Текст книги "Немного математики, физика и Солнечная система"

Немного математики, физика и Солнечная система
Дмитрий Московец

⠀

⠀

⠀

⠀

⠀

⠀

Посвящается Риточке Московец,

находящей в свои неполные 6 лет

Юпитер на звездном небе

Иллюстратор Юлия Загоруйко

© Дмитрий Московец, 2023

© Юлия Загоруйко, иллюстрации, 2023

ISBN 978-5-0060-2751-0

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

⠀

Предисловие автора

Уважаемый Читатель!

В наше время все меньше внимания уделяется астрономии, ее то включают в школьную программу, то выводят из неё. Эта книга написана специально, чтобы немного приобщить школьников к этой замечательной и увлекательной науке.

Решая задачи из этой книги, читатель сможет прикоснуться к тайнам Солнечной Системы, приоткроет завесу, за которой таятся удивительные факты о планетах, которые нас окружают и большинство из которых могут быть видны на звездном небе в ясную ночь и даже невооруженным взглядом.

Отдельно несколько задач посвящены фантастам и их произведениям, которые были написаны до эпохи космонавтики, а теперь даже школьник может рассчитать, насколько они были правы или ошибались.

Автор благодарит читателей за интерес, проявленный к серии книг «История и Математика. Рука об руку». В этой книге, помимо задач, объявляется 2 небольших конкурса с призами.

Коротко остановимся на задачах. Они разной степени сложности, и нет сомнения, что любой читатель найдет подходящую для себя.

Как и в других книгах, все задачи различны по сложности: есть трудные (буква «Т»), средние (помечены буквой «С»), и легкие (буква «Л»).

Если у Вас нет книг серии «История и Математика. Рука об руку», – не беда, большинство задач собрано на сайте www.mathistory. xyz. Уверен, что книга, которая сейчас перед вами, понравится,

С нетерпением жду участия в конкурсах. Ответы присылать на почту [email protected]

Меркурий

1.Самый быстрый (Л)

Меркурий, это самая быстрая планета – она совершает оборот вокруг солнца в несколько раз быстрее чем наша планета, да и все остальные. Поэтому и название у него в честь бога Меркурия, который очень быстро передвигался, даже говорят летал в своих крылатых сандалиях. Ну быстрее вокруг солнца за 88 дней – значит ли это что у него выше линейная скорость, чем у других планет? Определите, какая планета движется быстрее по орбите, Земля или Меркурий, если соотношение среднего радиуса орбит Земли и Меркурию составляет 2,58.

2.Эллиптическая орбита (Л)

Меркурий – обладатель самой вытянутой орбиты из орбит планет солнечной системы. Так, его орбита обладает эксцентриситетом 0,2056. (У других планет на порядок меньше). Посчитайте, чему равна малая ось орбиты Меркурия, если большая полуось равна 57 909 227 км, а эксцентриситет считается по формуле – Ɛ=√ (1-b²/a²), где a и b соответственно малая и большая полуоси.

3.Странные рассветы (Л)

Самые красивые рассветы вероятно на нашей планете, на Земле. А вот самые странные на Меркурии. Он движется так быстро, что когда находится близко с Солнцу, то угловое вращение планеты медленнее, чем угловая скорость движения Меркурия вокруг солнца в этот момент. И если бы мы находились на Меркурии в такой момент, то увидели как солнце сначала всходит, а потом тут же заходит, а потом уже через какое-то время поднимается над горизонтом. Рассчитайте, какой должна быть минимальная линейная скорость планеты в такой точке. Звездные сутки на Меркурии длятся 58,56 земных суток, а минимальное расстояние до солнца – 45,9 млн км.

4. Размеры Меркурия (Л)

Радиус Меркурия составляет всего 2439,7 ± 1,0 км, что меньше радиуса спутника Юпитера Ганимеда и спутника Сатурна Титана (двух самых больших спутников планет в Солнечной системе). Но несмотря на меньший радиус, Меркурий превосходит Ганимед и Титан вместе взятые по массе. Масса планеты равна 3,3⋅10²³ кг. Рассчитайте плотность Меркурия.

5. Жидкое ядро (С)

Так как мы в предыдущей задаче уже посчитали, какова плотность Меркурия, понятно что в планете есть металлы, и что их много)) Посчитайте, какой радиус имеет металлическое ядро Меркурия, если плотность железа (ну пусть будет железо) 7,81 г/см³, а плотность остального вещества планеты – 2 г/см³.

