Текст книги "Расколотый мир. Опыт анализа психодинамики личности человека в экстремальных условиях жизнедеятельности"

Введем понятие бинарной операции. Говорят, что на множестве А задана бинарная операция, если задано отображение f: А² → А, которое каждой паре элементов из А² ставит в соответствие единственный элемент из А. Бинарную операцию называют также двухместной. Ясно, что можно определить n-местную операцию, если задать отображение, которое набору (a₁…. а_n) ∈ A ставит в соответствие единственный элемент a ∈ А. Нас, однако, в дальнейшем будут интересовать только бинарные операции, которые мы будет называть просто операциями. На множестве А можно задать несколько операций, множество которых в этом случае называется сигнатурой множества А. Множество А вместе с его сигнатурой называется алгеброй. Легко видеть, что задание n-местной операции совпадает с заданием некоторого n+1-арного отношения. Таким образом, всякая алгебра является моделью.

Рассмотрим теперь множество А с заданной на нем операцией, которую мы будет обозначать Т. Нас сейчас не интересует, какова эта операция – она может быть любой, удовлетворяющей приведенному выше условию. Алгебра (А, Т) называется группоидом. Если в группоиде действует закон ассоциативности, который означает, что для любых трех элементов имеет место равенство

то такой группоид называется полугруппой. Закон ассоциативности означает, что в полугруппе можно любым способом расставлять скобки при записи действия операции на некоторое множество элементов из А. Поэтому если задана полугруппа, то скобки в записи могут быть опущены. Полугруппа, в которой существует нейтральный элемент, определяемый следующим свойством:

а также для каждого элемента а принадлежащего А существует обратный элемент a^-1 ∈ А, такой, что

называется группой. Итак, непустое множество элементов произвольной природы называется группой, если: 1) над этим множеством задана бинарная операция, 2) выполняются условия (9)—(11).

Отметим, что в определении фигурирует множество элементов произвольной природы, значит, таким множеством может быть и множество самих операций. Над таким множеством можно определить новую бинарную операции, ставящую в соответствие любой паре операций некоторую третью. Обычно в качестве такой операции рассматривают последовательное выполнение двух операций из исходного множества, для этого необходимо, чтобы всякая композиция двух операций вновь давала операцию из заданного множества. Если при этом также выполняются условия (9)—(11), то заданное множество операций является группой. Еще раз отметим, что сами операции могут быть совершенно произвольной природы.

Исследуя закономерности формирования детского интеллекта, Ж.Пиаже показал, что развитие операциональных способностей детей идет в направлении формирования структур операций, удовлетворяющих условиям группы. Действительно, с началом овладения ребенком речью (после первого года жизни) он уже способен осмысленно выполнять некоторые операции с объектами окружающего мира. Через некоторое время ребенок уже способен комбинировать операции, например, он способен положить несколько формочек одну в другую, затем ребенка можно научить выполнять операции в определенном порядке, например, складыванию пирамидки. Однако эти операции еще не являются ассоциативными: ребенок может их выполнять только в одном усвоенном порядке. Несколько позже множество операций уже удовлетворяет закону ассоциативности; так как формируются обратные операции и тождественная операция, выступающая в качестве нейтрального элемента (надеть это колечко, снять то колечко, оставить это колечко на месте). Таким образом, относительно наиболее простых из окружающих предметов у ребенка довольно рано формируются структуры операций, являющиеся группами. Операции с другими, более сложными объектами формируются несколько позже, многочисленные примеры того можно найти в трудах Ж.Пиаже. Здесь, однако, надо отметить, что сами объекты внешнего мира не всегда позволяют совершать с ними все те операции, которые должны входить в множество, называемое группой. Так, например, если смешать две жидкости, то их обычно уже невозможно вновь отделить одну от другой. Из этого, однако, не следует, что интеллект человека не владеет такой обратной операцией. Действительно, представьте себе, что хозяйка смешала две жидкости в неправильной пропорции. Для установления и исправления этого факта ей необходимо вновь представить жидкости несмешанными, что она с легкостью делает. Таким образом, приобретение множеством усвоенных человеком операций свойств группы (в смысле математико-психодинамического моделирования его поведения) может выступать в качестве критерия зрелости человеческого интеллекта, как, впрочем, и личности в целом. Г. Гельмгольц писал, что прежде чем сделать какое-либо обобщение, он всегда переживал стадию, когда объект его изысканий был целиком представлен в уме без опоры на записи и выкладки. Эту стадию сопровождало переживание свободы комбинаций и перекомбинаций мыслей, их соединения и разъединения, совместного рассмотрения утверждений и отрицаний. Мы видели, что объект, с которым совершаются операции, не всегда позволяет совершать все те операции, которые входят в структуру групп. При этом человек, естественно, располагает знанием о том, какие операции он не может совершить, какие являются необратимыми, и т. д., следовательно, некоторые элементы группы операций являются как бы помеченными. Такие структуры знания Ж.Пиаже назвал группировками, а Б.Гриз в специальной работе формализовал понятие группировки, дополнив множество условий, определяющих группу.

