Текст книги "Экономико-математические методы и модели в бизнес-системах"

Экономико-математические методы и модели в бизнес-системах
Роман Гондарев

© Роман Гондарев, 2016

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Предисловие

Предлагаемые автором методические рекомендации по организации самостоятельной работы студента составлены с целью дать комплексное общепринятое представление о современных проблемах экономико-математических методов и моделей, используемых при исследовании и управлении бизнес-системами.

Методические рекомендации составлены по находящимся в свободном доступе учебным источникам, список которых приведён после изложения изучаемого материала, содержат общепринятую терминологию, логические модели, вопросы и задания для самоконтроля.

Предназначены для самостоятельной работы магистрантов в составе рабочей программы дисциплин подготовки магистров по укрупнённой группе 080000 – Экономика и управление, направлению 080200.68 – Менеджмент, программе 080200.68.16 – Стратегическое управление, дисциплине – «Экономико-математические моделирование в бизнес – системах», разделу (теме) – Экономико-математические методы и модели в бизнес – системах.

В методических рекомендациях рассмотрены природа бизнес-систем, сущность экономико-математических методов и моделей, основные экономико-математические методы м модели, применяемые в исследовании бизнес-систем.

Представленные в методических рекомендациях основные информационно-графические материалы могут быть полезны при проведении интерактивных лекционных занятий.

Проблематика экономико-математических методов и моделей в бизнес—системах

• Сущность и характеристики бизнес-систем;

• Функции бизнес-систем;

• Основные качества системы бизнеса;

• Особенности бизнес-систем;

• Классификация экономико-математических методов;

• Виды экономико-математических методов;

• Классификация экономико-математических моделей;

• Принципы построения экономико-математических моделей;

• Этапы экономико-математического моделирования;

• Модели прогнозирования;

• Модели межотраслевого баланса;

• Модели систем массового обслуживания.

Терминология

Адекватность модели – требование к модели, состоящее в её способности воспроизводить свойства, состояние и поведение исследуемого объекта с достаточной для поставленных целей точностью и в достаточно широком диапазоне изменения её состояния и состояния её среды. Достаточным условием адекватности модели является её гомоморфизм исследуемому объекту.

Аналитические модели – математические модели, разрабатываемые для исследования структуры моделируемой системы. В экономико-математическом моделировании, как правило, имеют целью выявление резервов повышения эффективности функционирования моделируемой системы либо факторов, влияющих на исследуемые показатели хозяйственной деятельности, а также формы и степени их влияния.

Апостериорное решение – в стохастических двухэтапных моделях – вектор оптимальных значений переменных, характеризующих плановые задания, выполняемые после поступления информации о наступлении определённого случайного события, влияющего на хозяйственные результаты.

Априорное решение – в стохастических двухэтапных моделях – вектор оптимальных значений переменных, характеризующих плановые задания, требующие выполнения до поступления информации о случайных событиях, влияющих на ожидаемые хозяйственные результаты.

Баланс – в экономико-математическом моделировании – уравнение или неравенство, устанавливающее соответствие между источниками ресурса и направлениями его использования.

Гомоморфизм – одностороннее отношение подобия структур двух систем. Система называется гомоморфной другой системе, если можно указать отношение, отображающее любой допустимый вектор её переменных на вектор некоторых выбранных переменных другой системы, компоненты которого являются компонентами некоторого допустимого вектора её состояния. Обязательное требование к модели – её гомоморфизм моделируемому объекту.

Двойственная оценка ограничения – величина, характеризующая прирост значения целевой функции задачи математического программирования при малом изменении величины свободного члена данного ограничения; частная производная оптимального значения целевой функции, рассматриваемого в качестве функции свободных членов ограничений задачи математического программирования, по величине свободного члена данного ограничения.

Дескриптивные модели – модели, целью которых является формализованное представление знания о структуре моделируемого объекта.

Имитационная модель – математическая модель, воспроизводящая поведение исследуемого объекта и применяемая для постановки компьютерных экспериментов, выявляющих особенности функционирования объекта при различных внешних условиях и управляющих воздействиях.

Инвариантность – однозначность.

Линейное программирование – формализм, используемый для представления знаний о структуре моделируемых объектов в форме задачи отыскания экстремума линейной функции на множестве допустимых значений переменных, заданном системой линейных уравнений и (или) неравенств.

