Электронная библиотека » Владимир Живетин » » онлайн чтение - страница 9


  • Текст добавлен: 1 октября 2015, 04:01


Автор книги: Владимир Живетин


Жанр: Прочая образовательная литература, Наука и Образование


Возрастные ограничения: +12

сообщить о неприемлемом содержимом

Текущая страница: 9 (всего у книги 24 страниц) [доступный отрывок для чтения: 7 страниц]

Шрифт:
- 100% +
2.4. Математическая модель системы управления банковскими рисками и эффективностью

Коммерческий банк как динамическая система создает капитал K = K(t). Цель коммерческого банка формируется так, чтобы капитал K оставался в области допустимых значений Ωдоп. Введем обозначение K(t) = x(t) (см. рис. 2.5).

Согласно сказанному выше, капитал, в общем случае, следует рассматривать как вектор, соответственно х – тоже вектор. В частном случае капитал – это скаляр, характеризуемый в денежных единицах, в целом.

Капитал коммерческого банка зависит от состояния: микроэкономики у1, макроэкономики международной экономической системы у2, международной финансовой у3 и банковской системы у4, страновой финансовой у5 и банковской системы у6, состояние которых изменяется для коммерческого банка случайным образом.


Рис. 2.5


В силу сказанного х = х(у1, у2, …, у6) – случайный процесс, подлежащий контролю и управлению посредством системы управления банковскими рисками, зависящий от случайных факторов уi , оказывающих влияние на х.

В общем случае система контроля коммерческого банка многоуровневая, включающая систему оценок и итогов анализа работы банка по нижеследующим факторам-показателям:

– адекватность капиталов (α1);

– качество активов (α2);

– качество менеджмента (α3);

– эффективность (доходность) (α4);

– ликвидность (α5).

Взвешенная на риск устойчивость коммерческого банка обеспечивается, если α Ωдоп(α), т. е. области допустимых значений, где α = (α1, …, α5).

2.4.1. Области допустимых и критических состояний банка

Фактическое, или истинное, значение мы будем обозначать xф(t), а расчетное значение – xр(t) (рис. 2.5). В силу влияния внешних и внутренних возмущающих факторов, действующих на систему, процесс хф мы будем относить к случайным с известным законом распределения. Это предположение позволит нам воспользоваться известными, достаточно глубоко разработанными положениями теории случайных процессов. При этом для xф можно записать: xф = mx + Δx, где mx = mx(t) – математическое ожидание x, в общем случае функция времени; Δx = Δx(t) – отклонение фактического значения xф от его математического ожидания.

Задачей системы управления банковскими рисками является формирование такого управления на основе информации, поступающей от подсистемы контроля в виде измеренного xизм = xф + δх, где δх – погрешность измерения, при котором обеспечивается безопасное значение капитала, т. е. состояния, когда х = K находится в допустимой области Ωдоп. Указанная цель достигается с помощью управления u = u(xф, хдоп, t), если нам известны xф и xдоп.

Пусть известна величина xдоп при заданных статистических характеристиках Δx фактического значения xф и заданных погрешностях измерения δx фактического значения xф. Необходимо рассчитать допустимое оценочное значение x для параметров, подлежащих ограничению, т. е. xoдоп. Таким образом, xoдоп должно быть определено из дополнительных соображений. С какой целью мы вводим величины xоmax < xвдоп, xomin > xндоп (рис. 2.5)? Рассмотрим это обстоятельство. Начнем с примера. Пусть рассматривается индикатор состояния x, двухсторонние критические значения сверху xвдоп и снизу xндоп нам заданы. Это значит, что при всех хнкр < x < хвк банк по данному индикатору находится в области безопасного состояния. Согласно существующим правилам, когда отсутствуют погрешности измерения, мы осуществляем измерение x и сравнение xкр и xизм. Как только xизм = xкр, формируется управление u(t), направленное на изменение x(t) (например на его увеличение), чтобы х не стало меньше нижнего критического значения xнкр. Если такое управление может быть сформировано и реализовано, мы достигли цели, обеспечив безопасное состояние коммерческого банка.

Ситуация меняется, когда измеренное значение x дает нам информацию о фактическом значении x с погрешностью, а сам процесс x(t) – случайный. Если управление u(t), направленное на ограничение x(t), мы будем формировать из условия xизм < xвдоп (при ограничении сверху), то за счет погрешностей δx(t) измерения не исключена ситуация, с какой-то долей вероятности, когда xф > xвдоп, т. е. система будет находиться в области опасного состояния. Если мы будем учитывать δx, V, W, то нам необходимо вводить иную область, обозначим ее Ωoдоп, которая будет включена в Ωдоп. Отметим, что при расчете xкр мы используем детерминированные объекты и для назначения Ωкр используем критерии, которые называют первичными [9].

