Текст книги "Геометрия в сказках. математические сказки"

Сказка про точку А и точку В

Однажды вечером Чистюлька стала искать Карандаша, но нигде не смогла его найти. Наконец, она увидела слабый огонёк в одном из шкафов. Заглянув туда, она удивилась, увидев небольшую комнату, где на кровати лежал её друг:

– Добрый вечер! Ты, я вижу, хорошо устроился, на-рисовав себе тоже комнатку.

– Вечер не совсем добрый.

– Так– так… что-то случилось?

– А ты не видишь?!

– Вижу, что ты весь замотался в шарф, ты что заболел? Простудился!

– Не простудился, а источился.

– Сейчас позову Точилку и закончатся все твои проблемы, а потом мы отправимся в наше новое путешествие. Подожди, я быстро.

– Не надо никуда идти, потому что Точилки нет, её взяла учительница домой, а сегодня выходной, так что она будет нескоро.

– Жаль, так хотелось увидеть геометрицу А. Ладно, подождем. А что это такое? – она показала на сверток, что лежал на столе.

– Да это посылка какая-то.

– Давай откроем?

– Открывай.

Чистюлька открыла посылку:

– Смотри здесь диск.

– От кого?

– Ой, как хорошо! Диск прислала геометрица А. Она как почувствовала, что мы хотим попутешествовать. На этом диске записана интересная история из ее жизни.

– Ура! Значит, сегодня мы отправляемся опять в пу-тешествие по стране Геометрии.

– Да, только это путешествие будет воображаемым.

Чистюлька вставила диск в дисковод, и они услышали:

– Я геометрица А, привет всем, кто меня смотрит! Сегодня я расскажу, как подружилась с геометрицей В. Друзья смотрели рассказ, как увлекательный фильм.

Как-то утром геометрица А отправилась гулять. Идёт по прямой линии, а ей не видать конца. Почему?

– Правильно, прямая линия не имеет ни начала, ни конца, – в один голос воскликнули Карандаш и Чистюлька, как будто подруга из страны Геометрии могла их услышать. А почему бы и нет?!

Остановилась геометрица А, подпрыгнула. Вдруг кто-то говорит:

– Ой, как интересно, что же получилось, не подскажите?

Геометрица А удивилась, увидев свою копию красного цвета с жёлтым бантиком на голове:

– Здравствуй! Я геометрица А, а ты кто?

– Не знаю….

– Что? Ты забыла своё имя, дорогая подруга? Как такое могло произойти?

– Не знаю! Давай дружить!? Мне так грустно и скучно одной. Я недавно появилась и многого не знаю.

– Я очень рада буду, если мы подружимся. Назову тебя точка В. А что ты говорила?

– Я спросила, что получилось?

– Получился луч.

– Да, луч, – продолжила геометрица А. – Но только не один, а два, потому что, если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается на два луча, противоположно направленных. Такие лучи называются дополнительными.¹

– Почему ты сошла с линии? – закричала точка. – Иди скорее сюда, будем рядом стоять.

Геометрица А подошла к новой знакомой, но встала чуть поодаль. Обе точки стояли на одной прямой, образовав новую геометрическую фигуру, которую вы уже знаете. Это… отрезок.

Геометрица А чётко проговорила определение отрезка и рассказала точке В, которая восторженно смотрела на А и запоминала каждое её слово.

Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком прямой, или отрезком.

– Как весело, что мы вместе! И имя у меня теперь есть! – воскликнула точка В и стала прыгать по прямой линии, но вдруг упала.

Геометрица А подняла новую знакомую:

– Ты не ушиблась?

– Нет, но я сломала твою линию.

– Ничего страшного, зато теперь у нас появилось две прямых линии.

Тут они увидели, как к ним навстречу двигается ещё одна точка. Она представилась, как точка С.

Точка С остановилась. Сразу же получился луч с началом в точке С. Луч – это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца.

А, В и С встали рядом и протянули друг другу руки, как на рисунке, взявшись за руки втроём, и образовали новую линию, которая называется ломаная линия или ломаная. Это ломаная линия, которая состояла из… двух отрезков-звеньев.

