Текст книги "Все науки. №3, 2023. Международный научный журнал"

Все науки. №3, 2023
Международный научный журнал

Авторы: Алиев Ибратжон Хатамович, Абдурахмонов Султонали Мукарамович, Одилов Санжар Садикжанович, Тойиров Нурмухаммад Султоналиевич, Обидов Фозилжон Орипович, Абдусалямова Тоира

Главный редактор Ибратжон Хатамович Алиев

Иллюстратор Ибратжон Хатамович Алиев

Иллюстратор Оббозжон Хокимович Кулдашов

Иллюстратор Султонали Мукарамович Абдурахмонов

Дизайнер обложки Ибратжон Хатамович Алиев

Дизайнер обложки Раънохон Мукарамовна Алиева

И. О. Научного руководителя Султонали Мукарамович Абдурахмонов

Экономический руководитель Фаррух Муроджонович Шарофутдинов

Экономический консультант Ботирали Рустамович Жалолов

Корректор Гульноза Мухтаровна Собирова

Корректор Абдурасул Абдусолиевич Эргашев

Корректор Екатерина Александровна Вавилова

© Ибратжон Хатамович Алиев, 2023

© Султонали Мукарамович Абдурахмонов, 2023

© Санжар Садикжанович Одилов, 2023

© Нурмухаммад Султоналиевич Тойиров, 2023

© Фозилжон Орипович Обидов, 2023

© Тоира Абдусалямова, 2023

© Ибратжон Хатамович Алиев, иллюстрации, 2023

© Оббозжон Хокимович Кулдашов, иллюстрации, 2023

© Султонали Мукарамович Абдурахмонов, иллюстрации, 2023

ISBN 978-5-0059-9431-8 (т. 3)

ISBN 978-5-0059-5898-3

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ВАЖНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ОБЩИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ И ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Аннотация. Изучение окружающего мира непосредственно сводит к необходимости ведения тех или иных прогнозов, которые сводятся уже к важности установления для них основных законов мироздания, которые можно наблюдать в ходе изучения тех или иных явлений. При этом часто использование физических законов, возможные для описания с использованием не только обычных уравнений, но и дифференциальных уравнений, первого и вторых порядков, в том числе и большого количества уравнений в частных производных, довольно часто используемых при этом исследовании и понимании.

Ключевые слова: дифференциальные уравнений в частных производных, обыкновенные дифференциальные уравнения, математическое моделирование, аналогия, закономерности.

Annotation. The study of the surrounding world directly reduces to the need to make certain forecasts, which are already reduced to the importance of establishing for them the basic laws of the universe, which can be observed during the study of certain phenomena. At the same time, there is often the use of physical laws that are possible to describe using not only ordinary equations, but also differential equations of the first and second orders, including a large number of partial differential equations, quite often used in this study and understanding.

Keywords: partial differential equations, ordinary differential equations, mathematical modeling, analogy, regularities.

Приходя к изучению законов мира в физической науке чаще всего выделялись те или иные законы, первоначальными среди которых являются именно механические закономерности, созданные Ньютоном и разработанные в математическом плане с его же стороны, наряду с другими учёными, среди коих ярко выделяется фигура Лейбница. Для примера настоящего утверждения можно привести дифференциальные формы основных уравнений движения (1), которые в свою очередь сводятся до определённых значений в формулах ускорения (2), силы (3), работы (4), мощности (5) и прочих.

Настоящие моменты понимания могут чаще всего рассматриваться именно в дифференциальных формах значения, по той причине, что они могут быть численно определены благодаря вводу некоторых преобразований, а именно благодаря преобразованию (6) и взятию определённого интеграла с установлением определённых границ (7).

Подобные направленности развиты не только в механическом плане, но и в других разделах физики, ярким тому примером может случить электростатика, электродинамика, магнитостатика, магнето-динамика и прочие. Для доказательства этого достаточно лишь упомянуть, что само понятие силы тока является производным по времени заряда, а напряжение – производное по заряду работы.

Настоящее утверждение можно привести для большого числа самых различных пониманий, но важен тот факт, что подобный подход в отличие от классического математического регулирования, становиться единственным при необходимости описания гравитационных характеристик пространства в масштабах всего пространства. Примером подобного рода явлений, где использование производных и соответственно дифференциальных уравнений становится известная квантовая физика.

