Текст книги "Закат Европы. Образ и действительность. Том 1"

5

Когда в пифагорейских кругах около 540 г. пришли к убеждению, что сущность всех вещей заключается в числах, тогда не только был сделан шаг вперед в развитии математики, но родилась новая математика из глубин античной духовной стихии, и возникла сознательная теория, задолго предвозвещенная в метафизических проблемах и поисках художественной формы. Это была совершенно новая математика наряду с навсегда оставшейся ненаписанной математиком египетской культуры и алгебраически-астрономически построенной математикой вавилонской культуры с ее эклиптическими системами координат, математиками, однажды родившимися в великую минуту истории и в то время давно уже умершими. Пришедшая в дряхлость ко времени римлян античная математика умерла для живой жизни, несмотря на сохранившуюся в нашем способе выражаться до настоящего времени видимость существования, чтобы много позднее и к иной далекой местности уступить место арабской; после того как и эта отжила свое время, через долгий промежуток времени на смену ей явилось совершенно новое порождение новой почвы, наша математика, которую мы в странном ослеплении считаем математикой вообще, вершиной и целью двухтысячелетнего развития, но жизнь которой, строго ограниченная назначенными ей столетиями, также близится к своему окончанию.

Изречение, гласящее, что число составляет сущность всех чувственно осязаемых вещей, осталось наиболее ценным положением античной математики. Оно определяет число как меру. В нем заключено все мироощущение души, страстно обращенной к настоящему и здешнему. Измерять в этом смысле – значит измерять что-либо близкое и телесное. Представим себе квинтэссенцию античного искусства, свободно стоящую статую нагого человека: в ней при помощи плоскостей, меры и чувственного соотношения частей исчерпывающе передано все существенное и значительное бытия, весь его этос. Пифагоровское понятие гармонии чисел – хотя, вероятно, и ведущее свое начало от одноголосной музыки – представляется как бы нарочно приспособленным к идеалу этой пластики. Обделанный камень лишь постольку и являет собой нечто, поскольку у него есть уравновешенные границы и измеренные формы, поскольку он получил осуществление под резцом художника. Без этого он только хаос, нечто еще не осуществленное, покамест еще ничто. Это ощущение, перенесенное в более обширные области, порождает в качестве противоположности хаосу космос, внешний мир античной души, гармонический распорядок всех заключенных в соответствующие границы осязаемо-наличных отдельных предметов. Сумма таких предметов и есть вселенная. Промежуток между ними, наше преисполненное всем пафосом высокого символа мировое пространство есть ничто, τό μή όν [39]39
  τό μή όν (греч.) – не сущее, не бытие, ничто.


[Закрыть]. Протяженность для античных людей значит телесность, для нас – пространство, в котором отдельные предметы «являются» функцией. Обратив наш взгляд отсюда назад, мы, может, разгадаем глубочайшее понятие античной метафизики, а именно άπειρον [40]40
  άπειρον (греч.) – беспредельное; бесконечное.


[Закрыть] Анаксимандра – слово, непереводимое ни на один из языков Запада; это то, что не имеет никакого числа в пифагорейском смысле, никаких измеряемых границ и величины, следовательно, не есть существо, а нечто безмерное и лишенное формы, статуя, еще не изваянная из куска камня. Это άρχή [41]41
  άρχή (греч.) – начало; началие.


[Закрыть] – нечто лишенное оптических границ и формы, из которого только путем образования границ, разделения на чувственно самостоятельные предметы возникает что-то, а именно мир. Таким образом, в основе античного познания в качестве априорной формы лежит телесность в себе, чему в кантовской картине мира точно соответствует абсолютное пространство, исходя из которого Кант, по собственному признанию, мог «мысленно вывести все вещи».

