Текст книги "Тесты и их решения по финансовой математике"

М. Б. Сихов
Тесты и их решения по финансовой математике

ТЕСТ 1
Теория процентов. Текущая и будущая стоимость денег, внутренняя ставка доходности

Вопрос 1

В настоящий момент времени открыты 2 счета «Фонд А» и «Фонд В» для перечисления на них взносов. На каждый из счетов начисляются простые проценты по годовой ставке .

В Фонд А будет перечислен только один взнос в размере 8200 через 3.25 года с настоящего момента времени.

В Фонд В будет перечислено три взноса. Первый взнос в размере 2400 будет перечислен через 1 год с настоящего момента времени. Второй взнос в размере 2700 будет перечислен через 3.5 года с настоящего момента времени. Третий взнос в размере 3000 будет перечислен через 4 года с настоящего момента времени. В конце 4 – летнего периода (сразу после третьего взноса в Фонд В), на обоих счетах будут накоплены одинаковые суммы.

Найдите значение .

A. Меньше 4.0%

B. 4.0 %, но меньше 4.5%

C. 4.5 %, но меньше 5.0%

D. 5.0 %, но меньше 5.5%

E. 5.5 % или больше

Решение.

Фонд А

Фонд В

Приравнивая накопленные суммы в фондах А и В, имеем

Отсюда .

Вопрос 2

Годовая ставка процентов равна 12 %. Необходимо найти эквивалентную номинальную ставку дисконта, начисляемого 9 раз в год.

В каком из следующих интервалов находится эта ставка?

A. меньше 10.90%

B. 10.90 %, но меньше 11.30%

C. 11.30 %, но меньше 11.70%

D. 11.70 %, но меньше 12.10%

E. 12.10 % или больше

Решение.

Пусть – эффективная годовая ставка процента, – эффективная годовая ставка дисконта, – номинальная ставка процента, -номинальная ставка дисконта, начисляемые m раз в год, тогда справедливы формулы (cм. (1.21) из [1])

(1.1)

для всех положительных целых значений m и n.

Пользуясь этими формулами, получим

, следовательно , откуда мы находим .

Решение на калкуляторе.

1-шаг (): 2nd ICONV; 2nd CLR WORK; (NOM=); ↑(C/Y=) 9 ENTER; ↑(EFF=) 12 ENTER; ↑ (NOM=); CPT: NOM = 11.4045 %;

Теперь пользуясь формулой справедливой для эффективных ставок(cм. (1.16) из [1])

, т.е. (1.2)

имеем

2-шаг (расчет ): 11.4045/(1+0.114045/9)=11.26 %.

Решение на компьютере.

1-шаг (): НОМИНАЛ(Факт_ ставка=12 %; Кол_пер=9)= 11.4045 %;

2-шаг (расчет ): 11.4045/(1+0.114045/9)=11.26 %.

Вопрос 3

Банк предлагает ипотечную ссуду по ставке 14 % годовых, начисляемых 12 раз в год.

В каком из следующих интервалов находится разность между и ?

A. Меньше (-0.7)%

B. (-0.7)%, но меньше (-0.3)%%

C. (-0.3)%, но меньше 0.1%

D. 0.1 %, но меньше 0.5%

E. 0.5 % или больше

Решение.

В силу (1.1)

.

Следовательно, учитывая, что получим

, .

Тем самым,

Решение на калкуляторе.

Cначала перейдем от ставки к ставке по следующей схеме:

.

1-шаг (расчет ): 2^nd ICONV; 2^nd CLR WORK; (NOM=) 14 ENTER; ↑(C/Y=) 12 ENTER; ↑(EFF=) CPT: EFF = 14.934;

↓ (C/Y=) 4 ENTER; ↓ (NOM=) CPT: NOM=14.164 14.164/4 =3.541 %;

Продолжая, в силу (1.2) имеем

2-шаг (расчет ): :100 (переход от % к числовому значению); +1=; (функция деления); 3.541 %=13.68 %;

3-шаг (расчет ): 2^nd ICONV; 2^nd CLR WORK; (NOM=) 14 ENTER; ↑(C/Y=) 12 ENTER; ↑(EFF=) CPT: EFF = 14.934 %;

↓ (C/Y=) 9 ENTER; ↓ (NOM=) CPT: NOM=14.027 % ;

4-шаг (расчет ): (переход -14.027 %); +13.68=-0.35.