Вслед за первой задачей построения Ωoдоп возникает вторая: как осуществить и сформировать управление, при котором x не выходит из области Ωoдоп? На малом отрезке времени банковские системы, как правило, неизменны, и поэтому их можно описать, например, в виде статической математической модели. Эта модель будет соответствовать только этому моменту времени t0, и все выводы, полученные на основании этой модели, можно использовать в момент времени t0.

Если мы хотим оценить состояние банковской системы относительно Ωкр в момент времени t > t0, тогда необходимо строить прогноз как хф, так и Ωдоп, Ωкр, Ωoдоп. Причиной тому может быть желание оценить то или иное изменение в структуре государства, экономики.

Таким образом, задача построения области Ωoдоп включает в себя:

– обоснование совокупности параметров x состояния системы, подлежащих контролю и ограничению;

– разработку метода количественного расчета фактических значений параметров x с заданной степенью достоверности;

– задание и обоснование критических значений x, т. е. xкр, где x = (x1, …, xn);

– разработку методов оценки погрешностей измерения параметров x с расчетной степенью достоверности;

– разработку метода численного расчета xoдоп.

В общем случае Ωoдоп зависит от xф, т. е. фактических значений индикаторов.

Области допустимых состояний

Рассмотрим несколько моделей процессов контроля индикаторов х(t) состояния коммерческого банка как динамической системы, имеющих как односторонние, так и двусторонние ограничения. При одностороннем ограничении возможны следующие ситуации.

1. Простейшая ситуация.

Ограничиваемый процесс х(t) – одномерный, ограничения односторонние – по минимуму (рис. 2.6), значение х(1)доп вычислено в системе контроля точно, без ошибок, ошибки измерения δх = xфхизм равны нулю, т. е. хизм = xф; динамикой процесса х(t) и ошибками управлений можно пренебречь. При этих условиях критическое значение х, т. е. хкр совпадает с х(1)доп. Такую ситуацию и модель (систему) будем считать идеальной.


Рис. 2.6


2. Системе контроля присущи ошибки вычисления хдоп.

Система контроля вычисляет хдоп с ошибкой δхдоп. При этом множество Ω(1)доп уменьшают на некоторую величину Δ1, которую называют запасом (рис. 2.7).

С помощью Δ1 компенсируются потери, обусловленные погрешностями δхдоп как факторами риска. При этом х(2)доп > х(1)доп.


Рис. 2.7


Измеренное значение хизм индикатора х и его фактическое значение хф отличаются на величину δх – погрешность измерения, которая отлична от нуля. При этом с целью компенсации потерь, обусловленных δх, вводят новое множество Ωoдоп, которое называется областью допустимых значений х, полученных при измерении или оценке, и соответствующий запас Δ2 = х(3)допхкр (рис. 2.8).


Рис. 2.8


3. В некоторых случаях динамика процесса = dx / dt такова, что ею нельзя пренебрегать в силу свойств системы управления (ее инерционных характеристик). Тогда вводят запас Δ3 = x(4)допxкр (рис. 2.9) для компенсации потерь, обусловленных в том числе динамикой процессов.


Рис. 2.9


Случай двусторонних ограничений, накладываемых на х(t), представлен на рис. 2.10.


Рис. 2.10


Граничные элементы множества (Ω)э обозначим xвдоп и xндоп, где xндоп < xвдоп, т. е. Ωэ – это область допустимых состояний, когда отсутствуют динамика системы и погрешности контроля. При этом имеем


xндоп = xнкр + Δн; xвдоп = xвкр – Δв,


где xнкр, xвкр – соответственно нижнее (минимальное) и верхнее (максимальное) критические значения индикатора; xндоп, xвдоп – соответственно нижнее (минимальное) и верхнее (максимальное) допустимое значение контролируемого и ограничиваемого индикатора; Δн, Δв – соответственно нижняя и верхняя величины гарантийного запаса для индикатора, вводимые на случай непреднамеренного выхода x за допустимые значения при неблагоприятном сочетании возмущающих факторов, в том числе ошибок измерения. При этом критические значения, как правило, определяются для установившегося режима функционирования коммерческого банка, когда компоненты вектора состояния x постоянны или изменяются пренебрежимо мало.