Теперь становится понятным, в чем отличие одной математики от другой, в особенности античной от современной. Согласно всему своему мирочувствованию, зрелое античное мышление могло видеть в математике только учение о соотношении величин, мер и форм физических тел. Когда, руководствуясь этим ощущением, Пифагор изрек свою основную формулу, для него число было именно оптическим символом, не формой вообще или абстрактным отношением, но разграничивающим признаком ставшего, поскольку последнее проявляется в чувственно обозримых подробностях. Вся Античность без исключения воспринимает числа как единицы меры, как величины, длины и поверхности. Другой род протяженности недоступен ее представлению. Вся античная математика в основе своей есть стереометрия. Евклид, живший в III веке и приведший всю систему к завершению, говоря о треугольнике, с внутренней необходимостью представляет себе поверхность, ограничивающую тело, но никогда не систему трех пересекающихся прямых линий или группу трех точек в пространстве трех измерений. Линию он определяет названием «длина без ширины», μήκος’απλατες. При нашем способе выражаться это определение показалось бы убогим. В границах античной математики оно превосходно.

И наше западное число, в противность мнению Канта и даже Гельмгольца, не развилось из «априорной формы созерцания времени», но в качестве распорядка однообразных величин представляет собой нечто специфически пространственное. Время, как это станет понятным на основании дальнейшего, не имеет ничего общего с математическими предметами. Числа принадлежат исключительно сфере протяженного. Но имеется столько же возможностей – и, следовательно, необходимостей систематически изобразить протяженность, – сколько имеется культур. Античное число не есть мышление о пространственных отношениях, но мышление об отграниченных для телесного глаза осязаемых единицах. Поэтому Античность – это вытекает с полной необходимостью – знает только естественные (положительные, целые) числа, которые среди многих в высшей степени абстрактных родов чисел западной математики, как то: комплексных, гиперкомплексных, неархимедовских и иных систем, – занимают обычное, ничем не выделяющееся положение.

Поэтому представление об иррациональных числах, или, по нашему начертанию, о бесконечных десятичных дробях, осталось для греческого духа совершенно недоступным. Евклид говорит – и следовало бы точнее принимать смысл его слов, – что несоизмеримые расстояния относятся между собой «не как числа». Действительно, в законченном понятии иррациональных чисел лежит полное отделение понятия числа от понятия величины, причина этому та, что иррациональное число – например, π – никогда не может быть отграничено или точно выражено при помощи известного расстояния. Из этого следует, что, например, в представлении об отношении стороны квадрата к его диагонали, античное число, представляющее собой, собственно, чувственную границу, замкнутую величину, и ничто иное, соприкасается с совершенно иной числовой идеей, в самой своей сути чуждой античному мирочувствованию и поэтому жуткой, как будто бы речь идет о том, чтобы открыть опасную тайну собственного существования. На это указывает позднегреческий миф, согласно которому тот, кто впервые извлек рассмотрение иррационального из сокровенности и предал его гласности, погиб при кораблекрушении, «так как невысказываемое и безобразное должно постоянно оставаться сокровенным». Кто поймет страх, лежащий в основе этого мифа, – тот же страх, который постоянно удерживал греков зрелого времени от расширения их крохотных городов-государств в политически организованные страны, от устройства широких проспектов и аллей с далеким видом и рассчитанным завершением, от вавилонской астрономии с ее устремлением в бесконечные звездные пространства, от преодоления границ Средиземного моря и исследования путей, давно открытых кораблями египтян и финикиян, эту глубокую метафизическую боязнь перед преодолением осязательно-чувственного и настоящего, при помощи которого античное существование окружило себя как бы защитной стеной, за пределами которой лежало что-то жуткое, бездна и первоисточник в известной мере искусственно созданного и утвержденного космоса, – кто поймет это чувство, тому станет понятным основная сущность античного числа, являвшего собой меру в противоположность неизмеримому, а также глубокий религиозный этос, выражающийся в этом ограничении. Гёте в качестве художника с большой страстностью усвоил себе, по крайней мере в своих естественно-исторических исследованиях, эту точку зрения – отсюда его, можно сказать, исполненная страхом полемика против математики, инстинктивно направленная главным образом на то, чего еще никто как следует не понял, против всей неантичной математики и лежавшего в основе современного ему естествознания счисления бесконечно малых.