Ломаная линия – это несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка – началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую точку), отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой. Если конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом первого отрезка, то такая ломаная линия называется замкнутой¹.

– А нельзя сделать ломаную линию из четырех звеньев?

– Какая ты еще маленькая, точка В, и многого не знаешь! А вы, друзья, знаете?

Друзья вздрогнули и поняли, что обращается геометрица А с диска к ним. Вот чудеса: она их слышит?! Чистюлька и Карандаш переглянулись и одновременно сказали:

– Нужно позвать другие точки.

А точки всегда рады поработать, их даже звать не пришлось, как только услышали, что они нужны, тут же появились. И точка Е, и точка D и другие.

Они стали радостно прыгать по прямой линии. Там, где они прыгнули, ломалась прямая линия. Каждая точка вставала на её конце и получалась ломаная линия.

– Сколько звеньев у этой линии?

Чистюлька стала считать вслух:

– 1, 2, 3…7.

А геометрица А продолжала на диске:

– Конечно, вы догадались – 7 звеньев-отрезков.

Точки спрашивают у точки В:

– Хочешь, мы покажем тебе фокус?

– Очень хочу, потому что люблю фокусы.

– Смотри…. – И точки взялись за руки.

– Ой, как интересно, ведь получился…?

Если конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом первого отрезка, то такая ломаная линия называется замкнутой. Примером замкнутой ломаной служит любой многоугольник. Трехзвенная замкнутая ломаная линия – треугольник. Треугольник – это геометрическая фигура, у которой 3 угла, 3 стороны и 3 вершины.

– Ведь это та же ломаная линия, только замкнутая. А можно мне к вам? – спросила точка В.

– Можно, только теперь будет другая фигура. Какая?

– Знаю, знаю. Фигура называется четырехугольник. Четырехзвенная замкнутая ломаная линия – четырехугольник¹. Определение про него такое: четырёхугольник — это многоугольник, у которого 4 стороны, 4 вершины и 4 угла.

– Что ты знаешь про этот четырехугольник?

– Ммм…

– Смотри, тебе на помощь спешит Линейка.

Линейка сказала:

– Принимайся, точка В, за дело.

– Какое дело?

– Измеряй стороны, а я буду тебе помогать. Посмотришь, что получится.

Точка В измеряла стороны на диске, а Чистюлька и Карандаш внимательно следили за её действиями. Они очень удивились, потому что, оказалось, что, у этого четырехугольника противоположные стороны …одинаковые.

Затем точка В наложила прямой угол Линейки на каждый угол четырёхугольника и оказалось, что у него все углы прямые.

Можете сказать определение этой фигуры?

Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны равны.

– Смотрите, – закричала точка В. – Ещё один прямоугольник, но какой-то необычный. Очень похож на прямоугольник, но чем-то они различаются. И чем же?

Геометрица А сказала:

– Молодец, точка В, ты быстро соображаешь.

Тут Линейка говорит:

– Придется тебе, точка В, еще поработать.

Точка В проверила углы. Углы прямые, как у прямоугольника, а стороны… стороны-то у него оказались все одинаковые. И этот прямоугольник не просто прямоугольник, он называется квадрат. Точка В громко и чётко стала произносить определение квадрата.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Геометрица А на диске с удовольствием поглядела на новую подругу.

– Как быстро ты всё запоминаешь, точка В.

– Мне с вами очень интересно и весело, – сказала точка В. – Вы будете со мной дружить?

Точки хором воскликнули:

– Обязательно будем, потому что дружба – это главное на свете. Друг поможет тебе и в радости, и в горе, если, конечно, он настоящий друг.

Диск закончил показывать историю знакомства точек. На экране монитора компьютера появилась геометрица А, внимательно посмотрела на друзей, подмигнула им.

– Так я познакомилась с точкой В, – закончила свое повествование геометрица А. – И с тех пор мы не расстаемся. Точка В стала тоже геометрицей. До встречи, Карандаш и Чистюлька!

