Текст книги "Занимательная механика"

Когда горизонтальная линия не горизонтальна?

Если бы в сосуде или в баке, скользящем вниз без трения, находился вместо воды человек с плотничим уровнем, он наблюдал бы странные явления. Тело его прижималось бы к наклонному дну сосуда совершенно так же, как в случае покоя прижимается к горизонтальному дну (только с меньшей силой). Значит, для такого человека наклонная плоскость дна сосуда становится словно горизонтальной. Соответственно этому, те направления, которые он до начала движения считал горизонтальными, принимают для него наклонное положение. Перед ним была бы необычайная картина: дома, деревья стояли бы косо, поверхность пруда расстилалась бы наклонно, весь ландшафт повернулся бы набекрень. Если бы удивлённый «пассажир» не поверил своим глазам и приложил ко дну бака уровень, инструмент показал бы ему, что оно горизонтально. Словом, для такого человека горизонтальное направление не было бы горизонтально в обычном смысле слова.

Рис. 21. Какие силы действуют на предметы в вагоне трогающегося поезда?

Надо заметить, что вообще всякий раз, когда мы не сознаём уклонения нашего собственного тела от отвесного положения, то приписываем наклон окружающим предметам. Пьяный, шатаясь, воображает, что всё кругом него покачивается. Помните у Некрасова:

 
Крестьянам показалося,
Как вышли на пригорочек,
Что всё село шатается,
Что даже церковь старую
С высокой колокольнею
Шатнуло раз-другой…[21]21
  Н.А. Некрасов. «Кому на Руси жить хорошо», гл. II «Сельская ярмонка». (Примеч. ред.)


[Закрыть]
 

Горизонтальный пол может утратить для вас своё горизонтальное положение даже и в том случае, когда вы движетесь не по наклону, а по строго горизонтальному пути. Это бывает, например, при подходе поезда к станции или при отходе от неё – вообще в таких частях пути, где вагон идёт замедленно или ускоренно. Вот как описывает ощущения, испытываемые при этом пассажиром, французский физик Ш. Гильом: «Когда поезд начинает замедлять свой ход, мы можем сделать удивительное наблюдение: нам покажется, что пол понижается в направлении движения поезда; мы будем думать, что идём вниз, когда шагаем вдоль вагона в направлении движения, и всходим вверх, когда идём в обратном направлении. А при отправлении поезда со станции пол как бы наклоняется в сторону, противоположную движению».

«Мы можем устроить опыт, – пишет он далее, – выясняющий причину кажущегося отклонения плоскости пола от горизонтального положения. Для этого достаточно иметь в вагоне чашку с вязкой жидкостью, например глицерином: во время ускорения движения поверхность жидкости принимает наклонное положение. Вам не раз случалось, без сомнения, наблюдать нечто подобное на водосточных желобах вагонов: когда поезд в дождь подходит к станции, вода из желобов на вагонных крышах стекает вперёд, а при отходе поезда – назад. Происходит это оттого, что поверхность воды поднимается у края, противоположного направлению, в каком совершается ускорение хода».

Разберёмся в причине этих любопытных явлений, причём будем рассматривать их не с точки зрения покоящегося наблюдателя, находящегося вне вагона, а с точки зрения такого наблюдателя, который, помещаясь внутри вагона, сам участвует в ускоренном движении и, следовательно, относит все наблюдаемые явления к себе, словно считая себя неподвижным. Когда вагон движется ускоренно, а мы считаем себя покоящимися, то напор задней стенки вагона на наше тело (или увлекающее действие сидения) воспринимается нами так, словно мы сами напираем на стенку (или увлекаем сиденье) с равной силой.

Рис. 22. Почему пол трогающегося вагона кажется наклонным?

Мы подвержены тогда действию двух сил: силы R, направленной обратно движению вагона, и силы веса Р, прижимающей нас к полу. Равнодействующая Q изобразит то направление, которое мы в таком состоянии будем считать отвесным. Направление MN, перпендикулярное к новому отвесу, станет для нас горизонтальным. Следовательно, прежнее горизонтальное направление OR будет казаться поднимающимся в сторону движения поезда и имеющим уклон в обратном направлении (рис. 22).

Что произойдёт при таких условиях с жидкостью в тарелке? Для этого представим себе, что новое «горизонтальное» направление не совпадает с уровнем жидкости, а следует (рис. 23) по линии MN. Это наглядно видно на рисунке, где стрелка указывает направление движения вагона. Теперь ясно, почему вода должна вылиться через задний край тарелки (или дождевого жёлоба).

Рис. 23. Почему в трогающемся вагоне жидкость переливается через задний край блюдца?

