Текст книги "Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее"

Основные способы формирования порций информации

Фрагменты информации, относящиеся к разным понятиям и процедурам, могут объединяться разными способами. Часто процесс довольно прост. Например, вы сформировали простую порцию информации, когда уяснили себе идею дрейфа материков. Однако эта книга – об общих принципах изучения математики и естественных наук, а не геологических явлений, и потому первая и изначальная порция информации, иллюстрирующей нужный нам принцип, будет включать в себя сведения о способности понять и усвоить определенный тип математических или естественно-научных задач.

Изучая новый материал по математике и естественным наукам, в большинстве случаев вы имеете дело с простыми наглядными задачами, для которых уже существуют ответы. Так как первые попытки подступиться к новой задаче связаны с ощутимой когнитивной нагрузкой, полезно начинать с задач, специально разработанных в качестве примера для решения. Такой способ можно сравнить с использованием навигатора на ночной дороге, по которой вы едете впервые. Основные детали в таких задачах уже учтены, и вам нужно лишь понять, почему путь к решению именно таков. Это поможет вам увидеть ключевые точки и принципы, лежащие в основе решения.

Некоторые преподаватели не любят давать студентам задачи с ответами и старые тесты, поскольку считают, что такие подсказки слишком облегчат задание. Однако существует прекрасное свидетельство того, что такие задания способствуют более глубокому постижению предмета{56}56
  Brent and Felder 2012; Sweller et al. 2011, chap. 8.


[Закрыть]. Единственный риск для формирования порций – то, что студент больше сосредотачивается на конкретных этапах решения, чем на связях между ними, т. е. не задается вопросом, почему этот конкретный шаг необходим после предыдущего. Когда я говорю о задачах, имеющих готовое решение, я имею в виду не бездумный стандартный подход «делай как тебе говорят». Я скорее призываю использовать эти задачи как гида в незнакомой стране: путешествуя с проводником, приглядывайтесь к окружающей местности, и вскоре вы сможете ориентироваться самостоятельно и даже прокладывать новые, не упомянутые гидом маршруты в нужные места.

Когда вы впервые сталкиваетесь с новым математическим или естественно-научным понятием, оно часто приводит вас в замешательство – на верхнем рисунке это иллюстрируется головоломкой слева. Простое запоминание факта (в центре) без понимания или контекста не ведет к усвоению материала и осознанию того, как изучаемое понятие соотносится с другими: заметьте, что края фрагментов головоломки нигде не совпадают, так что вы не можете сложить их в единую картинку. Формирование порции (справа) – это мысленная связка, помогающая объединить оба вида информации по смыслу. Такое логическое единство делает порцию легкозапоминающейся и позволяет увидеть ее место среди прочего изучаемого материала.

1. Первый шаг в процессе формирования порции, таким образом, состоит в том, чтобы просто сосредоточить внимание на информации, которую вы хотите объединить в порцию{57}57
  Алессандро Гуида (Guida 2012: 235) с коллегами отмечал, что формирование порций информации, по всей видимости, изначально опирается на рабочую память, связанную с префронтальными участками, и является результатом сфокусированного внимания, что помогает формировать порции информации. Такие порции при накапливании опыта начинают оседать в долговременной памяти, соотносящейся с теменными зонами. Отдельный аспект памяти связан с нейронными колебательными ритмами, которые помогают связать перцептуальную и контекстуальную информацию из многих участков мозга (Nyhus and Curran 2010). См.: Cho et al. 2012 – исследование развития беглости вспоминания при решении арифметических задач у детей.


[Закрыть]. Если у вас фоном включен телевизор или вы каждые несколько минут отвлекаетесь на телефонные звонки или электронную почту – у вас будут трудности с порцией, поскольку мозг не сосредоточен на ее формировании. Когда вы приступаете к изучению нового материала, вы создаете новые паттерны нейронных связей и соединяете их с уже существующими в разных участках мозга{58}58
  Baddeley et al. 2009, chap. 6; Cree and McRae 2003.


[Закрыть]. Если нужные участки мозга заняты другим делом, то щупальца осьминога, олицетворяющего ваше внимание, не могут правильно их задействовать.

