Текст книги "Обучение младших школьников математике по учебно-методическому комплекту «Перспективная начальная школа»"

В первой части изучается только действие (операция) сложения [79]. Теоретической основой для введения этой операции, согласно авторской концепции курса, является «объединение непересекающихся множеств». Однако в явном виде об этом нигде речь не идет и для учеников вся теоретико-множественная база остается «за кадром»: мы не знакомим их ни с используемыми теоретико-множественными понятиями, ни с соответствующей терминологией. Проявляется теоретико-множественная основа лишь в логике подачи материала и в подходе к построению и анализу соответствующей ситуационной модели.

Операцию сложения мы вводим после того, как в распоряжении детей появляется достаточное числовое множество. Вводить сложение чисел, не имея в распоряжении необходимого множества чисел, мы считаем некорректным. По этой причине сложение вводится после того, как дети основательно познакомились с числами от 0 до 5. Обращаем ваше внимание на то, что сложение – это операция (действие) над числами, а значит, при знакомстве со сложением необходимо изначально сформировать у детей правильное представление о сложении: кроме двух чисел, которые нужно сложить, должно обязательно присутствовать и третье число, которое получается в результате сложения. Если нет результата, то нет и действия! При этом у нас нет возможности определить число-результат в общем виде, поэтому мы вынуждены указывать его конкретно, придавая ему с помощью соответствующего сюжета роль численности объединения двух непересекающихся множеств. Таким образом, становится понятно, что в основу сложения чисел у нас положено объединение множеств. После того, как дети усвоили сложение чисел в тех случаях, когда результат находится во множестве чисел от 0 до 5, мы предлагаем рассмотреть ситуацию, когда результат уже не лежит в этом множестве, а именно: найти результат сложения чисел 5 и 1. Так как сами числа, которые нужно сложить, детям известны и известно (на интуитивной основе), что в результате сложения должно получиться число, которое будет являться количественной характеристикой объединения непересекающихся множеств из 5 элементов и из 1 элемента, то мы естественным образом подводим детей к введению «нового» числа (числа 6). Аналогичным образом мы вводим числа 7, 8, 9, 10, тем самым расширяя изучаемое числовое множество. Этот подход будет применяться и при дальнейшем расширении изучаемого числового множества.

После введения действия сложения (но не раньше!) мы имеем возможность говорить о сумме чисел как о записи, в которой указывается, что над данными числами нужно выполнить действие сложения, о слагаемых как о числах, которые нужно сложить (из которых строится сумма) и о значении суммы как о числе, которое получается в результате сложения данных чисел.

В первом полугодии изучаются следующие геометрические понятия: плоская геометрическая фигура (круг треугольник, прямоугольник), прямая и кривая линии, точка, отрезок, дуга, направленный отрезок (дуга), пересекающиеся и непересекающиеся линии, ломаная линия, замкнутая и незамкнутая линии, внутренняя и внешняя области относительно границы, многоугольник [79].

Прежде чем знакомить учащихся с базовыми геометрическими понятиями, мы предоставляем учащимся возможность систематизировать и приобрести знания в вопросах определения формы предметов окружающей действительности и соотнесения формы предмета с формой геометрической фигуры. На этом этапе обучения важно отработать два момента: во-первых, учащиеся должны узнавать одинаковую форму предметов (или фигур), которые отличаются по другим признакам (размеру, цвету, расположению), а во-вторых, уметь различать плоские и искривленные поверхности. Сохранение формы предмета при изменении его размеров очень хорошо иллюстрируется на матрешках. Из геометрических фигур наиболее удобным для такой иллюстрации является круг (или квадрат). Так как в окружающей действительности никаких геометрических фигур не существует, то с самого начала обучения следует ориентировать учащихся на то, что реальные предметы имеют определенную форму (иногда форму тех или иных геометрических фигур), но сами они этими фигурами не являются. Таким образом, «треугольник», вырезанный из бумаги, – это не геометрическая фигура, а ее модель. Если же мы этот вырезанный из бумаги треугольник изогнем, то его уже нельзя будет рассматривать и в качестве модели треугольника. После работы с понятием «форма» мы переходим к знакомству с базовыми геометрическими понятиями: точки и прямой. Эти понятия в курсе геометрии являются неопределяемыми (явного определения их не существует), что имеет свои плюсы и минусы с точки зрения методики их изучения. Положительным является то, что мы не должны искать доступные пути ознакомления учащихся с определением данного понятия, а отрицательным – то, что без явного определения работа с понятием очень затруднена, так как мы даже не в состоянии приемлемо ответить на простые вопросы: «Что такое точка?» и «Что такое прямая?». Основная мысль о «точке», которая должна быть доведена до сознания учащихся, состоит в следующем: точка – это геометрический объект, который нельзя охарактеризовать ни формой, ни размерами. Единственное, чем отличается одна точка от другой, – это их местоположение. Еще одной важнейшей особенностью точки является то, что она не имеет частей, то есть нельзя, например, рассмотреть половину точки. Из точек состоит любая геометрическая фигура, в том числе и линия (в частности, прямая). Эта мысль является очень важной для формирования правильных геометрических представлений, но она очень сложна для понимания. Дело в том, что учащиеся могут делать попытки строить линии с помощью постановки большого количества точек, расположенных близко друг к другу. А это грубейшее искажение существа дела: таким способом «сплошную» линию в принципе получить нельзя! Между любыми двумя различными точками на линии существует бесконечно много других точек! С физических позиций точка соответствует моменту времени, а линия – интервалу времени. По этой причине точку ставят (отмечают), а линию проводят (чертят).