Венера

6. Сутки на Венере (Л)

Венера так названа в честь богини любви. Ну красотой возможно она и блещет, но только издалека. Один из самых ярких объектов ночного неба. Однако на поверхности так, «на-любителя». Жарко, что свинец плавится, душно с примесью паров кислоты, да еще и давление в 92 земных атмосферы… Венера вращается вокруг своей оси в обратную сторону, не так как все планеты. Определите, сколько длятся сутки на Венере, если к году на Венере добавить еще 7 дней, то получим два венерианских дня. Венера проходит полный круг по орбите в 1,62 раза быстрее чем Земля.

7. Праздник на Венере (Л)

Предположим, что рано или поздно мы сможем отправиться на Венеру на какой-нибудь праздник. Ну а какой праздник без надувных шаров? Посчитайте, до каких размеров раздуется шар на земле, если на Венере его диаметр 30 см. (Ну давайте помечтаем, что у нас такие шары, что не боятся ни жары, ни давления). Температура на Венере 735К, а на Земле средняя температура в 2020 составила 14,9С, (примем 15С) а давление на поверхности планеты Венеры в 92 раза больше чем на Земле….

8. Исследования Венеры (С)

Всего непосредственно к Венере отправилось двузначное число аппаратов с Земли. Некоторые просто пролетели (так было задумано), некоторые долетели. Если к числу аппаратов, отправленных США и долетевших, подставить на место десятичного разряда число аппаратов, отправленных Европейским Космическим Агенством (и долетевших), то мы как раз получим число долетевших к Венере аппаратов, отправленных СССР. Еще Япония отправила аппарат удачно. Сколько всего аппаратов успешно исследовало Венеру, если число неудачных запусков СССР составляет ровно 5-ю часть от всех вместе удачных пусков в сторону Венеры и ровно 2/3 от удачных американских. Сколько аппаратов отправил Европейское космическое агенство?

9. Плотность планеты (Л)

Удивительно, но факт – средний радиус Венеры составляет 0,9499 от земного, а средняя плотность 0,9493. Округлив, получим странное соотношение, что и радиус, и средняя плотность ближайшей к солнцу нашей соседки составляет 95% от земного. Используя эти данные, рассчитайте, сколько процентов от массы земли составляет масса Венеры, ну и посчитайте ее в килограммах. Масса Земли равна 5,9736х10²⁴кг.

10. Ускорение свободного падения (Л)

Так как в предыдущей задаче мы посчитали массу Венеры то вполне можем и посчитать ускорение свободного падения на этой планете, т.к. уже знаем соотношение масс и радиусов Земли и Венеры.

Что у получится?

Земля

11. Земля или Вода (С)

Некоторые активисты пару десятилетий назад считали, что планету из Земли нужно переименовать в Воду, т.к. большая часть поверхности покрыта водой. Представим, что действительно, всю воду планеты собрали и получилась планета Вода. Какой радиус будет у такой планеты? Средняя глубина мирового океана составляет 3,7 км, а водная поверхность планеты составляет более 70% от всей поверхности планеты.

Еще есть ледники, по оценкам ученых – если они растают, то уровень мирового океана поднимется еще на 60 метров. (Тем, что какие-то земли уйдут под воду, пренебрежём)

Классифицируйте получившееся небесное тело.

12. Орбита спутника (С)

Часто приходится слышать – спутник находится на геостационарной орбите. Геостационарная орбита – это когда спутник находится точно над одной точкой планеты, фактически вращаясь вместе с ней. Интересно, а можем ли мы ее рассчитать, опираясь на школьные знания физики?

13. Продавец воздуха. (Т)

У Александра Беляева есть произведение, в котором главный персонаж сжимал воздух и складывал в виде шариков его в подземное хранилище, и даже имел подземное озеро жидкого кислорода. Он хотел украсть весь кислород планеты, а потом продавать его разным странам. Давайте посмотрим, могло ли быть так, как описано в произведении? Смог бы «Продавец воздуха» сжижать весь кислород планеты»? На долю тропосферы приходится около 80% массы атмосферы, на долю стратосферы – около 20%; масса мезосферы – не более 0,3%, термосферы – менее 0,05% от общей массы атмосферы. Высота тропосферы – 11 км. Содержание кислорода в атмосфере – 22%. Жидкий кислород обладает плотностью 1,141 г/см³, а cредняя плотность воздуха в тропосфере примерно равна 1,29 кг/м3. Состав тропосферы, стратосферы, мезосферы и термосферы примем одинаковым.