Чистюлька чуть не заплакала:

– Как жаль, что диск закончился, так не хочется расставаться с точками.

– Ничего, потерпи, – сказал Карандаш, – После моего выздоровления мы опять встретимся с нашими друзьями, а пока я нарисую тебе геометрицу А и В. Смотри и любуйся.

В Городе Линий

Как-то утром Карандаш долго ждал Чистюльку:

– Спит, наверное. Пойду, разбужу.

– Привет! – сказал он, очутившись в комнате по-други.

– Подожди минутку.

– Чем это ты так занята?

– Представляешь, ребята столько листов бумаги ис-портили. Я сейчас закончу.

– Дай-ка посмотрю. Здесь же линии проведены. Ты уверена, что здесь ошибка? Зачем ты их стираешь?!

– Как зачем, они же друг на друге начерчены.

– Наверное, дети хотели начертить пересекающиеся прямые.

– Что? Пересекающиеся прямые? Такие бывают? А зачем?

– Видно, пора нам отправиться в Город Линий.

– В страну Геометрию? Я всегда готова.

Только они подумали о путешествии, как оказались в незнакомом месте. Чистюлька немного испугалась.

– Куда мы попали?

– Да это Город Точек, мы здесь были недавно. Идём дальше, Город Линий должен быть рядом, потому что точки очень дружат с линиями.

Когда друзья пришли, то очень удивились, потому что в этом городе все было необычно. Дома вот какие:

Дороги напоминали разные  геометрические фигуры.

И жители должны быть необычные, но их не было видно, хотя наши герои внимательно осмотрелись. Друзья вышли на площадь, в центре которой высился домик, похожий на теремок. Из домика показалась Линейка. Оказывается, Волшебная Линейка жила именно в городе Линий. Обрадовались друзья:

– Как мы рады тебя видеть, Линейка! Ты здесь живешь?! Не могла бы ты помочь нам подружиться с жителями этого города?

Линейка показала друзьям две улицы, составляющие город. Одна улица была кривых линий, другая – прямых. Ещё было много переулков, где жили и прямые, и кривые линии.

На улице Прямых Линий им были очень рады. Многие жители вышли навстречу. Поприветствовав старых знакомых, Карандаш сказал:

– Нам нужна ваша помощь.

Желтая прямая линия вышла вперёд:

– Мы всегда рады помочь.

Все линии согласились с ней.

– Что вы хотите узнать? – спросила Красная Прямая Линия, выходя вперёд и внимательно глядя на друзей.

– Моя подруга считает, что прямые линии не долж-ны пересекаться.

– Как же такое возможно! – воскликнула Зелёная Линия. – Мы часто ходим друг к другу в гости. Не можем же мы всегда в обход ходить, это так нерационально, потому что самая короткая дорога — прямая. Вот как я пойду, смотрите.

И она протянулась от одного домика к другому. Навстречу ей из второго домика протянулась зелёная линия.

– Или вот как мы ходим.

Теперь линии тянулись и пересекались в разных точках. Чистюлька бегала с одного места на другое, от изумления размахивая руками и возбуждённо приговаривая:

– Как же я ошибалась, ведь линии везде пересекаются. Спасибо, что всё мне показали!

Вдруг кто-то произнёс в два голоса, удивительно знакомых:

– А в месте пересечения линий стоят…

Чистюлька оглянулась и увидела геометриц А и В.

– Точки, конечно, точки.

Линии развеселились и стали пересекаться в разных местах. Геометрица В таинственно спросила у Чистюльки:

– Посмотри все точки лежат на линиях?

– Нет, не все. Некоторые точки находятся около прямых линий, – ответила громко и уверенно та.

– Про такие точки говорят в математике, что они лежат вне прямой линии или вне фигуры, – пояснила геометрица.

Тут они услышали:

– Здравствуйте! Как у вас сегодня весело.

Все оглянулись и увидели два луча.

– Привет, – сказала Чистюлька. – А у нас тут линии пересекаются.