Представление о прямой линии можно сформировать только с помощью соответствующих моделей (туго натянутая нить, линия сгиба плотной бумаги). Никакие словесные описания нам здесь не помогут. Акцент на бесконечности прямой мы на данном этапе обучения не делаем, полагая, что сначала нужно сформировать правильное представление о «прямолинейности».

После того, как введены понятия точки и прямой, начинается этап изучения определяемых понятий. Это, естественно, не означает, что мы будем предлагать учащимся работать с этими определениями, но логика введения каждого такого понятия будет подсказана именно его определением. Как это можно и нужно будет сделать, описано в методических рекомендациях к соответствующим темам.

Завершая разговор об изучении геометрического материала, следует особо подчеркнуть, что знакомство с любым геометрическим понятием в нашем учебном курсе осуществляется на основе анализа соответствующей реальной (или псевдореальной) ситуации, в которой фигурирует предметная модель данного понятия.

Умение адекватно ориентироваться в пространстве и во времени – это те умения, без которых невозможно обойтись как в повседневной жизни, так и в учебной деятельности. Элементы пространственной ориентации являются отправной точкой в изучении геометрического материала, а знание временных отношений позволяет правильно описывать ту или иную последовательность действий. В связи с этим изучению пространственных отношений отводится несколько уроков в самом начале курса. При этом сначала изучаются различные характеристики местоположения объекта в пространстве, а затем – характеристики перемещения объекта в пространстве.

Из временных понятий мы рассматриваем только «раньше» и «позже», а также «часть суток» и «время года». Об особенностях изучения этого материала подробно сказано в методических рекомендациях к соответствующим темам [77].

В первом полугодии из всех величин изучается только величина «длина» (доизмерительный период), если не считать двух тем, в которых в пропедевтическом плане затрагивается величина «время» [79]. Мы постарались рассмотреть наиболее важные проявления длины в различных ситуациях. Сравнение предметов по этой величине осуществляется «на глаз» по рисунку или по представлению, а также способом «приложения». Результатом такой работы должно явиться понимание учащимися того, что реальные предметы обладают свойством иметь определенную протяженность в пространстве, по которому их можно сравнивать. Таким же свойством обладают и отрезки. Никаких измерений мы пока не проводим. Об этом речь пойдет во второй части учебника.

2.2. Особенности развития основных содержательных линий курса второго полугодия

Во втором полугодии изучаются целые неотрицательные числа от 11 до 20 и весь числовой отрезок ряда целых неотрицательных чисел от 0 до 20 [80]. Осуществляется это следующим образом. Числа второго десятка строятся на основе сложения, где в качестве первого слагаемого рассматривается число 10, а в качестве второго – числа первого десятка. Такой подход учащимся уже хорошо знаком, так как он применялся при построении чисел от 6 до 10, только роль числа 10 выполняло число 5. Устная нумерация чисел второго десятка строится на понимании принципа образования соответствующих количественных числительных, а не только на их запоминании. Параллельно с введением чисел второго десятка рассматривается вопрос об их упорядочивании с помощью отношения «меньше» («больше»), после чего появляется возможность рассмотреть и отрезок ряда целых неотрицательных чисел от 0 до 20, в который входят все изученные числа. Упорядочивание чисел второго десятка сопровождается введением соответствующих порядковых числительных.

