Текст книги "Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов"

11. Плосконапряженное состояние материалов

В сопротивлении материалов чаще всего встречаются задачи, когда напряжение действует в двух направлениях, т. е. является плоским. Рассмотрим такое состояние.

Возьмем произвольную точку тела и рассмотрим элементарный параллелепипед с длинами сторон dx, dy, dz в ее окрестности. Рассечем этот параллелепипед плоскостью, перпендикулярной плоскости zy (Рис. 5.1).

Рис. 5.1

Рис. 5.2

На Рис. 5.2 изображены напряжения на поверхности полученной призмы. Из условий равновесия треугольной призмы через проекции сил, действующих на грани, на оси y’ и z’, можно найти напряжения на наклонной грани призмы.

s_αdA – σ_zdA_zcosα – σ_ydA_ysinα – τ_zydA_zsinα – τ_yzdA_ycosα = 0

τ_αdA+ σ_zdA_zsinα – σ_ydA_ycosα – τ_zydA_zcosα + τ_yzdA_ysinα = 0

Учитывая, что dA_z = 1dy = dAcosα, dA_y = 1dz = dAsinα, записанные отношения в результате тригонометрических преобразований примут вид:

σ_α = σ_zcos²α + σ_ysin²α + τ_zy sin2α

Если совместить оси координат z, y c направлениями главных напряжений, то соотношения примут вид:

Из последнего уравнения следует, что при α = 45° касательные выражения принимают свои экстремальные значения в точке.

τ_max = ½(σ_z – σ_y)

Частный случай плоского напряженного состояния: при σ_x = σ_y τ_α =0, на всех проведенных через точку площадках касательные напряжения равны нулю, т. е. все площадки – главные с нормальными напряжениями σ_α = σ_y = σ_z = σ. Примером такого состояния может служить стенка воздушного шара, находящаяся под давлением.

При σ_x = – σ_y = σ на грани элемента действуют численно равные сжимающие и растягивающие напряжения. Экстремальные касательные напряжения равны главным, а нормальные напряжения равны нулю. Такой частный случай носит название чистого сдвига.

12. Графическое определение напряжений (круг Мора)

По известным напряжениям, действующим на площадках, взаимно перпендикулярных друг другу и проходящих через заданную точку, можно определять напряжения по другим площадкам. Это осуществляется графическим способом, который был предложен немецким физиком О. Мором.

Запишем формулы для определения нормальных и касательных напряжений для площадок, проходящих через заданную точку, в виде:

σ = σ_xcos²α + σ_ysin²α + τ_xsin2α

τ = (σ_x – σ_y)sin2α – τ_xcos2α

Преобразуем первое выражение:

σ = ½σ_x(1 + cos2α) + ½σ_y(1 – cos2α) + τ_xsin2α

После тригонометрических преобразований формулы для напряжений запишутся в виде:

τ = (σ_x – σ_y)sin2α – τ_xcos2α

Обе части этих выражений возведем в квадрат, а затем сложим:

Сопоставим полученное 2 уравнением окружности (x – a)² + (y – b)² = R².

Будем считать ось абсцисс осью нормальных напряжений, а ось ординат – осью касательных напряжений, график зависимости между этими напряжениями представляет окружность, центр которой находится в точке с координатами  и радиусом, определяемым формулой . График этой окружности называется кругом напряжений, или кругом Мора.

Пример напряженного состояния и построенного для него круга Мора приведен на Рис. 6.1. Координаты каждой точки этого графика представляют собой напряжения по одной из площадок, проходящих через точку тела, для которой построен график напряженности.

Рис. 6.1

Рис. 6.2

При помощи круга Мора также определяются главные напряжения и положения главных площадок (Рис. 6.2), а также экстремальные касательные напряжения.

13. Объемно-напряженное состояние материала

Для изучения объемно-напряженного состояния материала выберем произвольную точку тела, находящегося в напряженном состоянии, и выделим в окрестности этой точки элементарный кубик, по граням которого действуют главные напряжения σ₁, σ₂, σ₃.