Задача построения множества допустимых состояний для нестационарной системы более сложна и в настоящее время еще не получила окончательного решения. В отличие от установившегося движения здесь необходимо рассматривать также скорость изменения ограничиваемого параметра системы.

Введем множество (Ω)диндоп допустимых значений x в неустановившемся режиме:


(Ω)диндоп = {x : (xн)диндоп < x < (xв)диндоп},


где (xн)диндоп = φн(xндоп, ); (xв)диндоп = φв(xвдоп, ); φн, φв – неизвестные функции, подлежащие определению; .

Рассмотрим множество (Ω)одоп. Система контроля обладает погрешностями δ(t), в результате в простейшем случае на ее выходе имеем xизм = xф + δ. Погрешности измерения δ = δ(t) обусловливают необходимость введения новых допустимых значений контролируемого и ограничиваемого параметра x(t), т. е. дополнительного запаса, т. е. (Ω)oдоп.

Множество (Ω)oдоп допустимых в процессе контроля (оценки) значений x(t) обозначим следующим образом:


(Ω)oдоп = {x : (xн)oдоп < x < (xв)oдоп},


где (xн)oдоп, (xв)oдоп – соответственно нижнее и верхнее допустимые при контроле значения x(t) (рис. 2.10). В частном случае


(xв)oдоп = xвдоп Qв; (xн)oдоп = xндоп + Qн


где Qв, Qн – соответственно верхний и нижний запасы, обусловленные погрешностями измерения и подлежащие определению в процессе анализа риска.

В общем случае величины (x)oдоп (Ω)oдоп являются функциями ряда параметров и имеют вид


(x)oдоп = f (x1, …, xn, (x1)доп, …, (xn)доп, (x1)кр, …, (xn)кр, ki, σ2, t),


где ki – параметр системы контроля, подлежащий определению при проектировании; σ2 – дисперсия погрешностей функционирования системы контроля; f – функции, описывающие закон формирования области Ωoдоп(xoдоп).

На рис. 2.11 приведены графические представления указанных выше множеств для двумерного вектора состояния в стационарном случае.


Рис. 2.11


Будем говорить, что риск коммерческого банка равен нулю, если его параметры х постоянно находятся в области допустимого состояния, и записывать х Ωдоп. Движение на границе области Ωдоп или вблизи нее иногда является требуемым режимом такой динамической системы, как банк.

С учетом сказанного, при оценке рисков и безопасных значений индикаторов банковской системы необходимо принимать во внимание следующее.

1. Банковская система предназначена для достижения заранее определенной цели, которая может меняться в процессе функционирования, в том числе по воле человека.

2. Банковская система представляет собой динамическую систему, на выходе которой создается совокупность параметров х(t), подлежащих контролю, ограничению и управлению.

3. Невыполнение поставленной цели означает потери создателя динамической системы и его риск.

4. Каждая динамическая система имеет множество критических значений ее параметров состояния, в которых она теряет свои свойства и не способна выполнять поставленные задачи.

5. Потери, обусловленные недостижением цели, связаны с выходом контролируемых параметров в критическую область.

6. Область допустимых состояний Ωдоп и соответствующие ей xдоп изменяются в процессе функционирования и определяются экспериментально или теоретически.

7. Фактические значения параметров xф, в силу объективных причин, обусловленных внешними возмущениями и внутренними шумами, а также субъективными причинами, свойствами управлений от человека, изменяющимися случайным образом, представляют собой случайные процессы. На этапе анализа банковской системы векторный процесс xф должен задаваться с помощью математических моделей.

8. Для предотвращения потерь и наилучшего достижения цели банковская система должна включать в себя системы контроля и управления.

9. Оператор (человек), используя систему контроля (оценки), для управления получает измеренные значения контролируемых параметров, которые обозначим xизм.

10. На выходе банковской системы реализуются фактические значения параметров, которые обозначим xф. При этом xизм = xф + δх, где векторный случайный процесс δх – погрешность системы контроля (оценки).

11. Система контроля или оценки обладает погрешностями, что обусловливает в процессе функционирования системы необходимость строить область допустимых состояний Ωoдоп. При этом, как правило, Ωдоп и Ωoдоп не совпадают.

12. Для компенсации влияния δх на величину риска вводятся такие допустимые при контроле значения xoдоп и соответствующая им область Ωoдоп Ωдоп, которые в одномерном случае записываются в виде | xдоп xoдоп | > 0. При контроле динамических процессов, когда скорость изменения процесса во времени ≠ 0, необходимо вводить дополнительный запас = k| | и вектор хдиндоп = хдоп ± . В результате имеем Ωoдоп Ωдиндоп Ωдоп, при двустороннем и одностороннем ограничениях.