Картину всех явлений, происходящих в вагоне в момент отправления поезда, легко представить себе, если вообразить, что вагон наклонился соответственно новому положению «горизонтальной» линии (см. заставку к этой главе). Вы поймёте, почему стоящие в вагоне люди должны при этом упасть назад. Этот всем известный факт обычно объясняют тем, что ноги увлекаются полом вагона в движение, в то время как туловище и голова ещё находятся в покое.

Сходного объяснения придерживался и Галилей, как видно из следующего отрывка: «Пусть сосуд с водой имеет поступательное, но неравномерное движение, меняющее скорость на то ускоренное, то замедленное. Вот какие будут последствия неравномерности. Вода не вынуждена разделять движения сосуда. При уменьшении скорости сосуда она сохраняет приобретённое стремление и притечёт к переднему концу, где и образуется поднятие. Если, напротив того, скорость сосуда увеличивается, вода сохранит более медленное движение, отстанет и при заднем конце заметно поднимется».

Такое объяснение в общем не хуже согласуется с фактами, чем приведённое ранее. Для науки представляет ценность то объяснение, которое не только согласуется с фактами, но и даёт возможность учитывать их количественно. В данном случае мы поэтому должны предпочесть объяснение, которое было изложено раньше – именно, что пол под ногами перестаёт быть горизонтальным. Оно даёт возможность учесть явление количественно, чего нельзя сделать, придерживаясь обычной точки зрения. Если, например, ускорение поезда при отходе со станции равно 1 м/с², то угол QOP (рис. 21, с. 59) между новым и старым отвесным направлением легко вычислить из треугольника QOP, где QP: ОР = 1: 9,8 = около 0,1;

tg QOP = 0,1; ∠QOP = 6°.

Значит, отвес, подвешенный в вагоне, должен в момент отхода отклониться на 6°. Пол под ногами словно наклонится на 6°, и, идя вдоль вагона, мы будем испытывать такое же ощущение, как и при ходьбе по дороге с уклоном в 6°. Обычный способ рассмотрения этих явлений не помог бы нам установить такие подробности.

Читатель, без сомнения, заметил, что расхождение двух объяснений обусловлено лишь различием точек зрения: обыденное объяснение относит явления к неподвижному наблюдателю вне вагона, второе же объяснение относит те же явления к наблюдателю, самому участвующему в ускоренном движении.

Магнитная гора

В Калифорнии, близ Голливуда, знаменитого центра кинематографической промышленности, есть гора, о которой местные автомобилисты (т. е. добрых три четверти населения) утверждают, что она обладает магнитными свойствами. Дело в том, что на небольшом участке дороги, длиной 60 м, у подножия этой горы наблюдаются необыкновенные явления. Участок этот идёт наклонно. Если у автомобиля, едущего вниз по наклону, выключить мотор, то машина катится назад, т. е. вверх по уклону, подчиняясь магнитному притяжению горы.

Рис. 24. Мнимая магнитная гора в Калифорнии

Это поразительное свойство горы считалось установленным настолько достоверно, что в соответствующем месте дороги красуется даже доска с описанием феномена.

Нашлись, однако, люди, которым показалось сомнительным, чтобы гора могла притягивать автомобили. Для проверки произвели нивелировку участка дороги под горой. Результат получился неожиданный: то, что все принимали за подъём, оказалось спуском с уклоном в 2°. Такой уклон может заставить автомобиль катиться без мотора на очень хорошем шоссе.

В горных местностях подобные обманы зрения довольно обычны и порождают немало легендарных рассказов.

Реки, текущие в гору

Сходной иллюзией зрения объясняются и рассказы путешественников о реках, вода которых течёт вверх по уклону. Привожу выписку об этом из книги немецкого физиолога проф. Бернштейна «Внешние чувства»: «Во многих случаях мы склонны ошибаться при суждении о том, горизонтально ли данное направление, наклонено ли оно вверх или вниз. Идя, например, по слабо наклонённой дороге и видя в некотором расстоянии другую дорогу, встречающуюся с первой, мы представляем себе подъём второй дороги более крутым, чем на самом деле. С удивлением убеждаемся мы затем, что вторая дорога вовсе не так крута, как мы ожидали».

Объясняется эта иллюзия тем, что дорогу, по которой мы идём, мы принимаем за основную плоскость, к которой относим наклон других направлений. Мы бессознательно отождествляем её с горизонтальной плоскостью и тогда, естественно, представляем преувеличенным наклон другого пути.