Лучи переглянулись и в два голоса воскликнули:

– А мы тоже можем пересекаться. Если нас два, то мы пересекаемся всегда в одной точке, вот так.

– Или так. – И лучи стали изображать свои слова чертежом.

Чистюлька обрадованно спросила:

– А что вы ещё можете, подскажите, покажите?

– Мы можем пересекать прямую линию в двух точках.

– Или в одной точке.

Чистюлька всплеснула руками-лучиками:

– Прямо чудеса, да и только!

– Посмотрите, – сказал Карандаш, – сколько точек появилось.

Чистюлька подошла к прямой, на которой увидела точки А и В. Она радостно объявила всем, что увидела отрезок, потому что отрезок – часть прямой линии, ограниченной с двух сторон точками. Карандаш остановился возле линии, где увидел точку С. Появился луч.

Луч – часть прямой линии, которая ограничена с одной стороны точкой.

Он знал и научное определение этой фигуры.

Луч – это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца².

Чистюлька и Карандаш стали считать лучи и отрезки, которые образовывались, когда точки вставали на линии. Чистюлька показала на прямую линию, на которой лежало 3 точки.

– Два отрезка здесь, – воскликнула Чистюлька, – их же хорошо видно. Она посмотрела на друга, ожидая одоб-рения.

– Нет, три, – сказал Карандаш, – потому что ещё есть большой отрезок, который начинается там, где точка показывает начало отрезка и заканчивается там, где точка показывает конец отрезка.

Карандаш считал отрезки на прямой линии, где увидел четыре точки. Он рассуждал вслух.

– Всего видно 3 отрезка, но есть ещё большой отрезок, а всё? Но ведь от первой точки до третьей тоже будет отрезок. И от второй точки до четвёртой тоже – отрезок. Следовательно, всего здесь 6 отрезков.

Теперь друзья стали считать лучи. Они обратили внимание на линию, в середине которой увидели точку В.

Сколько здесь лучей? Кто догадался? Друзья забыли определение, хорошо, что Линейка была рядом. Она напомнила, что, если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается на два луча, противоположно направленных².

На другом появившемся чертеже, стояли две точки на прямой А и В. Сколько лучей получилось?

Наши герои вспомнили подсказку Линейки и догадались, что из каждой точки исходит по два луча, то есть всего лучей оказалось четыре.

Линейка повела гостей на улицу Кривых Линий. В одном из зданий послышались детские голоса. Это был детский садик для малышей. Тихо войдя внутрь, друзья узнали, сколько прямых и кривых линий можно провести через одну и две точки. Это им скоро пригодилось.

Проходя по улице, друзья увидели запущенный домик. Окна его были закрыты ставнями. Около него не росли не только деревья, но даже ни одного цветочка.

Резко остановившись, Чистюлька стала убеждать всех, что жителям этого домика нужна помощь. Линейка молчала, а Карандаш искренне хотел помочь.

Когда Чистюлька осторожно постучала в дверь, вышли Прямая и Кривая линии и объяснили, что хотят посадить цветы, но у них ничего не получается, потому что цветы нужны не простые, а геометрические. Как начертить геометрические цветы?

– Карандаш, за дело! Без тебя нам не справиться, – сказала Линейка, а затем обратилась к его подруге. – Правда, Чистюлька?

– Да, потому что я совсем не умею чертить, даже не знаю, как это делается.

Линейка повернулась к её другу:

– А Карандаш знает, правда?

– Я умею рисовать только кривые линии, а прямые линии нужно чертить всегда только по линейке. Я точно знаю, потому что пробовал. Вроде бы кажется прямо ведешь, а на самом деле получается криво.

– Я всегда рада помочь и тебе, и всем детям, которые хотят научиться чертить прямые линии ровно и правильно.

Чистюлька воскликнула:

– Тогда скорее за дело. Карандаш, черти прямые и кривые линии. А если не получится, я всегда рядом и сот-ру то, что неправильно.