Пусть теперь элементами исходного множества являются взаимно однозначные (биективные) отображения некоторого множества A в себя. Такие отображения называются подстановками. Например, пусть имеется множество A = {1, 2, 3, 4}. Тогда смена: 1234 → 2413 изображает подстановку элементов множества А, в которой 1 переходит в 2, 2 в 4, 3 в 1, 4 в 3. В силу биективности отображения мы легко можем построить обратное к нему, где 2 переходит в 1, 4 в 2, 1 в 3, 3 в 4. Точно так же можно определить нейтральное, или, как говорят, тождественное отображение, которое переводит каждый элемент в себя. Определим теперь операцию произведения подстановок как последовательное их выполнение. Обозначим вышеприведенную подстановку буквой «с» и выберем еще некоторую подстановку «р» элементов множества А: 1234 → 3142.

Для того чтобы построить произведение двух подстановок мы должны к результату подстановки «c» применить подстановку «р», которая переводит: 1→3, 2→1, 3→4, 4→2. Мы получим новую подстановку:

1234 → 2413 → 1234.

Мы получили тождественную подстановку, следовательно, р = с^-1, a с = p^-1. Легко видеть, что заданная на множестве подстановок операция подчиняется закону ассоциативности, а следовательно, множество подстановок, заданных над множеством А, является группой. Заметим также, что множество подстановок некоторого конечного множества, состоящего из k элементов, называют также симметрической группой порядка k.

Приведем пример симметрической группы подстановок как модели психических явлений эмоциональной сферы личности. В отечественной психологии распространено представление о существовании четырех базовых эмоциональных состояний: радости, гнева, страха и печали. Будем считать, что в любой момент времени человек находится в одном из указанных состояний, интенсивность переживания эмоций может быть, конечно, различной: от сильного гнева до едва осознаваемой раздражительности, от сильной радости до удовлетворенности – нас это сейчас не интересует. Важно, что с течением времени человек переходит из одного эмоционального состояния в другое. Таким образом, динамика эмоциональной жизни человека представляет собой подстановку, а множество возможных эмоциональных состояний есть симметрическая группа порядка 4. Эта группа является конечной и содержит 24 различных подстановки. Это число, однако, слишком велико для того, чтобы использовать эту группу для типологии эмоциональности личности. Действительно, в экспериментальном исследовании, проведенном с помощью специально разработанной нами методики на основе нижеописанной модели, выяснилось, что число типов (подстановок), которые с большей частотой встречаются среди людей, гораздо меньше. В дальнейшем анализе выяснилось, что чаще всего встречаются три следующих подстановки (обозначим эмоции начальными буквами):