14. Почему не падают люди внизу (Л)

Старый вопрос – если планета круглая, то почему внизу люди не падают? Ответ на него ясен и школьнику… но между тем, простым ответ только кажется – а ведь на людей внизу (ближе к солнцу) действует притяжение Солнца более высокое, нежели на тех людей, кто спокойно спит на темной стороне планеты. Посчитайте, на сколько процентов отличается вес, с которым человек действует на планету.

15. Космические скорости (Л)

Каждая планета обладает своей космической скоростью – первой, и второй. Первая – это когда тело покидает Землю но остается на орбите. Вторая – когда покидает планету. Но есть ещё третья – когда покидает Солнечную Систему… и даже есть четвертая – когда оно покидает галактику…

Рассчитайте вторую космическую скорость для нашей планеты.

16. «С Земли на Луну прямым путем за 97 часов 20 минут» (С)

Жюль Верн, один из основоположников научной фантастики, написал роман «С Земли на Луну прямым путем за 97 часов 20 минут». В нем из пушки выстреливается снаряд, в котором на луну летят люди. Очевидно, что если такое бы было возможно, то люди бы разбились при падении снаряда на Луну, как бы он затормозил. Предположим, что снаряд лечит четко по прямой траектории, от Земли до Луны. Если учесть, что размер перегрузки при приземлении не должен превышать 4g (именно такой был в корабле Союз при посадке), а при взлете 2g, то какая скорость могла быть достигнута в ходе перелета?

Расстояние от земли до Луны принять равным 384 400 км.

17. Первое измерение диаметра Земли (С)

Первым человеком, который измерил диаметр Земли, был грек Эратосфен, который проживал в Александрии. Он замерил тень от гномона, который был установлен там, а в Сиене в тот момент (когда солнце было в зените) в самых глубоких колодцах было видно солнце, а гномон в Сиене не отбрасывал тени.

После чего Эратосфен нанял человека, который прошел пешком от Александрии до Сиены (имени его мы не знаем, но в историю он себя вписал). И расстояние оказалось 5 000 стадиев. Точное значение стадиев никто не знает, только самое маленькое значение величины и самое большое… Тень, или часть на солнечных часах, которая наблюдалась в Александрии, составила 1/50 от дуги окружности диска солнечных часов. Определите радиус планеты в стадиях и сколько составляет одна стадия, если радиус Земли составляет 6371 км.

Марс

18. Астронавты на планетах земной группы. (С)

Марс назван так в честь древнеримского бога войны Марса. Это очень интересная планета, в позапрошлом веке астрономы видели в телескопы каналы, что породило массу догадок и легло в основу многих фантастических романов. Однако позже оказалость, что никаких каналов там нет. Там не менее, интерес к планете не угас. Предположим, что мы уже полетели на Марс, и более того, на другие планеты.

Один астронавт провел год на Меркурии, потом год на Венере, а потом отдыхал год и 9 дней на земле. А все это время другой астронавт провел на Марсе, и для него прошел только один марсианский год. Соотношение года Венеры и Земли вы знаете из предыдущей задачи. Как быстро делает круг вокруг солнца Меркурий, если Меркурианский год в 7,8 раз короче, чем Марсианский.

19. Самый большой вулкан Солнечной Системы. (С)

Самый большой вулкан Земли – это Мау́на-Ло́а (правильно сказать, самый объемный). Его объем оценивают в 75 тыс. км. кубических. Сколько вулкан Олимп на Марсе может поместить в себе вулканов Мау́на-Ло́а, если высота вулкана на Земле 4,1 км, Олимп выше в 2,5 раз земного собрата и диаметр подножья Олимпа составляет 540 км. (Был ли Марс на Олимпе, доподлинно не известно, но то что Олимп есть на Марсе – это научный факт)

20. Орбита спутника Марса (С)

Посчитайте, во сколько раз высота для марсостационарной орбиты отличается от высоты на геостационарной, приняв период обращения Марса вокруг своей оси за 24 часа, как на Земле. Масса Марса меньше Земной в 10 раз, а диаметр Марса в 2 раза меньше земного.

21. «Война Миров» (Л)

Мы все помним произведение выдающегося фантаста Герберта Уэллса, где он красочно описывает как Земля подверглась вторжению марсиан. В первой же главе мы встречаем такую фразу: «Планета Марс – мне едва ли нужно напоминать об этом читателю – вращается вокруг Солнца в среднем на расстоянии 140 000 000 миль, получает от него вдвое меньше тепла и света, чем наш мир.» Т. к. Уэллс был англичанином, то очевидно, что принять за расчет нужно сухопутную английскую милю. Посчитайте, насколько прав был Уэллс в первой части своей фразы, ну и конечно проверьте вторую часть.