Этому способствует то, что мышечное наше чувство совсем не улавливает при ходьбе наклонов в 2–3°. На улицах Москвы, Киева и других холмистых городов часто приходится наблюдать иллюзию, о которой говорит немецкий учёный. Ещё любопытнее тот обман зрения, которому случается поддаваться в неровных местностях: ручей кажется нам текущим в гору!

Рис. 25. Слабо наклонная дорога вдоль ручья

Рис. 26. Пешеходу на дороге кажется, что ручей течёт вверх

«При спуске по слабо наклонной дороге, идущей вдоль ручья (рис. 25), который имеет ещё меньшее падение, т. е. течёт почти горизонтально, нам часто кажется, что ручей течёт вверх по уклону (рис. 26). В этом случае мы тоже считаем направление дороги горизонтальным, так как привыкли принимать ту плоскость, на которой мы стоим, за основу для суждения о наклоне других плоскостей» (Бернштейн).

Задача о железном пруте

Железный прут просверлен строго посредине. Через отверстие проходит тонкая прочная спица, вокруг которой, как вокруг горизонтальной оси, прут может вращаться (рис. 27). В каком положении остановится прут, если его закружить?

Рис. 27. Прут уравновешен на оси. Если его закружить, в каком положении он остановится?

Часто отвечают, что прут остановится в горизонтальном положении, «единственном, при котором он сохраняет равновесие». С трудом верят, что прут, подпёртый в центре тяжести, должен сохранять равновесие в любом положении.

Почему же правильное решение столь простой задачи представляется многим невероятным? Потому что обычно имеют перед глазами опыт с палкой, подвешенной за середину: такая палка устанавливается горизонтально. Отсюда делается поспешный вывод, что подпёртый на оси прут тоже должен сохранять равновесие только в горизонтальном положении.

Рис. 28. Почему палка, подвешенная за середину, занимает горизонтальное положение?

Однако подвешенная палка и подпёртый прут находятся не в одинаковых условиях. Просверленный прут, опирающийся на ось, подпёрт строго в центре тяжести, а потому находится в так называемом безразличном равновесии. Палка же, подвешенная на нити, имеет точку привеса не в центре тяжести, а выше его (рис. 28). Тело, так подвешенное, будет находиться в покое только тогда, когда его центр тяжести лежит на одной отвесной линии с точкой привеса, т. е. при горизонтальном положении палки; при наклонении центр тяжести отходит от отвесной линии (рис. 28). Эта привычная картина и мешает многим согласиться с тем, что прут на горизонтальной оси может удержаться в равновесии в наклонном положении.

Глава 4
Падение и бросание

Семимильные сапоги

Сказочные сапоги эти реально осуществляются теперь в своеобразной форме – в виде дорожного чемодана средних размеров, содержащего в себе оболочку маленького аэростата и прибор для добывания водорода. В любой момент спортсмен извлекает из чемодана оболочку, надувает её водородом и делается обладателем воздушного шара 5 м в диаметре. Подвязав себя к этому шару, человек может совершать огромные прыжки в высоту и в длину. Опасность быть совсем увлечённым ввысь не угрожает такому аэронавту, потому что подъёмная сила шара всё же немного меньше веса человека.

При старте первого советского стратостата «СССР», поставившего мировой рекорд высоты, такие шары («прыгуны») оказали существенную услугу команде: они помогли освободить запутавшиеся верёвки стратостата.

Интересно рассчитать, какой высоты прыжки может совершать спортсмен, снабжённый подобным шаром-прыгуном.

Пусть вес человека только на 1 кг превышает подъёмную силу шара. Другими словами, человек, снабжённый шаром, словно весит 1 кг, в 60 раз меньше нормального. Сможет ли он делать и прыжки в 60 раз бо́льшие?

Рис. 29. Шар-прыгун. Внизу – в сложенном виде

Посмотрим.

Человек, привязанный к аэростату, увлекается вниз вместе с шаром силой в 1000 Н, или около 1 000 000 дин. Вес самого шара-прыгуна, как легко рассчитать, равен около 20 Н. Значит, сила в 1 000 000 дин действует на массу в 20 + 60 = 80 кг. Ускорение а, приобретаемое массой в 80 кг от силы в 1 000 000 дин, равно:

Человек при нормальных условиях может подпрыгнуть с места на высоту не выше 1 м. Соответствующую начальную скорость v получаем из формулы v2 = 2gh;

v² = 2 × 980 × 100 см²/с²,

откуда

V – около 440 см/с.

