Читать книгу "Ваш супермозг. Развиваем ментальные навыки, тренируем мышление, улучшаем память и прокачиваем интеллект"

Вычитание

Существует три основных приема, облегчающих вычитание:

1) сложение;

2) деление на кусочки;

3) моя собственная техника быстрого вычитания.

СЛОЖЕНИЕ

Как решить пример на вычитание, используя сложение? Возьмем следующий пример:

Чаще всего мы начинаем считать примерно так: «9 из 6 не вычитается, переносим единицу из 9, получаем 16; 16 минус 9 будет 7; 8 минус 7 будет 1; 7 из 5 не вычитается, переносим единицу из 7, получаем 15; 15 минус 7 будет 8; 6 минус 4 будет 2».

Но зачем проделывать все эти трудоемкие вычисления, если гораздо проще прибегнуть к сложению, чтобы произвести вычитание. Прежде чем начинать считать, нужно будет «подготовить» числа. Если верхнее число меньше нижнего, добавьте к нему 10, а к следующему числу слева внизу добавьте 1. После этого вам останется лишь назвать числа, которые нужно добавить к каждому числу снизу, чтобы получить то, которое находится над ним.

В нашем примере вычитание будет производиться так: 5 и 6 меньше, чем 7 и 9, поэтому мы сделаем из них 15 и 16.

Воспользовавшись этим приемом, вы получите правильный ответ (2817) гораздо быстрее, нежели обычным способом.

Если пример на вычитание длинный, то предварительная подготовка чисел к вычитанию для того, чтобы потом «добавить» к каждому нужное число и найти ответ, сэкономит вам массу времени.

ДЕЛЕНИЕ НА КУСОЧКИ

Как и в случае со сложением, вычитание можно упростить, если разбить большие числа на кусочки поменьше.

Допустим, вам предложили решить следующие примеры:

В первом примере мы разделим числа 97 и 32 на кусочки так:

При таком раскладе правильный ответ (65) прямо-таки бросается в глаза.

Точно так же можно поделить на кусочки и два «сложных» примера, и ответ опять-таки станет очевиден практически моментально.

Если в примере на вычитание в составе вычитаемого числа (внизу) есть числа, которые больше, чем числа в составе уменьшаемого (вверху), то подготовьте ваш пример должным образом, добавив в нужном месте 10 и еще 1 – в следующем столбце. Тогда пример «393–247» будет выглядеть так:

МОЯ СОБСТВЕННАЯ ТЕХНИКА БЫСТРОГО ВЫЧИТАНИЯ

Обычно на уроках математики учат вычитать справа налево. Так, чтобы из 100 вычесть 67, вы вначале вычитаете 7 из 0 (что, конечно же, невозможно). Идете к следующей цифре – это опять 0. Идете еще дальше, к единице, и переносите ее к 0 справа от нее, чтобы получить 10. Потом из этой десятки переносите 1 еще правее и получаете 10 уже там. Теперь вы можете из 10 вычесть 7 и получить 3. Но единицу из предыдущей десятки, той, что над шестеркой, вы перенесли, значит, там осталось 9. Из 9 вычесть 6 – получается 3. Значит, ответ будет 33.

Теперь возьмем тот же самый пример 100–67, но начнем вычитать справа. Сначала заменим первые 1 и 0 в 100 на 9, а второй 0 – на 10. Потом пойдем вычитать слева направо: 9 минус 6 равно 3, 10 минус 7 равно 3, ответ – 33. Правда, быстро?

Этот прием работает с такими числами как 100, 1000, 10 000, 100 000 и миллион. Меняем 1 и 0 на 9, и дальше каждый 0 на 9, кроме последнего, который превращается в 10. Легко и просто, ведь читаем-то мы обычно тоже слева направо. Вот вам еще один пример: вычтем 624 из 1000.

Меняем первые 1 и 0 в числе 1000 на девятку, второй 0 тоже превращается в 9, а последний – в 10; теперь вычитаем слева направо:

И каков ответ? 376.

Вычтем 792 из 10 000:

Как видите, в случае, если уменьшаемое имеет больше разрядов, чем вычитаемое, вы размещаете нижнее число под верхним так, чтобы самые правые их цифры находились одна под другой, а затем добавляете к нижнему числу слева нули (в данном случае – один 0) и выполняете вычитание. Таким образом, здесь мы вычитаем 0792 из 10 000.