Юпитер

Юпитер назван так в честь древнеримского бога-громовержца, Юпитера. Планета Юпитер – это удивительная планета, которая могла бы стать еще одной звездой в нашей системе, красным карликом, но немного не получилось))

22. Самая большая планета Солнечной Системы (С)

Юпитер самая большая и массивная планета солнечной системы. Его масса превышает массу всех планет, вместе взятых. Считается, что масса Юпитера составляет 318 планет Земля. Основываясь на этом, посчитайте, какой радиус должен быть у Юпитера если плотность Юпитера 1,326 г/см³, а Земли 5,5153 г/см³. Каким тогда будет расчетный радиус Юпитера? Радиус Земли 6371 км.

23. Древний ураган (Л)

Вы спросите – что значит «древний ураган». У нас, на Земле, ураганы долго не длятся. Ну пошумят день -другой, ну неделю. То ли дело Юпитер. Там есть ураган, который шумит уже несколько столетий. Его видно в телескопы. Впервые его заметил Джованни Кассини в 1665 году. Он называется «Большое Красное Пятно» (БКП). Предположим, что каким-то образом мы переместили бы его на Землю (что, к счастью, невозможно). И какую бы часть поверхности планеты он бы тогда занял? Примем, что БКП имеет форму правильного эллипса с осями 24 тысячи километров в длину и 12 в ширину.

24. Путешествие с Земли на Юпитер (с)

Человечество посетило Луну, планирует посетить Марс, ну наверное следующим на очереди может быть Юпитер. Вряд ли там остановятся астронавты, однако пролететь рядом могут. До Юпитера (так говорят специалисты в области космических путешествий) лететь 550 суток, ну это если не тормозить, а пролетать мимо. Посчитайте, с какой средней скоростью летит космический корабль, если среднее расстояния от Земли до Солнца составляет 1 а.е., а расстояние от Солнца до Юпитера составляет 4,95 а. е. в перигелии. Предположим, что космический корабль с астронавтом летит по кратчайшему расстоянию, и прилетает в ту точку, в которую величаво подходит Юпитер, следуя своей орбите. И определите, сколько времени нужно кораблю, чтобы разогнаться до данной средней скорости, если комфортное ускорение, которое может испытывают пассажиры лайнера при взлете, составляет 1,5 g.

Сатурн

25. Шестиугольник на Сатурне (С)

Каждая планета по-своему уникальна – на Марсе когда-то видели каналы, и существует громадный вулкан, самый большой в Солнечной Системе, на Юпитере есть большой ураган, бушующий уже много веков, а на Сатурне есть облака, которые представляют собой шестиугольник почти правильной формы, образованный тоже каким то ураганом.

Впервые его обнаружил «Вояджер-1», пролетая мимо в 1980 году. Шестиугольник имел сторону в 13800 км и после своего открытия в последующие 20 лет практически не изменился.

Посчитайте, на сколько процентов площадь этого шестиугольника больше площади поверхности нашей планеты.

26. Кольца Сатурна I (Л)

Еще Галилей заметил, что у Сатурна есть странные отростки. Однако он не смог их как следует рассмотреть, т.к. телескоп был у него с 32х кратным увеличением.

Теперь мы знаем о кольцах многое – их размер нам известен, состав – тоже. Известно, что если все вещество из колец Сатурна собрать в одном месте, то по данным Википедии, получится тело диаметром не более 100 км. Определите среднюю толщину колец, если экваториальный радиус Сатурна составляет 60268 км (принять 60 тыс. км), а диаметр колец 250 тыс. км. Самое близкое кольцо имеет радиус 67 тыс. км.

27. Кольца Сатурна II (С)

Кольца Сатурна состоят из льда (ну и небесной пыли, конечно). Считается, что один из спутников Сатурна, Энцелат, имеет в своем составе много воды, и покрыт льдом, однако под влиянием приливных явлений лед трескался, и образовавшиеся гейзеры выбрасывали воду и она превращалась в лед и сформировала кольцо Сатурна Е. Диаметр Энцелата составляет 500 км. Посчитайте, какой диаметр был у Энцелата до формирования кольца.

Кольцо Е находится на расстоянии от 180 до 480 тысяч километров от центра газового гиганта. Если предположить, что вещество распределено равномерно по всей площади кольца и составляет величину, которую мы рассчитали в предыдущей задаче, то посчитайте, какой диаметр имел Энцелат до образования кольца.