Однако, в масштабе явлений, где классический математический аппарат уже не может выполнять свои функции, важными являются не сколько обычные классические производные, сводимые к обыкновенным дифференциальным уравнениям, если, конечно, не учитывать простейшие случае, ярким примером для коих можно привести преодоление потенциальной ямы частицы или описание её движения, либо другие подобные тривиальные случаи, интересными являются в большей мере лишь уравнения в частных производных.

1. Потрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1974.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.

3. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. – 4-е изд. – Фзиматлит, 2005.

4. Умнов А. Е., Умнов Е. А. Основы теории дифференциальных уравнений. – Изд. 2-е. – 2007. – 240 с.

5. Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. – 3-е изд. – М.: «Вильямс», 2007.

6. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969.

НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАЦИИ И ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ИНГЕНЦИАЛЬНОМ МНОЖЕСТВЕ

Аннотация. Важность определения и преобразования ингенциальных чисел и настоящего множества с каждым днём становится всё более очевидном, особенно с входом данного понятия в математическую физику, но и как чисто математический объект они представляют не малый интерес, хотя при этом имеют и практическое применение. В настоящей работе, описаны методы проведения некоторых алгебраических операций с ними, в том числе с использованием формулы Эйлера и интеграллами.

Ключевые слова: ингенциальные числа, математический анализ, алгебраические операции, формула Эйлера, интегрирование, производные.

Annotation. The importance of defining and converting exponential numbers and a real set is becoming more and more obvious every day, especially with the entry of this concept into mathematical physics, but as a purely mathematical object they are of no small interest, although they also have practical applications. In this paper, methods of performing some algebraic operations with them are described, including using Euler’s formula and integrals.

Keywords: inertial numbers, mathematical analysis, algebraic operations, Euler formula, integration, derivatives.

Сам процесс логарифмирования ингенциального числа общего вида, можно видеть в (1).

Таким образом, при логарифмировании, образуются 2 части самого выражения – действительная, как натуральный логарифм от коэффициента ингенциальной части и логарифм от ингенциальной единицы, которая определяется в (2).

То есть имеется в этом случае возникает вопрос, в какую степень необходимо возвести число Эйлера, чтобы она выдало ингенциальную единицу. Ответ довольно прост – это отрицательный логарифм от нуля (2) из этого следует, что логарифм от ингенциального числа составляет (3).

Также интересно решение уравнения Эйлера с ингенциальной единицей, а после и с общим видом ингенциального числа, что и описывалось далее, приняв выражения как неизвестные. И для этого изначально можно исходить из разложений Тейлора (4—6).

Что легко доказывается, поскольку при обнулении неизвестной синус в (5) также обнуляется, а косинус в (6) равняется единице. И уже из этого вытекает (7).

И неизвестным в (7) могут быть все возможные числа, как комплексные, при подстановке которых вытекает замечательное равенство Эйлера, так и ингенциальные. И для начала, рассмотрим частный случай, с ингенциальной единицей и произведём следующие преобразования (8).

Исходя из этого соотношения выполняем преобразования в (9), приведя к уравнению (10), при этом учитывая, что это выражение является тождественным возможно дифференцировать обе части уравнения в (11), выполнив соответствующие преобразования.

Поскольку завершающее равенство (11) можно представить как в (12), далее проведя дополнительное дифференцирование, также вводя условие, что это тождество, а в (13) подробно расписан процесс дифференцирования для правой стороны равенства. А для левой же части нет необходимости в подробной росписи.

Когда дифференцирование произведено, достаточно произвести элементарные преобразования, получив тригонометрический вид частного случая (14).

Теперь же, когда получен общий вид для дважды дифференцированного случая, необходимо вернуться к первообразным, ибо это тождество, в результате чего получаются следующие равенства (15—16).

И действительно это значение близко к самому ингенциальному значению, таким образом это выражение может считаться вторым видом записи ингенциальной единицы. Теперь же, можно переходить и к решению уравнения Эйлера для общего вида ингенциальных чисел, проведя в начале первую подстановку и обычные операции замены на этапе (17) и (18).

Когда же нужные преобразования подходят к концу, а иные действия уже не имеют места, то достаточно также продифференцировать обе части равенства как действительное тождество (19).

Дифференцируя первую часть равенства, можно прийти к результату в (20), а для второй части, вычисления продолжатся на протяжении всего (21).

Затем же применив (22—25) можно прийти к виду (26).

В результате достаточно прировнять оба результата в (20) и (26), поскольку это две части тождества, после чего получить (27) с необходимым упрощением, а уже в (28) с дополнительным упрощением и дифференцированием как тождество.

