Текст книги "Решение дифференциальных уравнений первой и второй степени с помощью ИИ. Вариант 1"

Решение дифференциальных уравнений первой и второй степени с помощью ИИ
Вариант 1
Николай Морозов

Редактор Ольга Ивановна Морозова

© Николай Морозов, 2024

ISBN 978-5-0062-9007-5

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Решение дифференциальных уравнений первой и второй степени с помощью ИИ.

ВАРИАНТ 1.

1.1. Решить дифференциальное уравнение y’ – y = e^x. Выполнить проверку

ChatGPT 3.5 (Маша)

Для решения дифференциального уравнения y’ – y = e^x, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Сначала найдем общее решение однородного уравнения y’ – y = 0.

Характеристическое уравнение для этого уравнения: r – 1 = 0, откуда r = 1. Таким образом, общее решение однородного уравнения это y_h = C * e^x, где C – произвольная постоянная.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения e^x является экспоненциальной функцией, предположим, что частное решение имеет вид y_p = a * e^x, где a – некоторая константа, которую нужно найти.

Подставив y_p в исходное уравнение y’ – y = e^x, получим:

a * e^x – a * e^x = e^x, 0 = e^x.

Это уравнение не имеет решений, поэтому нужно скорректировать наше предположение. Так как правая часть уравнения e^x участвует в общем решении однородного уравнения, чтобы найти частное решение, умножим на x: y_p = a * x * e^x.

Теперь подставим эту функцию в исходное уравнение:

(a * e^x + a * x * e^x) – a * x * e^x = e^x,

a * e^x = e^x, a = 1.

Поэтому частное решение y_p = x * e^x. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения y = y_h + y_p = C * e^x + x * e^x.

Для проверки решения можно подставить y и y’ обратно в исходное уравнение y’ – y = e^x и убедиться, что равенство выполняется для всех значений x.

Подставьте!

ChatGPT 3.5 (Маша)

Хорошо, подставим найденное частное и общее решение в исходное дифференциальное уравнение y’ – y = e^x для проверки:

Общее решение однородного уравнения: y_h = C * e^x, где C – произвольная постоянная.

Частное решение неоднородного уравнения: y_p = x * e^x.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = C * e^x + x * e^x.

Теперь возьмем производные по очереди:

Найдем y’: y’ = (C * e^x)» + (x * e^x)». Учитывая производные экспонент и произведения функций, получаем: y’ = C * e^x + e^x + x * e^x.

Подставим y и y’ в уравнение y’ – y = e^x: (C * e^x + e^x + x * e^x) – (C * e^x + x * e^x) = e^x.

Сокращаем одинаковые члены:

e^x = e^x.

Получили верное тождество, что подтверждает, что найденное решение y = C * e^x + x * e^x удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению y’ – y = e^x.

ChatGPT на Русском – Chat GPT

Для уравнения (y’ – y = e^x), общее решение можно представить в виде (y = C cdot e^x + x cdot e^x), где (C) – произвольная постоянная, «cdot» эквивалентно знаку умножения «*».

Теперь найдем производную (y’):

[y’ = C cdot e^x + e^x + x cdot e^x]

Подставим (y) и (y’) обратно в исходное уравнение:

[y’ – y = (C cdot e^x + e^x + x cdot e^x) – (C cdot e^x + x cdot e^x) = e^x]

(e^x) слева и справа уравнения сокращаются, следовательно, уравнение верно для всех значений (x). Таким образом, общее решение (y = C cdot e^x + x cdot e^x) верно для уравнения (y’ – y = e^x).

GPTutor

Для решения данного линейного дифференциального уравнения первого порядка у – у = е х используем метод интегрирующего множителя.

Данное уравнение можно представить в виде у – у = е*х. Здесь коэффициент перед у равный -1, обозначим как P (х), а правую часть уравнения е*х обозначим как Q (x).

Интегрирующий множитель u (х) определяется по формуле: u (x) = e (fP (x) dx)

В данном случае P (x) = -1, поэтому:

u (x) = e ((1) dx) = e (-x)

Умножим всё уравнение на интегрирующий множитель:

e (-x) y – e (-x) y = e x* e (-x)

(e (-x) y)» = e40

(e (-x) y)» = 1

Теперь проинтегрируем обе части уравнения по х: s (e (-x) y)» dx = [1 dx e (-x) y = x + С,

где С – произвольная постоянная интегрирования.

Теперь найдем выражение для у: y = e^x * (x + C).

1.2.Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y (0) =2

ChatGPT 3.5

Данное дифференциальное уравнение имеет вид:

[frac {dy} {dx} = -2y.]

Решим его. Мы можем разделить переменные и проинтегрировать обе стороны относительно y и x:

[frac {dy} {y} = -2 dx.]

Интегрируя обе части, получим:

[int {frac {1} {y} dy} = int {-2dx}.]

[ln|y| = -2x + C,] где C – константа интегрирования.

Теперь найдем значение константы C, используя начальное условие y (0) = 2:

[ln|2| = -2*0 + C.]

[ln|2| = C.]

Таким образом, наше частное решение дифференциального уравнения будет:

[ln|y| = -2x + ln|2|.]

[ln|y| = ln (2e^ {-2x}).]

Применяя свойство логарифма (ln {ab} = ln {a} + ln {b}):

[ln|y| = ln {2} + ln {e^ {-2x}}.]

[ln|y| = ln {2} – 2x.]

Теперь применим экспоненту к обеим сторонам уравнения, чтобы найти окончательное частное решение:

[y = e^ {ln {2} – 2x} = 2e^ {-2x}.]

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения (y’ = -2y), удовлетворяющее начальному условию (y (0) = 2), равно (y (x) = 2e^ {-2x}).

ChatGPT на Русском – Chat GPT

Дифференциальное уравнение y’ = -2y можно решить методом разделения переменных.

Разделим переменные:

dy/y = -2dx

Интегрируем обе части уравнения:

ln|y| = -2x + C, где C – произвольная постоянная.

Применяем начальное условие y (0) = 2 :

ln|2| = -2*0 + C

ln|2| = C

Подставляем значение C в 

...

конец ознакомительного фрагмента