Мы видим, что в каждой из этих подстановок пары эмоций образуют как бы независимые подстановки или циклы. Так, например, в первом случае гнев сменяет печаль, а печаль – гнев, точно так же, как радость – страх, а страх – радость. В таких случаях говорят, что подстановка допускает разложение на независимые циклы, цикл из двух элементов называется транспозицией. Для обозначения циклов используют запись: (ГП), (PC), а вся подстановка рассматривается как произведение циклов – (ГП)(РС). Отметим, что если подстановка не может быть разложена на независимые циклы, то она сама может рассматриваться как цикл. Этот факт используют для сокращенной записи подстановок. Так, например, уже использованная нами подстановка «с» может быть записана в виде цикла (1243), а подстановка «р» – как (3421). Здесь уже легко видеть, что подстановка «р» является обратной «с» и наоборот. Работа в области эмоциональной сферы позволила нам в дальнейшем распространить вышеописанный подход и на другие личностные составляющие, а именно волю и познание, а также высший личностный синтез, направляемый читательским поведением (см. выше). Кроме того, такая модель представления психических явлений позволяет как элиминировать их принципиальную расколотость Другим, в том смысле, что это самое непознаваемое Другое оказывается как бы в середине цикла (например, парного радость – страх) и уже «не мешает» изучать психическую (в данном случае эмоциональную) жизнь человека, представляя ее как циклическую смену состояний, т. е. психодинамически.

Рассмотрим теперь некоторое подмножество множества А, над которым задана операция, и которое вместе с этой операцией является группой. Подмножество В множества А вместе с той же самой операцией может вновь уже само по себе образовывать группу. Если некоторое подмножество множества элементов группы вновь образует группу относительно той же самой операции, то такое подмножество вместе с заданной операцией называется подгруппой исходной группы. Итак, для того чтобы непустое подмножество В данной группы А было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) множество В вместе с любыми двумя своими элементами содержит и результат применения к ним заданной операции; 2) множество В содержит вместе с каждым своим элементом и обратный к нему B^-1.

Возвращаясь теперь к нашему примеру, предлагаем читателю показать, что если к трем указанным подстановкам: (ГП)(РС), (ГР)(ПС), (ГС)(ПР) добавить тождественную подстановку, то мы получим подгруппу симметрической группы порядка 4. Эта подгруппа называется четверной подгруппой Клейна. Кроме того, эта подгруппа является так называемой нормальной подгруппой. Для того чтобы ввести понятие нормальной подгруппы, нам необходимо предварительно определить понятие смежного класса. Пусть A' есть некоторая подгруппа группы А; а – некоторый элемент из А. Тогда множество всех произведений аA' называется левым смежным классом группы А по подгруппе A'. Соответственно множество всех произведений вида – A'a называется правым смежным классом. Очевидно, что заданная в группе операция совсем не всегда является коммутативной, т. е. для любых двух элементов a и b из группы А совсем не всегда верно

следовательно, правый смежный класс совсем не всегда будет равен левому смежному классу по одной и той же подгруппе.

Если равенство (12) верно для любых двух элементов группы, то такая группа называется коммутативной или абелевой. Однако даже если сама группа А и не является абелевой, возможна такая ситуация, что существует подгруппа группы А – A', такая, что

верно для любого элемента a ∈ A. В этом случае подгруппу A' называют нормальной или инвариантной подгруппой группы A. Ясно, что в коммутативной группе всякая ее подгруппа, включая и ее саму, является нормальной. Два смежных класса могут быть равными и тогда, когда элементы a и b не равны. Это происходит в том случае, если элемент a^-1 лежит в подгруппе А:

Ясно, что произведение a^-1b на подгруппу, которая содержит этот элемент, равно самой этой подгруппе, из чего следует последнее равенство в выражении (14). Покажем далее, что два различных смежных класса не имеют ни одного общего элемента. Если бы два смежных класса содержали общий элемент, например, ac₁ = bc₂, где c₁ и c₂ элементы из A', то из этого следовало бы, что

А из этого в силу (14) следует, что классы aA' и bA' совпадают. Таким образом, множество смежных классов по данной подгруппе образует разбиение исходной группы на классы эквивалентности. Исходя из этого, можно вывести важное соотношение между порядком группы (напомним, что порядок группы равен числу ее элементов, если группа конечна), порядком подгруппы и числом смежных классов по данной подгруппе. Ясно, что если группа А распадается на k классов, в каждом из которых содержится ровно столько элементов, сколько в подгруппе, то можно записать равенство