2. Второй шаг – понять основную идею, которую вы собираетесь превратить в устойчивую порцию информации (будь то идея дрейфа материков, идея корреляции между силой и массой, экономический принцип спроса / предложения или конкретная математическая задача). Этот этап понимания – вычленение важнейшей сути – с трудом давался Соломону Шерешевскому, однако большинство студентов способны легко выделять главное. По меньшей мере можно чередовать сфокусированное и рассеянное мышление – это поможет ухватить суть изучаемого материала.

Понимание похоже на суперклей, который помогает удерживать вместе нужные отпечатки памяти. В результате его воздействия появляются широкие и множественные следы памяти, связанные со многими из тех следов, что уже есть{59}59
  Baddeley et al. 2009: 101–104.


[Закрыть]. Можно ли создать порцию информации, если нет понимания? Можно, но это будет бесполезная порция, не соединенная с другим изучаемым материалом.

Однако важно осознавать, что простое понимание того, как решается задача, не обязательно формирует порцию информации, которую вы позже легко воспроизведете в сознании. Не путайте момент «Эврика!» с прорывом сознания, ведущим к полноценному пониманию! (Иначе возможны ситуации, когда вы поняли идею из лекции преподавателя, но не повторяли материал в ближайшее после этого время и потому забыли его к экзаменам.) Закрыть книгу и проверить, сможете ли вы решить задачу сами, – также хороший способ усваивать материал быстрее.

3. Третий шаг – накапливать контекст, чтобы знать не только то, как применять данную порцию информации, но и то, в какой момент ее применять. Постигать контекст – значит стремиться за пределы изначальной задачи и смотреть шире, повторяя материал и практикуясь в решении задач разных типов, и тем самым понимать, когда данная порция применима, а когда нет. Там вы научитесь определять, каким образом новая, недавно сформированная порция информации вписывается в более широкую картину. Иными словами, если в вашей шкатулке с разнообразными способами решения задач и стратегическими приемами лежит инструмент, которым вы не умеете пользоваться, то проку от такого инструмента будет мало. И наконец, практика помогает вам расширить сеть нейронов, соединенных с данной порцией информации, так что она будет не только надежна, но и доступна различными способами.

Некоторые порции, связанные с понятиями и процедурами, взаимно усиливают друг друга. Практикуясь в решении математических задач, вы получаете возможность выяснить, почему данная последовательность действий срабатывает именно таким образом или почему срабатывает вообще. Осознание понятий, лежащих в основе изучаемых явлений, позволяет легче обнаруживать ошибки, если они будут (поверьте: ошибки обязательно будут, и это хорошо!). Также оно позволяет легче применять знания к новым задачам – это явление называется перенос, мы поговорим о нем позже.

Как можно видеть из следующей иллюстрации, процесс обучения идет в двух направлениях. Формирование порций информации происходит снизу вверх: практика и повторение помогают сформировать и усилить каждую порцию, так что при необходимости вы сможете легко к ней подступиться. Формирование общей картины происходит сверху вниз и позволяет вам увидеть, к какой части широкой картины относится данный фрагмент информации{60}60
  «Общая картина» и «общий взгляд», упомянутые мной, могут рассматриваться как когнитивный шаблон. См.: Guida et al. 2012, в частности раздел 3.1. Шаблоны, возникающие при изучении математики и естественных наук, естественным образом тяготеют к большей аморфности, чем возникающие при игре в шахматы. Автор отмечает, что порции информации формируются очень быстро, однако шаблоны, связанные с функциональной реорганизацией, требуют времени – от пяти недель и больше (Guida et al. 2012). См. также обсуждение в Cooper and Sweller 1987; Mastascusa et al. 2011: 23–43. Для понимания этих идей, относящихся к приобретению опыта, также полезна дискуссия в Bransford et al. 2000, chap. 2. Предварительные знания способны помочь при изучении нового материала, однако могут и мешать, поскольку устоявшиеся схемы перестроить труднее. Это особенно заметно в отношении устоявшихся – и обычно трудно изменяемых – ошибочных представлений студентов об основных понятиях физики (Hake 1998; Halloun and Hestenes 1985). Как замечают Пол Пинтрич и коллеги (Pintrich 1993: 170), «у учащегося возникает парадокс: существующие понятия, с одной стороны, это потенциальная инерция, сопротивляющаяся концептуальным переменам, с другой стороны, они также дают основу, которую учащийся может использовать для интерпретации и понимания новой, потенциально конфликтующей информации».