Решение на компьютере.

Cначала перейдем от ставки к ставке по следующей схеме:

.

1-шаг ( ): ЭФФЕКТ(Номинальная ставка=14 %; Кол_пер=12)= 14.934 %;

2-шаг ( ): ↓ НОМИНАЛ(Факт_ ставка=14.934 %; Кол_пер=4)= 14.164 % 14.164 %/4 =3.541 %;

Далее, силу (1.2) имеем

3-шаг (расчет ): 14.164 % / (3.541 % +1)=13.68 %;

4-шаг ( ): НОМИНАЛ(Факт_ ставка=14.934 %; Кол_пер=9)= 14.027 %; 5-шаг (расчет ): 13.68 %-14.027 %=-0.35.

Вопрос 4

Фонд Х имеет номинальную ставку процента 11 % годовых, начисляемых ежеквартально. Фонд У имеет номинальную ставку дисконта 10 % годовых, начисляемых каждые полгода.

В каком из следующих интервалов находится разность между интенсивностями процентов для этих фондов?

A. Меньше (-1)%

B. (-1)%, но меньше (-0.3)%%

C. (-0.3)%, но меньше 0.4%

D. 0.4 %, но меньше 1.1%

E. 1.1 % или больше

Решение.

По условию и .

Интенсивность процента δ определяется следующим образом (см. (1.24) из [1])

δ = ln(1 +i). (1.3)

Отсюда, в силу (1.1) для интенсивности процентов для фондов X и Y соответственно, получим

Следовательно

Решение на калкуляторе.

1-шаг (расчет ): 2^nd ICONV; 2^nd CLR WORK; (NOM=) 11 ENTER; ↑(C/Y=) 4 ENTER; ↑(EFF=) CPT: EFF = 11.462;

2-шаг (расчет ): :100 (переход от % к числовому значению); +1=; ; *100=10.85 %;

Далее, силу (1.4) имеем

3-шаг (расчет ): 0.1/2=;; +1=; ; ; ; 10.26 %;

4-шаг (расчет):; +10.85=0.59 %;

Решение на компьютере.

1-шаг ( ): ЭФФЕКТ(Номинальная ставка=11 %; Кол_пер=4)= 11.462 %;

2-шаг (расчет ): =10.85 %;

Далее, силу (1.4) имеем

3-шаг (расчет ): 10.26 %;

4-шаг (расчет):10.85 %-10.26 %=0.59 %.

Вопрос 5

Найдите число n , такое, что

В каком из следующих интервалов находится n ?

A. Меньше 2

B. 2, но меньше 3

C. 3, но меньше 4

D. 4, но меньше 5

E. 5 или больше

Решение.

В силу (1.1)

.

Тем самым

Вопрос 6

Пусть . Найти .

A.

B.

C.

D.

E.

Решение.

Пользуясь формулой (1.32) из [1] легко убедиться, что (положим )

.

Вопрос 7

Cумма 500 единиц возрастает до 570 через 9 месяцев в случае начисления простых процентов.

В каком из следующих интервалов находится ?

A. меньше 13.50%

B. 13.50 %, но меньше 15.50%

C. 15.50 %, но меньше 17.50%

D. 17.50 %, но меньше 19.50%

E. 19.50 % или больше

Решение.

Накопленная сумма 500 единиц через 9 месяцев в случае начисления простых процентов будет равна

Следовательно

.

Поэтому из (1.1) следует, что

.

Решение на калкуляторе.

1-шаг: Cначала как выше посчитаем .

2-шаг (расчет ): 2^nd ICONV; 2^nd CLR WORK; (NOM=); ↑(C/Y=) 3 ENTER; ↑(EFF=) 18.667 ENTER; ↑(NOM=); CPT: NOM = 17.6127;

/3 =5.8709;

Продолжая, в силу (1.2) имеем

3-шаг (расчет ): :100 (переход от % к числовому значению); +1=; (функция деления); 17.6127 %=16.64 %.

Решение на компьютере.

1-шаг ( ):НОМИНАЛ(Факт_ ставка=18.667 %; Кол_пер=3)= 17.6127 %;

Далее, силу (1.2) имеем

3-шаг (расчет ): 17.6127 %/ (17.6127 %/3+1)=16.64 %.