При этом дифференцирование первой части равенства очевидно в (29), как и второй в (30), после чего в уже (31) можно внести равенство и результирующие преобразования.

По итогу образуются равенства, которые необходимо дважды проинтегрировать, ибо ранее брались их производные, получая (32).

Интегрируя первую часть, в (33) получается отдельный результат и интегрируя уже вторую часть в (34).

Таким образом, можно прийти к равенству (35), откуда можно прийти к иному равенству в этом же уравнении.

Результат действительно довольно удивителен, но это равенство (35), вышедшее после подстановки в формулу Эйлера общий вид ингенциального числа и решением для этого случая является ингенциальное число (36). Таким образом это первое полноценное уравнение, решением которого стало ингенциальное число.

Хотя сами комплексные числа расположены на оси чисел, то этот промежуток можно выразить и на ингенциальной плоскости. У этой системы координат в качестве ординаты находится ось, начинаемая от бесконечности, а у абсциссы – все действительные числа. Таким образом все ингенциальные числа можно представить на такой прямоугольной системе координат, в случае добавления комплексных чисел – уже в пространстве.

1. И. В. Баргатин, Б. а. Гришанин, В. Н. Задков. Запутанные квантовые состояния атомных систем. Редакция им. Ломоносова. 2001.

2. Г. Кейн. Современная физика элементарных частиц. Изд-во Мир. 1990.

3. С. Хокинг. Теория всего. От сингулярности до бесконечности: происхождение и судьба вселенной. Изд-во АСТ. 2006

4. С. Хокинг, Л. Млодинов. Высший замысел. Взгляд физика на сотворение мира. Изд-во АСТ. 2010.

5. Т. Дамур. Мир по Эйнштейну. От теории относительности до теории струн. Изд-во Москва. 2016.

6. С. Хокинг, Л. Млодинов. Кратчайшая история времени. Изд-во Амфора. 2011.

ОБ ИССЛЕДОВАНИЯХ ОТНОСИТЕЛЬНО ГИПОТЕЗЫ КОЛЛАТЦА В ЛИЦЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФЕНОМЕНА

Аннотация. Когда об этой задаче рассказывают молодым математикам – их сразу предупреждают, что не стоит браться за её решение, ибо это кажется невозможным. Простую на вид гипотезу не смогли доказать лучшие умы человечества. Для сравнения, знаменитый математик Пол Эрдеш сказал: «Математика ещё не созрела для таких вопросов». Однако, стоит подробнее изучить данную гипотезу, что и исследуется в настоящей работе.

Ключевые слова: гипотеза Коллатца, числа-градины, ряды, алгоритм, последовательности, доказательства.

Annotation. When young mathematicians are told about this problem, they are immediately warned that it is not worth taking up its solution, because it seems impossible. A simple-looking hypothesis could not be proved by the best minds of mankind. For comparison, the famous mathematician Paul Erdos said: «Mathematics is not yet ripe for such questions.» However, it is worth studying this hypothesis in more detail, which is investigated in this paper.

Keywords: Collatz hypothesis, hailstone numbers, series, algorithm, sequences, proofs.

Вкратце её суть состоит в следующем. Выбирается некоторое число и если оно не чётное умножается на 3 и прибавляется 1, если оно чётное, то делиться на 2.

Можно привести алгоритм данного ряда для числа 7:

7 – 22 – 11 – 34 – 17 – 52 – 26 – 13 – 40 – 20 – 10 – 5 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1

Далее получается цикл:

1 – 4 – 2 – 1 и т. д.

Из этого вытекает гипотеза о том, что если взять любое положительное целое число, если следовать алгоритму обязательно попадает в цикл 4, 2, 1. Гипотеза называется именем Лотара Коллатца, который как считается пришёл к этой гипотезе в 30 годах прошлого века, но у этой задачи много имён, она также известна как гипотеза Улама, теорема Какутани, гипотеза Тойца, алгоритм Хасса, Сиказузская последовательность или просто как «3n+1».

Как эта гипотеза обрела такую славу? Стоит отметить, что в профессиональной среде слава такой гипотезы весьма дурная, поэтому сам факт того, что кто-либо работает над этой гипотезой, может привести к тому, что этот исследователь будет наречён сумасшедшим или незнающим.

