Текст книги "Обучение младших школьников математике по учебно-методическому комплекту «Перспективная начальная школа»"

Составные задачи на все действия. Решение составных задач по «шагам» (действиям) и одним выражением.

Задачи с недостающими данными. Различные способы их преобразования в задачи с полными данными.

Задачи с избыточными данными. Использование набора данных, приводящих к решению с минимальным числом действий. Выбор рационального пути решения.

Геометрические фигуры (10 ч.)

Виды треугольников: прямоугольные, остроугольные и тупоугольные; разносторонние и равнобедренные. Равносторонний треугольник как частный случай равнобедренного. Высота треугольника.

Задачи на разрезание и составление геометрических фигур.

Знакомство с кубом и его изображением на плоскости. Развертка куба.

Построение симметричных фигур на клетчатой бумаге и с помощью чертежных инструментов.

Геометрические величины (14 ч.)

Единица длины – километр. Соотношение между километром и метром (1 км = 1000 м).

Единица длины – миллиметр. Соотношение между мет-ром и миллиметром (1 м = 1000 мм), дециметром и миллиметром (1 дм = 100 мм), сантиметром и миллиметром (1 см = 10 мм).

Понятие о площади. Сравнение площадей фигур без их измерения.

Измерение площадей с помощью произвольных мерок. Измерение площади с помощью палетки.

Знакомство с общепринятыми единицами площади: квадратным сантиметром, квадратным дециметром, квадратным метром, квадратным километром, квадратным миллиметром. Другие единицы площади (ар или «сотка», гектар). Соотношение между единицами площади, их связь с соотношениями между соответствующими единицами длины.

Определение площади прямоугольника непосредственным измерением, измерением с помощью палетки и вычислением на основе измерения длины и ширины.

Сравнение углов без измерения и с помощью измерения.

Работа с данными (20 ч.)

Таблица разрядов и классов. Использование «разрядной» таблицы для выполнения действий сложения и вычитания. Табличная форма краткой записи арифметической текстовой (сюжетной) задачи. Изображение данных с помощью столбчатых или полосчатых диаграмм. Использование диаграмм сравнения (столбчатых или полосчатых) для решения задач на кратное или разностное сравнение.

Ожидаемые результаты к концу третьего года обучения

Учащиеся научатся:

• читать и записывать все числа в пределах первых двух классов;

• представлять изученные числа в виде суммы разрядных слагаемых; использовать «круглые» числа в роли разрядных слагаемых;

• сравнивать изученные числа на основе их десятичной записи и записывать результат сравнения с помощью знаков (>, <, =);

• производить вычисления «столбиком» при сложении и вычитании многозначных чисел;

• применять сочетательное свойство умножения;

• выполнять группировку множителей;

• применять правила умножения числа на сумму и суммы на число;

• применять правило деления суммы на число;

• воспроизводить правила умножения и деления с нулем и единицей;

• находить значения числовых выражений со скобками и без скобок в 2–4 действия;

• воспроизводить и применять правила нахождения неизвестного множителя, неизвестного делителя, неизвестного делимого;

• выполнять сложение и вычитание многозначных чисел «столбиком»;

• выполнять устно умножение двузначного числа на однозначное;

• выполнять устно деление двузначного числа на однозначное и двузначного на двузначное;

• использовать калькулятор для проведения и проверки правильности вычислений;

• применять изученные ранее свойства арифметических действий для выполнения и упрощения вычислений;

• распознавать правило, по которому может быть составлена данная числовая последовательность;

• распознавать виды треугольников по величине углов (прямоугольный, тупоугольный, остроугольный) и по длине сторон (равнобедренный, равносторонний как частный случай равнобедренного, разносторонний);

• строить прямоугольник с заданной длиной сторон;

• строить прямоугольник заданного периметра;

• строить окружность заданного радиуса;

• чертить с помощью циркуля окружности и проводить в них с помощью линейки радиусы и диаметры; использовать соотношение между радиусом и диаметром одной окружности для решения задач;