[Закрыть]. Оба процесса жизненно необходимы для овладения материалом. Контекст находится на стыке между «снизу вверх» и «сверху вниз». Для ясности отметим, что формирование порций связано с тем, каким образом используется конкретный способ решения задач. Контекст же имеет отношение к тому, когда применять данный конкретный способ, а не какой-либо другой.

Таковы главные шаги к тому, чтобы сформировать порцию информации и поместить ее в нужное место более широкой картины изучаемого явления. Однако это не все.

Способы «снизу вверх» и «сверху вниз» одинаково важны для освоения математики и естественных наук

А теперь ложимся спать

«Я всегда говорю студентам, что постижение принципов бухгалтерского учета похоже на освоение клавиатуры. Когда я пишу эти слова, я думаю не о том, как стучать по клавишам, а о том, как сформулировать мысль; процесс же набора текста происходит автоматически. В конце каждого занятия я всегда напоминаю студентам, чтобы бухгалтерские формулы и принципы кредита и дебета они повторили непосредственно перед тем, как улечься в постель. Пусть это будет последнее, что они сделают перед сном (кроме медитации и молитв, конечно же!)».

Дебра Гасснер Драгон, преподаватель бухгалтерского учета, Делавэрский университет

Представление об общей картине вы можете получить, когда бегло проглядываете главу книги или слушаете правильно выстроенную лекцию. Так вы будете знать, в каких местах широкой картины находятся формируемые порции. В первую очередь старайтесь усвоить главные понятия или принципы – они часто бывают ключевыми пунктами в лекции хорошего преподавателя, в главе учебника, в схемах, таблицах или диаграммах. А когда главное усвоено, дополняйте его деталями. Даже если в конце занятий некоторые фрагменты отсутствуют, вы все равно будете способны видеть общую картину.

Иллюзия компетентности и важность вспоминания

Попытки вспомнить материал, который вы изучаете, – т. е. практика извлечения данных из памяти, – гораздо эффективнее простого перечитывания{61}61
  Geary et al. 2008: 4–7; Karpicke 2012; Karpicke et al. 2009; Karpicke and Grimaldi 2012; Kornell et al. 2009; Roediger and Karpicke 2006. Обзоры см. в: McDaniel and Callender 2008; Roediger and Butler 2011.


[Закрыть]. Психолог Джеффри Карпик и его коллеги продемонстрировали, что многие студенты при обучении испытывают иллюзию компетентности. Как выяснил Карпик, большинство студентов «постоянно перечитывают конспекты или учебники (несмотря на малую пользу такого занятия), но относительно немногие пытаются проверить себя или воспроизвести в уме изученный материал»{62}62
  Karpicke et al. 2009: 471. См также эффект Даннинга – Крюгера, когда некомпетентные люди ошибочно завышают свои способности. Dunning et al. 2003; Kruger and Dunning 1999; Ehrlinger et al. 2008; Bursonet et al. 2006.


[Закрыть]. Когда у вас под рукой учебник (или Google!) – откройте его: вы увидите, что он дает иллюзию, будто материал присутствует и в вашем сознании тоже. Однако это не так. Взглянуть в книгу гораздо легче, чем вспомнить самому, поэтому студенты упорствуют в своей иллюзии и изучают материал менее результативным способом.

Вот почему простое желание усвоить материал и трата времени на его изучение не гарантируют вам результата. Как замечает знаменитый психолог и специалист по проблемам памяти Алан Бэддели, «намерение учиться помогает только в тех случаях, когда оно приводит к использованию правильных стратегий обучения»{63}63
  Baddeley et al. 2009: 111.


[Закрыть].

Вас наверняка удивит информация о том, что выделять и подчеркивать текст нужно осмотрительно, иначе такой способ будет неэффективен и даже вреден. Движение руки, подчеркивающей текст, может дать вам иллюзию, будто вы переместили изучаемый материал в сознание. Поэтому, когда делаете пометки, сначала научитесь находить в тексте важное, а уже потом что-то отмечать и старайтесь не выделять много текста: максимум одно предложение на абзац{64}64
  Dunlosky et al. 2013, sec. 4.