Проведем сечения, параллельные каждому из главных напряжений, и определим значение нормальных и касательных напряжений на этих площадках (Рис 7.1, Рис. 7.2, Рис. 7.3).

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Из условий равновесий составленных для отсеченных участков кубиков следует, что действующие на наклонных площадках напряжения не зависят от того из главных напряжений, параллельно которому эти площадки проведены. Обозначим угол наклона площадки α, применив принцип независимости действия сил, нормальные и касательные напряжения рассмотрим как сумму действия напряжений от σ₁ и σ₂.

σ_α = σ₁cos²α + σ₂cos²(α + 90°)

τ_α = 0,5σ₁sin2α + 0,5σ₂sin2(α + 90°)

Выполнив математические преобразования, запишем соотношения в виде:

σ_α = σ₁cos²α + σ₂sin²α

τ_α = 0,5(σ₁ + σ₂)sin2α

Полученные формулы определяют нормальные и касательные напряжения в случае объемно-напряженного состояния материала, они же соответствуют двухосному плоско-напряженному состоянию.

Максимальное касательное напряжение при объемном напряженном состоянии материала существует на площадке, параллельной напряжению σ₂, нормаль к площадке составляет угол в 45° и определяется по формуле:

τ_max = 0,5(σ₁ – σ₃)

14. Деформации при плоском и объемном напряженных состояниях (обобщенный закон Гука)

В пределах упругого деформирования была установлена прямая зависимость между нормальным напряжением σ и относительной деформацией ε, носящая название закона Гука.

σ = Ee

Для нахождения деформации нужно выбрать одну из точек исследуемого тела и мысленно рассмотреть элементарный кубик в ее окрестности, на который действуют главные напряжения. Деформация кубика происходит во всех трех направлениях главных напряжений σ₁, σ₂, σ₃. Такие деформации называются главными деформациями и обозначаются ε₁, ε₂, ε₃. Совокупность главных деформаций в точке тела определяет деформированное состояние в точке.

Чтобы определить главные деформации объемного напряженного состояния, сначала определим деформации, связанные с отдельными главными напряжениями и сложим результаты. Деформация ε₁ напряжения σ₁ в том же направлении, что и σ₁ из закона Гука равна:

Тогда деформация от всех главных напряжений в направлении σ₁

Таким же образом определяются деформации в направлении других главных напряжений.

В результате получим следующую систему уравнений, представляющую собой закон Гука в общем виде:

Эти уравнения можно записать для линейного и плоского напряженного состояния материалов, если убрать соответствующие слагаемые.

Из полученной системы уравнений видно, что, зная главные напряжения, можно найти напряженное и деформированное состояния в точке, причем эти состояния могут не совпадать.

15. Потенциальная энергия при сложном напряженном состоянии

При возникновении деформации внешние силы совершают работу, связанную со смещением точек приложения этой силы. Элементарная работа dA внешней силы F определяется по формуле:

dA = Fdl’

где dl’ – перемещение точки приложения силы.

Из закона Гука известно:

В этом соотношении l – длина рассматриваемого участка до деформации;

dl – изменение длины;

a – площадь поперечного сечения тела.

Таким образом,

dA = Eadl’dl / l

Проинтегрировав полученное равенство от нуля до окончательного значения перемещения l’, найдем полную работу силы.

При воздействии на тело внешних статических сил работа этих сил определяется как половина произведения окончательного значения силы на конечное значение перемещения точки приложения этой силы.

A = F’l’ / 2

При воздействии на тело постоянных внешних сил работа этих сил определяется как произведение значения этой силы на конечное значение перемещения точки приложения этой силы.

A = F’l’

Внутренние силы направлены противоположно перемещению, поэтому считается, что работа внутренних сил при нагружении отрицательна. Элементарная работа внутренних сил рассчитывается аналогично работе внешних сил.

dA_вн = Ndl / 2

где N – продольная сила (внутренне усилие).

Вновь воспользовавшись законом Гука, имеем:

dA_вн = –N²dl / 2Еa

Интегрируя соотношение по длине рассматриваемого участка, получим полную работу внутренних сил:

Потенциальной энергией деформации называется величина, равная модулю работы внутренних сил, она представляет собой энергию, которая накапливается телом при деформации.

