Текст книги "Финансовая математика. Учебник по финансовому анализу малого бизнеса для кредитных специалистов"

Финансовая математика
Учебник по финансовому анализу малого бизнеса для кредитных специалистов
Олег Иванов

© Олег Иванов, 2024

ISBN 978-5-0050-6010-5

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

1. Проценты в финансовом мире

Само слово процент происходит от итальянского per cento [пер ченто], что означает в переводе «сотая доля». Т.е. процент есть не что иное, как сотая часть чего-то.

Знак процента не всегда выглядел таким как сегодня. Его эволюция выглядит следующим образом.

Первый эскиз использовался в пятнадцатом веке, и являлся аббревиатурой от per cento, второй эскиз уже из семнадцатого века и от per ceno осталось только «о». И в восемнадцатом веке у нас появился замечательный общепринятый знак «%».

Как вы уже знаете, процентная ставка – сумма, указанная в процентном выражении к сумме кредита, которую платит получатель кредита за пользование им в расчете на определенный период, месяц-квартал-год. Либо же, проценты – это доход от предоставления капитала в долг в разных формах – ссуды, кредиты.

Из всего этого, мы имеем два известных вам понятия одного слова:

Процент – это сотая часть целого

Процент – плата за пользование деньгами, или доход от предоставления денег.

Давай теперь рассмотрим виды процентов.

Процентная ставка – относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, называемый также периодом начисления.

Период начисления обычно считается в базовых единицах времени (год, квартал, месяц, день).

Проценты различаются по базе их начисления. При постоянной базе начисления используют простые проценты, при последовательно изменяющейся – сложные проценты.

1.2. Простые проценты

При использовании простых ставок процентов сумма процентов определяется исходя из первоначальной суммы или базы. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление процентов.

Рассмотрим на примере, как выводится формула расчета наращенной суммы, используя принцип простых процентов.

Клиент приходит в Банк, чтобы выбрать самый доходный вклад на 3 года, сумма его ограничена 100 рублей. Банк предлагает ему 2 вклада под 10% годовых, с начисление простых и сложных процентов. Клиент ничего не понимает в финансовых расчетах, и сотрудник банка решает ему объяснить схему начисления простых процентов.

По итогам первого года сумма вклада с процентами будет составлять 110 рублей, исходя из первоначальной суммы вклада и начисленных процентов.

К концу второго года сумма вклада будет увеличена на сумму процентов за этот год, т.е. на 10 рублей.

На момент закрытия вклада сумма с процентами будет составлять уже 130 рублей, т.к. за третий год также будут начислены проценты от первоначальной суммы вклада.

Если упростить данный расчет, то он будет выглядеть следующим образом.

Если вместо цифр поставить соответствующие обозначения, получается следующая формула:

Разберем для закрепления небольшой пример.

Ростовщик выдал клиенту 300 рублей, через 6 месяцев клиент отдал ему 336 рублей. Необходимо узнать, какова была процентная ставка в месяц по данной сделке?

Итак, у нас есть формула начисления простых процентов

Что нам известно? Известно, что итоговая сумма составила 336 рублей, начальная сумма составляла 300 рублей, период составил 6 месяцев. Необходимо найти неизвестное i в данной формуле, используя простейшие математические расчеты.

Таким образом, процентная ставка в месяц составила в данном примере 2%.

Если представить этот расчет в уже знакомых нам обозначениях, то он будет выглядеть так:

Данную формулу можно применять для различных расчетов. Например, находит начальную сумму, если известны прочие данные уравнения.

1.3. Переменные ставки простых процентов

В практике, при инвестировании средств, иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. При этом накопленная на конец срока сумма определяется по следующей формуле:

где,

i_t – переменные ставки простых процентов в периоде t (t=1, 2, …, m)

n_t – период начисления переменной ставки.

Пример.

Клиент положил на депозит 40 000 рублей на 1 год по ставке 9% годовых. По окончании срока депозита, Банк предложил пролонгацию всей суммы вклада на новых условиях еще на 2 года с увеличением ставки на 2%.

Определим, какая сумма будет на депозите по окончании всего срока.