[Закрыть]. Зато вам могут помочь обобщающие ключевые понятия слова или заметки на полях{65}65
  Longcamp et al. 2008.


[Закрыть].

Если вспоминать материал (извлекать из памяти информацию), а не перечитывать его пассивно, то вы будете более сосредоточены и потратите время более эффективно. Перечитывание может быть полезно лишь в одном случае: если вы при этом делаете значительные перерывы, так что все занятие становится упражнением по интервальному повторению материала{66}66
  Dunlosky et al. 2013, sec. 7.


[Закрыть].

Кроме того, домашние задачи по математике и естественным наукам всегда решайте самостоятельно. В некоторых учебниках ответы даются в конце книги, но заглядывать в них нужно только для проверки ответа. Так материал надежнее осядет в мозгу и при надобности будет более доступен. Вот почему преподаватели так настаивают на том, чтобы вы показывали им свою работу и аргументировали решения на экзаменах и в домашних заданиях: этот подход заставляет вас продумывать решение и служит мерилом вашего понимания материала. Такая дополнительная информация о вашем способе мышления также дает преподавателям больше возможностей помочь вам в случае затруднений.

Практиковаться в извлечении нужной информации из памяти надо начинать как можно раньше, чтобы не биться с нуля над каждым понятием. Попытайтесь вспомнить что-нибудь из выученного за день, особенно если это новый и сложный материал. Именно поэтому многие преподаватели советуют по возможности переписывать конспекты лекций еще раз: это позволит укрепить новообразованные порции и обнаружить пробелы в понимании (в такие пробелы обожают метить преподаватели на контрольных и экзаменах). И, конечно, нужно не забывать, что знание о пробелах – первый шаг к их устранению.

Когда материал усвоен, можно увеличить интервалы между повторениями до недель или даже месяцев, а со временем знания станут практически стабильными. (Во время посещения России я однажды разозлилась на небрежного таксиста и, к собственному удивлению, отреагировала словами, которых не вспоминала и не употребляла 25 лет – я даже не отдавала себе отчета, что знаю эти слова!)

Сделайте знания своей второй натурой

«Разница между пониманием нового материала на лекции и способностью применить его при решении задачи по физике соответствует разнице между простым студентом и полноценным ученым или инженером. Единственный известный мне способ перейти от одного к другому – усваивать материал так, чтобы он стал вашей второй натурой и вы начали бы использовать его как простой инструмент».

Томас Дей, преподаватель звукотехники, Музыкальный колледж Макнелли и Смита, Миннесота

Позже мы обсудим полезные приложения и программы, способные помочь при обучении. Пока же нелишне знать, что программные системы для запоминания, такие как Anki, имеют встроенную функцию – запрограммированные периоды повторения, делающие процесс запоминания нового материала более эффективным.

Один из способов представить себе такой способ изучения и воспроизведения материала показан на следующей иллюстрации. Как мы уже отмечали, рабочая память способна удержать четыре объекта.

Когда вы впервые формируете порцию информации, ее изначальные, пока не связанные элементы занимают всю рабочую память (как показано слева). По мере того как понятие формируется в порцию, вы заметите, что элементы начинают соединяться между собой более легко и гладко (в центре). Когда же порция информации сформирована (справа), она занимает только одно место в рабочей памяти. Она сразу же становится цельной единицей, которой удобно пользоваться для связи с другими порциями, а остальная часть рабочей памяти остается незанятой. Видимая на рисунке «лента» сформированной порции в некотором смысле увеличила количество информации, способное поместиться в рабочей памяти, как если бы этот участок памяти был гиперссылкой на обширную веб-страницу{67}67
  См., в частности, Guida et al. 2012, где описано, как эксперты учатся использовать долговременную память для расширения рабочей. См. также: Geary et al. 2008: 4–5, где замечено: «Объем рабочей памяти ограничивает успехи в математике, однако эти ограничения можно преодолеть практикой, когда процесс доводится до автоматизма».


[Закрыть].