Античная религиозность с возрастающей определенностью сосредоточивается на чувственно непосредственных – связанных с местом – культах, вполне отражающих это наделенное образом, всегда близкое божество. Абстрактные, в бесприютных пространствах мышления витающие догматы всегда оставались ей чуждыми. Культ и догмат относятся друг к другу как статуя к органу в соборе. В евклидовой математике, несомненно, остается что-то культовое. Достаточно припомнить учение о правильных многогранниках и их значение для эзотерики платоновской школы. Этому соответствует, с другой стороны, глубокое сродство анализа бесконечности – начиная с Декарта с современной ему догматикой, устремляющейся к чистому, освобожденному от всяких чувственных отношений деизму. Вольтер, Лагранж и д’Аламбер – современники. Из недр античного духа принцип иррационального, т. е. разрушение статуарного ряда целых чисел, этих представителей совершенного в себе миропорядка, воспринимали как некоего рода святотатство против божества. У Платона в «Тимее» это чувство выступает с полной очевидностью. Действительно, с превращением прерывающегося числового ряда в непрерывный оказывается под вопросом не только античное понятие числа, но и весь античный мир. Становится понятным, что для античной математики совершенно невозможны легко укладывающиеся в наше представление отрицательные числа, не говоря уже о нуле как числе, обладающем для индийской души, впервые создавшей это понятие, вполне определенным метафизическим привкусом. Отрицательные величины не существуют. Выражение: –2×–3=+6 не является ни наглядным, ни представлением величины. На +1 кончается ряд величин. В графическом изображении отрицательных чисел (+3-, +2-, +1-, 0-, —1-, —2-, —3), начиная с нуля, расстояния вдруг становятся положительными символами чего-то отрицательного. Они обозначают что-то, но уже не существуют реально. Отрицательные числа не величины, но что-то такое, на что величины только намекают. Осуществление этого акта отклоняется от линий направления античного числового мышления.

Все родившееся из античного духа становится действительностью только путем пластического отграничения. То, что нельзя нарисовать, – не число. Платон, Архит и Эвдокс говорят о плоскостных и телесных числах, имея в виду нашу вторую или третью степень, и само собой разумеется, что понятие высших целых степеней для них не существует. Четвертая степень для являющегося по существу своему пластическим чувства, которое тотчас же истолкует ее как протяженность в четырех измерениях, становится бессмыслицей. Постоянно встречающееся в наших формулах выражение е^ix или даже применявшееся уже в XIV столетии Оресмом обозначение 5^1/2 показалось бы античному чувству полным абсурдом. Евклид называет множители произведения сторонами (πλευραι [42]42
  πλευραι (греч.) – бока; стороны; крылья.


[Закрыть]). В древности оперируют с дробями – конечными, само собою разумеется, – прибегая к исследованию отношения двух отрезков прямой линии, выражающихся в целых числах. Именно поэтому идея числа нуль тут совершенно не может проявиться, так как графически она бессмысленна. Пусть не возражают, исходя из привычного способа мышления, что это только «первоначальная ступень» в развитии математики. Внутри того мира, который античность создала вокруг себя, античная математика есть нечто законченное. Незаконченной она представляется только нам. Вавилонская и индийская математики давно уже усвоили в качестве существенных элементов своего мира чисел многое из того, что с точки зрения античного числового чувства являлось бы бессмысленным, и многие греческие мыслители знали об этом. Единая математика – повторяем это еще раз – есть иллюзия. Действительно только то, что адекватно ей, символически значительно для собственной душевной жизни. Только это представляется логически необходимым, все остальное невозможным, ошибочным, бессмысленным, или, как мы привыкли, руководясь гордостью исторического ума, называть «примитивным». Современная математика – одно из высших достижений западного духа и, во всяком случае, истинная только для нас – показалась бы Платону смешным и бесплодным заблуждением и уклонением на пути к достижению истинной, конечно, в античном смысле, математики, и трудно себе даже представить, сколько великих концепций чуждых культур погибло по нашей вине, так как мы, исходя из нашего способа мышления и заключенные в его границы, не могли их усвоить или, что то же, считали их ложными, излишними и бессмысленными.