где Х – порядок группы А, а х – порядок группы A'. Возвращаясь к нашему примеру группы подстановок эмоциональных состояний человека, можно сказать, что множество подстановок, входящее в нормальную подгруппу (четверную подгруппу Клейна), представляет собой множество типичных эмоциональных состояний человека, в то время как все остальные возможные эмоциональные состояния входят в те или иные смежные классы, определенные по данной нормальной подгруппе. Аппарат теории групп позволяет, таким образом, существенно усовершенствовать подход к определению психологических типов (по тем или иным признакам) как набора непересекающихся множеств людей.

Ранее мы показали: для того чтобы один объект можно было рассматривать в качестве модели другого, должно существовать сюрьективное отображение множества элементов модели на множество элементов моделируемого объекта. В этом параграфе мы ввели понятие алгебры как модели, состоящей из абстрактных элементов (т. е. абстрактной модели). Оперирование с такими абстрактными моделями, как было показано на примере групп, является гораздо более экономичным, чем оперирование с реальными объектами, кроме того, математическая теория абстрактных моделей ограждает исследователя от ошибок. Следовательно, необходимо ввести правило, позволяющее заменять любые имеющиеся модели на абстрактные. Для этого необходимо построить отображение одной модели в другую, причем это отображение должно быть биективным или взаимно однозначным. Важно, однако, сохранить не только взаимную однозначность перехода элементов одной модели в элементы другой, но также и однозначность действия операции или, в общем случае, сохранение отношений между элементами. Следовательно, отображение одной модели в другую (абстрактную) должно удовлетворять следующим двум условиям:

Такое отображение называется изоморфизмом. Если, однако, отображение f не биективно, а сюрьективно, то оно называется гомоморфизмом. В этом последнем случае абстрактная модель уже не полно отражает модель-объект. Тем не менее чаще всего с этим приходится мириться, так как добиться изоморфизма моделей бывает очень трудно или невозможно.

Среди алгебр крайне важными являются такие структуры с двумя заданными внутренними операциями. Пусть на множестве определены операции сложения и умножения, которые ставят в соответствие любой паре элементов множества соответственно их сумму и произведение, это множество называется кольцом, если: 1) относительно операции сложения исходное множество образует абелеву группу; 2) действие операции умножения над исходным множеством удовлетворяет закону ассоциативности: а × bс = ab × c; 3) две операции связаны между собой законом дистрибутивности:

Пусть имеется множество М, состоящее из элементов произвольной природы. Пусть также над этим множеством задана операция сложения, и относительно этой операции данное множество М образует абелеву группу (группа относительно операции сложения часто также называется аддитивной группой или модулем). Если при этом имеется также некоторое поле К, элементы которого будут называться скалярами или коэффициентами, и определено умножение элементов К на элементы М, удовлетворяющее следующим требованиям. Для любых ∀х, у ∈ М и a,b ∈ K: 1) хa лежит в М; 2) (х + у) а = ха + уа; 3) х (а + в) = ха + хв; 4) х1 = х; 5) х (ав) = (ха) в. Множество М в таком случае называется линейным пространством. В линейном пространстве операция умножения является внешней операцией. Таким образом, каждый элемент пространства может быть представлен уже не только как комбинация каких-то его элементов, но и как результат некоторого внешнего действия на какой-то его элемент. Очевидно при этом, что результат внешнего действия обязательно лежит в М.

Приведем некоторые важнейшие примеры задания линейных пространств.

Пусть множество векторов задано в трехмерном евклидовом пространстве. Два вектора считаются равными, если равны их длины, а сами векторы направлены в одну и ту же сторону. Нулевым вектором является вектор нулевой длины. Сложение векторов производится по правилу параллелограмма, умножению на скаляр соответствует растяжение вектора. В качестве поля скаляров используется поле действительных чисел. Легко проверить, что заданное множество векторов относительно операции сложения образует модуль, а операция умножения на действительное число удовлетворяет перечисленным требованиям.