Вопрос 8

Алма и Жанна пожертвуют университету деньги. Алма произведет 3 платежа в размере 3200 каждый. Первый платеж будет сделан 1 января 1998 года, а остальные – 1 января в каждый из последующих двух лет. Жанна произведет только один платеж в размере 9800. Если эффективная процентная ставка составляет 2 % в месяц, а текущие стоимости пожертвований на 1 января 1998 года равны, то в каком из перечисленных месяцев Жанна произведет свой платеж?

A. Июль 1998 года

B. Август 1998 года

C. Сентябрь 1998 года

D. Январь 1999 года

E. Декабрь 1998 года

Решение.

По условию . Сначала пользуясь соотношением (1.1) определим эффективную годовую процентную ставку

Теперь предполагая, что платеж 9800 будет произведен Жанной в момент времени t и приравнивая текущие стоимости пожертвований на 1 января 1998 года имеем

.

т. е. получим диаграмму

Решая это уравнение относительно ежемесячного периода t, находим

Итак, платеж 9800 будет произведен Жанной через 12.1 месяцев, начиная с 1 января 1998 года, т.е. в январе 1999 года.

Решение на калкуляторе.

1-шаг (расчет ): 2nd ICONV; 2nd CLR WORK; (NOM=) 24 ENTER; ↑(C/Y=) 12 ENTER; ↑(EFF=) CPT: EFF = 26.824;

2-шаг (расчет ): 2nd RESET ENTER; 2nd P/Y 1 ENTER; 2nd BGN 2nd SET;2nd QUIT;

3 N; 26.824 I/Y; 3200 PMT; 0 FV; CPT PV: PV= -7712.69;

3-шаг (расчет t): 2 I/Y; 0 PMT; 9800 FV; CPT N: N=12.1.

Решение на компьютере.

1-шаг ( ): ЭФФЕКТ(Номинальная ставка=24 %; Кол_пер=12)= 26.824 %;

2-шаг (расчет ): ПС(Ставка=26.824 %; Кпер=3; ПЛТ=3200; Бс= 0; Тип=1)= -7712.69;

3-шаг (расчет t): КПЕР(Ставка=2; ПЛТ =0; Пс=-7712,69; Бс= 9800; Тип=1)= 12.10.

Вопрос 9

В конце каждого года в период с 1996 года по 2000 год включительно Джон платит Генри 600. Он также платит Генри 400 в конце каждого года в период с 1998 года по 2001 год включительно. Предположив, что , найдите стоимость этих выплат на 1 января 1995 года.

A. Меньше 1 600

B. 1 600, но меньше 1 800

C. 1 800, но меньше 2 000

D. 2000, но меньше 2 200

E. 2 200 или больше

Решение.

Текущая стоимость этих выплат на 1 января 1995 года будет равна

Решение на калкуляторе.

Заметим, что рассматривая финансовый поток

и пользуясь функцией расчета «CF» можно посчитать текущую стоимость данного финансового потока

1-шаг (расчет PV): 2nd RESET ENTER;

CF; CF0= 0;

↓; 1 ENTER: C01 = 0;

↓; 1 ENTER: F01 = 1;

↓; 600 ENTER: C02 = 600;

↓; 2 ENTER: F02 = 2;

↓; 1000 ENTER: C03 = 1000;

↓; 3 ENTER: F03 = 3;

↓; 400 ENTER: C04 = 400;

↓; 1 ENTER: F04 = 1;

NPV; 20 ENTER: I = 20;

↓; CPT: NPV=2094.55

Решение на компьютере.

1-шаг (расчет i): ЧПС(20 %; 0; 600; 600; 1000; 1000; 1000; 400)= 2094.55.

Вопрос 10

Человек занял 10 000 и может выбрать между двумя схемами погашения А и B. Выплаты в конце года.

Внутренняя ставка процента в схеме А превышает ставку в схеме В на:

A. Меньше (-4)%

B. (-4)%, но меньше (-2)%

C. (-2)%, но меньше 0%

D. 0 %, но меньше 2%

E. 2 % или больше

Решение.

Определяя текущие стоимости финансовых потоков для схем погашения А и B и приравнивая их сумме долга, соответственно, получим

Как видим, нам надо решать уравнения 6-й степени относительно . Решения таких уравнений мы здесь даем с помощью калькулятора и компьютера.

Решение на калькуляторе.