• определять площадь прямоугольника измерением (с помощью палетки) и вычислением (с проведением предварительных линейных измерений); использовать формулу площади прямоугольника (S = ах Ь);

• применять единицы длины – километр и миллиметр и соотношения между ними и метром;

• применять единицы площади – квадратный сантиметр (кв. см или см²), квадратный дециметр (кв. дм или дм²), квадратный метр (кв. м или м²), квадратный километр (кв. км или км²) и соотношения между ними;

• выражать площадь фигуры, используя разные единицы площади (например, 1 дм² 6 см² и 106 см²);

• изображать куб на плоскости; строить его модель на основе развертки;

• составлять и использовать краткую запись задачи в табличной форме;

• решать простые задачи на умножение и деление;

• использовать столбчатую (или полосчатую) диаграмму для представления данных и решения задач на кратное или разностное сравнение;

• решать и записывать решение составных задач по действиям и одним выражением;

• осуществлять поиск необходимых данных по справочной и учебной литературе.

Учащиеся дополнительно получат возможность научиться:

• понимать возможность неограниченного расширения таблицы разрядов и классов;

• использовать разрядную таблицу для задания чисел и выполнения действий сложения и вычитания;

• воспроизводить сочетательное свойство умножения;

• воспроизводить правила умножения числа на сумму и суммы на число;

• воспроизводить правило деления суммы на число;

• обосновывать невозможность деления на 0;

• формулировать правило, с помощью которого может быть составлена данная последовательность;

• понимать строение ряда целых неотрицательных чисел и его геометрическую интерпретацию;

• понимать количественный смысл арифметических действий (операций) и взаимосвязь между ними;

• выполнять измерение величины угла с помощью произвольной и стандартной единицы этой величины;

• сравнивать площади фигур с помощью разрезания фигуры на части и составления фигуры из частей; употреблять термины «равносоставленные» и «равновеликие» фигуры;

• строить и использовать при решении задач высоту треугольника;

• применять другие единицы площади (квадратный миллиметр, квадратный километр, ар или «сотка», гектар);

• использовать вариативные формулировки одной и той же задачи;

• строить и использовать вариативные модели одной и той же задачи;

• находить вариативные решения одной и той же задачи;

• понимать алгоритмический характер решения текстовой задачи;

• находить необходимые данные, используя разнообразные информационные источники.

4 класс (136 ч.)

Числа и величины (12 ч.)

Натуральные и дробные числа.

Новая разрядная единица – миллион. (1 000 000). Знакомство с нумерацией чисел класса миллионов и класса миллиардов.

Понятие доли и дроби. Запись доли и дроби с помощью упорядоченной пары натуральных чисел: числителя и знаменателя. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.

Постоянные и переменные величины.

Составление числовых последовательностей по заданному правилу. Установление (выбор) правила, по которому составлена данная числовая последовательность.

Величины и их измерение.

Литр как единица вместимости. Сосуды стандартной вместимости. Соотношение между литром и кубическим дециметром. Связь между литром и килограммом.

Арифметические действия (50 ч.)

Действия над числами и величинами.

Алгоритм письменного умножения многозначных чисел «столбиком».

Предметный смысл деления с остатком. Ограничение на остаток как условие однозначности. Способы деления с остатком. Взаимосвязь делимого, делителя, неполного частного и остатка. Деление «нацело» как частный случай деления с остатком.

Алгоритм письменного деления с остатком «столбиком». Случаи деления многозначного числа на однозначное и многозначного числа на многозначное.

Сложение и вычитание однородных величин.

Умножение величины на натуральное число как нахождение кратной величины.

Деление величины на натуральное число как нахождение доли от величины.

Умножение величины на дробь как нахождение части от величины.

Деление величины на дробь как нахождение величины по данной ее части.

Деление величины на однородную величину как измерение.

Прикидка результата деления с остатком.

Использование свойств арифметических действий для удобства вычислений.

Элементы алгебры.