Макроэкономическая модель – экономико-математическая модель, в которой не выделяются переменные, описывающие отдельных хозяйствующих субъектов (предприятия, отрасли), составляющих моделируемую хозяйственную систему, и которая отражает только связи, присущие этой системе как целому.

Математическая модель – формализованное на языке математики описание объекта или процессов, в нем протекающих.

Модель – это образ реального объекта, отражающий существенные свойства этого объекта и замещающий его в ходе исследования.

Неограниченность целевой функции – ситуация, при которой множество допустимых значений переменных задачи математического программирования содержит значения, доставляющие сколь угодно большое значение целевой функции. Если имеет место неограниченность целевой функции, оптимального решения задачи не существует.

Несовместность системы ограничений – ситуация, при которой множество допустимых значений переменных задачи математического программирования пусто вследствие наличия взаимоисключающих уравнений или неравенств, определяющих это множество. Вследствие отсутствия допустимых значений при несовместности системы ограничений оптимального решения задачи не существует.

Оптимальный план – план, доставляющий максимум целевой функции, отражающей выбранный критерий эффективности функционирования объекта планирования при соблюдении требований, заданных в форме системы уравнений и неравенств. Оптимальный план не обязательно является наилучшим планом, подлежащим утверждению и последующему выполнению, поскольку учитывает только те условия хозяйственной деятельности, которые удалось описать в математической форме. Во многих случаях процесс планирования требует использования информации, содержащейся во множестве разнообразных оптимальных планов.

Оптимизационная модель – математическая модель, имеющая форму задачи математического программирования.

Синтетические модели – математические модели, разрабатываемые для проектирования новых, отличающихся от известных, систем с заданными свойствами. К числу синтетических экономико-математических моделей относятся, например, модели формирования инвестиционных программ и др.

Система – это множество взаимосвязанных объектов, образующее единое целое и способное реагировать на внешние воздействия.

Системное моделирование – процесс имитации свойств, состояния и поведения во внешней среде систем со сложной или очень сложной структурой в целях управления ими, осуществляемый при помощи системы математических моделей.

Системы массового обслуживания (СМО) – системы специфического вида, предназначенные для обслуживания потока заявок (требований).

Теоретическая модель – математическая модель, описывающая структуру исследуемого объекта в общем виде, без спецификации конкретных числовых значений параметров.

Тренд – длительная тенденция.

Целевая функция – математическое выражение, отражающее выбранный критерий эффективности функционирования исследуемой системы в её математической модели.

Экзогенные переменные – независимые переменные.

Экстраполяция – метод продления на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом.

Эмпирическая модель – математическая модель, содержащая числовые параметры, значения которых обоснованы данными опыта или наблюдения.

Эндогенные переменные – зависимые переменные.

Основы моделирования бизнес-систем

Сущность бизнес-систем

Бизнес-система – целостное множество бизнес-процессов, реализуемых организационной единицей для достижения ее стратегических целей.

Характеристики бизнес-систем

Целесообразность означает, что бизнес способен придавать входящим в него элементам цель – получение прибыли.

Целостность означает объединение всех сфер экономики настолько, насколько это необходимо в бизнесе для реализации его главной цели – максимизации прибыли.

Противоречивость – характеристика, которая соответствует наличию противоречий в бизнесе, поскольку они являются источником его развития.

Активность бизнеса характеризует социальное явление, связанное с социумом. Любой начинающий или развивающийся предприниматель должен выбирать вид деятельности свободно и в законном порядке, не мешая и не преграждая другим предпринимателям развивать свой бизнес.

Основными функциями бизнес-системы являются

1. Производство – эта функция способствует созданию добавленной стоимости в процессе преобразования.

2. Финансы – это функция, которая обеспечивает предприятие ресурсами и оптимально распределяет их в компании.

3. Маркетинг – функция продажи или продвижения на рынок товаров или услуг.

Особенности цивилизованного бизнеса

Экономико-математические методы

Экономико-математические методы – это комплекс экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения бизнес-процессов.

Все экономико-математические методы можно разделить на два класса по признакам оптимальности и получения точного решения.