Решение:

Sn = 40 000 х [1 + (1 х 0,09 +2 х 0,11)] = 52 400 рублей.

1.4. Сложные проценты

Начисление сложного процента основано на том, что в определенный момент начисленные проценты прибавляются к сумме вклада, т.е. сумма на счету увеличивается, и в следующем периоде проценты начисляются уже на большую сумму (процент на процент).

Возьмем в качестве примера уже знакомого нам клиента, который выбирает себе самый доходный вклад. Как и в примере с простыми процентами в первый год, клиент вложил 100 рублей под 10% годовых. Вспоминая формулу расчета простых процентов, отразим в цифрах данную ситуацию:

100 х (1+10%) = 110

На второй год клиент решил вложить уже имеющиеся 110 рублей под те же 10% годовых. По известной уже формуле данная ситуация выглядела бы так:

110 х (1+10%)

Вместо 110 вставим наш предыдущий расчет, и у нас получится следующее:

100 х (1+10%) х (1+10%) = 121

На третий год произошла аналогичная ситуация, клиент вложил весь доход, полученный за предыдущие годы, т.е. 121 рубль под ту же ставку – 10%. В нашу формулу вместо числа 121 поставим расчет за второй год, т.е. 100 х (1+10%) х (1+10%). За третий год поставим также данные в скобках (1+10%) и у нас получается вот такая формула.

100 х (1+10%) х (1+10%) х (1+10%) = 133,1

Если мы будем считать вложения клиента за следующие годы, то ситуация у нас будет повторяться. По правилам математики упростим получившуюся формулу, и у нас получится:

Теперь заменим рубли на S₀, 10% на i и будем выражать проценты в долях. Годы заменим на n, и обозначим сумму вклада с процентами через определенное количество лет как S_n. Тогда получим:

Рассмотрим эффект, который получается от долгосрочных вложений при использовании простых и сложных процентов. Вспомним, каков был доход клиента за этот период:

Графически это будет выглядеть так:

Как видно из рисунка, при краткосрочных вложениях начисление по простым процентам, то есть без реинвестирования накопленных средств, предпочтительнее, чем по сложным процентам. При сроке в один год разница отсутствует. Но при долгосрочных инвестициях сумма, рассчитанная по сложным процентам, значительно выше, чем по простым. Поэтому, если хотите ускорить рост вашего капитала, всегда помните о сложном проценте и реинвестируйте полученную прибыль.

Эффект сложных процентов

Представьте, что у Вашего дальнего родственника во времена Бориса Годунова были накопления в размере 1 копейки, которые он дал в долг под скромные по тем временам 10% годовых и постоянно бы их реинвестировал. Как Вы думаете, сколько у Вас было бы сейчас денег?

А было бы их ровно 1 313 843 250 024 500 (Один квадриллион триста тринадцать триллионов восемьсот сорок три миллиарда двести пятьдесят миллионов двадцать четыре тысячи пятьсот) рублей!11
  «Сложные проценты – это самая могущественная сила во вселенной.» (А. Эйнштейн)


[Закрыть]

Для того чтобы рассчитать предполагаемый доход, нужно было знать, что деньги Вашего родственника находились бы в обороте более 400 лет, т.е. необходимо было бы рассчитать продолжительность финансовой операции.

1.5. Продолжительность финансовых операций

Как известно, процент – это сотая доля целого. Простой и сложный процент рассчитываются за определенный период времени. Но какой период времени? Исторически сложилось, что время в финансовых операциях (вклады, кредиты и т.д.) принято выражать в годах. Но что такое год? Год – это единица измерения времени, равная обороту Земли вокруг Солнца? Но для финансовых расчетов не очень подходит. Причем чаще всего финансовые операции длятся по времени не ровное количество лет. В таком случае для определения времени в годах необходимо продолжительность операции в днях разделить на количество дней в году.

В календарном году 365 или 366 дней, но для более упрощенных расчетов и получения единой основы по договорам применяется также, что в каждом месяце ровно 30 дней, а в году, соответственно 360 дней. Данное количество дней в году называется «временной базой». Продолжительность финансовой операции также возможно считать точно или упрощенно.