Можно описать этот прием и по-другому: вычитая, допустим, из 1000, мы временно заменяем это число числом 999, а потом добавляем 1 обратно.

Или вот, например: вычтем 7438 из 10 000:

Это отличный прием, который позволяет быстро производить вычисления. Немного практики, и вы поразите своих друзей до глубины души. Мало-помалу вы дойдете до того, что станете давать ответ чуть ли не в тот же миг, как вам назовут вычитаемое. А заодно и сами поверите, что вы способны считать не только хорошо, но и быстро.

Используя этот прием, первое время записывайте условие и ответ на бумаге, а позднее считайте в уме.

Умножение

Для умножения у нас есть два очень полезных приема:

1) умножение на 5;

2) умножение на 11.

УМНОЖЕНИЕ НА 5

Чтобы умножить на 5, мы умножаем число на 10, а затем делим на 2. То есть для того, чтобы умножить 84 850 на 5, мы просто дописываем к числу нолик (то есть фактически умножаем его на 10) и получаем 845 800; после этого мы делим на 2 и получаем правильный ответ – 422 900.

Этот прием позволяет сэкономить массу времени. Особенно эффективен он в сочетании с приемом «деление на группы», который мы используем при делении (об этом будет подробнее рассказано в соответствующем разделе).

УМНОЖЕНИЕ НА 11

Чтобы умножить двузначное число на 11, нужно сложить обе его цифры и получившуюся сумму вставить посередине исходного числа.

К примеру, мы хотим умножить 72 на 11. Раздвигаем 7 и 2 и вставляем между ними сумму 7 и 2, то есть 9. Ответ – 792.

Если сумма двух цифр составляет 10 или больше, просто добавьте к самой левой цифре единицу. Так, например, чтобы умножить 85 на 11, мы раздвигаем 8 и 5, складываем их, получая 13, и в итоге ответ составляет 935.

Этот прием многократно упрощает подсчеты, и он не единственный: существует огромное количество способов, которые позволяют быстрее умножать на 11 и еще более длинные числа, а также умножать на 15, 25, 50, 75, 125 и так далее. Для особо интересующихся заметим, что существуют даже приемы для перемножения очень больших чисел.

Знакомство с приведенными выше простыми приемами должно явственно показать вам, что способности к математике зависят от умения обращаться с числами – а хитрых способов для этого существует великое множество.

Деление

Тут нам на помощь сразу же приходят простые приемы, позволяющие быстро произвести следующие вычисления:

1) деление на 2;

2) деление на 5.

ДЕЛЕНИЕ НА 2

Чтобы разделить число на 2, прибегните к «делению на группы». Этот способ подразумевает разбивку числа на части, с которыми легко управиться, в точности как мы это делали в разделах о сложении и вычитании. Так, чтобы разделить число 6 728 544 на 2, мы просто разбиваем его на следующие кусочки:

Каждый из этих кусочков можно с легкостью разделить на два, а прочитав результаты в том же порядке, мы получим 3, 36, 4, 27 и 2. Вместе это составит число 3 364 272.

Этот краткий пример показывает, что любой, кто хочет овладеть методом быстрых вычислений, должен не бросаться очертя голову в подсчеты, а прежде всего рассмотреть само число. При делении на 2 разбейте число черточками или вертикальными линиями (с практикой придет умение делать это мгновенно, и черточки станут не нужны). И принцип деления на группы, с помощью которого мы только что делили на 2, представляет собой универсальный прием ускорения подсчетов.

ДЕЛЕНИЕ НА 5

Чтобы разделить любое число на 5, поделите его на 10, а затем умножьте на 2.

К примеру, 823 разделить на 10 будет 82,3; умножаем на 2 – получаем 164,6.

Как и во всех остальных случаях, приемов быстрого умножения существует очень много. Приведенные здесь примеры призваны скорее иллюстрировать существование разнообразных способов облегчить подсчеты.