Пользуясь функцией расчета «Внутренняя ставка доходности (IRR)» для каждого финансового потока получим

1-шаг (расчет ): 2nd RESET ENTER; CF;

10000 +/– ENTER: CF0= -10000;

↓; 3500 ENTER: C01 = 3500;

↓; 1 ENTER: F01 = 1;

↓; 2500 ENTER: C02 = 2500;

↓; 1 ENTER: F02 = 1;

↓; 4000 ENTER: C03 = 4000;

↓; 1 ENTER: F03 = 1;

↓; 0 ENTER: C04 = 0;

↓; 1 ENTER: F04 = 1;

↓; 4000 ENTER: C05 = 4000;

↓; 2 ENTER: F05 = 2;

IRR; CPT: IRR= 19.65 %;

2-шаг (расчет ): 2nd RESET ENTER; CF;

10000 +/– ENTER: CF0= -10000;

↓; 4000 ENTER: C01 = 4000;

↓; 1 ENTER: F01 = 1;

↓; 3800 ENTER: C02 = 3800;

↓; 1 ENTER: F02 = 1;

↓; 3000 ENTER: C03 = 3000;

↓; 1 ENTER: F03 = 1;

↓; 2500 ENTER: C04 = 2500;

↓; 3 ENTER: F04 = 3;

IRR; CPT: IRR= 23.37 %;

3-шаг (расчет ): 19.65 % 23.37 %=-3.71 %.

Решение на компьютере.

1-шаг (расчет ): ВСД(-10000; 3500; 2500; 4000; 0; 4000; 4000)= 19.65 %;

2-шаг (расчет ): ВСД(-10000; 4000; 3800; 3000; 2500; 2500; 2500)= 23.37 %;

3-шаг (расчет ): 19.65 % 23.37 %=-3.71 %.

ТЕСТ 2
Уравнение стоимости. Взвешенная по величине и взвешенная по времени ставки доходности

Вопрос 1

В каком интервале находится взвешенная по времени ставка доходности за 1989 год ?

A. меньше 1%

B. 1 %, но меньше 2%

C. 2%, но меньше 3%

D. 3 %, но меньше 4%

E. 4 % или больше

Решение.

Здесь и далее количество 1000 единиц будем выделять с помощью запятых, т.е., например, 10000=10,0.

Напоминаем, что, если функция накоплений А(t), то ставка доходности в n-ом промежутке определяем следующим образом:

. (2.1)

Чтобы определить взвешенную по времени ставку инвестиционной доходности фонда в течение 1989 года, сначала надо определить ставки доходности для каждого промежутка, где известны начальная и конечная стоимости (балансы) фонда, непосредственно предшествующие депозиту или снятию денег. По условию задачи таких промежутков четыре.

Итак, в силу (2.1) ставка доходности с 1 января по 1 апреля 1989 г. определяется уравнением ,

т. к. сразу же после выплаты 31 марта 10000 стоимость портфеля 1 апреля составляет 215000.

С учетом полученного взноса 30 июня 75000 ставка доходности с 1 апреля по 1 июля составляет

Ставка доходности с 1 июля по 1 октября составляет

Наконец, ставка доходности с 1 октября по 31 декабря 1989 года равна

.

Взвешенная по времени доходность за год находится из факторов накопления, соответствующих каждому интервалу, как

(2.2)

т. е. =1,125*0.9349*1,0435*0.9375 – 1 = 2.89 %.

Вопрос 2

(а)=взвешенная по времени ставка инвестиционной доходности фонда в течение 1989 года;

(в)=взвешенная по величине годовая ставка инвестиционной доходности фонда в случае использования простых процентов;

(с)=ставка инвестиционной доходности фонда в случае использования простых процентов и равномерного распределения в течение года всех депозитов и снятий денег.

A. (а)>(в)>(c)

B. (а)>(c)>(в)

С. (с)>(а)>(в)

D. (с)>(в)>(а)

Е. ни один из указанных вариантов

Решение.

Пользуясь (2.1), определим ставки доходности для каждого из 3-х промежутков, соответственно

=1.15,

,

,

Следовательно, в силу (2.2) взвешенная по времени доходность за год будет равна

(в) Выведя уравнение стоимости путем сложения всех величин на момент 31 декабря 1989 года, рассчитаем взвешенную по величине доходность фонда в случае использования простых процентов, рассматривая только депозиты и снятия денег и не принимая во внимание промежуточные балансы

.

