Текст книги "Вычислительная машина и мозг"

Фон Нейман в полной мере осознавал темпы прогресса и его значение для будущего человечества, что подводит нас к пятой ключевой идее информационной эры. Спустя год после смерти фон Неймана в 1957 году его коллега, математик Стэн Улам, напомнил нам следующие его слова: «Непрерывно ускоряющийся технический прогресс и перемены в образе жизни людей создают впечатление приближения к некой важной сингулярности в истории человечества, за которой все человеческие дела в том виде, в каком мы их знаем, не смогут продолжаться». Это первый известный случай употребления слова «сингулярность» в контексте человеческой истории.

Рэй Курцвейл

Предисловие ко второму изданию

Эта тоненькая книжка на первый взгляд выглядит весьма невинно, но на самом деле она находится в самом центре громадного урагана – на небольшом островке ясности и спокойствия, вокруг которого бушуют вихри конкурирующих теорий и исследовательских программ. Она тем более примечательна, что была написана в 1956 году, в самом начале бурного развития компьютерных технологий, определившего вторую половину XX века. В своей последней серии лекций, опубликованных в данной книге, Джон фон Нейман пытался дать объективную оценку механизмам работы мозга, рассматриваемым, с одной стороны, сквозь призму современной теории машинных вычислений, а с другой – в свете компьютерных технологий и эмпирической нейронауки в том виде, в каком они существовали в тот период.

Можно было бы ожидать, что любая оценка, сделанная в то время, теперь должна безнадежно устареть. Однако в действительности все наоборот. Что касается чистой вычислительной теории (теории генерации элементов любой вычислимой функции), основы, заложенные Уильямом Черчем, Аланом Тьюрингом и, в известной степени, самим фон Нейманом, оказались не только в высшей степени прочными, но и весьма полезными в решении широкого круга проблем.

Что касается компьютерных технологий, то все современные машины, которые теперь стоят в каждом офисе и в каждом втором доме в Америке, построены на так называемой архитектуре фон Неймана. Все они – примеры функциональной организации, предложенной и исследованной фон Нейманом. В основе этой организации лежит последовательная «программа», которая хранится в модифицируемой «памяти» машины и определяет природу и порядок основных шагов, выполняемых «центральным процессором» в ходе вычислений. В настоящей работе фон Нейман предлагает краткое, но четкое обоснование такой организации, хотя он говорит о «коде», тогда как сейчас мы говорим о «программах»; он говорит о «полных кодах» и «сокращенных кодах», а мы – о «программах на машинном языке» и «языках программирования высокого уровня». Но изменились только слова и частота тактовых импульсов. Джон фон Нейман узнал бы свою архитектуру в любой машине, существующей сегодня, – от органайзеров Palm Pilot,[5]5
  Palm – семейство карманных компьютеров и коммуникаторов (смартфонов), работающих под управлением операционной системы Palm OS, а также webOS. Производились компанией Palm Computing (подразделение U. S. Robotics, затем 3Com и после этого – Palm, Inc.), а также другими фирмами. В 2010 году, после покупки Palm компанией Hewlett Packard, смартфоны выпускались уже под маркой этого производителя.


[Закрыть] играющих в покер, до суперкомпьютеров, моделирующих процессы образования галактик.

Ситуация, сложившаяся вокруг эмпирической нейронауки, сложнее, но вместе с тем гораздо интереснее. Прежде всего необходимо сказать, что в некоторых нейронауках (нейроанатомии, нейрофизиологии, возрастной нейробиологии и когнитивной нейробиологии) достигнут значительный прогресс. И здесь кропотливые исследования длиной в полвека породили совершенно новую науку. Благодаря новейшим экспериментальным методам (таким, как электронная и конфокальная микроскопия, фиксация потенциала, электро– и магнитоэнцефалография, компьютерная томография, позитронно-эмиссионная томография и магнитно-резонансная томография) сегодня мы имеем гораздо лучшее представление о волокнистой микроструктуре мозга, электрохимическом поведении его микроскопических частей и общих механизмах его функционирования при различных видах познавательной деятельности. Несмотря на то что мозг по-прежнему хранит много тайн, он уже не является «черным ящиком», каковым представлялся когда-то.