Таким образом, два варианта определения одного параметра и два варианта определения другого параметра вместе дают четыре варианта расчёта продолжительности финансовой операции в годах:

«365/365» – продолжительность операции в днях и временная база определяются точно (или 366 дней, если високосный год).

«365/360» – продолжительность операции в днях определяется точно, а временная база – приближённо.

«360/360» -продолжительность операции в днях и временная база определяются приближённо.

«360/365» -продолжительность операции в днях определяется приближённо, а временная база – точно.

В мире возможно использование только трёх первых вариантов расчёта, четвёртый вариант не используется. На практике, например, в США и в большинстве стран Европы популярно применение приближенных расчетов «360/360». В практических расчётах, когда требуется найти число дней (неважно, точное или приближённое) между датами начала и окончания финансовой операции, первый и последний дни считаются за один, то есть объединяются.

Например, если операция начинается 1 апреля и заканчивается 2 апреля того же года, то её продолжительность принимается равной одному дню.

2. Формы погашения кредитов

В повседневной жизни существуют различные способы погашать долги:

– свободный график или его отсутствие (когда друзья занимают друг у друга)

– точный график

Однако в банковской практике существуют четкие формы погашения кредитов с зафиксированными датами платежей, так называемые графики погашения кредитов, при расчете которых используются различные методы начисления процентов:

– дифференцированный метод

– аннуитетный метод

На основе данных методов производится начисление процентов, расчет платежа, и формируется погашение кредита.

Самыми распространенными формами погашения кредитов являются:

– с единовременным погашением

– дифференцированная

– аннуитетная

– индивидуальная

Рассмотрим данные формы погашения кредитов по следующим критериям: временной период, размер погашения процентов и основного долга, структура платежа.

2.1. Единовременная форма погашения кредита

Единовременная форма погашения кредита может также называться «буллитной» (от англ. Bullet – пуля).

Проценты по буллитным кредитам выплачиваются ежемесячно, а погашение основного долга происходит одним платежом в конце срока кредита.

Данная форма погашения основана на следующих принципах:

– Проценты выплачиваются ежемесячно, их размер в некоторой степени постоянен в течение всего срока кредита.

– Основной долг не погашается ежемесячно, а выплачивается одной суммой в конце срока кредита.

– Ежемесячный платеж по кредиту состоит только из процентов вплоть до последнего месяца, в последний месяц к процентам добавляется и сумма основного долга.

В микрокредитовании и кредитовании малого бизнеса данная форма платежей используется крайне редко.

Пример

Клиент обратился за кредитом в размере 1 000 рублей. Ставка по кредиту 12% годовых. Срок кредита – 9 месяцев. В силу специфики бизнеса банк предложил клиенту в декабре кредит с единовременной формой погашения.

Рассчитаем ежемесячные проценты по кредиту и построим график погашения.

Решение

1 000 х 12% / 12 = 10 рублей.

Сумма основного долга выплачивается в конце срока.

2.2. Дифференцированная форма погашения кредита

Дифференцированная форма погашения кредита получила свое название от термина дифференциация (от лат. «differentia» – различие, разница) – это разделение, расслоение целого на различные части, формы и ступени.

В отличие от формы с единовременным погашением, в данном случае погашение основного долга происходит ежемесячными равными долями, а проценты рассчитываются на остаток основного долга. Таким образом, сумма каждого взноса отличается, поэтому ей и дали название «дифференцированная».

А дифференцированный метод начисления процентов означает, что при составлении графика погашения кредита соблюдается следующая очередность:

– основной долг делится на количество взносов и выплачивается ежемесячно равными долями

– проценты рассчитываются на остаток основного долга, выплачиваются ежемесячно и уменьшаются к концу срока кредита

– дифференцированный взнос по кредиту, состоящий из основного долга и процентов, также уменьшается к концу срока кредита.

Дифференцированный взнос – это ежемесячный платёж по кредиту, который уменьшается к концу срока кредитования и состоит из выплачиваемой постоянной доли основного долга и процентов на невыплаченный остаток кредита.