Ластик Чистюлька любовно наблюдала за работой друга, который работал аккуратно. Сначала он начертил кривые линии, а потом с помощью линейки – прямые.

– Я так ровно не смогу начертить, даже с помощью линейки. Как у него получается красиво, не пойму.

Карандаш не отрывался от важной работы, а Линейка ответила:

– Главное в этой работе – правильно держать линейку и карандаш.

Вот Карандаш закончил свою работу. Получилось много прямых и кривых линий. Но эти линии необходимо было превратить в цветы. Вот и пригодился урок из детского сада, потому что надо было знать, сколько прямых линий можно провести через одну точку? А кривых?

Карандаш начертил линии прямые и кривые так, чтобы они проходили через одну точку.

– Кто найдет ошибку у Карандаша? – задала вопрос собравшимся геометрица А.

Чистюлька задумчиво посмотрела на друга, затем на чертёж.

– Не все линии проходят через одну точку слева, а справа, вообще, все линии перемешались.

Геометрица А обрадовалась:

– Правильно. Запомните алгоритм черчения:

1. Сначала поставьте точку.

2. Теперь с помощью линейки проводите линии так, чтобы они все проходили через эту точку. Вот так (слева рис.).

3. А кривые линии тоже ведите через точку, только без линейки. Вот так (рис. справа.).

Теперь нужно было знать, сколько кривых и прямых линий можно провести через две точки.

– Да столько же много, сколько через одну точку, то есть очень-очень много, – закричала Чистюлька.

Карандаш вопросительно посмотрел на Линейку..

– Помоги нам, пожалуйста.

Линейка подошла к Карандашу:

– Ты же умеешь проводить кривые линии без линей-ки, только не повторяй своих ошибок: линии должны про-ходить точно через точку.

Карандаш обрадованно кивнул и принялся за рабо-ту, которую выполнил очень быстро и правильно.

Теперь Карандаш поставил две точки и провёл через них… всего одну линию.

Видя, как он трудится, Чистюлька сначала улыбалась, а потом задумалась.

– Да, оказывается, через две точки можно провести только одну прямую линию, кривых же через две точки можно провести много. А я думала…, но теперь навсегда запомню эти определения.

После того как друзья вспомнили теорию, Карандаш начал рисовать геометрические цветы из прямых и кривых линий, иногда прибегая к помощи Линейки.

– Ой, как красиво! – обрадовались линии. – Теперь мы всем расскажем, какие вы молодцы. Вы стали друзьями всех жителей нашего города.

Чистюлька посмотрела по сторонам и взяла Карандаша за руку:

– Смотри. Все линии вышли из своих домов.

И действительно улицы города заполнили разные линии. Они улыбались и приветствовали новых друзей.

– Как хорошо у вас, в стране Геометрия, – воскликнула Чистюлька, – но нам пора домой. Мне надо исправить свои ошибки, а то ребята огорчатся из-за того, что я стёрла их пересекающиеся линии. Пока!

Точкоед

Дружно жили Чистюлька и Карандаш. Но трудолюбивый Карандаш заскучал: линии, проведённые им, перестали быть тоненькими. Чистюлька развлекала друга как могла. Она выводила его по ночам гулять, рассказывала смешные истории, но всё было напрасно – друг становился всё печальнее. Чистюлька уже начала отчаиваться, но вовремя вернулась Точилка. Чистюлька, как только узнала об этом, тут же повела друга в соседний класс, куда положили Точилку. Она заточила Карандаш, и он снова повеселел.

Точилка удивленно посмотрела на друга.

– Я знаю, ты не простой карандаш, ведь ты умеешь рисовать картинки, которые оживают. Почему ты до сих пор не нарисовал себе дом?

Чистюлька восхищённо посмотрела на Точилку.

– Ой, как замечательно ты придумала.

Когда они остались одни, она напомнила другу о словах Точилки.

Карандаш нарисовал домик, где и поселился вместе с Чистюлькой. В домике было много комнат, куда Карандаш пригласил своих друзей. Одну из комнат тут же облюбовала Точилка. Так что теперь Карандаш никогда не болел. Собрались друзья повеселиться на радостях, придя в свой класс, но тут увидели телеграмму от геометрицы А, где было только одно слово: «Помогите!».