Овладев этими новыми способами сложения, вычитания, умножения и деления, вы, во-первых, продемонстрируете открытость и готовность к усвоению нового, а во-вторых, на себе почувствуете, как эффективны те или иные приемы: они работают. Ну, а в-третьих, вы сможете прибегнуть к этим приемам в самых разных ситуациях, где умение быстро и точно считать будет вам необходимо и полезно.

И наконец, в голове у вас, наверное, уже зашевелилась мысль: «Хм-м, а ведь я и в самом деле могу чуток подтянуться. Может, я вообще одаренный математик». А ведь буквально за мгновение до того вы стеснялись говорить цифры вслух и даже старались не бубнить себе под нос во время вычислений. А теперь, скорее всего, совершенно спокойно делаете и то и другое. Дело тут вот в чем: одна способность воображать числа и уверенно видеть их в своем воображении уже помогает считать быстрее. Люди, которые умеют хорошо и быстро считать, прибегают именно к воображению, потому что для воображения мы задействуем правое полушарие. Воспользуйтесь этим приемом и вы, и подсчеты пойдут гораздо быстрее.

Иными словами, когда речь заходит о быстром счете в уме, возможность задействовать оба полушария мозга становится чрезвычайно полезна. К тому же теперь вы видите, как просто, оказывается, усвоить новые навыки. Скажу больше: сегодня мы знаем, что хорошо тренированный мозг взрослого человека усваивает новые навыки быстрее, чем мозг любого ребенка.

Глава 3
Рациональное мышление и умение видеть логические нестыковки

Образовательная система не способна преподать нам самый главный урок любой науки – урок скептицизма.

Мы в подавляющем большинстве считаем себя существами рациональными, однако, когда принимаем решения, зачастую оказывается, что логика в них и не ночевала. Так, например, очень часто люди принимают на веру все, что слышат, видят или читают в СМИ, и делают это просто потому, что верят: уж новостники-то наверняка все проверили и дают только достоверную информацию. Эти люди не понимают, что свои искажения восприятия есть у всех: и у вас, и у меня тоже. У всех есть свои глубинные убеждения и склонность верить тому, что мы хотим считать правдой. Не защищены от такого рода искажений и новостные службы, и репортеры.

Умение пользоваться логикой – бесценное подспорье и в жизни, и на работе. Допустим, например, что вам нужно решить, хотите ли вы сделать прививку, которая защитит вас от инфицирования потенциально смертоносным вирусом и не позволит передать его другим. Сами вы этим вирусом уже переболели и выздоровели. Служба здравоохранения рекомендует прививаться всем поголовно, однако вы успели ознакомиться с исследованиями, которые показали, что естественный иммунитет, полученный в результате болезни, крепче иммунитета, который возникает после прививки. Авторы других исследований обнаружили, что для уже переболевших и оправившихся от вируса вакцинация сопряжена с дополнительными рисками. Что вы будете делать? Последуете ли рекомендациям чиновников от здравоохранения или сами сделаете выводы на основе доступных вам данных?

Вы можете не осознавать этого, но дезинформация, ложная информация и алогичность встречаются в мире буквально на каждом шагу. Увы, все попытки властей прикрутить краник ложной информации лишь порождают новые проблемы. Выбирая критерии, которые позволят отделить истину от лжи, люди зачастую пребывают под воздействием искажений. В итоге облеченные властью могут решить: то, во что они верят (или хотят, чтобы верили вы), – истина, а то, во что они не верят (или хотят, чтобы не верили вы), – ложь.

Единственное эффективное решение здесь, по-видимому, заключается в том, чтобы сочетать свободу слова с доступностью образования. Мы должны дать свободу информационному потоку, вести открытые дебаты и учить всех и каждого самостоятельно отличать факты от заблуждений. Кроме того, нам необходим здоровый скептицизм, с которым мы будем встречать каждое заявление или утверждение. В этой главе мы покажем вам путь в данном направлении и предложим несколько примеров и упражнений, которые помогут вам укрепить логическое мышление.

Что такое логика

Логический довод – это довод, вывод из которого верен, если верны лежащие в его основе базовые факты, или посылки.

Проверить, какие факты лежат в основе вашего довода, обычно несложно: вы всегда можете проследить их вплоть до источника или устроить небольшое личное расследование. Можно даже задать вопрос самому источнику: каким образом были получены эти факты? (Впрочем, тут нужно помнить, что не всякий источник заслуживает доверия.)