Как ни странно, начиная с 1950-х годов и вплоть до настоящего времени эти две родственные науки, одна из которых посвящена изучению искусственных, а другая – естественных когнитивных процессов, развивались в отрыве друг от друга. Люди, получавшие ученые степени в области информатики, как правило, мало знали о биологическом мозге (а многие – вообще ничего). Поскольку подавляющее большинство исследований в области информатики были ориентированы на написание программ, разработку новых языков или усовершенствование микросхем, глубоких познаний в сфере эмпирических нейронаук не требовалось. Аналогичным образом специалисты по нейронаукам практически ничего не знали о теории машинных вычислений, теории автоматов, формальной логике, двоичной арифметике или электронике транзисторов. Бо́льшую часть своего рабочего времени эти ученые тратили на окрашивание образцов мозговой ткани для последующего микроскопического исследования или на вживление в мозг микроэлектродов для анализа электрического поведения нейронов во время выполнения различного рода познавательных задач. Если они и прибегали к помощи машин, то использовали их в качестве инструмента для упорядочивания результатов экспериментов – то есть так, как используют вольтметр, калькулятор или картотечный шкаф.

Хотя в каждой из этих наук еще предстоит открыть много нового, ни одна не внесла сколь-нибудь существенного вклада в изучение предмета другой. Несмотря на кажущееся совпадение – исследование когнитивных и вычислительных процессов, – они развивались параллельно; каждая добилась потрясающих успехов самостоятельно, без всякой помощи со стороны «сестры». Но почему?

Пожалуй, самый частый ответ, который можно услышать, заключается в том, что по своей физической организации и вычислительной стратегии биологический мозг очень отличается от архитектуры фон Неймана, используемой в стандартных вычислительных машинах. В течение почти пятидесяти лет две сестринские науки фактически занимались изучением принципиально разных предметов. А потому и неудивительно, что они развивались в значительной независимости друг от друга.

Вышеупомянутый ответ по-прежнему остается спорным и в дальнейшем вполне может оказаться ошибочным. Однако он лежит в основе текущих дискуссий о том, каким именно образом биологический мозг творит свои многочисленные познавательные чудеса и как лучше всего подходить к конструированию различных форм искусственного интеллекта. Должны ли мы проигнорировать очевидные ограничения биологических систем (ограничения, в основном касающиеся скорости и надежности) и сосредоточиться на ослепительном потенциале электронных систем – систем, которые даже с архитектурой фон Неймана могут выполнять или симулировать любые вычислительные операции? Или вместо этого лучше имитировать организацию, свойственную мозгу насекомых, рыб, птиц и млекопитающих? Если да, то что это за организация? Чем она отличается от того, что происходит в наших искусственных машинах?

На эти вопросы Джон фон Нейман предлагает прозорливый, аргументированный и явно нетрадиционный ответ. Первую половину своей книги он посвящает классическим концепциям (которые сам же и сформулировал), а обращаясь к мозгу, заключает, что «его функционирование является на первый взгляд цифровым». Этот вывод в свою очередь представляет собой на первый взгляд прокрустово ложе – и фон Нейман признает сей факт немедленно.

Первая проблема, которую он отмечает, состоит в том, что характер связей между нейронами отличается от привычной конфигурации «две линии внутрь, одна наружу», присущей как классическим вентилям И, так и вентилям ИЛИ. Хотя каждая клетка, как правило, имеет только один выходной аксон, как того требует классическая схема, она получает более ста (точнее, более нескольких тысяч) входных сигналов от множества других нейронов. Несмотря на то что данный факт не является решающим – существуют, например, системы многозначной логики, – он заставляет задуматься.

Интрига закручивается, когда фон Нейман проводит поэтапное сравнение фундаментальных размеров «основных активных органов» мозга (предположительно нейронов) и «основных активных органов» вычислительной машины (различных логических вентилей). В пространственном отношении, утверждает он, нейроны имеют преимущество, так как в 10² раз меньше своих электронных аналогов. (Оценка в то время была совершенно точной, однако с появлением такой технологии изготовления микросхем, как фотолитография, это преимущество исчезло – по крайней мере в случаях, когда речь идет о двумерных слоях.)