Испугалась Чистюлька:

– У них что-то случилось! Чем же мы можем помочь, ведь мы не спасатели?

– Друзьям всегда нужно помогать, – сказал Каран-даш. – Я иду на помощь, а ты как хочешь.

– Подожди, я с тобой, но сможем ли мы помочь? Ведь мы не живём в стране Геометрии и не знаем, как там нужно действовать и что предпринимать.

– Ты же знаешь, что Геометрия не простая страна, а математическая, следовательно, нам будет не страшно, а трудно. Ты готова к выполнению трудных заданий и преодолению препятствий?

– Я постараюсь.

– Тогда вперед, на помощь друзьям!

Они закрыли глаза на секунду, тут же открыв их.

Чистюлька осмотрелась:

– Вот домик геометрицы А, но ее не видно.

Карандаш прислушался:

– Зато ее слышно.

– Я ничего не слышу. – Чистюлька прислушалась, потом тихо сказала:

– Ты прав, кто-то плачет, и это голос А.

Друзья пошли влево от домика. А около домика точки А был лес.

Углубились наши герои в чащу. Плач стал сильнее.

– Где ты, геометрица А?

– Я тут в дупле, но я не выйду.

– Почему?

– Я боюсь.

– Не бойся, мы пришли тебе помочь. Вылезай и рассказывай, что случилось.

Геометрица выглянула из дупла, вылезти не решилась, но рассказала о своей беде.

Оказывается, в стране Геометрии появился страшный Некто. Он поедал все геометрические фигуры, а больше всего любил точки. Он появился в Точкограде рано утром, когда геометрица А гуляла по лесу, поэтому она не видела, что произошло. А вздрогнула, подходя к своему дому, когда услышала грубый чужой голос. Он грозил всех съесть.

Геометрица вернулась в лес и спряталась. Ночью она вернулась в город, но не нашла никого из подруг. Она бродила по улицам, но везде было пусто. Только в самом маленьком домике она нашла крошечную точку, которую не заметил страшный гость. Она-то и рассказала о Точкоеде.

Маленькая точка тут же убежала и спряталась. Геометрица А последовала её примеру.

Тут раздался страшный голос.

– Да, я люблю закусывать геометрическими фигурами, они такие вкусные. Я и вас сейчас съем. А вы кто такие? На вид совсем невкусные, расхотелось даже есть, на вас глядя.

– Я Карандаш.

– А я ластик по имени Чистюлька. Ты – Точкоед?

– Так меня называют в этой стране.

– Откуда ты взялся?

– Я появляюсь, когда делают ошибки или забывают правила.

– Кто же забыл определения в этой стране, ведь это невозможно?

– Стало возможно. Слушайте эту историю. Жил в стране Геометрии Угол. Что вы про него знаете?

Геометрица А, чувствуя поддержку, расхрабрилась и вылезла из дупла.

– Угол – геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла².

Не успела она это сказать, как Точкоед взмахнул своим копьем, и …появились две линии. Геометрица хлопнула в ладоши и стала точкой А, протянула руки линиям и получился угол.

Чистюлька запрыгала от радости:

– А ты, Точкоед, совсем нестрашный.

– Конечно, не страшный, а заботливый. Я вовсе и не ем геометрические фигуры, а просто прячу их, когда нужно.

Карандаш сказал:

– Теперь ты вернешь все фигуры на место?

– Нет, потому что я еще не все рассказал.

– Мы внимательно слушаем.

– Так вот, что было дальше. Угол был всегда один – одинешенек, потому что никто не хотел с ним дружить.

– Я буду с ним дружить, – заявила геометрица А, вновь увеличившись.

– Смотри, если ты не справишься с заданием, я рассержусь и не верну геометрические фигуры никогда.

Чистюлька испугалась:

– Никогда-никогда? А как же ребята будут геомет-рию учить?!