13. Предотвращение потерь состоит в обеспечении условия системы. Для целей управления мы располагаем величиной xизм, кроме того, система контроля индуцирует не область Ωдоп, а Ωoдоп. При этом хoдоп = хдоп + δхдоп, где δxдоп – погрешность функционирования системы контроля, хoдоп Ωoдоп. В этих условиях можно обеспечить только условие хизм Ωoдоп, а это означает, что возможен выход xф из области Ωдоп, что может привести к соответствующим потерям и рискам.

14. В силу того, что процессы xф и xизм являются случайными, в качестве меры риска будем рассматривать вероятности Pi событий, приводящих к потерям.

15. С учетом сказанного, необходимо разработать показатели риска


P = P(xдоп, xдиндоп, xкдоп, Mоk(хф), Mоk(хизм), a, b),


где Моk(хф) – центральный момент k-го порядка векторного случайного процесса xф; Моk(хизм) – центральный момент k-го порядка векторного случайного процесса xизм; векторные величины a, b – параметры системы.

16. Полученные расчетным путем вероятности P уточняются в процессе функционирования коммерческого банка. В общем случае уточняются как P, так и область Ωoдоп.

Рассмотрим математическую модель вероятностных показателей риска и безопасности с учетом введенных понятий.

2.4.2. Вероятностные показатели риска и безопасности. Вводные замечания

Поиск решения задачи осуществляется при следующих допущениях относительно контролируемого и ограничиваемого индикатора x:

– критическое значение параметра состояния постоянно и не зависит от времени (xкр = const);

– фактические и измеренные значения параметра представляют собой случайные процессы с известным законом распределения;

– превышение параметром х(t) величины xкр на любом интервале времени ведет к критической ситуации.

Введем необходимые обозначения.

Текущее, или фактическое, значение параметра запишем в виде xф = xн + Δx, где xн – номинальное значение (математическое ожидание) параметра; Δx – отклонение параметра контроля и ограничения x относительно xн. Обозначим через δx погрешность измерения параметра. Тогда измеренная величина параметра контроля x будет определяться суммой: xизм = xн + Δx + δx.

Обозначим α xн + Δx = xф; β δx; γ xизм = α + β ( означает равенство по определению); xвдоп xв, xндоп xнсоответственно верхнее и нижнее допустимые значения хф; xквдоп , xкндоп  – для измеренных значений x верхнее и нижнее допустимое соответственно; xн < < < xв (рис. 2.10).

Очевидно, что по известным вероятностным характеристикам (Δx, δx, xизм) находятся вероятностные характеристики (α, β, γ), и наоборот. При этом рассматривается вектор (α, γ) зависимых случайных процессов, в частности стационарных, а α и β – независимые случайные процессы (величины).

В процессе выполнения поставленной цели относительно фактических и измеренных значений возможны следующие события.

1. Фактическое значение α параметра находится в области допустимых значений, т. е. на одном из трех отрезков, принадлежащих промежутку [xн, xв] (рис. 2.12). Тогда имеем событие


Аα {(xн ≤ α ≤ ) ( ≤ α ≤ ) ( ≤ α ≤ хв)}.


2. Фактическое значение α находится вне области допустимых состояний, превышая хв (рис. 2.13). В итоге имеем Вα {α > хв}.

3. Фактическое значение α находится вне области допустимых состояний, не достигая хн (рис. 2.14). В итоге имеем Сα {α < хн}.

4. Измеренное значение γ индикатора х состояния коммерческого банка находится в области допустимых состояний объекта (рис. 2.15). В этом случае имеем событие Аγ { < γ < }.

5. Измеренное значение γ индикатора х состояния коммерческого банка находится вне области допустимых значений, превышая (рис. 2.16). В итоге имеем Вγ {(γ > )}.

6. Измеренное значение γ индикатора х находится вне области допустимых значений, не достигая (рис. 2.17). В итоге имеем Сγ {(γ ≤ )}.


Рис. 2.12


Рис. 2.13


Рис. 2.14


Рис. 2.15


Рис. 2.16


Рис. 2.17


В процессе контроля индикатора х, изменяющегося во времени на всей числовой оси, возможны следующие гипотезы.

Гипотеза Аα. Ограничиваемый индикатор х, его фактическое значение хф, находится в области допустимых значений, т. е. имеет место событие Аα.