28. Самая рыхлая планета (Л)

Сатурн – единственная планета в солнечной системе, плотность которой меньше плотности воды. Посчитайте, какую среднюю плотность имеет планета, если она тяжелее Земли в 95 раз и радиус нашей планеты меньше в 9,1 раз. Средняя плотность Земли составляет 5510 кг/м³.

29. Спутники Сатурна (Т)

Основные спутники Сатурна открыты еще давно. Это 7 спутников – Титан, Рея, Япет, Дафна, Тефия, Энцелат, Мимас. Автор для себя придумал мнемоническую фразу для запоминания этих крупнейших спутников, расположенных в порядке убывания размеров. «Так Рассказать Тебе Я Даже Это Мог». В конце книги описан конкурс на лучшую мнемоническую фразу. А пока давайте разберемся с размерами этих спутников. Титан – второй по размеру спутник в солнечной системе и второе тело в солнечной системе, для которого доказано наличие стабильной жидкости на поверхности. А велик он настолько, что следующие за ним по размеру 4 спутника, если просуммировать их диаметры, только на 32 км превышают диаметр Титана. Диаметр Тефии больше на 161 км, чем диаметр Энцелата и Мимаса. Если бы диаметр Энцелата был бы меньше на 4 км, а Мимаса на ту же величину больше, то тогда диаметр Мимаса был бы меньше диаметра Энцелата ровно на 100 км, и при этом диаметр Титана больше диаметра Энцелата чуть более чем в 10 раз. (В 10,21 раза).

Если посмотреть с точки зрения площадей, то площадь поверхности Титана в 11,36 раза больше площади поверхности Реи.

Совсем неверным будет не касаться массы данных небесных тел.

Так, например – масса Реи больше массы Япета на 27,77%, а плотность на 13,69%. А плотность Дионы больше плотности Япета на 35,63%, а масса меньше на 39,17%.

Определите, в каком году открыта Рея, если её диаметр довольно близок к году открытия. В числе в километрах нужно лишь переставить цифры десятков и единиц, ада и цифру сотен увеличить на единицу.

Уран

30. Правило Тициуса – Боде (Т)

Эту зависимость впервые обнаружил Иоганн Тициус в 1766 году и благодаря работам Иоганна Боде в 1772 году, данная зависимость стала широко известна.

Она позволяет вычислить расстояние от планеты до Солнца, пользуясь одной формулой для всей Солнечной Системы на тот момент и дала замечательный результат, когда Уильямом Гершелем был открыт Уран 13 марта 1781.

Формула имеет общий вид:

R_i=A+kBⁱ

где А, B и k – некоторые значения, i – порядковый номер планеты, где земля принята за 1, а пояс астероидов тоже имеет свой номер.

Ri – расстояние от соответствующей планеты до Солнца в астрономических единицах.

Найдите эти коэффициенты а так же погрешность при использовании правила при определении расстояния до Урана, если известно, что правило точно определяет расстояние для Земли (1 а.е.) и Юпитера (5,2 а.е.), расстояние до Марса получается на 5% меньше реального. (реальное – 1,6 а.е.)

31. Полетим с Урана (Л)

Уран имеет плотность 1,27 г/м³, а средний радиус его составляет 25 362 км. Рассчитайте скорость для космического корабля, который выходит на орбиту Урана.

Нептун

32. Чудеса математики (Т)

Обнаруженный 23 сентября 1846 года, Нептун стал первой планетой, открытой благодаря математическим расчётам. Обнаружение непредсказуемых изменений орбиты Урана породило гипотезу о неизвестной планете, гравитационным возмущающим влиянием которой они и обусловлены. Нептун был найден в пределах предсказанной орбиты.

Нам конечно, сложно рассчитать орбиту, но посчитать, на сколько процентов отличается сила притяжения Урана Солнцем от влияния Нептуна, мы можем.

Предположим 2 варианта – Уран, Нептун и Солнце на одной линии, причем Уран и Нептун по одну сторону. И второй случай, когда Нептун и уран по разные стороны от солнца. Как отличается суммарная сила притяжения планеты к Солнцу в этом случае? (Влиянием гравитации Юпитера и прочих планет пренебрегаем)

Массы Солнца и Нептуна составляют 1,9889*10³⁰ и 1,024*10²⁶ кг соответственно, расстояния до Солнца до Урана и от Солнца до Нептуна 19,2 и 30,1 а.е.

33. Эксцентриситет Нереиды (Л)

Второй спутник Нептуна, Нереида, имеет один из самых больших эксцентриситетов в солнечной системе. Он составляет 0,7512.

Посчитайте, чему равна малая полуось орбиты, если большая равна 5,513 млн км. (Формула экцентриситета в задаче №2)