– Не бойся, Чистюлька, – сказала геометрица А, – я знаю все определения по геометрии.

Точкоед ответил:

– Этого мало, надо, чтобы и друзья твои выучили их.

– Друзья, вы будете меня слушать и запоминать? – спросила А. – А иначе все пропало, и город наш навсегда опустеет.

Карандаш и Чистюлька заверили, что будут слушать и всё запоминать.

– А почему с этим углом никто не дружил? – поинтересовался Карандаш.

– С ним не дружили, потому что не могли его узнать.

– Как это?

– Утром он был одним, вечером другим, а в обед совсем непохожим на себя.

– Ура! – закричала геометрица А. – Я знаю, почему так происходило, поспешим скорее к Углу.

Они тут же очутились возле домика, где грустный Угол стоял на лужайке, похожей на угол. Не здороваясь, геометрица А закричала:

– Угол можно начертить по-разному, и он будет выглядеть по-другому, и, следовательно, получит другое название.

Она взмахнула руками, призывая кого-то. И сразу же появилась Линейка. Они с Карандашом нарисовали все превращения бедного угла. Угол удивлённо посмотрел на прибывших гостей и улыбнулся. А геометрица А продолжала:

Развёрнутый угол – это угол, обе стороны которого лежат на одной прямой. Она равен 180⁰. Обозначается угол тремя буквами. В середине названия указывают букву, которой обозначена вершина угла. Например, в треугольнике АВС это будет так:

– Молодцы! Я так рад, что встретил настоящих юных математиков, – сказал Точкоед и стал разваливаться на глазах.

– Ой, смотрите, смотрите! – закричала Чистюлька.—

Появились точки и геометрические фигуры.

Тут к ним подошла точка Е:

– Спасибо вам! У Точкоеда нам было грустно и скучно. Мы так соскучились по работе.

Все фигуры поклонились нашим друзьям и отправились по своим делам.

Чистюлька внимательно посмотрела по сторонам и подошла к улыбающемуся Углу.

– Извини, но я не знаю, зачем нужны углы.

– О! Это долгий рассказ. Проходите в дом, я всё вам расскажу.

Друзья вошли в небольшой уютный домик и расселись по мягким низеньким креслам. Угол начал свой рассказ.

Люди давно научились плавать по морям и океанам, но не знали, как не сбиться с пути в огромном пространстве воды.

Звёзды – превосходные ориентиры для мореходов. Расстояние от наблюдателя до звезд огромно, но как мерить высоту светила над горизонтом? Астрономы нашли выход: они измеряли угол между плоскостью земной (или морской) поверхности и направлением от глаза наблюдателя на светило (так называемый угол зрения). Чтобы не сбиться с пути, моряки не выходили в плавание без сектанта – прибора для измерения углов…⁴

А как найти дорогу в густом лесу или в пустынной местности? Для ориентирования на местности используется компас, который показывает угол между северным направлением и положением данного предмета (в географии этот угол называется азимутом). ⁴

И время люди научились находить с помощью угла.

Первыми устройствами для счёта времени были солнечные часы: посреди ровной площадки вбивали колышек, который отбрасывал тень на площадку, рас-черченную как циферблат современных часов. В течение дня тень двигалась, образуя определённый угол, и по нему люди могли определить время каждого солнечного дня.

Измерение углов в градусах появилось более 3 тыс. лет назад в Вавилоне. Слово «градус» – латинское, означает «шаг», «ступень». О древности угловой меры говорит уже то, что угол делится на шестидесятеричные доли – минуты и секунды. ⁴

При строительстве дорог учитывается угол откоса, позволяющий сделать дорогу более прочной. При проектировании зданий архитектор должен учесть многие факторы, в том числе углы между стенами, чтобы дом был прочным. Так что углы умеют большое применение в практике, особенно в строительстве.