Гипотеза Вα. Фактическое значение индикатора коммерческого банка хф находится вне области допустимых состояний Вα. С помощью средств контроля или оценки имеем Аγ, В γ или Сγ.

Гипотеза Сα. Фактическое значение индикатора банка хф находится вне области допустимых состояний Сα. С помощью средств контроля или оценки имеем Аγ, Вγ или Сγ.

В итоге имеем различные события S, которые сгруппируем следующим образом:

I. (АαАγ); → S11;

II. (АαСγ); (АαВγ); → S21, S22;

III. (СαАγ); (ВαАγ); → S31, S32;

IV. (СαСγ); (Вα ∩ Вγ); → S41, S42;

V. (СαВγ); (Вα ∩ Сγ); →S51, S52.

Полученные события характеризуют следующие контролируемые состояния коммерческого банка:

I) безопасные (в норме);

II) опасное ложное из-за ошибок измерения (фактическое безопасное);

III) опасное (пропуск со стороны системы контроля);

IV) опасное известное (форс-мажор);

V) опасное известное – нонсенс (несообразность), вероятность которого пренебрежимо мала.

Каждое из событий Sij характеризуется соответствующей вероятностью:

1) вероятность Р11 = Р(S11) = Р (АαАγ) – когда поступает информация о допустимом состоянии х, и фактическое его значение xф допустимо;

2) вероятности Р21 = Р(S21) = Р(АαСγ) и Р22 = Р(S22) = Р(АαВγ) – когда значение xф находится в допустимой области, а система контроля фиксирует недопустимое значение;

3) вероятности Р31 = Р(S31) = Р(СαАγ) и Р32 = Р(S32) = Р(ВαАγ) – значение xф находится вне допустимой области, но система контроля создает сигнал о допустимом состоянии банка;

4) вероятности Р41 = Р(S41) = Р(СαСγ) и Р42 = Р(S42) = Р(ВαВγ) – значение xф находится вне области допустимых состояний, одновременно система контроля подтверждает это состояние;

5) вероятности Р51 = Р(S51) = Р(СαВγ) и Р52 = Р(S52) = Р(ВαСγ) – значение xф находится вне области допустимых состояний, например по минимуму (максимуму), и система контроля показывает, что банк находится в недопустимой области, но с противоположной стороны, т. е. что индикатор превысил максимальное (минимальное) значение.

Совокупность Рij (; j = 1,2) образует полную группу несовместных событий, т. е. .

Событие (АαАγ) соответствует правильному анализу состояния системы, а вероятность Р11 характеризует безопасное ее состояние, при котором осуществляется основная цель коммерческого банка. Если же осуществляется такой контроль и управление, при которых наступают события S21, S22, S31, S32, S41, S42, S51, S52, то цель, поставленная перед управляющей системой, не выполняется, так как возникают неоправданные (лишние) расходы по управлению. Эти состояния характеризуются потерями и называются опасными.

В качестве основных интегральных характеристик невыполнения цели, т. е. риска, будем рассматривать вероятности событий (S21, S22), (S31, S32), (S41, S42), (S51, S52):


Р2 = Р(S21 S22) = Р21(S21) + Р22(S22),

Р3 = Р(S31 S32) = Р31(S31) + Р32(S32),

Р4 = Р(S41 S42) = Р41(S41) + Р42(S42),

Р5 = Р(S51 S52) = Р51(S51) + Р52(S52).


В дальнейшем из рассмотрения можно исключить ситуации, когда система контроля нам указывает на критическую ситуацию, но мы не имеем в своем распоряжении управления, способного возвратить в область безопасных состояний.

Система контроля, для которой события S51 или S52 теоретически осуществимы, порождает измеренные случайные величины или процессы, когда хф находится в области (хф < ), а измеренное значение хизм – в области (хизм > ) (рис. 2.18, φ(·) – плотность распределения). Если учитывать физическую нереализуемость такого контроля, то события S51 и S52 невозможны.


Рис. 2.18


На примере вероятностей Р2, Р3, которые наиболее важны при оценке риска, рассмотрим построение математической модели, позволяющей получить численную оценку вероятностей Р2 и Р3. Для вероятностей Р1, Р4, Р5 все выводы аналогичны и не представляют труда.


Страницы книги >> Предыдущая | 1 2 3 4 5 6 7
  • 0 Оценок: 0

Правообладателям!

Данное произведение размещено по согласованию с ООО "ЛитРес" (20% исходного текста). Если размещение книги нарушает чьи-либо права, то сообщите об этом.

Читателям!

Оплатили, но не знаете что делать дальше?


Популярные книги за неделю


Рекомендации