Буквенное выражение как выражение с переменной (переменными). Нахождение значения буквенного выражения при заданных значениях переменной (переменных). Уравнение как равенство с переменной. Понятие о решении уравнения. Способы решения уравнений: подбором, на основе зависимости между результатом и компонентами действий, на основе свойств истинных числовых равенств.

Текстовые задачи (26 ч.)

Арифметические текстовые (сюжетные) задачи, содержащие зависимость, характеризующую процесс движения (скорость, время, пройденный путь), процесс работы (производительность труда, время, объем всей работы), процесс изготовления товара (расход на предмет, количество предметов, общий расход), расчета стоимости (цена, количество, общая стоимость товара). Решение задач разными способами.

Алгебраический способ решения арифметических сюжетных задач.

Знакомство с комбинаторными и логическими задачами.

Задачи на нахождение доли целого и целого по его доли, части целого и целого по его части.

Геометрические фигуры (12 ч.)

Разбиение и составление фигур. Разбиение многоугольника на несколько треугольников. Разбиение прямоугольника на два одинаковых треугольника.

Знакомство с некоторыми многогранниками (прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида) и телами вращения (шар, цилиндр, конус).

Геометрические величины (14 ч.)

Площадь прямоугольного треугольника как половина площади соответствующего прямоугольника.

Нахождение площади треугольника с помощью разбиения его на два прямоугольных треугольника.

Понятие об объеме. Объем тел и вместимость сосудов. Измерение объема тел произвольными мерками.

Общепринятые единицы объема: кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр. Соотношения между единицами объема, их связь с соотношениями между соответствующими единицами длины.

Задачи на вычисление различных геометрических величин: длины, площади, объема.

Работа с данными (22 ч.)

Таблица как средство описания характеристик предметов, объектов, событий.

Круговая диаграмма как средство представления структуры совокупности. Чтение круговых диаграмм с разделением круга на 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 равных долей. Выбор соответствующей диаграммы. Построение простейших круговых диаграмм.

Алгоритм. Построчная запись алгоритма. Запись алгоритма с помощью блок-схем.

Ожидаемые результаты к концу четвертого года обучения

Учащиеся научатся:

• называть и записывать любое натуральное число до 1 000 000 включительно;

• сравнивать изученные натуральные числа, используя их десятичную запись или название, и записывать результаты сравнения с помощью соответствующих знаков (>, <, =);

• сравнивать доли одного целого и записывать результаты сравнения с помощью соответствующих знаков (>, <, =);

• устанавливать (выбирать) правило, по которому составлена данная последовательность;

• выполнять сложение и вычитание многозначных чисел на основе законов и свойств этих действий и с использованием таблицы сложения однозначных чисел;

• выполнять умножение и деление многозначных чисел на однозначные и двузначные на основе законов и свойств этих действий и с использованием таблицы умножения однозначных чисел;

• вычислять значения выражений в несколько действий со скобками и без скобок;

• выполнять изученные действия с величинами;

• решать простейшие уравнения методом подбора, на основе связи между компонентами и результатом действий;

• определять вид многоугольника;

• определять вид треугольника;

• изображать прямые, лучи, отрезки, углы, ломаные (с помощью линейки) и обозначать их;

• изображать окружности (с помощью циркуля) и обозначать их;

• измерять длину отрезка и строить отрезок заданной длины при помощи измерительной линейки;

• находить длину незамкнутой ломаной и периметр многоугольника;

• вычислять площадь прямоугольника и квадрата, используя соответствующие формулы;

• вычислять площадь многоугольника с помощью разбиения его на треугольники;

• распознавать многогранники (куб, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар); находить модели этих фигур в окружающих предметах;

• решать задачи на вычисление геометрических величин (длины, площади, объема (вместимости));

• измерять вместимость в литрах;

• выражать изученные величины в разных единицах;

• распознавать и составлять разнообразные текстовые задачи;

• понимать и использовать условные обозначения, используемые в краткой записи задачи;

• проводить анализ задачи с целью нахождения ее решения;

• записывать решение задачи по действиям и одним выражением;

• различать рациональный и нерациональный способ решения задачи;

• выполнять доступные по программе вычисления с многозначными числами устно, письменно и с помощью калькулятора;