Поскольку это уравнение является линейным по i, то легко получить результат

100+100,

111.25 .

(с) Для определения ставку инвестиционной доходности фонда в случае использования простых процентов и равномерного распределения в течение года всех депозитов и снятий денег, предположим, что все депозиты и снятий денег будут происходит в середине года. Тогда выведя уравнение стоимости путем сложения всех величин на момент 31 декабря 1989 года, имеем

100000(1+

100+100,

94.5

т. е.

Сравнивая полученные ставки доходности, получим ответ: (с)>(в)>(а).

Вопрос 3

В каком интервале находится взвешенная по времени ставка доходности за 1989 год ?

A. меньше 6.90%

B. 6.90 %, но меньше 7.30%

C. 7.30 %, но меньше 7.70%

D. 7.70 %, но меньше 8.10%

E. 8.10 % или больше

Решение.

Пользуясь (2.1), определим ставки доходности для каждого из 4-х промежутков, соответственно

=1.067,

,

,

.

Следовательно, взвешенная по времени доходность за год находится из факторов накопления, соответствующих каждому интервалу, как

т. е. i=8.2 %.

Вопрос 4

Рассмотрим следующие данные:

Разовый депозит в фонд: 1000 внесено 1/1/92. Снятия денег из фонда не было.

Процентная ставка в 1992-1993 г.г.: 7 % в год, начисляемых ежемесячно.

Ставка дисконта в 1994-1997 г.г.: 5 % в год , начисляемых ежеквартально.

Интенсивность процента в течение 1998-2002 г.г.: 3 % в год.

Выборочное значение: e =2.71828.

В каком интервале находится величина фонда на 1/1/2003?

A. Меньше 1500

B. 1500, но меньше 1600

C. 1600, но меньше 1700

D. 1700, но меньше 1800

E. 1800 или больше

Решение.

Пусть – эффективная годовая процентная ставка за 1992-1993 г.г., за 1994-1997 г.г., за 1998-2002 г.г. Тогда в силу (1.1) накопленная сумма от первоначальной суммы депозита равна

=

=

=

Вопрос 5

Если , то в каком интервале находится ?

A. Меньше 10.95%

B. 10.95 %, но меньше 11.45%

C. 11.45 %, но меньше 11.95%

D. 11.95 %, но меньше 12.45%

E. 12.45 % или больше

Решение.

В силу (1.1)

.

Решение на калкуляторе.

Cначала перейдем от ставки к ставке по следующей схеме:

.

1-шаг (расчет ): 2^nd ICONV; 2^nd CLR WORK; (NOM=) 15 ENTER; ↑(C/Y=) 4 ENTER; ↑(EFF=) CPT: EFF = 15.865;

↓ (C/Y=) 12 ENTER; ↓ (NOM=) CPT: NOM=14.8163; /12 =1.2347 %;

Продолжая, в силу (1.2) имеем

2-шаг (расчет ): :100 (переход от % к числовому значению); +1=; (функция деления); 14.8163 %=14.64 %.

Решение на компьютере.

1-шаг ( ): ЭФФЕКТ(Номинальная ставка=15 %; Кол_пер=4)= 15.865 %;

2-шаг ( ): ↓ НОМИНАЛ(Факт_ ставка=14.934 %; Кол_пер=4)= 14.8163 % ;

Далее, силу (1.2) имеем

3-шаг (расчет ): 14.8163 % / (1+14.8163 %/12)=14.64 %.

Вопрос 8

Первоначальный депозит в фонд: 40000.

Снятия денег из фонда в конце четвертого года: 50000.

Величина фонда в конце восьмого года: 15000.

Других депозитов или снятий денег в течение 8-летнего периода не было.

В каком интервале находится годовая ставка доходности в течение восьмилетнего периода?

A. Меньше 8%

B. 8 %, но меньше 10%

C. 10 %, но меньше 12%

D. 12 %, но меньше 14%

E. 14 % или больше

Решение.

Уравнение стоимости для данного депозита в конечной (8-й) точке имеет вид

Cледовательно, обозначая и решая при этом полученное квадратное уравнение, находим

Решение на калкуляторе.