Сами числа, которые получаются, при этом преобразовании называются числами градинами, поскольку, подобно граду в облаках числа то опускаются, то поднимаются, но рано или поздно, все падают до единицы, по крайней мере так считается. Для удобства, можно сделать аналогию, что значения, вводимые в этот алгоритм, являются высотой над уровнем моря. Так, если взять число 26, то оно сначала резко уменьшиться, потом поднимается до 40, после чего за 10 шагов понижается до 1. Тут можно привести ряд для 26:

26 – 13 – 40 – 20 – 10 – 5 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1

Однако, если взять соседнее число 27, оно будет скакать по самым разным высотам, добравшись до отметки в 9 232, что, продолжая аналогию, выше горы Эверест, но даже этому числу суждено рухнуть на Землю, правда ему потребуется уже 111 шагов, чтобы дойти до 1 и застрять в этой же петле. Таким же интересными числами могут быть числа 31, 41, 47, 54, 55, 62, 63, 71, 73, 82 и др. Можно для сравнения проанализировать таблицу (Табл. 1) и график (Рис. 1) для этих интересных чисел.

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Рис. 1. График значений для интересных чисел-гранул алгоритма

Когда путь одного числа настолько сильно отличается даже от соседнего, как вообще подступиться к доказательству подобной гипотезы? Разумеется, все математики были в растерянности и абсолютно никто не мог решить эту задачу. Так Джефри Лагариас – мировой эксперт по этой проблеме, и он говорил, что никому не стоит браться за эту проблему, если он хочет стать математиком. Была проведена масштабная работа и изучено огромное количество чисел-градин, стараясь найти закономерность. Здесь можно утверждать, что все значения приходят к единице, однако, что можно сказать о пути, который совершают все числа? Интересно то, что этот путь абсолютно случаен.

Для примера можно привести график всех значений данного алгоритма от 1 до 100 (Рис. 2).

Рис. 2. График значений для чисел-гранул от 1 до 100

Как можно увидеть, чаще всего изначально начинается рост и после резкий спад, при этом значение числа просто не рассмотреть, однако, если сделать график логарифмическим, в его колебаниях прослеживается нисходящий тренд. Его также можно наблюдать на рынке акций в день обвала, что не случайно, ибо это примеры геометрического броуновского движения, то есть, если взять логарифмы и вычислить линейную компоненту, колебания кажутся случайными, как если бы на каждом шаге бросали монетку. И если рассматривать данный анализ функции, как часть математического анализа, то тут начинает прослеживаться явная связь с теорией вероятности. Откуда получается, что когда получается орёл – линия идёт вверх, а когда решка – вниз, откуда и получается особый график.

Если же рассматривать данный график при сопоставлении с той же биржей, то это скорее в краткосрочном анализе, хотя в долгосрочной перспективе, акции всё же растут, а «3x+1» падает. Ещё можно обратить внимание на старший разряд чисел градиент – это означает гистограмму, который получается, подсчитать количество цифр, с которых начинаются числа в ряде гранул для того или иного числа алгоритма. Если каждый раз добавлять эти значения, для 1, 2, 3 и т.д., получается всё больше и больше данных, при этом соотношение высоты столбиков становиться всё более упорядоченным.

Так для первого миллиарда последовательностей самым частым значением оказывается единица, 29,94% всех случаев, 2 – 17,47%, 3 – 12,09%, 4 – 10,63%, 5 – 7,94%, 6 – 6,16%, 7 – 5,76%, 8 – 5,31%, 9 – 4,7% и чем цифра больше, тем реже она оказывается впереди.

Подобный расклад характерен не только для чисел-градин, примером много, это и население стран, и стоимость компаний, все физические константы или числа Фибоначчи, и много чего ещё. Этот закон называется законом Бенфорда. Удивительно, но если проследить в налоговых декларациях нарушение закона Бенфорда, можно даже определить факт мошенничества. Этот закон также помогает определить аномалии при подсчёте голосов на выборах или многом другом.

Самое лучшее действие этого закона происходит тогда, когда числа, вводимые в нём, имеют разброс в несколько порядков, как в данном случае, но закон Бенфорда, к сожалению, не может сказать, все ли числа попадают в конце в цикл 4-2-1. Для этого нужно использовать другой метод. Изначально странно, что этот алгоритм приводит все числа к 1, учитывая, что чётных и не чётных чисел поровну и не чётные возрастают более чем в 3 раза, а чётные уменьшаются в 2 раза.