Так выглядят взносы по кредиту с дифференцированной формой погашения кредита:

2.2.1. Построение дифференцированного графика погашения кредита

Дифференцированный график, да и вообще любой график погашения кредитов, предполагает, что взносы должны производиться в определенные дни месяца. Поэтому, для начала построения графика определим даты погашения. Установим, что клиент получил кредит в сумме 10 000 рублей 5 марта, и данный кредит получен на 3 месяца, следовательно, даты погашения кредита также логично определить на пятые дни каждого месяца.

Таким образом, даты платежей будут следующие: 5 апреля, 7 мая (поскольку

5 мая – выходной день, ставим погашения на ближайший рабочий день, т.е. 7 мая), 5 июня.

Для построения графика и расчета процентов также необходимо определить количество дней в каждом периоде: с 5 марта по 5 апреля период будет составлять 31 день, с 5 апреля по 7 мая – 32 дня, с 7 мая по 5 июня – 29 дней, итого 92 дня.

Учитывая, что при дифференцированном методе, погашение тела кредита происходит одинаковыми суммами каждый месяц, можно рассчитать внос капитала и остаток кредита ежемесячно. Взнос капитала определяется делением суммы кредита на срок кредита: 10 000 / 3 = 3 333,33 рублей. Остаток основного долга ежемесячно уменьшается на эту же сумму. Во второй месяц остаток основного долга равен: 10 000 – 3 333,3 3 = 6 666,67 рублей. В третий месяц остаток основного долга равен: 6 666,67 – 3 333,33 = 3 333,34 рублей.

Следующим шагом возможно рассчитать сумму начисляемых процентов в каждом месяце. Для этого используется простая ставка процентов. Помним, что 2012 год високосный, количество дней в году – 366. Проценты за первый месяц будут начисляться 31 день на сумму 10 000 рублей:

10 000х0,19х31/366 = 160,93 рублей. Проценты за второй месяц будут начисляться 32 дня на сумму

6 666,67 рублей: 6 666,67х0,19х32/366 = 110,75 рублей. Проценты за третий месяц будут начисляться 29 дней на сумму 3 333,34 рублей: 3 333,34х0,19х29/366 = 50,18 рублей.

Зная сумму взноса капитала и процентов каждый месяц, возможно рассчитать размер общего платежка ежемесячно. Общий платеж в первый месяц: 3 333,33+160,93= 3 494,26 рублей. Общий платеж во второй месяц: 3 333,33+110,75=3 444,08 рублей. Общий платеж в третий месяц:

3 333,34+50,18=3 383,52 рублей.

Осталось рассчитать общую сумму процентов и всех платежей за три месяца. Проценты за три месяца пользования кредитом складываем: 160,93+110,75+50,18 = 321,86 рублей.

Общую сумму всех выплат определяем аналогично: 3 494,26+3 444,08+3 383,52 = 10 321,86 рублей. Или этот же результат получаем, если к суме кредита прибавить сумму выплаченных процентов за три месяца: 10 000,00+321,86 = 10 321,86 рублей.

2.3. Аннуитетная форма погашения кредита

Кроме дифференцированной, в банковской сфере часто используется аннуитетная форма погашения кредита. Аннуитет – ежегодный платеж (от лат. annuitas).

Основные принципы аннуитета:

– При расчете графика погашения сначала рассчитывается ежемесячный взнос.

– Взнос состоит из двух частей: начисленные проценты (за истекший месяц) и часть основного долга.

– Заемщик выплачивает ежемесячно равные суммы в течение всего срока кредита.

Аннуитетный взнос предполагает, что в каждом последующем взносе доля основного долга увеличивается, тогда как доля начисленных процентов уменьшается (поскольку уменьшается база для начисления процентов).

Аннуитетная форма погашения кредита графически выглядит следующим образом.

Формула для расчета аннуитетного платежа

Для того чтобы рассчитать аннуитетный график погашения, каждый специалист должен знать, как рассчитывается сумма взноса при данных платежах

Взнос можно также рассчитать на калькуляторе. Алгоритм расчета непростой, но дает возможность получить результат, когда под рукой нет компьютера.