Затем угол вынул необычный предмет и показал его своим гостям:

– Для измерения углов применяют транспортиры. Они могут быть или в форме полукруга, или круга, но у всех есть общее – это шкала транспортира. Она расположена на полуокружности и пронумерована от 0 до 180. Бывают шкалы двойные: нумерация идет слева направо, и справа налево. Штрихи шкалы транспортира делят полуокружность на 180 равных частей. Лучи, проведенные из центра полуокружности через эти штрихи, образуют 180 углов, каждый из которых равен 1/180 доле развернутого угла. Такие углы называют градусами. Градусы обозначают знаком °. Каждое деление шкалы транспортира равно 1°.

Друзья внимательно рассмотрели новый инструмент. Он напоминал немного линейку.

Карандаш спросил:

– И как же с помощью этого транспортира можно измерить величину угла?

Угол положил на стол листы бумаги. Чистюлька и Карандаш придвинулись ближе к столу, а геометрица прыгнула прямо на стол. Угол протянул каждому из своих гостей маленькие инструменты и начал урок:

– Положите перед собой транспортиры и слушайте алгоритм, выполняйте его, не пропуская ни один из пунктов.

1) Нужно вершину угла совместить с центром транспор-тира.

2) Одна сторона угла должна проходить через нулевую отметку (0° по шкале).

3) Вторая сторона угла должна пересекать шкалу.

Нужно посмотреть, через какую отметку проходит вторая сторона угла. Это и есть величина этого угла. Если у транспортира есть две шкалы, то надо смотреть на отметку той шкалы, через ноль которой проходит одна из сторон угла.

Тут Линейка с помощью Карандаша начертила каждому из друзей углы на листах бумаги. Началась кропотливая работа, с которой справилась быстрее всех, конечно, геометрица А. Затем все друзья показали учителю Углу свою работу. Угол был очень доволен.

Вдруг Угол нерешительно подошёл к А. Она посмотрела на него и встала около его вершины, потом начала двигаться, оставляя после себя след в виде точек, которые скоро слились в прямую линию, и получился луч. Геометрица громко произнесла определение.

– Луч – исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла³.

Угол предложил посчитать, сколько углов получилось на чертеже.

Чистюлька открыла рот и быстро закрыла его, посмотрев на друга. Карандаш важно произнёс:

– Да, биссектриса делит угол на два равных угла, но ведь есть ещё и большой угол, то есть здесь всего три угла. Геометрица А тут же продолжила:

– Был угол 90⁰, теперь есть ещё два угла по 45^0.

³ http://kernel.alfaspace.net

Друзья проверили её слова с помощью транспортира и единогласно согласились с умницей-точкой.

– А как углы можно сравнивать? – спросила геометрица А.

Угол обрадовался этому вопросу и стал продолжать урок. Он сказал, что углы можно сравнивать наложением, или числовыми данными, измерив, углы с помощью транспортира в градусах.

Затем учитель предложил ученикам проверить свои знания. Они дружно согласились. Друзья приготовили все чертёжные инструменты.

Угол дал им задания на умения определять виды углов, чертить углы, измерять их градусную меру, сравнивать их. Когда все ученики справились с его заданиями, он облегчённо вздохнул и сказал:

– Теперь, я уверен, что Точкоед никогда не вернётся в нашу страну, потому что все жители Точкограда знают теперь про углы. Я очень рад, что у меня появились такие умные и преданные друзья.

Геометрица А сказала:

– Как хорошо, когда есть друзья.

– Мы всегда рады вам помочь, – ответили Карандаш и Чистюлька и отправились домой.

В комнате у Карандаша друзья долго обсуждали своё приключение. Чистюлька мечтательно посмотрела на друга.

– А хорошо жить в стране Геометрии. Там все наши друзья. Все помогают друг другу, все понимают друг друга. Не нужно ничего объяснять и прятаться. Мне бы очень хотелось так жить, – произнесла она тихо.

Карандаш вздрогнул и испуганно воскликнул:

Ты хочешь переселиться в Волшебную страну, а как же дети, кто будет помогать им?

– Да, нам нельзя оставлять ребят без помощи, иначе они так и не выучат геометрию.

– Не грусти, ведь ты в любое время можешь попасть в гости к геометрицам.