U = Eal² / 2(l + dl)

При расчетах различных конструкций и сооружений в случае деформации широко используются свойства механической энергии.

Если под воздействием нагрузки тело переходит в деформированное состояние, то сумма работ внутренних и внешних сил равна нулю. Это свойство энергии носит название закона сохранения механической энергии.

Действительное напряженное состояние равновесия упругого тела отличается от всех других состояний тем, что в этом состоянии потенциальная энергия деформации минимальна. Это свойство справедливо для тел, подчиняющихся закону Гука, и называется принципом наименьшей работы.

16. Проверка прочности материала при сложном напряженном состоянии

При неограниченном нагружении материал конструкции или сооружения проходит несколько стадий своего состояния:

– упругую стадию, когда в материале под воздействием небольших нагрузок происходят упругие деформации;

– пластическую стадию, когда под влиянием увеличивающейся нагрузки в материале происходят пластические деформации;

– стадию разрушения, когда под воздействием больших нагрузок тело покрывается трещинами.

В случаях линейного напряженного состояния проверка на прочность довольно проста и осуществляется путем растяжения (сжатия). В случае сложного напряженного состояния (плоскостного или объемного) количество вариантов напряженных состояний велико, и опытным путем осуществить проверку практически невозможно. Для оценки прочности при сложном напряженном состоянии используют гипотезы прочности, которые проводить расчеты на прочность по известным характеристикам прочности. Наиболее широко используются три гипотезы, кратко рассмотрим их.

Гипотеза максимальных касательных напряжений: два напряженных состояния считаются равноопасными в том случае, если максимальные касательные напряжения для них равны. Предполагается, что сложное напряженное состояние можно заменить равноопасным одноосным растяжением с условием, что максимальные касательные напряжения для них равны.

Для пластичных материалов, у которых характеристики прочности одинаковы при растяжении и сжатии, эта теория хорошо подтверждается. Условие прочности записывается в виде:

σ_экв = σ₁ – σ₃ ≤ [σ_p]

Если известны не главные напряжения, а нормальное и касательные напряжения в поперечном сечении, условие прочности имеет вид:

Энергетическая гипотеза прочности: два напряженных состояния равноопасны, если их равны их удельные потенциальные энергии формоизменения. Эта гипотеза предполагает замену сложного напряженного состояния эквивалентным одноосным напряжением при условии равенства их удельных потенциальных энергий формоизменения.

Для пластичных материалов, у которых характеристики прочности одинаковы при растяжении и сжатии, эта теория хорошо подтверждается. Ее преимущество перед гипотезой максимальных касательных напряжений состоит в том, что она включает все три главных напряжения.

Условие прочности, если известны главные напряжения, выглядит следующим образом:

Если известны нормальное и касательное напряжения в поперечном сечении бруса, условие прочности принимает вид:

Гипотеза прочности Мора. Немецким физиком О. Мором предложена гипотеза, учитывающая различия в сопротивлении материалов растяжения и сжатия. Условие прочности имеет вид:

σ_экв = σ₁ – kσ₃ ≤ [σ_p]

Для пластичных материалов коэффициент , для хрупких . Если известны нормальное и касательные напряжения, условие прочности записывается в следующем виде:

17. Понятие о сдвиге. Расчет заклепок на перерезывание

На практике напряженное состояние складывается из возникающих нормальных и касательных напряжений. Если касательные напряжения в сравнении с нормальными невелики, ими пренебрегают и рассматривают сжатие (растяжение) тела. Наоборот, если нормальные напряжения незначительны, то их отбрасывают и определяют прочность исходя из наибольших касательных напряжений поперечного сечения, т. е. говорят о чистом сдвиге.

Если в поперечном сечении возникает только один силовой фактор – поперечная сила Q, такой вид деформации называется срезом.

Условие прочности на срез имеет вид:

В этой формуле τ_s – касательные напряжения среза, A_s – площадь среза, R_s – расчетное сопротивление срезу, γ_c – коэффициент условий работы.