6

В качестве учения о наглядных величинах античная математика ставит себе целью исключительно истолкование наличных фактов и ограничивает, следовательно, свое исследование и пределы применимости предметами близлежащими и малыми. В противоположность этой последовательности, в практических приемах западной математики вскрывается нечто в высшей степени нелогическое; это обстоятельство, однако, стало известным только после открытия неевклидовых геометрий. Числа суть чистые формы познающего духа. Их точная применимость к реально созерцаемому является, следовательно, самостоятельной проблемой. Совпадение математических систем с эмпирикой далеко не есть нечто само собой понятное. В противоположность предрассудку непосвященных (встречающемуся также у Шопенгауэра) о непосредственной математической очевидности созерцания, евклидова геометрия, имеющая с популярной геометрией всех времен только самую поверхностную тождественность, в самых только узких пределах («на бумаге») приблизительным образом согласуется с созерцаемым. Как дело обстоит при больших расстояниях, видно из простого факта, что параллельные линии пересекаются на горизонте. Вся живописная перспектива основана на этом. Тем не менее Кант, беря исходной точкой наивное сравнение величин, совершенно непростительным для западного мыслителя образом уклонялся от «математики далеких пространств» и постоянно, совершенно по-античному ссылался на маленькие фигуры, на примере которых, вследствие именно их незначительной величины, специфически западная проблема бесконечных как раз не находила себе никакого применения. Евклид также избегал ссылаться для доказательства справедливости своих аксиом на пример такого треугольника, три вершины которого определялись бы местонахождением наблюдателя и двумя неподвижными звездами и который, следовательно, не мог быть ни нарисован, «ни созерцаем»; это является, однако, вполне обоснованным для античного мыслителя. В нем действовало то же самое чувство, которое испытывало страх перед иррациональным и не дерзало понять ничто как нуль, как число, то чувство, которое при созерцании космических отношений закрывало глаза на неизмеримое, чтобы сохранить символ меры.

Идеи Аристарха Самосского, около 270 г. начертавшего систему вселенной, при вторичном открытии Коперником так глубоко взволновавшую метафизические страсти Запада – стоит только вспомнить Джордано Бруно – и ставшую осуществлением огромных ожиданий и подтверждением того фаустовского, готического мироощущения, которое уже в архитектуре соборов принесло свою жертву идее бесконечного пространства, эти идеи были встречены античностью с полным равнодушием и вскоре – хочется сказать, намеренно – были забыты. И действительно, Аристархова система вселенной для этой культуры в душевном смысле лишена значения. Она могла даже стать опасной для ее основной идеи. И все-таки в отличие от Коперниковой – и этот основной факт оставлялся всегда без внимания – своей особой формулировкой она была точно приноровлена к античному мироощущению. Аристарх в качестве внешней границы космоса принимал телесно вполне ограниченный, оптически усвояемый пустой шар, в середине которого находится мыслимая в Коперниковом смысле планетная система. Таким образом, был устранен принцип бесконечного, могший стать опасным для чувственно-античного понимания предела. Мы не встречаем в античности ни одного намека на мысль о бесконечности мирового пространства, каковая мысль, по-видимому, кажется в данном случае неизбежной и давно сделалась доступной вавилонскому мышлению. Мы видим даже обратное. Архимед в своем сочинении о «числе песка» (уже само слово указывает, что здесь мы имеем дело с опровержением всяких тенденций в сторону бесконечного, несмотря на то что его все еще считают первым шагом на пути к современному интегральному счислению) доказывает, что это стереометрическое тело (так как Аристархов космос является именно таковым), будучи наполнено атомами (песком), приводит нас к очень большим, однако не бесконечным числовым результатам. Это равносильно отрицанию всего того, что мы называем анализом. Вселенная нашей физики зиждется на строгом отрицании всякой материальной ограниченности, как это доказывают постоянно опровергаемые и вновь навязчиво проникающие в умы теории материального, т. е. условно наглядного мирового эфира. Платон, Аполлоний и Архимед, несомненно самые проницательные и смелые математики древности, создали на основании пластически-античного понятия предела совершенную систему чисто оптического анализа ставшего. Они пользуются глубоко продуманными и малодоступными для нас методами особого интегрального исчисления, имеющими лишь кажущееся сходство с методом определенного интеграла Лейбница, и применяют геометрические места точек и координаты, являющиеся определенными именованными размерами и протяженностями, в противоположность неименованным пространственным отношениям и значимости точек в зависимости от их положения в пространстве, как это мы встречаем у Ферма и в особенности у Декарта. Сюда относится в первую очередь метод истощения величин Архимеда, изложенный в недавно открытом его сочинении, обращенном к Эратосфену, в котором он выводит квадратуру сегмента параболы, прибегая к исчислению вписанных прямоугольников (а не к исчислению подобных многоугольников). Но как раз тот остроумный, бесконечно запутанный прием, при помощи которого он, следуя некоторым идеям Платона, достигает результата, осязательным образом вскрывает огромную разницу между этой интуицией и по внешности сходной с ней Паскалевой. Если не считать Риманова понятия интеграла, наиболее резкую противоположность его приему представляют собой наши современные (к сожалению, так до сих пор именуемые) квадратуры, причем в последнем случае значится, что «поверхность» ограничена функцией, и нет никакого намека на применение начертательного приема. Нигде обе математики не соприкасаются более близко и нигде не ощущается с большей очевидностью непреодолимая пропасть, разделяющая две души, выражением которых они являются.