Выше данную диаграмму можно рассматривать как финансовый поток с платежами в конце года

Поэтому пользуясь функцией расчета «Внутренняя ставка доходности (IRR)»

получим

1-шаг (расчет i): 2nd RESET ENTER; CF;

40000 +/– ENTER: CF0= -40000;

↓; 1 ENTER: C01 = 0;

↓; 3 ENTER: F01 = 3;

↓; 50000 ENTER: C02 = 50000;

↓; 1 ENTER: F02 = 1;

↓; 15000 ENTER: C03 = 15000;

↓; 1 ENTER: F03 = 1;

IRR; CPT: IRR= 10.67 %.

Решение на компьютере.

1-шаг (расчет i): ВСД(-40000; 0; 0; 0; 50000; 0; 0; 0; 15000)= 10.67 %.

ТЕСТ 3
Постоянный, переменный, бессрочный аннуитеты

Вопрос 1

Рассмотрим следующие данные:

Дата выдачи ссуды: 01.01.1993.

Сумма ссуды: 6 200.

Дата первого платежа: 31.01.1993.

Частота платежей: ежемесячно.

Количество платежей: 60

Размер каждого из первых: 59 платежей: 100.

Процентная ставка: 9,00 % в год, начисляемых ежемесячно.

В каком интервале находится размер последнего платежа?

A. Меньше 1800

B. 1800, но меньше 2000

C. 2000, но меньше 2200

D. 2200, но меньше 2400

E. 2400 или больше

Решение:

Пусть и 60-й платеж обозначим через X. Тогда добавляя и отнимая этому платежу платеж в размере 100 и собирая все эти платежи в 60-й точке, имеем

.

Отсюда

=.

Решение на калкуляторе.

1-шаг (расчет X-100): 2nd RESET ENTER; 2nd P/Y 1 ENTER; 2nd QUIT;

60 N; 9/12=0.75 I/Y; -6200 PV; 100 PMT; CPT FV: FV= 2165;

2-шаг (расчет X): +100=2265.

Решение на компьютере.

1-шаг (расчет X-100): БС(Ставка=9 %/12=0.75 %; Кпер=60; Плт=100; Пс=-6200; Тип=0) = 2165;

2-шаг (расчет X): 2165+100=2265.

Вопрос 2

Рассмотрим следующие данные:

Дата начала выплат по бессрочному аннуитету: 1/1/91

Процентная ставка: 9 % в год, начисляемых ежегодно

В каком интервале находится стоимость бессрочного аннуитета на 01.01.1991?

A. Меньше 1 050

B. 1 050, но меньше 1 100

C. 1 100, но меньше 1 150

D. 1 150, но меньше 1 200

E. 1 200 или больше

Решение.

Из данной диаграммы нетрудно составить уравнение стоимости для текущей стоимости данного аннуитета

PV= 20.

Отсюда, учитывая формулу (см. (3.31) из [1])

получим

PV= .

Вопрос 3

Рассмотрим следующие данные:

Дата выдачи ссуды: 1/1/95.

Сумма ссуды: 15 000.

Дата первого платежа: 30/06/95.

Частота платежей: каждые полгода.

Количество платежей: 60.

Сумма каждого платежа: увеличивается на 5 % каждые шесть месяцев.

Процентная ставка: 12 % в год, начисляемых каждые полгода.

В каком интервале находится размер четвертого платежа?

A. Меньше 390

B. 390, но меньше 410

C. 410, но меньше 430

D. 430, но меньше 450

E. 450 или больше

Решение.

Расписывая подробно все члены в уравнении стоимости для серии платежей, мы получим

Отсюда, учитывая, что

имеем

Следовательно

Тем самым, размер четвертого платежа равен .

Решение на калкуляторе.

Решая уравнение (3.1) получим

1-шаг (расчет P): 2nd RESET ENTER; 2nd P/Y 1 ENTER; 2nd QUIT;

60 N; (1.06/1.05 -1)*100=0.9524 I/Y; 15000*1.05=15750 +/– FV; 0 PV; CPT PMT: PMT= 345.82;

2-шаг (расчет ): *

Решение на компьютере.

1-шаг (расчет P ): ПЛТ(Ставка=(1.06/1.05 -1)*100=0.9524 %; Кпер=60; Пс=0; Бс= – 15000*1.05=-15750; Тип=0)= 345.82;

2-шаг (расчет ): 345.82*

Вопрос 4

Дано:

Сумма ссуды: 30 000.