• решать простейшие задачи на вычисление стоимости купленного товара и при расчете между продавцом и покупателем (с использованием калькулятора при проведении вычислений);

• решать задачи на движение одного объекта и совместное движение двух объектов (в одном направлении и в противоположных направлениях);

• решать задачи на работу одного объекта и на совместную работу двух объектов;

• решать задачи, связанные с расходом материала при производстве продукции или выполнении работ;

• проводить простейшие измерения и построения на местности (построение отрезков и измерение расстояний, построение прямых углов, построение ок-ружностей);

• вычислять площади участков прямоугольной формы на плане и на местности с проведением необходимых измерений;

• измерять вместимость емкостей с помощью измерения объема заполняющих емкость жидкостей или сыпучих тел;

• понимать и использовать особенности построения системы мер времени;

• решать отдельные комбинаторные и логические задачи;

• использовать таблицу как средство описания характеристик предметов, объектов, событий;

• читать простейшие круговые диаграммы.

Учащиеся дополнительно получат возможность научиться:

• понимать количественный, порядковый и измерительный смысл натурального числа;

• сравнивать дробные числа с одинаковыми знаменателями и записывать результаты сравнения с помощью соответствующих знаков (>, <, =);

• сравнивать натуральные и дробные числа и записывать результаты сравнения с помощью соответствующих знаков (>, <, =);

• решать уравнения на основе использования свойств истинных числовых равенств;

• определять величину угла и строить угол заданной величины при помощи транспортира;

• измерять вместимость в различных единицах (литр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр);

• понимать связь вместимости и объема;

• понимать связь между литром и килограммом;

• понимать связь метрической системы мер с десятичной системой счисления;

• проводить простейшие измерения и построения на местности (построение отрезков и измерение расстояний, построение прямых углов, построение окружностей);

• вычислять площадь прямоугольного треугольника и произвольного треугольника, используя соответствующие формулы;

• находить рациональный способ решения задачи (где это возможно);

• решать задачи с помощью уравнений;

• видеть аналогию между величинами, участвующими в описании процесса движения, процесса работы и процесса покупки (продажи) товара, в плане возникающих зависимостей;

• использовать круговую диаграмму как средство представления структуры данной совокупности;

• читать круговые диаграммы с разделением круга на 2, 3, 4, 6, 8 равных долей;

• осуществлять выбор соответствующей круговой диаграммы;

• строить простейшие круговые диаграммы;

• понимать смысл термина «алгоритм»;

• осуществлять построчную запись алгоритма;

• записывать простейшие линейные алгоритмы с помощью блок-схем.

Глава II. Обучение математике в 1 классе

2.1. Особенности развития основных содержательных линий курса первого полугодия

2.1.1. Изучение чисел

В первой части учебника изучаются целые неотрицательные числа от 0 до 10 [79]. Осуществляется это следующим образом. Сначала вводится число ОДИН. Это число должно восприниматься детьми как количественная характеристика единичного объекта или предмета. Для достижения этой цели проводится большая подготовительная работа, в результате которой у детей должно сформироваться умение отличать единичный предмет, то есть предмет, представленный в единственном числе, от совокупности, состоящей из нескольких предметов. Учителю важно понимать, что число 1 является, с одной стороны, базой для построения всех других чисел, а с другой стороны, несет на себе и некую философскую нагрузку, так как окружающий нас мир устроен таким образом, что в нем нет абсолютно одинаковых предметов, а значит каждый индивидуален и представлен в единственном числе. И лишь в том случае, когда мы отвлекаемся от некоторых индивидуальных особенностей предметов, мы рассматриваем совокупности из нескольких единичных предметов как новую количественную реальность. (Именно такой взгляд на окружающую действительность нашел отражение в канторовской теории множеств).

После числа 1 вводится число НОЛЬ. Это число рассматривается как численность пустого множества, то есть число, которое позволяет ответить на вопрос: сколько у нас имеется того, чего у нас нет? Объяснять ребенку суть пустого множества мы предлагаем на основе противопоставления с единичным множеством, которое является непустым.