С другой стороны, у нервных клеток есть один существенный недостаток – скорость выполнения операций. Нейроны, пишет фон Нейман, в 10⁵ раз медленнее электронных трубок или транзисторов, т. е. для совершения основной логической операции им требуется в сто тысяч раз больше времени. И здесь фон Нейман пугающе точен. Более того, он переоценивает возможности нейрона. Если предположить, что «тактовая частота» у нейрона не превышает 10² Гц, и сравнить его с обычной настольной машиной последнего поколения с тактовой частотой 1000 МГц (т. е. 10⁹ основных операций в секунду), получаем, что разница в быстродействии составляет не 10⁵, а 10⁷ раз. Вывод неизбежен. Если мозг – это цифровая вычислительная машина с архитектурой фон Неймана, то он – настоящая черепаха по сравнению с современными компьютерами.

Кроме того, точность, с которой биологический мозг может представлять любую переменную, также на много порядков ниже точности, доступной цифровой машине. Вычислительные машины, отмечает фон Нейман, легко манипулируют восемью, десятью или двенадцатью десятичными знаками, в то время как точность представления числа в нервной клетке – т. е. частота импульсов, которые она отправляет вниз по аксону, – ограничена двумя десятичными знаками (а именно, плюс или минус 1 процент от максимальной частоты около 100 Гц). Это настораживает, поскольку в ходе любых вычислений, включающих большое количество шагов, маленькие ошибки на ранних этапах накапливаются и превращаются в большие ошибки на завершающих этапах. Хуже того, добавляет фон Нейман, во многих типах вычислений даже незначительные ошибки на ранних этапах экспоненциально усиливаются на последующих этапах, что неизбежно ведет к высшей степени неточным конечным результатам. Таким образом, если мозг – цифровая вычислительная машина, представляющая любое число с точностью до двух десятичных знаков, то он – вычислительный болван.

В совокупности два этих важных ограничения – скорость и точность – приводят фон Неймана к выводу: каким бы методом ни пользовался мозг, он должен включать минимальную «логическую глубину». Иными словами, что бы мозг ни делал, он не может выполнять тысячи последовательно организованных вычислений, как это делает высокочастотный центральный процессор цифровой машины. Учитывая низкую скорость, с которой работают нейроны, у мозга просто нет времени на то, чтобы выполнить любые вычисления, кроме самых простых. Впрочем, даже будь у него достаточно времени, в силу низкой точности представления переменных результаты таких вычислений все равно бы никуда не годились.

Весьма странный вывод: очевидно, что, несмотря на вышеописанные ограничения, мозг каким-то образом справляется с громадным разнообразием сложных вычислений, причем делает это в мгновение ока. Однако в аргументах фон Неймана нет ничего неправильного. Ограничения, на которые он указывает, действительно имеют место. Что же тогда происходит в нашем мозге?

Как правильно понимает фон Нейман, вычислительный режим мозга, похоже, компенсирует неизбежную нехватку логической глубины за счет необычайной логической широты. По его словам, «большие и эффективные естественные автоматы, по всей вероятности, будут производить действия параллельно, в то время как большие и эффективные искусственные автоматы – последовательно» [курсив фон Неймана]. Первые «будут одновременно обрабатывать максимально возможное количество логических (или информационных) единиц» [курсив переводчика]. Это означает, пишет фон Нейман, что при подсчете общего количества «основных активных органов» мозга мы должны учитывать не отдельные нейроны, а все их многочисленные синапсы.

Все это – важные наблюдения. Сегодня мы знаем, что мозг содержит примерно 10¹⁴ синаптических связей, каждая из которых модулирует поступающий по аксону сигнал, прежде чем передать его на принимающий нейрон. Задача нейрона, таким образом, состоит в том, чтобы суммировать или иным образом интегрировать входы от этих синаптических связей (до 10 000 на одну клетку), после чего генерировать свой собственный импульс. Самое главное, что все эти незначительные трансформации происходят одновременно. Данный факт означает, что, если каждый синапс активен примерно 100 раз в секунду (напомним, что типичная частота следования импульсов лежит в диапазоне 100 Гц), общее количество основных операций по обработке информации, выполняемых мозгом, должно составлять примерно 10² × 10¹⁴, или 10¹⁶ операций в секунду! Поразительное достижение для любой системы. Более того, данный показатель существенно превышает таковой для новейшего настольного компьютера (10⁹ основных операций в секунду). Выходит, мозг – и не черепаха, и не болван. Почему? Хотя бы потому, что он никогда не был последовательной цифровой машиной: мозг представляет собой аналоговую машину с массивным параллелизмом.