Верифицировав факты, следует спросить себя: верен ли довод, основанный на этих фактах, – ведет ли он к логическому выводу? Зачастую вполне логичный с виду аргумент может привести к совершенно абсурдным выводам. Скажем, вот пример ошибочного довода, который можно использовать как средство подкрепления предвзятого суждения:

Посылка: у всех лис есть хвосты.

Констатация факта (неизвестной степени достоверности): у животного, которое на моих глазах бросилось в лес, был хвост.

Вывод: животное, которое на моих глазах бросилось в лес, – лиса.

Очень многие среди нас позволяют заморочить себе голову такими доводами, которые с виду выглядят логично, но на поверку абсолютно неверны.

Существует два основных вида логических построений, которые могут быть и верными, и ошибочными. Записать их можно примерно так:

1. Все А являются Б.

Все Б являются В.

Следовательно, все А являются В.

2. Все Б являются В.

А является В.

Следовательно, А является Б.

Одно из этих построений верно, другое – ошибочно. Чтобы рассмотреть их с логической точки зрения, попробуем визуализировать картину и изобразим группы А, Б и В в виде кругов.

Рисунок 3–1. Все А являются Б, все Б являются В, следовательно, все А являются В

Простое графическое отображение первого построения показывает, что если исходное утверждение, или посылка, является верным, тогда верным будет и второе утверждение (см. рисунок 3–1). Если мы возьмем группу Б и изобразим ее в виде круга, тогда группа А будет кругом поменьше внутри круга Б, ведь по условию все А являются Б. Далее: все Б являются В, значит, круг В будет еще больше круга Б, и все А, таким образом, действительно будут располагаться в пределах круга В.

Правильность этого построения можно проиллюстрировать простым примером:

Все муравьи (А) являются насекомыми (Б).

Все насекомые (Б) имеют шесть ног (В).

Следовательно, все муравьи (А) имеют шесть ног (В).

В случае, если посылка верна, это рассуждение корректно. Если же посылка не верна, наше логическое построение не просто рушится, но и зачастую может приводить к совершенно неверным выводам, как, например, в следующем примере:

Все ягоды полезны для здоровья.

Вороний глаз – ягода.

Следовательно, вороний глаз полезен для здоровья.

С точки зрения логики это рассуждение вполне корректно, однако вывод, по сути, ошибочен, поскольку ошибочна первая посылка. А это значит, что всякий услышанный или прочитанный вами довод нужно проверять на истинность исходной посылки.

Далее необходимо удостовериться в том, что логика рассуждения не нарушена. Второй из приведенных выше примеров как раз построен на такой вот логической ошибке (см. рисунок 3–2). Здесь В – это большая группа, а поскольку все Б являются В, то Б можно изобразить как кружок поменьше внутри круга В. А также является В, но А может находиться как внутри круга Б, так и в значительной степени за его пределами. Если мы сделаем из этого построения вывод «следовательно, А является Б», то вывод этот может быть, а может и не быть верен. Таким образом, перед нами ошибочное логическое построение.

Рисунок 3–2. Все А являются В, все Б являются В, но не все А являются Б

Некорректность этого построения можно показать с помощью следующего рассуждения:

Все певцы (А) – танцоры (В).

Все актеры (Б) – танцоры (В).

Следовательно, все певцы – актеры.

Такого рода доводы часто можно встретить в спорах на политические, расовые или религиозные темы. Знание правил логики позволит нам избежать этих дискуссий как предвзятых и непродуктивных.

Подмена значения

Часто бывает, что в процессе беседы происходит подмена значения ключевого понятия обсуждения (порой смысл меняется совсем чуть-чуть, едва заметно), и тогда разговор или обсуждение заходят в тупик. Это особенно часто бывает, когда обсуждение крутится вокруг таких концепций, как «мир», «добро и зло», а также затрагивает темы расового, религиозного, политического или философского характера.

В такого рода дискуссиях в первую очередь следует договориться об определениях. Вместе с этим необходимо помнить, что слова обладают одним характерным свойством: слово не имеет единственно верного значения, зато может иметь массу дополнительных смыслов. У каждого человека имеется собственный набор ассоциаций к каждому слову. А потому, что бы вы ни обсуждали, необходимо точно знать, что имеет в виду собеседник, когда использует то или иное ключевое понятие. Очень часто люди с удивлением обнаруживают, что то значение слова, которое они считали распространенным по умолчанию, используют только они сами.