Тут напрашивается вывод о том, что все последовательности по идее должны идти вверх, а не вниз. Но стоит обратить внимание и на то, что всегда, когда производиться операция с не чётным числом, то есть, когда его умножают на 3 и прибавляют 1, оно обязательно превращается в чётное, следовательно, следующим шагом он всегда будет делиться на 2. Получается, что не чётные числа не утраиваются, а умножаются на (3x+1) /2 или точнее на 1,5, ибо 0,5 для больших чисел можно игнорировать. Значит максимальный рост из этого составляет именно 1,5.

Ранее уже был приведён график для всех чисел от 1 до 100, но стоит рассмотреть небольшой случай для всех не чётных чисел. Как известно, во втором шаге они превращаются в чётные значения, а затем ровно половина из них сразу приведён, после деления опять же к не чётному. Но каждое 4 число, придётся делить на 2 дважды, значит, уже эти не чётные числа это ¾ от предыдущего. Каждое 8-е число придётся делить на 2 трижды, чтобы получить не чётное. Каждое 16 четырежды и т. д.

Так взяв, среднее геометрическое, можно увидеть, что для того, чтобы добрать от одного не чётного числа до другого через все чётные числа, нужно умножить его на ¾, что меньше единицы, отсюда и получается, что статистически, эта последовательность уменьшается чаще, чем растёт.

Приведём пример для большого числа, к примеру 341. Его ряд выглядит следующим образом:

341 – 1024 – 512 – 256 – 128 – 64 – 32 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1.

У него было только одно не чётное и все чётные числа, чем этот ряд и примечателен. Однако, можно их изображать, как в виде графиков, так и в виде деревьев, показывая, как одно из чисел связано с последующим в своей последовательности, создавая граф.

И если гипотеза верна, значит любое число должно оказаться в этом огромном графе, состоящее в бесконечном количестве «ручейков» образуя в одном потоке цикла 4-2-1. Существует интересная визуализация такого графа, в котором используется алгоритм того, что на не чётных числах, он поворачивается на выбранный угол по часовой стрелки, а на чётных – против часовой стрелки.

В итоге получается интересная изогнутая, чаще в одну сторону структура. Напоминающая коралл, водоросли или дерево на ветру. Но это лишь на малое количество чисел, для огромных массивов, меняя углы поворота можно создавать огромные и ослепительно красивые фигуры, словно порождённые природой.

Гипотеза кажется не верной только в 2 случаях:

1. Если будет найдено число, которое в алгоритме даст бесконечность, то есть на него по неизвестной причине эта «сила притяжения» к 4-2-1 не должно будет действовать;

2. Где-то есть последовательность, которое бы образовало собственный замкнутый цикл, и все числа в нём должны оказаться вне основного графа.

Однако, ни один из этих вариантов пока не найден, хотя уже простым перебором проверены все числа до 2 в 68 степени, что равняется 295 147 905 179 352 825 856 чисел. Точно известно, что все числа из этих значений приходят к циклу 4-2-1. Более того, на основе этих данных рассчитано, что даже если и существует такой особый цикл данных, он должен состоять как минимум из 186 миллиардов чисел. И получается, что все работы указывают на то, что гипотеза верна, но всё ещё не доказывает.

Избирался и другой путь. Был построен график рассеивания, взяв на одной оси сами числа, а на другой значения. Если можно доказать, что в любой последовательности алгоритма есть число меньшее исходного, можно подтвердить гипотезу Коллатца. Но любое исходное числа приведён к числу поменьше, которое по своей же последовательности приведёт к числу ещё меньше и т.д., вплоть до 1.

То есть единственный возможных исход для этого частного случая – это цикл 4-2-1, но доказать это до сих пор не удалось.

Хотя в 1976 году Рихо Террас показал, что почти все последовательности включают в себя значения ниже исходного. В 1979 году показали, что значения будут меньше исходных на эти значения, возведённые в степень 0,869. Позднее, в 1994 году, степень стала точнее – 0,7925. Здесь почти все числа означают, что при стремлении исходных значений к бесконечности, доля ограничивающей функции стремиться к 1. В 2019 же году, математик Терри Тао смог доказать, что этот алгоритм подчиняется ещё более строгим ограничениям.

Ему удалось показать, что все числа будут меньше, чем значения функции в любой точке, при условии, что предел функции, при стремлении переменной к бесконечности будет равна бесконечности. При этом функция может расти сколь угодно медленно, тот же логарифм, или логарифм логарифма, или логарифм логарифма-логарифма и т. д. Это позволяет утверждать, что сколь угодно малые числа есть в ряде любого исходного числа. И как было сказано в 2020 году, лучше этого может быть только прямое доказательство гипотезы.