Подвязанный к шару человек при прыжке сообщает своему телу во столько раз меньшую скорость, во сколько раз масса человека вместе с шаром больше массы человека самого по себе. (Это следует из формулы ft = mv; сила f и продолжительность t её действия в обоих случаях одинаковы, значит, одинаковы и количества движения mv; отсюда ясно, что скорость изменяется обратно пропорционально массе.) Итак, начальная скорость при прыжке с шаром равна:

Теперь легко уже вычислить высоту h прыжка по формуле v² = 2ah:

330² = 2 × 12 × h,

откуда

h = 4500 см = 45 м.

Итак, сделав наибольшее усилие, которое при обычных условиях подняло бы тело спортсмена на 1 м, человек с шаром подпрыгнет на высоту 45 м.

Интересно вычислить продолжительность подобных прыжков. Прыжок вверх на 45 м при ускорении 12 см/с² должен длиться (формула )

Чтобы прыгнуть вверх и вернуться, надо затратить 52 с.

Такие медлительные, плавные прыжки обусловлены, конечно, незначительностью ускорения. Подобные ощущения при подпрыгивании мы могли бы без аэростата пережить только на каком-нибудь крошечном астероиде, где ускорение силы тяжести значительно (в 60 раз) слабее, чем на нашей планете.

Любопытно выполнить ещё один расчёт – определить длину наибольшего прыжка. Чтобы сделать прыжок в длину, спортсмен должен дать себе толчок под некоторым углом к горизонту. Пусть он сообщает при этом своему телу скорость V (рис. 30). Разложим её на две составляющие – вертикальную v₁ и горизонтальную v₂. Они соответственно равны:

v₁ = vsinα,

v₂ = vcosα.

Рис. 30. Как летит тело, брошенное под углом к горизонту

Скорость v₁ истощится через t секунд, причём

v₁ = αt,

откуда

Значит, продолжительность подъёма тела вместе со спуском равна:

Скорость v₂ будет относить тело равномерно в горизонтальном направлении в течение всего промежутка времени, пока оно будет двигаться вверх и вниз. За этот промежуток времени тело перенесётся на расстояние

Это и есть длина прыжка.

Наибольшей величины достигнет она при sin2α = 1, так как синус не может быть больше единицы. Отсюда 2α = 90° и α = 45°. Значит, при отсутствии сопротивления атмосферы спортсмен сделает самый длинный прыжок тогда, когда оттолкнётся от Земли под углом к ней, равным половине прямого. Величину этого наибольшего прыжка узнаем, если в формулу

подставим V = 330 см/с, sin2α = 1, α = 12 см/с². Получим

Прыжки вертикальные – около 45 м и под углом 45° на расстояние 90 м – дают возможность прыгать через многоэтажные дома[22]22
  Полезно запомнить, что вообще наибольшая дальность падения тела, брошенного под углом (45°) к отвесной линии, равна двойной высоте отвесного подъёма при той же начальной скорости.


[Закрыть].

Вы можете проделать в миниатюре подобные опыты, если к детскому воздушному шарику подвяжете бумажного спортсмена, вес которого немного превышает подъёмную силу шара. При лёгком толчке фигурка будет высоко подпрыгивать и затем опускаться вниз. Однако в этом случае сопротивление воздуха, несмотря на малую скорость, будет играть более заметную роль, чем при прыжках настоящего спортсмена.

Человек-бомба

«Человек-бомба» – поучительный номер цирковой программы, некогда показывавшийся во многих городах Европы; в 1934 г. он демонстрировался в московском цирке, затем в ленинградском. Состоит он в том, что артист помещается в канале пушки, выбрасывается оттуда выстрелом, описывает высокую дугу в воздухе и падает на сетку в 30 м от орудия (рис. 31). Аналогичный номер все видели в известном кинофильме «Цирк», в котором артистка совершает полёт из пушки под купол цирка.

Рис. 31. Человек-бомба в цирке

Слова «пушка» и «выстрел» нам следовало бы поставить в кавычках, потому что это не настоящая пушка и не настоящий выстрел. Хотя из жерла орудия и вырывается клуб дыма, но артист выбрасывается не силой порохового взрыва. Дым устраивается лишь для эффекта, чтобы поразить зрителей. На деле же движущей силой является пружина, одновременно со спуском которой появляется бутафорский дым и создаётся иллюзия, что человек-бомба выстреливается пороховым зарядом.

Рис. 32. Схема полёта человека-бомбы

На рис. 32 изображена схема описываемого циркового номера.