Когда вы впервые учитесь решать конкретные задачи, этот процесс занимает всю вашу рабочую память – иллюстрацией этому служит спутанный клубок связей между четырьмя участками рабочей памяти (слева). Однако, как только вы овладели нужными приемами и понятиями и сформировали из них порцию информации, мысль становится похожа на одну гладкую ленту (справа). Создание порции, предназначенной для долговременной памяти, высвобождает остальную часть рабочей памяти для обработки новой информации. Вы можете по своему желанию в любой момент перенести ленту (порцию) в рабочую память для формирования новых связей.

Теперь вы понимаете, почему так важно самому решать задачи, а не следовать готовым ответам. Если вы просто заглядываете в ответ и говорите себе «Ах да, теперь я понимаю принцип», то решение вам не принадлежит – вы почти ничего не сделали для того, чтобы вплести нужные понятия в свою нейронную сеть. Взглянуть на решение и думать, будто вы решили задачу сами, – самая распространенная иллюзия компетентности при изучении наук.

Если вам нужно усвоить предмет так, чтобы успешно сдавать экзамены и использовать выученный материал творчески, то информация должна надежно осесть в мозгу{68}68
  Генри Рёдигер и Мери Пик (Roediger and Pyc 2012: 243) отмечают: «Учителей и преподавателей часто заботит вопрос креативности учащихся. Рекомендуемые нами методы показывают улучшения в процессе получения и сохранения знаний об основных понятиях и фактах, хотя некоторые критикуют такой подход, называя его “зубрежкой” и “прямым запоминанием”, а не творческим синтезом. Разве цель образования – не культивировать в учениках любознательность, стремление к открытиям и креативность? Мы не оспариваем креативность, но утверждаем, что предпосылкой к креативности служат прочные знания в определенной области. Студенты вряд ли будут способны к творческим открытиям в рамках какого бы то ни было предмета без обширного набора фактов и концепций, находящихся в их полном распоряжении. Заучивание понятий и фактов и творческое мышление не обязательно конфликтуют, они находятся в симбиозе».


[Закрыть]. Способность объединять порции информации нестандартным образом – основа большинства инноваций в истории человечества. Стивен Джонсон в своей блестящей книге «Откуда берутся хорошие идеи» описывает «медленную интуицию» – тихое, растянутое на годы чередование сфокусированного и рассеянного состояния, которое приводит к творческим прорывам разного масштаба – от эволюционной теории Дарвина до создания Интернета{69}69
  Geary 2005, chap. 6; Джонсон, 2013.


[Закрыть]. Главная составляющая «медленной интуиции» – мысленный доступ к разным аспектам определенной идеи. В таком режиме некоторые аспекты случайным образом стыкуются с другими аспектами в пробном режиме, пока не возникнет новое понятие или подход{70}70
  Джонсон, 2013.


[Закрыть]. Джонсон отмечает, что Билл Гейтс и другие крупные фигуры из той же сферы растягивают обдумывание проектов на недели, чтобы одновременно держать в мозгу многие и разнообразные идеи. При таком подходе их собственное инновационное мышление включается от внутреннего взаимодействия недавно обдуманных идей, которые еще свежи в памяти. (Здесь важно отметить, что ключевое различие между учеными с творческим подходом и учеными технически компетентными, но с бедным воображением зависит от широты интересов{71}71
  Simonton 2004: 112.


[Закрыть].)

ВАША ПОПЫТКА!

Понимание иллюзии компетентности

Анаграммы – это способ перестановки букв в слове или предложении с целью получить другое слово или предложение. Например, у вас есть фраза «Me, radium ace». Можете ли вы переставить буквы так, чтобы они составили фамилию знаменитого физика?{72}72
  Анаграмма – «madame Curie». Автором считается Мейран Краус (Meyran Kraus), http://www.fun-with-words.com/anag_names.html.


[Закрыть] Это может оказаться не так-то просто. Однако если бы вы увидели решение здесь же, на этой странице, то от ощущения «Эврика!» подумали бы, будто способность разгадывать анаграммы у вас развита сильнее, чем на самом деле. Аналогичным образом студенты часто ошибочно полагают, будто они выучивают предмет, просто пробегая глазами текст учебника. Из-за того, что решение им уже дано, у них возникает иллюзия компетентности{73}73
  Джеффри Карпик с коллегами (Karpicke 2009) предполагает наличие связи между иллюзиями компетентности при обучении и трудностями с анаграммами в тех случаях, когда ответ очевиден, в противоположность случаям, когда он не ясен.