По классификационному признаку оптимальности все экономико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы; оптимизационные и не оптимизационные. Если метод или задача позволяет искать решение по заданному критерию оптимальности, то этот метод относят в группу оптимизационных методов. В случае, когда поиск решения ведется без критерия оптимальности, соответствующий метод относят к группе не оптимизационных методов.

По признаку получения точного решения все экономико-математические методы делятся на точные и приближенные. Если алгоритм метода позволяет получить только единственные решение по заданному критерию оптимальности или без него, то данный метод относят к группе точных методов. В случае, когда при поиске решения используется стохастическая информация и решение задачи можно получить с любой степенью точности, используемый метод относят к группе приближенных методов. К группе приближенных методов относят и такие, при применении которых не гарантируется получение единственного решения по заданному критерию оптимальности.

Экономико-математические методы представлены в виде некоторых укрупненных группировок.

Линейное программирование – это линейное преобразование переменных в системах линейных уравнений.

Дискретное программирование представлено двумя классами методов: локализационные и комбинаторные методы. К локализационным относятся методы линейного целочисленного программирования. К комбинаторным, например, метод ветвей и границ.

Математическая статистика используется для корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализа экономических процессов и явлений. Корреляционный анализ применяется для установления тесноты связи между двумя или более стохастически независимыми процессами или явлениями. Регрессионный анализ устанавливает зависимость случайной величины от неслучайного аргумента. Дисперсионный анализ – установление зависимости результатов наблюдений от одного или нескольких факторов в целях выявления важнейших.

Динамическое программирование используется для планирования и анализа экономических процессов во времени. Динамическое программирование представляется в виде многошагового вычислительного процесса с последовательной оптимизацией целевой функции. Некоторые авторы относят сюда же имитационное моделирование.

Теория игр представляется совокупностью методов, используемых для определения стратегии поведения конфликтующих сторон.

Теория массового обслуживания – большой класс методов, где на основе теории вероятностей оцениваются различные параметры систем, характеризуемых как системы массового обслуживания.

Теория управления запасами объединяет в себе методы решения задач, в общей формулировке сводящихся к определению рационального размера запаса какой-либо продукции при неопределенном спросе на нее.

В стохастическом программировании исследуемые параметры являются случайными величинами.

Нелинейное программирование относится к наименее изученному, применительно к экономическим явлениям и процессам, математическому направлению.

Теория графов – направление, где на основе определенной символики представляется формальное описание взаимосвязанности и взаимообусловленности множества элементов (работ, ресурсов, затрат и т.п.). До настоящего времени наибольшее практическое применение получили так называемые сетевые графики.

Экономико-математические модели

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства бизнес-процессов с помощью системы уравнений.

Единой классификации экономико-математических моделей не существует, однако можно выделить наиболее значимые группы в зависимости от признака классификации.

В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования.

В статических моделях бизнес-система описана в статике, применительно к одному определенному моменту времени. Это фрагмент динамической системы в какой-то момент времени.

Динамические модели описывают бизнес-систему в развитии.

В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования.

Наиболее распространены эконометрические модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений. В данных уравнениях отражается зависимость эндогенных переменных от экзогенных переменных. Данная зависимость в основном выражается через тренд основных показателей моделируемой экономической системы.

Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации.

Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наиболее эффективным образом для достижения поставленной цели.

Сетевые модели наиболее широко применяются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. В этом случае ставится задача нахождения критического пути. Однако существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ.

Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания.

Имитационная модель наряду с машинными решениями содержит блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать база знаний. В этом случае ЭВМ, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему.

Экономико-математические модели выстраиваются в соответствии с определенными принципами.

Принцип достаточности исходной информации означает, что в каждой модели должна использоваться только та информация, которая известна с точностью, требуемой для получения результатов моделирования.

Принцип инвариантности информации требует, чтобы входная информация, используемая в модели, была независима от тех параметров моделируемой системы, которые еще неизвестны на данной стадии исследования.

Принцип преемственности сводится к тому, что каждая последующая модель не должна нарушать свойств объекта, установленных или отраженных в предыдущих моделях.

Согласно принципу эффективной реализуемости необходимо, чтобы модель могла быть реализована при помощи современных вычислительных средств.

Экономико-математическое моделирование проходит через определенные этапы.

