовательности из n испытаний событие А наступит k раз равна: P -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(k) = C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
q -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, где
, p – вероятность наступления события А в одном испытании, q = 1 – р – вероятность ненаступления события А в одном испытании. 50. Случайные величины. Распределение случайных величин
Случайная величина – это переменная величина, которая в зависимости от исхода испытаний случайно принимает одно значение из множества возможных. Дискретная случайная величина – это случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности.Распределением дискретной случайной величины называется функция, сопоставляющая с каждым возможным значением случайной величины ее вероятность (причем сумма всех вероятностей равна единице).
Непрерывная случайная величина – это величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка.
Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величиныХ называется функция F(t) переменной t, выражающая вероятность того, что Х в результате испытания примет значение, меньшее, чем число t; F(t) = P(X < t).
Свойства интегральной функции распределения:
1) на бесконечности функция равна: F(–∞) = 0, F(+∞) = 1;
2) функция F(t) монотонно неубывающая;
3) вероятность P(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
≤ X < t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) того, что случайная величина X примет значение в промежутке [t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), равна F(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) – F(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
).
Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины называется производная интегральной функции распределения F'(t). Плотность вероятностиf(t) = F'(t).
Свойства дифференциальной функции:
1) в точках t, где существует F'(t), f(t) ≥ 0;
2)
;3)
.Биноминальное распределение – распределение случайной величины m, равной количеству наступлений события А по схеме Бернулли из n испытаний.
Пуассоновским распределением называется распределение случайной величины р, принимающей значения k∈{0, 1, 2…} с вероятностями
, здесь а – положительный параметр, называемый пуассоновским распределением.Нормальное распределение:
, здесь σ > 0, а ∈ R, 
.Равномерное распределение на отрезке [a, b]:
51. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
Математическое ожиданиеМ(Х) дискретной случайной величиныХ – это сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности: М(Х) = х -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
р -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+…+ x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Математическое ожидание может быть обозначено МХ.
Теорема. Математическое ожидание дискретной случайной величины Х приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).
Свойства математического ожидания:
1) математическое ожидание постоянной величины равно этой величине;
2) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = СМ(Х);
3) математическое ожидание суммы двух случайных величин Х и У равно сумме их математических ожиданий: М(Х + У) = М(Х) + М(У);
4) математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ХУ) = М(Х)М(У) (случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной не зависит от значения другой величины);
5) математическое ожидание разности двух случайных величин Х и У равно разности их математических ожиданий: М(Х – У) = М(Х) – М(У).
Отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания М(Х) называется случайной величиной Х – М(Х).
Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю М[X – M(X)] = 0.
ДисперсияD(X) дискретной случайной величины Х – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания (дисперсия может быть обозначена DX):
D(X) = M[(X – M(X)) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
].
Справедливо:
D(X) = [x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– M(X)] -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ [x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– M(X)] -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+…+ [x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– M(X)] -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
.
Свойства дисперсии:
1) дисперсия дискретной случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата величины Х и квадратом ее математического ожидания: D(X) = M(X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) – M -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(X);
2) дисперсия постоянной величины равна нулю;
3) постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX) = C -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
D(X);
4) дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X + Y) = D(X) + D(Y), D(X – Y) = D(X) + D(Y).
Среднее квадратичное отклонениеσ(Х) случайной величины Х – это квадратный корень из ее дисперсии
.Начальный момент порядкаk случайной величины X – это математическое ожидание случайной величины X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, где k – натуральное число: v -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= M(X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
).
Центральный момент порядка k случайной величины X – это математическое ожидание величины [X – M(X)] -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
:
μ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= M[(X – M(X)) -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
].
52. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Центральная предельная теорема
Математическое ожидание непрерывной случайной величиныХ с плотностью вероятности f(x) – это величина несобственного интеграла (если он сходится): 
.Дисперсия непрерывной случайной величиныХ, математическое ожидание которой М(Х) = а и функция f(x) является ее плотностью вероятности, – это величина несобственного интеграла (если он сходится):
Пусть Х и Y – случайные величины, а XY – их произведение, M(X), M(Y), M(XY) – их математические ожидания, σX и σY – среднеквадратичные отклонения. Коэффициент ковариацииk(X, Y) определяется формулой: k(X, Y) = M(XY) – M(X) x M(Y); коэффициент корреляцииr(X, Y) определяется формулой: r(X, Y) = k(X, Y) / [σX х σY].
Свойства коэффициента корреляции:
1) для независимых случайных величин X, Y: r(X, Y) = 0;
2) для двух случайных величин X, Y: –1 ≤ r(X, Y) ≤ 1;
3) если |r(X, Y)| = 1, то случайные величины X, Y связаны соотношением: Y = aX + b, где a, b – постоянные.
Массовые случайные явления обладают свойствами устойчивости средних, т. е. при большом числе испытаний колебания значений каждого испытания как бы компенсируются теряется случайный характер величин. В таких случаях используются законы больших чисел, которые описываются теоремами Чебышева и Бернулли.