Именно к такому заключению и приходит фон Нейман. Современная нейронаука, а также компьютерное моделирование параллельных сетей подтверждают его выводы. Согласно современным представлениям, альтернативная вычислительная стратегия, над которой размышлял фон Нейман, сводится к одновременному умножению каждой из многих тысяч или миллионов частот импульсов (которые составляют очень большой входной вектор) на коэффициенты еще большей матрицы (а именно, конфигурации многих миллионов синаптических соединений, связывающих одну популяцию нейронов с другой), что дает выходной вектор (новый, совершенно иной паттерн частот импульсов в принимающей популяции нейронов). Именно эта новая общая конфигурация многих миллионов, точнее триллионов, синаптических связей и воплощает в себе любые знания и навыки, которые приобретает мозг. Именно эти синаптические связи молниеносно преобразовывают информацию, поступающую по аксонам (например, от органов чувств). Это одновременно дает скорость и позволяет избежать рекурсивной амплификации ошибок, на которую обращал внимание фон Нейман.

Сразу скажем, что эти данные не только не нарушают целостности предложенных им цифровых и последовательных технологий, но и не лишают нас надежды на создание искусственного интеллекта. Даже наоборот. Мы можем сделать электронные версии синаптических связей и, отказавшись от классической архитектуры фон Неймана, построить обширные параллельные сети искусственных нейронов – т. е. спроектировать электронный аналог вычислительной системы малой глубины, но экстраординарной широты, которой, по всей вероятности, и пользуется наш мозг. Такие системы окажутся примерно в 10⁶ раз быстрее, чем их биологические тезки – хотя бы потому, что будут собраны из электронных, а не биохимических компонентов. Отсюда можно сделать несколько важных выводов. Например, электронный дубликат биологического мозга мог бы всего за тридцать секунд выстроить цепочку рассуждений, на которую у вас ушел бы целый год, а за полчаса – «прожить» семьдесят лет напряженной интеллектуальной деятельности. Искусственный интеллект, безусловно, ждет интересное будущее.

Впрочем, мы бы хотели предостеречь читателя от ложных надежд. В основе небольших искусственных нейронных сетей, построенных на сегодняшний день, лежат следующие допущения: синапсы представляют собой крошечные множители, нейроны служат сумматорами с сигмовидной выходной функцией, а информация кодируется частотой нервных импульсов. Многие из этих сетей демонстрируют замечательные «познавательные» способности – во всяком случае, после длительного обучения. Однако те же самые модели не отличаются чуткостью и разнообразием, свойственным поведению настоящих синапсов и нейронов. Нейрофизиологические исследования учат нас, как когда-то учили фон Неймана, что первые модели мозговой деятельности – это, в лучшем случае, грубые аппроксимации нейровычислительной реальности. Эти аппроксимации могут оказаться столь же ошибочными, как и предыдущая догадка о цифровом характере операций мозга. Существует много способов кодирования информации в поведении аксона; есть также много способов модулировать ее на синапсе; и известно много способов интегрировать ее в нейрон. Наши модели функционируют достаточно хорошо, чтобы захватить наше воображение, но мозг до сих пор содержит множество загадок. Несомненно, нас ждет еще много сюрпризов. Ученым предстоит громадная работа, а потому мы должны смиренно принимать любые эмпирические данные, как это, безусловно, делал фон Нейман.

Фон Нейман предложил архитектуру вычислительных систем, которая лежит в основе компьютерной революции XX века – революции, по своему влиянию на долгосрочное будущее человечества отнюдь не уступающей механике Исаака Ньютона или электромагнетизму Джеймса Максвелла. Более того, говоря о биологическом мозге, фон Нейман сумел не только заглянуть за рамки предложенной им архитектуры, но и наметить контуры новой, гораздо более мощной объяснительной парадигмы.

В конце всякой продолжительной дискуссии о природе интеллекта кто-нибудь обязательно выразит надежду, что однажды и в этой области появится свой Ньютон. Мы же хотим закончить наше предисловие на другой ноте. Как показывает следующая книга, есть веские основания полагать, что долгожданный Ньютон появился, но, увы, уже покинул нас. Его зовут Джон фон Нейман.

Пол и Патрисия Черчленд

Вступительное слово

Выступить с Силлимановскими лекциями, одним из наиболее старых и почитаемых циклов академических лекций в Соединенных Штатах, считается привилегией и высокой честью среди ученых всего мира. По традиции лектора приглашают прочесть двухнедельный курс лекций, а затем представить их в виде рукописи для издания отдельной книгой под эгидой Йельского университета.