Во втором полугодии продолжается изучение действия (операции) сложения, а также изучается действие (операция) вычитания [80]. Теоретической основой для введения этой операции, согласно авторской концепции курса, является «вычитание подмножества». Однако в явном виде об этом нигде речь не идет и для учеников вся теоретико-множественная база остается «за кадром»: мы не знакомим их ни с используемыми теоретико-множественными понятиями, ни с соответствующей терминологией. Проявляется теоретико-множественная основа лишь в логике подачи материала и в подходе к построению и анализу соответствующей ситуационной модели. Еще одно явное проявление теоретико-множественного подхода связано с использованием диаграмм Эйлера-Венна для моделирования соответствующей ситуации.

Операцию вычитания мы вводим после того, как в распоряжении учащихся появляется достаточное числовое множество (натуральные числа первого десятка и число 0). Обращаем ваше внимание на то, что вычитание (как и сложение) – это операция (действие) над числами, а значит, при знакомстве с вычитанием необходимо изначально сформировать у детей правильное представление о вычитании: кроме числа, из которого вычитают, и числа, которое вычитают, должно обязательно присутствовать и третье число, которое получается в результате вычитания. Если нет результата, то нет и действия! При этом у нас нет возможности определить число-результат в общем виде, поэтому мы вынуждены указывать его конкретно, придавая ему с помощью соответствующего сюжета роль численности разности двух множеств при условии, что второе множество является подмножеством первого. Таким образом, становится понятно, что в основу вычитания чисел у нас положено вычитание подмножества из множества.

После введения действия вычитания (но не раньше!) мы имеем возможность говорить о разности чисел как о записи, в которой указывается, что над данными числами нужно выполнить действие вычитание, об уменьшаемом как о числе, из которого вычитают, о вычитаемом как о числе, которое вычитают (из уменьшаемого и вычитаемого строится разность), и о значении разности как о числе, которое получается в результате вычитания данных чисел.

В дальнейшем изучение действий сложения и вычитания осуществляется параллельно. Для такого методического подхода существует и теоретическое обоснование, которое заложено в имеющейся взаимосвязи между сложением и вычитанием. Так как учащиеся знакомятся с существованием этой взаимосвязи практически сразу после введения действия вычитания, то такая логика изучения материала не является чем-то противоестественным (интуитивно они легко с этой логикой соглашаются).

Дальнейшее изучение сложения и вычитания осуществляется (и будет осуществляться) по двум основным направлениям: во-первых, будут изучаться различные свойства этих операций, во-вторых, будут совершенствоваться вычислительные умения учащихся за счет изучения «новых» способов вычислений, основанных на изученных свойствах. В качестве свойств действий сложения и вычитания рассматриваются следующие: переместительное свойство сложения, табличные случаи сложения и вычитания, случаи сложения и вычитания с нулем, прибавление числа к сумме и суммы к числу, вычитание числа из суммы и суммы из числа. В качестве основных способов сложения и вычитания рассматриваются следующие: присчитывание и отсчитывание по 1, прибавление и вычитание по частям, поразрядное сложение и вычитание в рамках разряда единиц.

Во втором полугодии рассматриваются следующие геометрические понятия: четырехугольник, многоугольник, симметричные фигуры [80].

Такой небольшой перечень «новых» геометрических понятий, с которыми знакомятся учащиеся во втором полугодии, вызван не тем, что мы отодвинули геометрический материал на «второй план», а скорее тем, что мы не хотим перегружать учащихся большим количеством новых терминов и понятий, чтобы они смогли основательно усвоить (периодически повторяя) то, что им уже предложено в первой части учебника. А предложены им очень трудные для понимания основополагающие геометрические понятия. Практически вся «новая» работа во второй части строится вокруг понятия «многоугольник». Рассматривая разные виды многоугольников, учащиеся обогащают свои геометрические представления. При этом следует помнить, что для понятий «прямоугольник» и «квадрат» мы пока не вводим строгие определения, а опираемся лишь на интуитивные представления учащихся об этих фигурах. Прежде всего, это касается представления о прямом угле. С понятием прямого угла, хотя и не так явно, связано понятие «симметричная фигура», с которым учащиеся знакомятся практически в конце учебного года. Связь эта заключается в том, что отрезок, соединяющий две симметричные точки, пересекает под прямым углом ось симметрии. На данном этапе обучения мы эту связь явно не рассматриваем и не используем, но в дальнейшем мы к этому вопросу еще вернемся.

Завершая разговор об изучении геометрического материала, следует еще раз подчеркнуть, что знакомство с любым геометрическим понятием в нашем учебном курсе осуществляется на основе анализа соответствующей реальной (или псевдореальной) ситуации, в которой фигурирует предметная модель данного понятия.