Теорема (неравенство) Чебышева. Для любой случайной величины Х при каждом положительном числе ε имеет место неравенство: Р{|X – M(X)| ≥ ε} ≤ D(X) / ε -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Р{|X – M(X)| < ε} ≥ 1 – D(X) / ε -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
.
Теорема Чебышева (закон больших чисел). Если дисперсии независимых случайных величин Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
ограничены одной и той же постоянной C, т. е. D(X) ≤ C (i = 1, 2…, n), то каково бы ни было положительное число ε, вероятность выполнения неравенства
, где 
, будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин n достаточно велико, т. е.
Теорема Бернулли. Пусть m – число наступлений события A в n независимых испытаниях, пусть p есть вероятность наступления события A в каждом испытании. Тогда каково бы ни было положительное число ε,
.Центральная предельная теорема Ляпунова.
Пусть Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– одинаково распределенные независимые случайные величины с математическим ожиданием М(Х) = а и дисперсией D(X -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = σ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Тогда при большом n распределение суммы Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+…+ Х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
близко к нормальному распределению.
53. Случайный процесс. Ковариационная функция
Случайные величины, зависящие от времени, называются случайными процессами (функциями)X(t). Для случайных процессов:1) при каждом определенном значении времени t = t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
для случайного процесса X(t) определена случайная величина X(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
), имеющая свой закон распределения f(x); эта случайная величина X(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) называется сечением случайного процесса X(t) в точке t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
;
2) обычно, особенно при близких значениях t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
и t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, случайные величины X(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) и X(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) зависимы.
Пусть X(t) – опыт с результатом φ(t), являющимся некоторой функцией из заданного класса L непрерывных или кусочно–гладких функций. Функция φ(t) называется реализацией (траекторией) случайного процесса X(t), но сама функция φ(t) не является случайной.
Математическим ожиданием случайного процессаX(t) называется неслучайная функция М X(t), значение которой в каждой точке t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
равно математическому ожиданию сечения X(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) случайного процесса X(t).
Дисперсией случайного процессаX(t) называется неслучайная функция DX(t), значение которой в каждой точке t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
равно дисперсии случайной величины – X(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
).
Среднеквадратичное отклонениеσX(t) случайного процесса X(t) равно квадратному корню из его дисперсии.
Ковариационной (автоковариационной) функцией случайного процессаX(t) называется неслучайная функция cov (s, t), значение которой в точке (s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) равно ковариации случайных величин X(s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) и X(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
).
Нормированной ковариационной (нормированной автоковариационной) функцией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция r -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(s, t), значение которой в каждой точке (s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) равно коэффициенту корреляции случайных величин X(s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) и X(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) в точках s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
и t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
.
Для двух случайных процессов X и Y:
cov -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(s, t) = M[X(s)Y(t)] – MX(s)MY(t);
p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(s, t) = cov (s, t)/[σX(s)σY(t)].
Стационарным случайным процессом называется такой случайный процесс, что для всех его n конечномерных функций распределения при любом t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
справедливо равенство:
F(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = F(t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, …, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
).
Для стационарного процесса математическое ожидание и ковариационная функция не меняются при перемене начала отсчета параметра t, все сечения одинаково распределены, и справедливо cov (s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = cov(s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) при t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= t -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– s -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
.
Функция R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(s, t) = M((X(s)X(t)), где M(X(s)X(t)) – математическое ожидание произведения случайных величин X(s) и X(t), называется корреляционной функцией случайного процесса X(t).
Для пары случайных процессов X(t) и Y(t): R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(s, t) = M(X(s)Y(t)).
Справедливо: cov -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(s, t) = R -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(s, t) – M(X(t)) × M(Y(s)).
54. Генеральная совокупность, выборка. Генеральная и выборочные средние и дисперсии
Множество однородных объектов называется статистической совокупностью относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего объекты. Статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов, называется генеральной совокупностью. Выборка – это множество объектов, случайно выбранных из генеральной совокупности. Объем генеральной совокупности – это число объектов генеральной совокупности. Объем выборки – число объектов выборки.Выборка может быть повторной и бесповторной. Если выборка объективно отражает свойства генеральной совокупности, то считается репрезентативной.
Пусть имеется генеральная совокупность Х. Из нее следующим образом извлечена выборка: объект х -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
наблюдается n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
paз, объект x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
раз. Объем выборки равен n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+… + n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= n. Варианты – это наблюдаемые значения x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, а последовательность вариант в возрастающем порядке называется вариационным рядом. Числа наблюдений n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
называется частотами. Относительными частотами называются отношения частот к объему выборки n -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
/ n = p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
* (i = 1, 2…, k). Справедливо: p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
* + p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
* +…+ p -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
* = 1.
Пусть N – объем генеральной совокупности. Генеральная средняя
(или а) – это среднее арифметическое значение признака генеральной совокупности: 
, где N -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
– частота, соответствующая признаку x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(k ≤ n). Если x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
…, x -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
различны или имеют частоты, то математическое ожидание М(Х) равно генеральной средней М(Х) =
.Выборочной средней
называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности. 