Срок ссуды: 5 лет.

Процентная ставка:

8% в год, начисляемых 4 раза в год с 1-го по 3-й годы,

6% в год, начисляемых 4 раза в год с 4-го по 5-й годы.

Погашение ссуды равными по размеру платежами в конце каждого квартала.

В каком интервале находится величина ежеквартального платежа?

A. Меньше 1 685

B. 1 685, но меньше 1 735

C. 1 735, но меньше 1 785

D. 1 785, но меньше 1 835

E. 1 835 или больше

Решение.

Уравнение стоимости для данной ссуды имеет вид

Решая это уравнение получим

Решение на калкуляторе.

1-шаг (расчет): 2nd RESET ENTER; 2nd P/Y 1 ENTER; 2nd QUIT;

8 N; 6/4=1.5 I/Y; 1 PMT; 0 FV CPT PV: PV= -7.4859;

2-шаг (расчет): FV; 12 N; 8/4=2 I/Y; CPT PV: PV= -16.4779;

3-шаг (расчет P): ; *30000=1821.

Решение на компьютере.

1-шаг (расчет ): ПС(Ставка=6 %/4=1.5 %; Кпер=8; Плт=1; Бс=0; Тип=0) = = -7.4859;

2-шаг (расчет ): ПС(Ставка=8 %/4=2 %; Кпер=12; Плт=1; Бс=7.4859; Тип=0) = – 16.4779;

3-шаг (расчет P): 30000/16.4779=1821.

Вопрос 5

Выборочные значения аннуитетов:

,

В каком интервале находится

A. Меньше 35

B. 35, но меньше 40

C. 40, но меньше 45

D. 45, но меньше 50

E. 50 или больше

Решение.

Сначала пользуясь реккурентной формулой для аннуитетов

, имеем

Решая это уравнение, находим .

Следовательно

Решение на калкуляторе.

1-шаг (расчет ): 2nd RESET ENTER; 2nd P/Y 1 ENTER; 2nd QUIT;

Решение на компьютере.

1-шаг (расчет ): БС(Ставка=7.8/7.5-1=4 %; Кпер=25; Плт=1; Пс=0; Тип=0) = 41.65.

Вопрос 6

Если

то в каком интервале находится

A. Меньше 15

B. 15, но меньше 16

C. 16, но меньше 17

D. 17, но меньше 18

E. 18 или больше

Решение.

Сначала в силу (1.1) заметим, что

Теперь пользуясь определениями аннуитетов и нетрудно убедиться, что

, (3.3)

Следовательно

(3.4)

Решая это уравнение, находим

.

Решение на калкуляторе.

Cначала перейдем от ставки к ставке

1-шаг (расчет ): 2^nd ICONV; 2^nd CLR WORK; (NOM=); ↑(C/Y=) 12 ENTER; ↑(EFF=) 10.3753 ENTER; ↑(NOM=) CPT: NOM=9.9123;

/12 =0.826;

Далее, решая уравнение (3.4) относительно получим

2-шаг (расчет ): 2nd RESET ENTER; 2nd P/Y 1 ENTER; 2nd QUIT;

0.826I/Y; 1/12=0.083 PMT; 8.35 PV; 0 FV; CPT N: N= 213.74;

Отсюда, .

Решение на компьютере.

1-шаг (расчет ): НОМИНАЛ(Факт_ ставка=10.3753 %; Кол_пер=12)= 9.9123 %; /12 =0.826 %;

Далее, решая уравнение (2.4) относительно получим

2-шаг (расчет ): КПЕР(Ставка=0.826 %; Плт=1/12=0.0833; Пс=-8.35; Бс=0; Тип=0) = 213.75.

Отсюда, .

Вопрос 7

Дано:

Выборочные значения

В каком интервале находится

A. Меньше 8.8

B. 8.8, но меньше 9.3

C. 9.3, но меньше 9.8

D. 9.8, но меньше 10.3

E. 10.3 или больше

Решение.

Разбиваем 3n платежей размером 1 на три группы по n платежей каждый и собираем их в конечной точке 3n, т.е. получим соотношение

.

Тем самым .

Эту же задачу можно решить, используя формулу (см.(3.7) из [1])

. (3.5)

Тогда

Следовательно

Вопрос 8

Дано:

Текущая стоимость на 1/1/94 возрастающего бессрочного аннуитета с ежемесячными платежами: 40 000.