Расчет заклепочных соединений на срез предполагает два допущения: несущая способность соединения пропорциональна количеству поставленных заклепок; усилие, возникающее в соединении, распределяется между заклепками равномерно. На практике, находясь в упругой стадии, крайние заклепки в заклепочном соединении подвержены большей нагрузке, чем средние, но при переходе в пластическую стадию усилие перераспределяется и становится равномерным за счет текучести. Тогда условие прочности при расчете заклепок на срез имеет вид:

где Q = N / n – поперечная сила, приходящаяся на одну заклепку;

ΣA_s = nn_sπd²_ef / 4 – суммарная площадь сечения, по которым срезается одна заклепка;

N – эквивалентная расчетной нагрузке на соединение продольная сила;

n – количество заклепок в заклепочном соединении;

n_s – число плоскостей среза одной заклепки;

d_ef – расчетный диаметр;

R_s – расчетное сопротивление материала заклепок;

γ – коэффициент условий работы заклепочного соединения;

γ_s – коэффициент условий работы соединяемых элементов.

Для нахождения необходимого числа заклепок неравенство преобразуют:

Расчет на срез не гарантирует заклепочного соединения. При недостаточной толщине соединяемых элементов возникающее между заклепками и стенками отверстий давление способно привести к их смятию; если расстояние между заклепками мало, под воздействием давления элемент может расколоться.

18. Проверка заклепок на смятие и листов на разрыв

Смятие – пластические деформации на месте соединения элементов. Напряжение смятия (в данном случае термином «напряжение» обозначают интенсивность не внутренних сил, а внешних сил давления элементов друг на друга) определяется:

σ_р = N / A_p

Расчет на смятие достаточно условен по причине того, что напряжения смятия распределяются по поверхности контакта неравномерно. Он предполагает, что давление распределяется равномерно перпендикулярно поверхности контакта. Условие прочности выглядит таким образом:

где A_p = nd_ef Σt_min – условная расчетная площадь смятия одной заклепкой;

N – эквивалентная расчетной нагрузке на соединение продольная сила;

n – количество заклепок в заклепочном соединении;

n_s – число плоскостей среза одной заклепки;

d_ef – расчетный диаметр;

Σt_min – минимальная суммарная толщина элементов, сминаемых с одной стороны стержня заклепки;

R_p – расчетное сопротивление смятию соединяемых деталей;

γ – коэффициент условий работы заклепочного соединения;

γ_с – коэффициент условий работы соединяемых элементов.

Для того чтобы найти необходимое число заклепок, неравенство преобразуется:

Помимо расчетов заклепок на смятие и разрыв, также проводится проверка прочности соединения на осевое усилие сечений, через которые проходят отверстия для заклепок. Условие прочности записывается как:

где A_нет = A – kd₀t – площадь нетто опасного поперечного сечения;

A = bt – площадь брутто сечения;

N – эквивалентная расчетной нагрузке на соединение продольная сила;

k – количество отверстий в сечении;

d₀ – диаметр отверстий;

t и b – толщина и ширина элемента соответственно;

R – расчетное сопротивление сжатию соединяемых материалов.

Минимальные расстояния между центрами заклепок должны быть не менее 3d₀, а от краев листа не менее 2d₀.

19. Расчет сварных соединений

Самый распространенный способ соединения стальных конструкций – это сварка.

Существует несколько видов сварных соединений, но наиболее часто используются стыковой и нахлесточный.

Стыковое соединение заключается в том, что пространство между соединяемыми элементами заполняется расплавленным металлом. При таком соединении предполагается, что напряжение равномерно распределяется по всей длине шва. Прочность определяется следующим неравенством:

где σ_w – нормальное напряжение в шве;

N – расчетная продольная сила в соединяемых элементах;

A_w – площадь продольного сечения шва;

t_min – толщина более тонкого элемента;

l_w – расчетная длина шва;

R_wy – расчетное сопротивление растяжению (сжатию);

γ_с – коэффициент условий работы соединяемых элементов.