Инструкция для расчета приведена в Приложении в конце учебника

2.3.1. Построение аннуитетного графика погашения кредита

Рассмотрим прежний пример. Клиент получил кредит в размере 10 000 рублей, срок кредита —

3 месяца, процентная ставка – 19% годовых, метод определения продолжительности финансовых операций – 365/365. Дата выдачи кредита – 05.03.2012. Разница в форме погашения кредита, рассмотрим аннуитетную форму.

Сумма аннуитетного взноса, которую мы можем рассчитать по формуле на калькуляторе составляет 3 439,44 рублей. Как и прежде, определим ежемесячные даты платежей и количество дней в каждом периоде. Согласно условий, аннуитетный взнос по кредиту составляет 3 439,44 рублей. Поэтому общий платеж, за исключением последнего месяца известен.

В аннуитетном графике погашения кредитов, размер взноса в последний месяц всегда определяется расчетным методом. Известно, что аннуитетный платеж состоит из 2-х частей – процентов и суммы основного долга. Определим, какая часть в первом взносе приходится на проценты, а какая на основной долг. Для этого начала рассчитаем сумму процентов, начисленных за первый месяц:

10 000*0,19*31/366 = 160,93 рублей. Соответственно, зная сумму взноса и сумму процентов, мы можем найти и сумму капитала в данном платеже: 3 439,55—160,94 = 3 278,51 рублей. Осталось рассчитать остаток основного долга после первого взноса:10 000 – 3 278,51 = 6 721,49 рублей.

Аналогичным образом определим сумму процентов и сумму капитала во втором взносе. Проценты начисляются на остаток капитала: 6 721,49*0,19*32/366 = 111,66 рублей. Зная сумму процентов, найдем определим сумму капитала во взносе и остаток основного долга после уплаты второго взноса. Взнос капитала: 3 439,44—111,66 = 3 327,78 рублей Остаток долга: 6 721,49 —

3 327,78 = 3 393,71 рублей.

Как уже говорилось, последний взнос определяется расчетным методом. Это связано с тем, что клиенту остается погасить фиксированную сумму остатка основного долга и расчетную величину процентов, начисленных за последний период. Остаток долга известен – 3 393,71 рублей. Сумма процентов за последний период: 3 393,71х0,19х29/366 = 51,09 рублей. Общий взнос в третий месяц: 3 393,71+51,09 = 3 444,80 рублей. Осталось рассчитать итоговые суммы платежей и процентов. Проценты за три месяца пользования кредитом складываем: 160,93+111,66+51,09 = 321,86 рублей. Общую сумму всех выплат определяем аналогично: 3 439,44+3 439,44+3 444,80 = 10 323,68 рублей.

Или этот же результат получаем, если к суме кредита прибавить сумму выплаченных процентов за три месяца: 10 000,00+323,68 = 10 323,68 рублей.

Сравнение дифференцированного и аннуитетного метода начисления процентов

Сравним в виде таблицы дифференцированный и аннуитетный графики погашения кредита.

2.4. Индивидуальная форма погашения кредита

В банковской практике также используется индивидуальная форма погашения кредита. Что берется за основу при ее построении? Может быть она строится с «ноля»?

За основу, как правило, берется либо дифференцированная, либо аннуитетная форма погашения кредита, особенности построений которых мы рассмотрели выше. Индивидуальные формы погашения кредитов открывают практически неограниченные возможности при их использовании на практике.

Графические примеры индивидуальных графиков погашения кредита

Пример гибкого графика на основе дифференцированной формы погашения кредита, при предоставлении клиенту отсрочки платежа на два месяца.

3. Пени

В процессе обслуживания кредита заемщики могут нарушить сроки исполнения своих обязательств по договору. Как банк может поступить в такой ситуации? В данном случае банк может начислить и взыскать неустойку в виде пени или штрафа.

Пеня по кредиту – вид неустойки, штрафная санкция за просрочку по кредиту, начисляющаяся в процентах на просроченную сумму за каждый просроченный день.