В начале 1955 года Йельский университет пригласил моего мужа, Джона Неймана, прочесть цикл Силлимановских лекций в весенний семестр 1956 года – в конце марта или в начале апреля. Джонни был крайне польщен и обрадован приглашением, и все же ему пришлось сразу оговорить одно условие, а именно – он попросил ограничить курс лекций одной неделей, пообещав, однако, что в рукописи избранная им тема – «Вычислительная машина и мозг» – будет изложена более подробно. Просьба сократить продолжительность лекций была вынужденной мерой: президент Эйзенхауэр только что назначил Джонни членом Комиссии по атомной энергии (КАЭ). Хотя работа в Комиссии предполагала полную занятость – даже ученые не имели возможности надолго отлучаться от своих письменных столов в Вашингтоне, – мой муж не сомневался, что найдет время написать лекции, поскольку он всегда писал свои работы дома, по ночам или на рассвете. Когда его что-нибудь интересовало, работоспособность Джонни становилась практически безграничной, а многочисленные неизученные возможности автоматов занимали его давно. Джонни был уверен, что сумеет подготовить всю рукопись, даже несмотря на то, что сам курс лекций пришлось сократить. Тогда – как, впрочем, и позднее, когда не осталось ничего, кроме горечи и печали, – Йельский университет с готовностью пошел ему навстречу и принял его условия. Джонни приступил к новым обязанностям, надеясь, что в скором времени сможет продолжить работу над теорией автоматов.

Весной 1955 года мы переехали из Принстона в Вашингтон и Джонни взял отпуск в Математической школе Института перспективных исследований, в которой состоял профессором с 1933 года.

Джонни родился в Будапеште в 1903 году. Уже в раннем возрасте он демонстрировал удивительную способность и интерес к научным вопросам; в детстве его почти фотографическая память проявлялась самыми разными и необычными способами. В юности он изучал сперва химию, а затем математику в Берлинском университете, в Высшей технической школе в Цюрихе и Будапештском университете. В 1927 году он был назначен на должность приват-доцента в Берлинском университете, тем самым став одним из самых молодых преподавателей, получивших это звание в университетах Германии за последние двадцать-тридцать лет. Позже Джонни преподавал в Гамбургском университете, а в 1930 году впервые пересек Атлантический океан, приняв приглашение Принстонского университета, где ему предложили преподавательскую должность сроком на один год. В 1931 году Джонни стал постоянным сотрудником Принстонского университета и окончательно переехал в Соединенные Штаты.

В течение 1920-х и 1930-х годов круг научных интересов Джонни оставался весьма широк, однако включал преимущественно теоретические вопросы. Его публикации были посвящены квантовой теории, математической логике, эргодической теории, непрерывной геометрии, проблемам колец операторов, а также многим другим областям чистой математики. В конце тридцатых годов он увлекся вопросами теоретической гидродинамики, а именно – решением дифференциальных уравнений в частных производных с помощью известных аналитических методов. Данная тема занимала его вплоть до сороковых годов. Когда же над миром сгустились тучи войны, Джонни обратился к оборонной науке; особый интерес вызывали у него прикладные области математики и физики. Взаимодействие ударных волн – очень сложная проблема гидродинамики – стало одним из важнейших направлений военно-научных исследований. Огромное количество вычислений побудило Джонни воспользоваться быстродействующей вычислительной машиной. Работая с электронным числовым интегратором и вычислителем ENIAC, построенным в Филадельфии для Лаборатории баллистических исследований Армии США, Джонни впервые осознал широчайшие возможности, которые открывало перед человечеством применение автоматики. Мой муж помог усовершенствовать ряд математических и логических схем ENIAC; с тех пор и до последних часов своей жизни он проявлял глубочайший интерес к еще не исследованным аспектам и перспективам использования вычислительных машин.

В 1943 году, вскоре после запуска Манхэттенского проекта, Джонни стал одним из ученых, «исчезнувших на Западе». Большую часть времени он курсировал между Вашингтоном, Лос-Аламосом и другими городами. В этот период он окончательно убедился в том, что расчеты, выполненные с помощью быстродействующих электронных устройств, могут существенно облегчить решение сложнейших научных задач.