Пусть множество М состоит из всевозможных упорядоченных наборов действительных чисел по k чисел в каждом. Упорядоченность набора означает, что числа определенным образом занумерованы, при этом они, однако, не обязаны быть различными. Пусть элемент х ∈ М задан набором х = {х₁, х₂…. х_к}, а элемент у = {у₁, у₂, …, у_к}. Элементы х и у будут равны в том и только в том случае, если х₁ = у₁, х₂ = у₂, …, х_к = у_к Определим линейные операции в М следующим образом:

где а – коэффициент из поля действительных чисел. Нулевым элементом в множестве М является набор 0 = {0,…, 0} противоположным элементом элемента х является элемент – x = {—х₁, ………, – х_k } Легко видеть, что множество М образует аддитивную группу. Предоставляем читателю проверить, что умножение наборов действительных чисел на действительное число по правилу (19) удовлетворяет требованиям 1)—5). Таким образом, множество М образует линейное пространство. Такое пространство является хорошей моделью психологического теста в его статическом варианте. Пусть имеется некоторое множество заданий (вопросов или утверждений), называемых тестовыми пунктами, и множество людей, называемых испытуемыми, которые, указывая некоторое действительное число, выражают степень своего согласия с утверждением тестового пункта (либо другие люди, называемые экспертами, указывают степень выполнения задания). Обычно для ответов испытуемым предлагается заранее заготовленный набор (целых) чисел, например от единицы до пяти или десяти, иногда также для ответа предлагается отрезок прямой, на котором испытуемый точкой отделяет часть, соответствующую степени его согласия. Тем или иным способом каждому испытуемому в результате тестирования ставится в соответствие набор действительных чисел, упорядоченный в соответствии с порядком предъявления испытуемому тестовых пунктов. Далее наборы, полученные для всех испытуемых, складывают по правилу (19). Полученный в результате сложения набор умножается на коэффициент, равный единице, деленной на количество испытуемых, подвергшихся тестированию. Таким образом, полученный набор называют психологической нормой теста для данной группы испытуемых. Если противоположный норме набор сравнить с набором, полученным в результате ответов конкретного испытуемого, то полученный результат называется характеристикой данного испытуемого в данной группе по данному тесту. Если протестированная группа испытуемых достаточно велика и разнообразна (со статистической точки зрения), т. е. является репрезентативной относительно генеральной совокупности, то можно говорить просто о характеристике испытуемого по тесту.

Итак, результаты психологического тестирования представляют собой векторы (упорядоченные наборы чисел также иногда называют k-мерными векторами) некоторого линейного пространства. Это линейное пространство в свою очередь, рассматривается как пространство того психологического свойства, которое подверглось тестированию. Результаты оформляются в виде таблицы.

Такая таблица называется матрицей. Обычно используют также сокращенную запись

При сложении матриц складываются числа с равными индексами (расположенные на одних и тех же местах). При умножении каждое число матрицы умножается на скаляр с из поля действительных чисел. Пространство матриц имеет широкое применение при обработке данных социально-психологического исследования.

Пространство непрерывных функций. Для построения этого пространства на числовой оси выделяется некоторый отрезок. В множестве функций непрерывных на этом отрезке операции сложения и умножения на число задаются так, как это принято в математическом анализе (см.: Валлон, 1967). Это пространство используется в математической теории тестов, а также для моделирования отдельных психологических процессов и явлений (Ананьев, Дворяшина, Кудрявцева, 1968). Для нас будут важны следующие два свойства пространства непрерывных функций:

1. Если часть системы функций линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Для доказательства нужно записать линейную комбинацию той части системы, которая является линейно зависимой: αа + βв = 0. Далее мы хотим приписать к этой нетривиальной линейной комбинации все остальные элементы системы с коэффициентами нуль и получим вновь нетривиальную линейную комбинацию, но уже для всей системы:

2. Если вся система линейно независима, то и любая ее часть линейно независима.