, где n – объем выборки. Выборочные средние при одинаковом объеме выборок могут быть различными. Всевозможные выборочные средние, являются возможными значениями случайной величины, называемой выборочной средней случайной величиной 
. Математическое ожидание выборочной средней случайной величины равно генеральной средней (или а), т. е. 
.Дисперсия выборочной средней случайной величины равна
.Генеральная дисперсия
или 
где N – частота, соответствующая признаку x -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(k ≤ n).
Генеральное среднее квадратичное отклонение (стандарт) –
. 55. Оценка параметров. Доверительные интервалы. Выборочные моменты
Несмещенной оценкой называется оценка 
, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Θ (М() = Θ), в противном случае оценка будет называться смещенной.Состоятельной оценкой называют такую оценку
параметра Θ, что для любого наперед заданного положительного числа ε вероятность P{| – Θ| < ε} при n → ∞ стремится к единице (сходимость по вероятности). Данному требованию удовлетворяет любая пригодная для практики оценка. Несмещенная оценка будет состоятельной, если при n → ∞ ее дисперсия стремится к нулю. Чем меньше дисперсия, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении значения параметра.Эффективной называется оценка, дисперсия которой минимальна.
Пусть
– оценка параметра Θ. Если оценка несмещенная и состоятельная, то вычисленное по данным выборки ее значение считается приближенным значением параметра Θ. Порядок ошибки оценивается средним квадратичным отклонением. В этом случае говорят что оценка точечная. Точечная оценка является довольно грубой. Более точной является интервальная оценка.Пусть δ – некоторое положительное число. Если выполняется неравенство |Θ –
| < δ, то говорят, что интервал ( – δ, + δ) покрывает параметр Θ. В данном случае число δ называется точностью оценки . Доверительной вероятностью (надежностью) оценки параметра Θ для заданной положительной точности δ называют вероятность у того, что интервал ( – δ, + δ) покроет параметр Θ: γ = P{| – Θ| < δ}. Чем меньше точность δ, тем меньше надежность γ.Доверительным интервалом называют найденный по данным выборки интервал (
– δ, + δ), который покрывает параметр Θ с заданной надежностью γ. Пусть случайная величина Х распределена нормально с параметрами а (генеральная средняя) и σ (среднее квадратичное отклонение, считается известным). Тогда доверительный интервал покрывающий неизвестный параметр а с заданной точностью γ, имеет вид: 
– очность оценки, t находится из равенства Ф(t) = γ / 2, где функция 
. 56. Функционал. Непрерывность функционала. Линейные функционалы. Первая вариация
Если функции у(х) из некоторого множества М ставится в соответствие число J(y(x)), то говорят, что задан функционалJ(y(x)), а множество М будет областью его определения. Функционал J(y) называется непрерывным в точкеу -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, если для всякого положительного ε существует такое положительное <5, что |J(y) – J(y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
)| < ε, как только норма ||y – y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
|| < δ.
Функционал
называется линейным, если он непрерывен и справедливо J(α -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ α -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = α -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
J(y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) + α -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
J(y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) для любых y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
,y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
и любых чисел α -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
и α -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Функционал J(y) называется дифференцируемым в точкеу -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, если его приращение: ΔJ = J(y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
+ h) – J(y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) = φ(h) + о(||h||) (||h|| > 0), здесь φ(h) есть линейный функционал, который называется первой вариациейJ(y) в точке у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(обозначается φ(h) = δJ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(h)). Для функционала J(y), дифференцируемого в точке у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
:
.Для дифференцируемого на всем пространстве функционала
первая вариация равна 
(производные F -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, F -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
берутся в точке х, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х), у' -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(х)).
Точка у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
называется точкой минимума (максимума) функционалаJ(y), если J(y) ≥ J(y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
) (J(y) ≤ J(y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
)).
Теорема. Пусть функционал J(y) дифференцируем в точке у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
. Для того чтобы точка у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
была точкой экстремума функционала J(y), необходимо, чтобы его первая вариация обращалась в нуль в этой точке δJ -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(h) = 0.
Теорема. Пусть у(х) – экстремаль задачи с закрепленными концами для функционала J(y). Тогда у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера:
, a < x < b.Если закреплен только один конец, а второй – подвижен, условия задачи следующие: среди всех кривых у = у(х) (а ≤ х ≤ b), выходящих из точки (а, А) и заканчивающихся на прямой х = b, найти те, которые будут экстремалью функционала J(y).
Теорема.у = у(х) – экстремаль задачи с одним закрепленным концом у(а) = А для функционала J(y), у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера (
) и краевым условиям у(а) = А, (F -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
,(x,y(x), y'(x))| -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
= 0).
Функционал
, зависит от производных высших порядков. Краевые условия имеют вид: у(а) = А -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(а) = А -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, у(b) = B -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
, y -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(b) = В -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(k = 1, …, n – 1), функция F n раз непрерывно дифференцируемой по переменным при а ≤ х ≤ b, переменные от –∞ до +∞.
(h(x)) n раз дифференцируемой при а ≤ х ≤ b и h -------| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
-------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(a) = h -------
| Библиотека iknigi.net
|-------
|
-------
(b) = 0, k = 0…, n – 1).