После окончания войны Джонни построил в Институте перспективных исследований экспериментальный электронный калькулятор, JONIAC, который в итоге стал прототипом всех аналогичных машин в США. Некоторые из основных принципов, воплощенных в JONIAC, используются и по сей день в самых быстрых современных калькуляторах. Проектируя машину, Джонни и его коллеги – небольшая группа избранных инженеров и математиков – ставили своей задачей копировать некоторые из известных операций живого мозга. Джонни вплотную занялся изучением неврологии, посещал конференции и собрания, читал лекции о возможности создания искусственных машин на основе чрезвычайно упрощенной модели живого мозга. В Силлимановских лекциях он планировал изложить эти мысли более подробно и широко.

В послевоенные годы Джонни работал над самыми разными научными проблемами. В частности, он заинтересовался метеорологией – наукой, в которой численные расчеты открывали совершенно новые горизонты; часть времени уходила на расчеты в области ядерной физики. Он продолжал тесно сотрудничать с лабораториями КАЭ, а в 1952 году стал членом Консультативного комитета при КАЭ.

В 1955 году Джонни был назначен членом КАЭ и 15 марта приведен к присяге. В начале мая мы перебрались в Вашингтон. Через три месяца привычный уклад нашей деятельной и интересной жизни, в центре которой всегда находился удивительный, неутомимый ум моего мужа, был нарушен. У Джонни появились сильные боли в левом плече; после операции был диагностирован рак кости. В последующие месяцы надежда сменялась отчаянием, отчаяние – надеждой. Иногда мы верили, что больное плечо – единственное проявление ужасной болезни, что она отступила, но трудно локализуемые боли, от которых Джонни страдал время от времени, лишали нас всяких надежд на будущее. На протяжении всего этого периода Джонни лихорадочно работал. День он проводил в служебном кабинете или в разъездах, связанных с его новой работой, а ночи коротал, склонившись над рукописями научных статей. Тогда же он приступил к систематической работе над рукописью для Силлимановских лекций. Значительная часть книги была написана именно в те дни неопределенности и ожидания. В конце ноября последовал новый удар: раковые клетки были обнаружены в спинном мозге. Джонни с трудом мог ходить. С тех пор его состояние только ухудшалось. Впрочем, оставалась небольшая надежда на то, что хорошее лечение и уход позволят остановить смертельную болезнь хотя бы на время.

К январю 1956 года Джонни оказался прикованным к инвалидному креслу, но продолжал посещать собрания. Каждый день его привозили в служебный кабинет и он работал над рукописью лекций. Силы его убывали с каждым днем. Все поездки и выступления постепенно пришлось отменить, за одним исключением – Силлимановских лекций. Мы верили, что рентгенотерапия позволит хотя бы на время укрепить спину, чтобы к концу марта он смог отправиться в Нью-Хейвен и выполнить это обязательство, которое так много для него значило. В любом случае Джонни пришлось обратиться к Комитету по проведению Силлимановских лекций с просьбой сократить число лекций до одной-двух, ибо напряжение, связанное с необходимостью читать лекции на протяжении целой недели, было бы опасным в его состоянии. К марту, однако, все ложные надежды пришлось оставить. О том, чтобы Джонни мог куда-нибудь поехать, больше не могло быть и речи. И снова Йельский университет с пониманием отнесся к моему мужу: он не отменил его лекций, а предложил предоставить рукопись, с тем чтобы кто-нибудь мог прочитать их вместо него. Несмотря на все усилия, Джонни не удалось завершить работу над лекциями в намеченное время; судьба распорядилась так, что он вообще не смог их закончить.

В начале апреля Джонни положили в медицинский центр имени Уолтера Рида, из которого он так и не вышел до самой смерти 8 февраля 1957 года. Незаконченная рукопись Силлимановских лекций отправилась в больницу вместе с ним. Он предпринял еще несколько попыток поработать над ней, однако к тому времени болезнь окончательно взяла верх и даже исключительный разум Джонни оказался не в силах побороть слабость измученного тела.

Хочу выразить глубочайшую признательность членам Комитета по проведению Силлимановских лекций, а также всем сотрудникам Йельского университета и издательства Йельского университета, которые не только проявили искреннее участие и доброту в последние, грустные годы жизни Джонни, но и согласились почтить его память, приняв эту незавершенную и фрагментарную рукопись к публикации.

Клара фон Нейман Вашингтон, округ Колумбия, сентябрь 1957 г.