В дальнейшем нас будут интересовать только те случаи, когда максимальное число линейно независимых элементов линейного пространства конечно. Такие линейные пространства называются конечномерными. Дадим следующее определение: линейно независимая система элементов, через которые линейно выражается каждый элемент линейного пространства, называется базисом пространства. Число элементов базиса называется размерностью линейного пространства. Размерность пространства М обозначается dim M. Ясно также, что в k-мерном линейном пространстве любая система из k линейно независимых элементов образует базис, а любая система из k + 1 элемента является линейно зависимой. Тогда если элемент базиса обозначить е_i, то любой элемент системы представим как линейная комбинация элементов базиса:

Линейную комбинацию (22) называют разложением элемента х по базису, а коэффициенты при элементах базиса называются координатами элемента х относительно базиса Е. Легко показать, что разложение элемента а относительно некоторого фиксированного базиса Е единственно. Докажем это утверждение. Пусть имеется два разложения х по базису Е:

Вычтем из первого равенства второе:

В силу того, что элементы базиса линейно независимы, то из равенства их линейной комбинации нулю следует равенство нулю всех коэффициентов в равенстве (23), а, следовательно, коэффициенты в разложениях (23) равны, и разложение элемента х по базису Е единственно.

Вернемся к примеру координатного пространства как модели психологического теста в его статическом понимании. Мы можем рассматривать пункты теста как элементы базиса линейного пространства. Ответы испытуемого выступают в этом случае как координаты. Очевидный смысл приобретает в этом случае и сумма координат как интегральный результат тестирования. Зададимся, однако, вопросом: всегда ли число тестовых пунктов равно размерности «пространства теста»? Представим себе, что на каких-то два тестовых пункта все испытуемые данной группы ответили совершенно одинаково. Составим матрицу первичных данных, где по строкам написаны ответы испытуемых на тот или иной тестовый пункт, а по столбцам – результаты применения тестовых пунктов к тому или иному испытуемому. Ясно, что в указанном случае в матрице первичных данных будут иметь место два совершенно одинаковых столбца. Очевидно, что столбцы матрицы так же, как и строки, могут быть рассмотрены как элементы некоторого (но не одного и того же) линейного пространства. Размерность этого пространства будет равна максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы. Обозначим число столбцов матрицы о, среди них имеется, как уже говорилось, два равных столбца. Ясно, что линейная комбинация этих двух столбцов с коэффициентами разных знаков будет равна нулю, и, следовательно, эти два столбца линейно зависимы. Выше мы доказали, что если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Следовательно, все множество столбцов матрицы является линейно зависимым и размерность соответствующего линейного пространства меньше, чем число столбцов. При построении психологических тестов такие «линейно зависимые пункты» (ясно, что для того, чтобы тестовые пункты были линейно зависимы, они не обязательно должны быть равны, но могут также отличаться коэффициентом) объединяются в субтесты, которые уже являются линейно независимыми. Таким образом, размерность пространства тестовых пунктов равна числу субтестов в указанном выше смысле.

Подведем теперь итоги рассмотрения линейного пространства как модели психологического теста, а следовательно, и модели тестируемого свойства. Пусть у вас имеется набор тестовых пунктов, направленных на выявление у испытуемого некоторого психологического свойства. Моделью интересующего нас свойства в данной группе испытуемых будет множество ответов испытуемых, которое, как мы видели, можно рассматривать как линейное пространство. Далее, если тестовые пункты подобраны таким образом, что испытуемые дают на них существенно различные ответы, то размерность линейного пространства, моделирующего интересующее нас свойство (линейное пространство данного свойства), в точности равна числу тестовых пунктов и не зависит от числа испытуемых. Из этого следует, что строение линейного пространства свойства не зависит от размеров выборки испытуемых. Этот факт лежит в основе интерпретации свойства, полученного посредством статического (а не психодинамического) тестирования группы испытуемых, как модели психологического свойства, присущего данному конкретному испытуемому.