Платежи: первый платеж в размере 20 производится 1 января 1994 года, размер платежа увеличивается на 20 каждый месяц после этого.

Процентная ставка: Х% в год.

В каком интервале находится Х ?

A. Меньше 9.0%

B. 9.0 %, но меньше 9.5%

C. 9.5 %, но меньше 10.0%

D. 10.0 %, но меньше 10.5%

E. 10.5 % или больше

Решение.

Используя формулу (см. (3.31) из [1])

(3. 6)

имеем

.

Поэтому составляя уравнение стоимости для данного аннуитета, получим .

Отсюда .

Итак, мы определили эффективную ежемесячную ставку , т.е.

Наконец, переходя к эффективной ежегодной ставке, находим

Вопрос 9

Рассмотрим следующие данные:

Дата выдачи ссуды: 1/1/92.

Частота платежей: ежеквартально.

Количество платежей: 50.

Условие платежа: первый платеж в размере 100 производится в 31/3/92, размер платежа увеличивается на 100 каждый квартал после этого.

Процентная ставка: 10 % в год, начисляемых ежеквартально.

В каком интервале находится размер текущей стоимости аннуитета на 1/1/92?

A. Меньше 58 200

B. 58 200, но меньше 59 200

C. 59 200, но меньше 60 200

D. 60 200, но меньше 61 200

E. 61 200 или больше

Решение.

Напомним, что текущая стоимость возрастающего аннуитета задается формулой

. (3.4)

Поэтому размер текущей стоимости данного аннуитета (j=10 %/4=2.5 %)

Решение на калкуляторе.

1-шаг (расчет ): 2nd RESET ENTER; 2nd P/Y 1 ENTER; 2nd BGN 2nd SET;2nd QUIT;

50 N; 10/4=2.5 I/Y; 1 PMT; -50 FV; CPT PV: PV= -14.5243;

2-шаг (расчет ): *50/0.025=58097.

Решение на компьютере.

1-шаг (расчет ): ПС(Ставка=10 %/4=2.5 %; Кпер=50; ПЛТ=1; Бс= -50; Тип=1)= -14.5243;

2-шаг (расчет ): 14.5243*50/0.025=58097.

Вопрос 10

Цена автомобиля, указанная в прайс-листе: 40 000.

Вариант покупки I: Немедленная выплата цены, указанной в прайс-листе за вычетом скидки в размере Х.

Вариант покупки II: Немедленная предоплата в размере 2000 и равные ежемесячные платежи в конце каждого из последующих 60 месяцев.

Процентная ставка: 8 % в год, начисляемых ежемесячно.

Х определяется таким образом, что при процентной ставке 9 % в год, начисляемых ежемесячно, оба варианта эквивалентны с финансовой точки зрения.

В каком интервале находится значение Х?

A. Меньше 800

B. 800, но меньше 900

C. 900, но меньше 1000

D. 1 000, но меньше 1 000

E. 1 000 или больше

Решение.

Пусть P ежемесячный платеж по варианту покупки II. Тогда по условию

для

Отсюда

.

Далее, приравнивая текущие стоимости покупки вариантов I и II автомобиля при процентной ставке 9 % в год, начисляемых ежемесячно, имеем

для (2.8)

Решение на калкуляторе.

1-шаг (расчет P): 2nd RESET ENTER; 2nd P/Y 1 ENTER; 2nd QUIT;

60 N; 8/12=0.6667 I/Y; 38000; +/– PV; 0 FV; CPT PMT: PMT= 770.5;

2-шаг (расчет ): 9/12=0.75 I/Y; CPT PV: PV= – 37117.73;

Далее, в силу (2.8) продолжая расчеты, получим

3-шаг (расчет X): – 2000+40000=882.27.

Решение на компьютере.

1-шаг (расчет P): ПЛТ(Ставка=8 %/12=0.6667 %; Кпер=60; ПС=38000; Бс=0; Тип=0) = 770.5;

2-шаг (расчет ): ПС(Ставка=9 %/12=0.75 %; Кпер=60; Плт=770.5; Бс=0; Тип=0) = – 37117.73;

Далее, в силу (2.8) продолжая расчеты, получим

3-шаг (расчет X): 40000-2000– 37117.73=882.27.