Вот числовые данные о номере, выполняемом искуснейшим из людей-бомб, артистом Лейнертом, который подвизался в цирках СССР:

Наклон пушки………………………. 70°

Наибольшая высота полета……. 19 м

Длина ствола пушки……………… 6 м

Для механики представляют большой интерес те совершенно исключительные условия, в которых оказывается организм артиста при выполнении этого номера. В момент выстрела тело его подвергается давлению, ощущаемому как усиленная тяжесть. Затем, во время свободного полёта, артист, подобно всякому свободно брошенному телу, ничего не весит[23]23
  См. мои книги «Занимательная физика», кн. 2, а также «Межпланетные путешествия», изд. 9, 1934. («Межпланетные путешествия» вышли в издательстве «Центрполиграф» под названием «Увлекательно о космосе. Межпланетные путешествия».) (Примеч. ред.)


[Закрыть]. Наконец в момент падения на сетку артист снова подвергается действию усиленной тяжести.

Названный выше артист переносил всё это без вреда для здоровья.

Интересно в точности установить эти условия, так как будущие моряки Вселенной, которые отважатся отправиться на ракетном корабле в мировое пространство, должны будут пережить подобные же ощущения.

В первой фазе движения артиста, которая протекает ещё внутри пушки, нас интересует величина искусственной тяжести. Мы узнаем её, если вычислим ускорение тела в канале пушки. Для этого необходимо знать проходимый телом путь, т. е. длину пушки, а также скорость, приобретаемую в конце этого пути. Первый известен – 6 м. Скорость же можно вычислить, зная, что это та скорость, с какой надо подбросить свободное тело, чтобы оно взлетело на высоту 19 м.

В предыдущей статье мы вывели формулу:

где t – продолжительность подъёма вверх, v – начальная скорость, α – угол, под которым брошено тело, а – ускорение. Кроме того, известна высота h подъёма вверх.

Так как

то можно вычислить скорость v:

Значение букв, входящих в формулу, нам понятно: g = 9,8 м/с², а = 70°. Что касается высоты подъёма к, то, как видно из рис. 32, мы должны принять её равной 25 – 6 = 19 м. Итак, искомая скорость

С такой скоростью тело артиста покидает пушку, и, следовательно, такую скорость имеет оно у жерла орудия. Пользуясь формулой v² = 2aS, имеем

Мы узнали, что ускорение, с каким движется тело артиста в стволе орудия, равно 35 м/с², т. е. в 3½ раза больше обычного ускорения силы тяжести. Поэтому артист будет в момент выстрела чувствовать себя в 4½ раза тяжелее обычного: к нормальному его весу прибавился 3½-кратный искусственный вес[24]24
  Это не строго верно, потому что искусственная тяжесть действует под углом 20° к отвесу, нормальная же направлена отвесно. Однако разница невелика.


[Закрыть].

Сколько времени длится ощущение усиленного веса?

Из формулы имеем:

откуда

Значит, артист более полсекунды будет ощущать, что он весит не 70 кг, а около 300 кг.

Перейдём теперь ко второй фазе циркового номера – к свободному полёту артиста в воздухе. Здесь нас интересует продолжительность полета и сколько времени артист не ощущает никакого веса.

В предыдущей статье мы установили (с. 71), что продолжительность подобного полёта равна:

Подставив известные нам значения букв, узнаем, что искомая продолжительность равна:

Состояние полной невесомости длится около 4 с.

В третьей фазе полёта определим, как и в первой, величину искусственной тяжести и продолжительность этого состояния. Если бы сетка находилась на уровне жерла пушки, артист достиг бы её с такой же скоростью, с какой начал свой полёт. Но сетка поставлена несколько ниже, и оттого скорость артиста будет больше; однако разница весьма мала, и, чтобы не усложнять расчётов, мы ею пренебрежём. Принимаем, следовательно, что артист достиг сетки со скоростью 20,6 м/с. Измерено, что, упав на сетку, артист вдавливает её на 1,5 м. Значит, скорость 20,6 м/с превращается в 0 на пути 1,5 м. По формуле v² = 2aS имеем:

20,6² = 2а × 1,5,

откуда ускорение

Мы узнали, что, вдавливая сетку, артист подвергается ускорению 141 м/с² – в 14 раз большему, чем нормальное ускорение силы тяжести. В течение этого времени он чувствовал себя в 15 раз тяжелее нормального своего веса! Это необычайное состояние длилось, однако, всего

Даже привычный организм циркача не мог бы безнаказанно перенести 15-кратное усиление тяжести, если бы это не длилось столь ничтожное время. Ведь человек 70 кг весом приобретает вес целой тонны! Длительное действие такой нагрузки должно было бы раздавить человека, во всяком случае лишить его возможности дышать, т. к. мускулы не смогут «поднять» столь тяжёлую грудную клетку.