[Закрыть].

Найдите в своих записях или в учебнике математическое или естественно-научное понятие. Прочтите о нем, затем отведите взгляд от текста и попробуйте восстановить в памяти прочитанное, одновременно пытаясь лучше его понять. Затем вновь взгляните на текст, перечитайте материал и попытайтесь еще раз восстановить его в памяти. В результате вы удивитесь, насколько это простое упражнение помогает лучше понимать материал.

Чем объемистее ваша мыслительная «библиотека» порций информации, тем легче вам будет решать задачи. Кроме того, с обретением опыта по формированию порций вы начнете замечать, что порции увеличиваются – «ленты» становятся все длиннее.

Вы, возможно, сейчас подумали, что в одной главе учебника по математике или естественным наукам столько понятий и задач, что все их усвоить просто невозможно! И здесь вступает в дело «закон озарений»: удача благоволит к тем, кто прилагает усилия и стремится к цели{74}74
  Это моя собственная формулировка общепринятого в научных кругах мнения. Сантьяго Рамон-и-Кахаль отмечал (цитирую Эмиля Дюкло): «Шанс открывается не тому, кто его желает, а тому, кто его заслуживает». И далее: «В науке, так же как в лотерее, удача благоволит к тем, чья ставка больше, – или, по другой аналогии, к тем, кто постоянно возделывает свой сад» (Ramón y Cajal 1999: 67–68). Луи Пастер писал: «В сфере научных наблюдений удача благоволит только сведущим и хорошо подготовленным умам». Аналогичный подход отражен в латинской пословице «Фортуна любит смелых» и в девизе британских парашютно-десантных частей особого назначения (SAS): «Побеждает отважный».


[Закрыть]. Просто попытайтесь сосредоточиться на том, что изучаете. Вы обнаружите, что, когда любое первое понятие или задача попадает в вашу мыслительную библиотеку, второе понятие или задача дается чуть легче. А третье – еще легче. Не то чтобы процесс идет совершенно без усилий, но он упрощается.

Если ваша библиотека понятий и решений уже существует в виде порционных шаблонов, вы можете легко «перескочить» к нужному решению задачи – необходимо лишь прислушаться к внутреннему голосу, который шепотом подает вам советы из рассеянного состояния. Рассеянный режим также помогает соединить две или три порции информации нестандартным, еще не применявшимся способом, что помогает при решении нетривиальных задач. Решать задачи можно двумя путями: первый – постепенные пошаговые рассуждения, второй – цельная, нерасчленимая интуиция. Последовательное мышление, при котором каждый малый шаг направлен к решению, связано со сфокусированным режимом. Интуиция же часто считается связанной с творческим, рассеянным режимом, при котором объединяются несколько разрозненных идей. Самые сложные задачи решаются с помощью интуиции, поскольку они требуют отхода от уже известных путей{75}75
  Kounios and Beeman 2009 [1897]; Ramón y Cajal 1999: 5.


[Закрыть]. Не забудьте, что полуслучайный способ связывания идей, который свойствен рассеянному состоянию, требует тщательной проверки решения в сфокусированном состоянии. Интуитивные озарения не всегда верны!{76}76
  Rocke 2010.


[Закрыть]

Когда вы создаете библиотеку сформированных порций информации, вы учите мозг распознавать не только конкретную задачу, но и разные типы и классы задач, так что со временем вы будете автоматически видеть способы, предпочтительные для решения тех задач, которые вам встретятся. Вы начнете видеть закономерности, облегчающие поиск решения, и вскоре поймете, как много различных решений маячит в отдаленных уголках памяти. А перед экзаменами такие знания будет легко упорядочить, чтобы иметь наготове нужные решения.

ВАША ПОПЫТКА!

Не понимаю! Что делать?

Если вы не понимаете метод, которому вас учат, то остановитесь и попробуйте вернуться назад. Зайдите в Интернет и выясните, кто первым предложил этот способ или кто раньше его использовал. Попытайтесь понять, каким образом первооткрыватель метода пришел к такой идее и почему этот прием до сих пор применяется, – так вы можете наткнуться на простое объяснение, которое даст вам необходимую информацию о том, почему этому методу решения учат студентов и зачем он вам может понадобиться.