Прочность стыка на растяжение уступает прочности основных соединяемых элементов, так как если качество сварки недостаточно велико, в шве могут появиться дефекты (поры, включения). Поэтому на практике часто встречается косой стык, который увеличивает длину шва. Экспериментально установлено, что если угол стыка α ≤ 67°, то такой шов почти не уступает в прочности основному материалу соединяемых частей. Проверка прочности при косом стыке проводится по нормальным и касательным напряжениям.

При нахлесточном соединении соединяемые поверхности располагаются под углом друг к другу, полученный угол заливается расплавленным металлом. Расположенные перпендикулярно к действию усилия швы называются лобовыми, расположенные параллельно – фланговыми. Предполагается, что напряжение среза равномерно распределяется по расчетному сечению углового шва. Условие прочности выглядит следующим образом:

В этом неравенстве ΣA_wf – расчетная площадь среза угловых швов в соединении, β_f – коэффициент глубины провара шва, k_f – толщина углового шва, Σl_w – расчетная сумма длин угловых швов соединения, R_wf – расчетное сопротивление соединения условному срезу, γ_wf – коэффициент условий работы шва (обычно принимается равным единице).

Применение легирования для упрочнения швов порой приводит к тому, что несущая способность соединения определяется основным металлом, прочность которого меньше, чем у шва. Проводится дополнительный расчет на прочность:

Приведенные формулы справедливы как для лобовых, так и для фланговых швов.

20. Чистый сдвиг. Определение главных напряжений

Напряженное состояние тела, при котором на гранях элемента действуют только касательные напряжения, называется чистым сдвигом. Площадки, на которых действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Чистый сдвиг является частным случаем плоского напряженного состояния материала, когда два из главных напряжений отличны от нуля и равны по значению, но противоположны по знаку.

Рассмотрим пример на Рис. 8.

Рис. 8

Напряжения для площадки n-n запишем в виде:

σ_α = τsin2α

τ_α = – τcos2α

Из последнего равенства очевидно, что касательные напряжения по величине больше других касательных напряжений по любым другим площадкам, проходящим через точку О, так как при α ≠ 0, α ≠ 90° cos2α по модулю меньше единицы. Таким образом, касательные напряжения τ (см. рисунок) являются экстремальными, а сами грани являются площадками чистого сдвига.

При α = 45° нормальное напряжение имеет максимальное значение σ = τ = τ_max, при α = -45° – минимальное σ = – t = – t_max. Из этого следует, что при чистом сдвиге главные напряжения и экстремальные касательные напряжения равны по абсолютной величине. Определение чистого сдвига можно сформулировать следующим образом: чистым сдвигом называется такое двухосное напряженное состояние, при котором нормальные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны, но имеют разные направления.

При напряженном состоянии полное напряжение определяется как:

В случае чистого сдвига

p = τ_max

21. Связь между напряжениями и деформацией при чистом сдвиге. Потенциальная энергия сдвига

Чистым сдвигом называется напряженное состояние, при котором существуют только касательные напряжения, а нормальные равны нулю. При чистом сдвиге главные напряжения численно равны, но направлены в противоположные стороны. По отношению к площадкам чистого сдвига главные площадки наклонены под углом в 45°. Угол γ называется углом сдвига (угловой деформацией).

Рис. 9.1

Рис. 9.2

Экспериментально установлено, что до известных пределов нагружения между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость, определяемая законом Гука при сдвиге.

Коэффициент G определяет способность материала противостоять деформациям и называется модулем сдвига.

Из взаимности касательных напряжений вытекает взаимность угловых деформаций.

Определим угол сдвига на Рис. 9.1

На Рис. 9.2 угол сдвига определяется

Очевидно, что γ₁ = γ₂ (угловые деформации взаимно перпендикулярных площадок) численно равны и направлены в разные стороны.

Потенциальная энергия в случае чистого сдвига определяется по формуле:

Если выразить потенциальную энергию через главные напряжения плоского напряженного состояния с учетом того, что σ₁ = τ, σ₃ = – τ:

U = τ²(1 + v)E

Из двух соотношений для потенциальной энергии можем получить выражение, связывающее модуль упругости второго рода (модуль сдвига) и модуль сдвига упругости первого рода.

G = E / [2(1+v)]