Чтобы понять, как это работает, попросите кого-нибудь из друзей назвать первые шесть слов, которые всплывают у него в голове, когда он слышит, например, слово «бегать», или «Бог», «радость», «любовь», а потом сравните их с вашим списком из шести пришедших на ум слов. Разница между этими двумя списками удивит вас и заставит задуматься. Сам я проделывал это упражнение сотни раз, и до сих пор не видел двух людей, которые дали бы одни и те же ассоциации хотя бы на одно какое-то слово.

Если бы перед каждым спором люди садились и договаривались о том, какой смысл они вкладывают в те или иные ключевые понятия, в мире было бы куда больше взаимопонимания и куда меньше конфликтов. Обсуждая мельчайшие различия в понимании слов и чувств, которые у нас связаны с этими словами, мы не позволяем интерпретировать такое слово как увертку или попытку увести разговор в сторону. В результате те же самые слова используются конструктивно и вместо того, чтобы порождать смятение и раздор, помогают укрепить взаимопонимание.

Доводы на основе ложной статистики

Вы наверняка слышали выражение «цифры не лгут». Само по себе это, конечно, верно, однако люди зачастую используют цифры для подтасовки данных (то есть для обмана) в свою пользу. К примеру, есть две газеты, одна из которых выступает за текущий состав правительства, а вторая этим самым правительством недовольна. В обеих газетах выходит по статье о безработице. Первая газета ставит крупный заголовок «Безработица стабилизирована». В первом абзаце статьи говорится следующее:

«В последний месяц уровень безработицы остается практически неизменным. На 9 ноября общее количество безработных выросло на 3972 человека, то есть 2,6 процента, и составило 601 874 человека».

Вторая газета ставит заголовок, который гласит: «Ожидается до 700 000 безработных». Под этим заголовком – первый абзац следующего содержания:

«Мало-помалу показатели безработицы снова принялись расти. В этом месяце количество безработных вновь превысило 600 000. Это худший показатель ноября за последние 30 лет».

Даже графики, иллюстрирующие основную мысль статьи, в этих газетах приведены разные (см. рисунок 3–3). Как мы видим, левый график демонстрирует минимальные изменения показателя безработицы, в то время как график справа отражает значительную разницу в количестве безработных за октябрь и ноябрь.

Рисунок 3–3. Одни и те же статистические данные можно подать по-разному

Приведенные здесь примеры содержат не только изрядное количество логических уловок (вы их заметили?), но и иллюстрируют избирательный подход к статистике, с помощью которого автор статьи манипулирует читателем, склоняя его к тем или иным выводам.

Газета, в которой размещена первая статья, стремится создать у читателя впечатление стабильности. Скорее всего, авторы статьи проанализировали все имеющиеся цифры и выбрали те из них, которые показывали минимум изменений, то есть процентные данные.

Газета, которая находится в оппозиции к правительству, поступила точно так же и подобрала статистику таким образом, чтобы показатели выглядели максимально внушительно.

Этот пример позволяет нам узнать о статистике нечто большее, нежели банальное «цифры не лгут». Здесь мы видим, что человек, который понимает, что скрывается за предоставленными статистическими данными, может довольно точно оценить ситуацию, а заодно понять, какого рода искажение имеется у того, кто эти данные предоставил.

Этот подход к статистике куда интересней: он позволяет не только получить цифровые данные, но и лучше понять, какими мотивами руководствовался составитель материала, с которым вы ознакомились.

Существует множество способов целенаправленно подобрать и однобоко подать данные – от простых ложных посылок относительно среднего показателя до более сложных манипуляций с графиками, чтобы приемлемое положение дел выглядело на них плохо, а плохое – лучше, чем на самом деле. Если вам действительно хочется докопаться до «правды, которая скрывается за цифрами», пройдите базовый курс статистики или же сами почитайте учебники на эту тему. Разберитесь в основных принципах статистики, и охота на логические неувязки превратится в увлекательное занятие, приносящее чувство глубокого удовлетворения.