Далее мы переходим к изучению чисел ДВА, ТРИ, ЧЕТЫРЕ, ПЯТЬ. Эти числа вводятся по одной схеме. Сначала детям предлагается рассмотреть ситуацию, в которой фигурирует множество, жестко количественно связанное с данным числом. При этом имеющиеся у детей знания и опыт должны подсказать им, какое число является численностью данного множества. Так, для числа 2 таким множеством является множество крыльев у птицы, для числа 3 – множество лошадей в «тройке», для числа 4 – множество лап у кошки, для числа 5 – множество пальцев на руке. Каждое из этих чисел мы предлагаем детям рассматривать как единый образ, пока не расчленяя его на составляющие. Узнавать, сколько элементов в некотором «новом» множестве (в границах изученного числового множества), дети смогут с помощью мысленного установления взаимно однозначного соответствия между данным множеством и одним из «эталонных». Например, у машины колес столько, сколько лап у кошки, поэтому у машины 4 колеса.

Следующие пять натуральных чисел (числа от 6 до 10) вводятся совсем на иной основе. Их возникновение в нашем курсе имеет аддитивную природу, то есть основано на сложении. По этой причине сначала на множестве изученных к данному моменту чисел (0, 1, 2, 3, 4, 5) вводится операция сложения (подробнее об особенностях введения этой операции будет сказано ниже). Познакомив детей со сложением чисел на данном множестве, мы предлагаем рассмотреть ситуацию, когда указанных чисел недостаточно для того, чтобы найти результат сложения известных ребенку чисел. При этом мы все время будем предлагать детям рассматривать такие ситуации, в которых новое число получается как результат сложения числа 5 сначала с числом 1, потом с числом 2, далее с числом 3, после этого с числом 4 и, наконец, с числом 5. Особое внимание мы обращаем на то, что указанные числа, с одной стороны, получаются как результат сложения соответствующих чисел, а с другой стороны, они так же, как и ранее введенные числа, рассматриваются как численности соответствующих множеств, жестко связанных с данным числом. Так, для числа 6 таким множеством является множество ног у жука, для числа 7 – множество дней в неделе, для числа 8 – множество ног у паука, для числа 9 – множество месяцев в учебном году, для числа 10 – множество пальцев на руках. При этом некоторые из этих множеств естественным образом могут быть представлены в виде объединения двух множеств, одно из которых состоит из пяти элементов (в неделе 5 рабочих дней и 2 выходных, в учебном году 4 месяца длится одно полугодие и 5 месяцев другое, пальцы рук состоят из 5 пальцев на одной руке и 5 на другой). Другие множества (множество ног у жука и паука) мы представляем в аналогичном виде с помощью искусственного приема – счета на пальцах. Идея такого представления позволяет получить числа от 6 до 10 не с помощью прибавления по 1 к предшествующему числу, а с помощью прибавления к числу 5 чисел от 1 до 5 соответственно. Такой подход, на наш взгляд, имеет преимущества по сравнению с традиционным, так как, во-первых, согласуется с понятной и доступной ребенку процедурой счета на пальцах, во-вторых, готовит детей к введению чисел второго десятка, построение которых осуществляется аналогично, только роль числа 5 будет выполнять число 10, в-третьих, дает возможность нам в дальнейшем обогатить арсенал приемов устных вычислений (например,

8 + 6 = (5 + 3) + (5 + 1) = (5 + 5) + (3 + 1) = 10 + 4 = 14).

Параллельно с введением чисел на количественной основе мы предлагаем детям усвоить и порядковый смысл этих чисел. Знакомство детей с порядковыми числительными мы предлагаем осуществить, привлекая героев сказки А. Прейсена «Про Козленка, который умел считать до десяти». Так как сюжет сказки скорее всего неизвестен детям, то учителю имеет смысл найти возможность ознакомить детей с текстом сказки, хотя для выполнения заданий детям достаточно ознакомится с иллюстрациями к заданиям и соответствующими пояснениями [77].