Проанализируем последовательность и содержание этапов цикла экономико-математического моделирования:

Этап 1. Главное на этом этапе – чётко сформулировать сущность проблемы, определить принимаемые допущения, а также определить те вопросы, на которые требуется получить ответ. Этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта, основных зависимостей, связывающих его элементы. Здесь же происходит формулирование гипотез, хотя бы предварительно объясняющих поведение объекта.

Этап 2. Это этап формализации задачи, т.е. выражения ее в виде математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств, схем). Как правило, сначала определяется тип математической модели, а затем уточняются детали.

Этап 3. Цель – выявление общих свойств и характеристик модели. Применяются чисто математические приёмы исследования. Наиболее важный момент – доказательство существования решений в сформулированной модели. В тех случаях, когда не удается выяснить общих свойств модели аналитическими методами, а упрощение модели приводит к недопустимым результатам, прибегают к численным методам исследования.

Этап 4. Численное моделирование предъявляет жесткие требования к исходной информации. В то же время реальные возможности получения информации существенно ограничивают выбор используемых моделей. При этом принимается во внимание не только возможность подготовки информации (за определенный срок), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов.

Этап 5. Это составление алгоритмов, разработка программ и непосредственное проведение расчётов на ЭВМ.

Этап 6. На заключительной стадии проверяются правильность, полнота и степень практической применимости полученных результатов.

После каждой из перечисленных стадий возможен возврат к одной из предыдущих в случае необходимости уточнения информации, пересмотра результатов выполнения отдельных этапов.

Основные экономико-математические модели

Модели прогнозирования

Наиболее распространенным методом прогнозирования является метод экстраполяции.

Для корректного применения метода экстраполяции требуется соблюдение двух условий:

В прогнозировании зачастую применяются трендовые модели, реализуемые по следующим этапам.

1. Выбор функции тренда для временного ряда.

Например, линейный тренд (полином первой степени) имеет уравнение:

Уравнение полиномиального тренда второй степени:

Экспоненциальный тренд имеет уравнение

,или

В формулах а₂, a_1, a_0, a, b и m —параметры тренда.

2.Численная оценка параметров моделей:

Показан пример фактических данных (значения y₁, y₂, y₃, y₄) и теоретических значений, рассчитанных по линейной трендовой модели

3.Оценка точности моделей.

Показателем точности модели является коэффициент детерминации R²:

,где

– среднее значение фактических показателей.

Модель считается достаточно точной, если коэффициент детерминации R² близок к единице.

4. Выполнение прогноза.

Когда выбрана функция тренда и известны ее параметры, прогноз выполняется путем подстановки значения будущего момента времени в эту функцию тренда. Например, для линейной модели:

Модели межотраслевого баланса

Модели межотраслевого баланса (МОБ) используются для анализа и планирования обмена продукцией.

В модели МОБ рассматривается система, которая состоит из нескольких экономических объектов, называемых отраслями. Каждая отрасль рассматривается одновременно и как производящая, и как потребляющая. Баланс производимой продукции представляется в виде таблицы.

Общая схема межотраслевого баланса.

Для любой производящей отрасли справедливо равенство:

Одной из основных задач балансовых моделей является определение объемов валовой продукции каждой отрасли на новый планируемый период X_i^пл при заранее заданных (запланированных) объемах конечной продукции Y_i^пл с учетом установившихся пропорций взаимного потребления продукции отраслями.

Величина

называется коэффициентом прямых материальных затрат и показывает, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо для производства единицы продукции j – ой отрасли.

В моделях МОБ принимается допущение, что величина постоянна, поэтому коэффициенты прямых материальных затрат рассчитываются по отчетным данным, а затем используются для определения неизвестных величин в планируемом периоде.

Соотношение называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса или моделью Леонтьева. На основе этой модели можно найти объемы валовой продукции, зная запланированные объемы конечной продукции, и наоборот.

Величина

называется коэффициентом прямых затрат ресурсов и показывает, какое количество i—го внешнего дефицитного ресурса необходимого для производства единицы валовой продукции в j—ой отрасли.

Коэффициенты прямых затрат ресурсов рассчитываются по отчетным данным, а затем используются для определения количества ресурсов, которые понадобятся в плановом периоде:

Найденное количество требуемых ресурсов нужно сравнить с известным выделенным объемом ресурсов. Если выполняется неравенство

то ресурсов достаточно и план реализуем.