Чистые числа, феномен которых древние египтяне, движимые страхом перед их таинственным происхождением, таили в стиле своих храмовых зал, пирамидах и рядах статуй, были также и для эллинов ключом к смыслу всего ставшего, неподвижного и, следовательно, преходящего. Математическое число в качестве формального основного принципа протяженного мира, который получает свое существование только из бодрствующего человеческого сознания и существует только для него, находится через посредство причинной необходимости в связи со смертью, так же как хронологическое число находится в связи со становлением, с жизнью, с необходимостью судьбы. Эта связь математической формы с концом органического существования, с явлением его неорганических остатков, т. е. трупа, все с большей очевидностью вскрывает перед нами происхождение всех больших искусств. Мы уже имели случай говорить о происхождении ранней орнаментики из погребального культа. Числа – символы преходящего. Неподвижные формы отрицают жизнь. Формулы и символы вводят неподвижность в картину природы. Числа убивают.

Матери «Фауста» величественно царят в одиночестве «в беспорядочных областях призраков», где

 
      Образованье, преобразованье И вечной мысли вечное дрожанье, Вкруг образы всех тварей, словно дым. (Гёте. Фауст. II ч. Пер. А. Фета)
 

Здесь Гёте сближается с Платоном в общем предугадывании какой-то последней тайны. Матери, недостижимое – идеи Платона – обозначают возможности духа, его не родившиеся формы, которые в видимом мире, образовавшемся с глубокой внутренней необходимостью из идеи этого духа, обрели свое проявление в виде творящей и созданной культуры, в виде искусства, мыслей, государства и религии. На этом основана родственность системы чисел известной культуры с ее идеей мира, и благодаря такому соотношению система чисел становится чем-то большим, чем только знание и познание, и приобретает значение мировоззрения, следствием чего является существование стольких же математик – миров чисел, – сколько существует высоких культур. Только благодаря этому становится понятной причина и неизбежность того обстоятельства, что великие математические мыслители, художники в царстве чисел, отправляясь от религиозной интуиции, достигли открытия основных математических проблем своей культуры. Так следует рисовать себе сознание античного аполлоновского числа Пифагором, основавшим религию. То же исконное чувство руководило великим Николаем Кузанским, епископом Бриксенским, когда он около 1450 г., исходя из созерцания беспредельности Бога в природе, открыл основы исчисления бесконечных величин. Лейбниц, приведший два столетия спустя эту идею к завершению, сам исходил из чистого метафизического размышления о принципе божественного и его отношении к беспредельной протяженности и таким образом создал analysis situs [43]43
  analysis situs – «анализ ситус», анализ положений, расположения фигур; современная топология.


[Закрыть], эту, пожалуй, более гениальную интерпретацию чистого, отвлеченного от всего чувственного пространства, богатые возможности которой были использованы только в XIX в. Грассманом в его учении о протяженности и Риманном в его символике двухсторонних плоскостей, выражающих природу уравнений. Декарт, глубоко верующий христианин из кругов Пор-Руаяля, следуя внутреннему побуждению, попутно с философско-математическим преподаванием вернул в католичество пфальц-графиню Елизавету и шведскую королеву Христину, дочь Густава-Адольфа. Кеплер и Ньютон, оба строго религиозные натуры, подобно Платону, были вполне убеждены, что им удалось при посредстве чисел интуитивно познать сущность божественного мироустройства.