Линия по обучению решению арифметических текстовых (сюжетных) задач является центральной для данного курса [50]. Ее особое положение определяется тем, что настоящий курс имеет прикладную направленность, которая выражается в умении применять полученные знания на практике. А это, в свою очередь, связано с решением той или иной задачи. Таким образом, для нас важно научить учащихся не только решать задачи, но и уметь их формулировать, используя имеющуюся информацию. При этом под решением задачи мы понимаем получение (описание) алгоритма ее решения. Сам процесс выполнения алгоритма (получение ответа задачи) важен, но не первичен. Такой подход к толкованию термина «решение задачи» нам представляется наиболее правильным. Во-первых, это согласуется с современным «математическим» пониманием сути данного вопроса, во-вторых, ориентация учащихся на «алгоритмическое» мышление будет способствовать более успешному освоению ими основ информатики и новых информационных технологий. Само описание алгоритма решения задачи мы допускаем в трех видах: 1) по действиям (по шагам) с пояснениями; 2) в виде числового выражения, которое мы рассматриваем как свернутую форму описания по действиям, но без пояснений; 3) в виде буквенного выражения (формулы) с использованием стандартной символики. Последняя форма описания алгоритма решения задачи будет использоваться только после того, как учащимися достаточно хорошо будут усвоены зависимости между величинами.

Для формирования умения решать задачи учащиеся, в первую очередь, должны научиться работать с текстом и иллюстрациями: определить, является ли предложенный текст задачей или понять, как по данному сюжету сформулировать задачу, установить связь между данными и искомым и последовательность шагов по установлению значения искомого. Другое направление работы с понятием «задача» связано с проведением различных преобразований имеющегося текста и наблюдениями за теми изменениями в ее решении, которые возникают в результате этих преобразований. К этим видам работы относятся: дополнение текстов, не являющихся задачами, до задачи; изменение любого из элементов задачи, представление одной той же задачи в разных формулировках; упрощение и усложнение исходной задачи; поиск особых случаев изменения исходных данных, приводящих к упрощению решения; установление задач, которые можно решить при помощи уже решенной задачи, что в дальнейшем становится основой классификации задач по сходству математических отношений, заложенных в них.

Более конкретную информацию по развитию данной содержательной линии во втором полугодии первого класса можно узнать из методических рекомендаций к соответствующим темам второй части учебника [77]. Особое внимание следует обратить на использование схем для иллюстрации формулировки задачи и, как следствие, для поиска ее решения.

Во втором полугодии продолжается изучение величины «длина» (рассматриваются вопросы, связанные с измерением длины), величины «время» (доизмерительный период), а также в пропедевтическом плане затрагивается величина «масса» и величина «стоимость» [80].

Наибольшее внимание во втором полугодии из всех перечисленных вопросов мы уделяем вопросам, связанным с измерением длины. Сначала мы знакомим учащихся с процессом измерения с помощью произвольной мерки. После этого вводим стандартную единицу длины – сантиметр и рассматриваем задания на измерение с помощью измерительной линейки. Следующий этап работы состоит во введении новой единицы длины – дециметра и проведения измерений с помощью этой новой единицы. Завершающий этап изучения величины «длина» в первом классе посвящен вопросу сложения и вычитания длин.

Величина «время» изучается во втором полугодии на уровне понятия «продолжительность»: учащиеся знакомятся с этим понятием и со способами сравнения временных промежутков по продолжительности «на глаз» и на основе привлечения временных отношений «раньше-позже» и «старше-моложе».

С величиной «масса» учащиеся знакомятся в пропедевтическом плане на уровне понимания смысла отношения «тяжелее-легче».

Величина «стоимость» так же рассматривается в пропедевтическом плане на уровне понимания смысла отношения «дороже-дешевле», а кроме этого данная величина выступает в роли обобщающего фактора, позволяющего связать между собой разные величины (длину, массу, время). Подробнее об этом сказано в методических рекомендациях к соответствующей теме.

В первом классе работа с данными в привычном ее понимании (получение, хранение, обработка, передача и т. д. данных) в явном виде еще не проводится. Но в пропедевтическом плане такая работа ведется. Так, при работе с текстовой задачей учащиеся постоянно сталкиваются с данными, которые фигурируют в условии задачи. Они учатся эти данные выделять, анализировать, подбирать по смыслу, выполнять над ними действия, получая, тем самым, новые данные. Завершающим этапом этой работы, которая продолжается в течение всего второго полугодия, можно считать подведение учащихся к записи данных в табличной форме, что мы рекомендуем сделать в процессе решения практического задания из темы «Разные задачи» (см. Задание 3) [80]. В методических рекомендациях к этому заданию подробно описано то, как это следует сделать [77].