Текст книги "Логика. Краткий конспект"

1.3. ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ

Современные логические теории строятся на основе некоторого специально создаваемого для этих целей языка. Теория языка, даже если речь идет о формализованном языке логических теорий, строго говоря, не является разделом логики. Тем не менее, учитывая, что формализованный язык является необходимым условием для построения логической теории, мы не можем не уделить ему некоторого внимания.

Искусственные языки, используемые при построении логических теорий, называют формализованными, поскольку их цель состоит в том, чтобы точно отобразить логическую форму выражений, используемых в рассуждении. Это сразу позволяет нам указать первое отличие этих языков от естественных. В первом приближении можно выделить две функции языка: коммуникативную и репрезентативную. Язык может выступать, во-первых, как средство общения и, во-вторых, как средство выражения. Искусственные языки, создаваемые для научных целей, к которым относятся и языки логики, не предназначены для общения: они выполняет только вторую функцию – репрезентативную.

Язык конкретной теории называется объектным языком, или языком-объектом. Для описания такого языка требуется метаязык. По своим выразительным возможностям он должен быть, по крайней мере, не беднее объектного языка. При этом разделение на метаязык и язык-объект не является абсолютным: один и тот же язык может выступать как в роли метаязыка, так и в роли языка-объекта. Так, в русском учебнике немецкого языка русский язык будет являться метаязыком, а немецкий – объектным языком; в случае же немецкого учебника по русскому языку дела будут обстоять наоборот.

Построение языка начинается с задания его алфавита. В отличие от естественного языка алфавит формализованного языка представляет собой список всех базисных (или примитивных) символов, используемых в языке. Этот список варьируется в разных теориях в зависимости от того, какие именно свойства требуется формализовать в рамках той или иной теории. Для этого алфавита затем надо указать правила синтаксиса, семантики и прагматики. Необходимость этих трех теорий для полного описания языка установлена, в частности, в рамках семиотики – общей теории знаковых систем. Эти три стороны характеризуют любую знаковую систему.

Синтаксис исследует связи между знаками некоторого языка, правила их соединения. При этом не принимаются во внимание вопросы о том, что именно стоит за этими знаками, т. е. что они означают. Семантика исследует отношения между знаками и тем, что ими обозначается. Проще говоря, семантика – это описание смысла используемых в языке знаков, а также смысла сложных выражений, которые можно построить по законам синтаксиса. Прагматика занимается ситуативными параметрами, оказывающими влияние на семантические и синтаксические свойства выражений языка. Например, мы не можем установить, истинно ли предложение «Я сегодня счастлив», пока не выясним, кто именно скрывается за местоимением «я» и что именно за день обозначен словом «сегодня». Прагматика занимается формальными свойствами предложений, содержащих такого рода указатели, отсылающие к некоторой ситуации. Сразу отметим, что в нашем учебнике вопросы логической прагматики затрагиваться не будут.

Между естественными и искусственными языками можно заметить то различие, что, когда мы занимаемся, например, синтаксисом некоторого естественного языка, последний выступает перед нами как данность и наша задача – раскрыть присущие этому языку синтаксические закономерности. Искусственные же языки создаются для определенных целей, и в зависимости от этих целей мы сами задаем необходимые для их достижения правила синтаксиса. Поэтому искусственные языки значительно беднее естественных по широте выразительных возможностей, но позволяют достигать такой строгости и точности при описании стоящих перед ними задач, которые естественному языку либо недоступны, либо достигаются ценой невероятного многословия и (или) противоестественного искажения привычных способов выражения. Чтобы осознать, что это действительно так, попробуйте описать словами обычного русского языка какое-нибудь тригонометрическое уравнение третьей степени, не используя специальных математических терминов. Поэтому Лейбниц и Фреге любили уподоблять отношение между естественным и искусственным языком отношению между глазом и микроскопом: глаз несравненно гибче, чем микроскоп, он выполняет намного больше функций. Микроскоп же предназначен для решения едва ли не единственной задачи, но это такая задача, перед которой обычный человеческий глаз просто бессилен.

В примерах, рассмотренных в § 1.1 мы делали подстановки конкретных значений вместо переменных. При этом логическая форма рассуждения, как мы обратили внимание, оставалась неизменной. Это дает нам первую, простейшую и фундаментальную классификацию символов, используемых в формализованном языке.

Во-первых, это логические символы, которые задают логическую форму и должны оставаться постоянными. Во-вторых, нелогические – они должны обозначать элементы содержательного характера, которые допускают замену: президенты, города, числа и т. п. Такие символы обычно выступают в качестве переменных. В-третьих, для построения выражения языка требуются вспомогательные (технические) символы, которые сами по себе ничего не обозначают.

Некоторые основные понятия семантики

Некоторые базисные принципы логической семантики были заложены в работах Г. Фреге. В центре его внимания оказались семантические свойства категории «Имя». По его мнению, имя имеет две характеристики: смысл и значение. Значение – то, на что имя указывает, это предмет, для обозначения которого служит имя. Смысл – это информация, сообщаемая именем. Благодаря тому что имя имеет смысл, мы его понимаем. Принято говорить, что имя выражает смысл и указывает на значение. При этом не всякое имя, обладающее смыслом, имеет и значение. Таковы литературные персонажи, сказочные и мифические герои, а также выражения вида «круглый квадрат» и «самое большое натуральное число». Последние являются осмысленными – ведь именно благодаря этому мы их понимаем; в частности, мы понимаем, что предмета, обозначенного подобным именем, существовать не может. Таким образом, имя указывает на объект при посредстве смысла; при этом, двигаясь из пункта «имя» в пункт «значение», можно застрять в пункте «смысл» и не добраться до цели. Поэтому линия между именем и его значением на рис. 1.1 проведена пунктиром.

Рис. 1.1

Тот факт, что один и тот же предмет может обозначаться разными именами, возможен благодаря тому, что эти имена имеют одинаковые значения, но разные смыслы. Поэтому, считает Фреге, различение смысла и значения позволяет объяснить, почему мы можем ставить знак равенства в выражении «А = В», хотя А и В суть разные вещи. Мы вправе делать это тогда, когда А и В имеют одинаковые значения, несмотря на то что они имеют разные смыслы. Больше того, на этом основании мы вправе заменять А и В друг на друга, сохраняя при этом уверенность, что значение более сложного выражения, в рамках которого производится такая замена, не изменится.

Эта теория становится особенно продуктивной, если мы вслед за Фреге распространим ее на предложения. Фреге рассматривал последние как частный случай имен. Смыслом предложения он счел выражаемую им мысль, или то, что в логике обычно называется суждением, а вот значением – его истинностное значение, истину или ложь. Эта теория стала очень резонансной и широко обсуждаемой, причем не только в логике. Здесь мы отметим лишь, что она позволяет обосновать принципы дедуктивных переходов между высказываниями, выраженными в некотором языке. Мы можем переходить от высказывания А к высказыванию В на том основании, что они имеют одинаковые значения, будучи при этом различными по смыслу. Таким образом, понятие смысла как бы выносится за скобки, оно не принимается во внимание; логические связи и отношения устанавливаются и изучаются только на основе значения языковых выражений. По крайней мере, в классической логике дела обстоят именно так.

Существуют, тем не менее, контексты, в которых замена одного предложения на другое на том основании, что они имеют одинаковые значения, недопустимо. Например, в предложении «Колумб считал, что земля шарообразна» входящее в него предложение «Земля шарообразна» нельзя заменить на предложение «Петербург – город на Неве», хотя оба они имеют значение «истина». Ведь тогда вместо истинного исходного предложения мы получим ложное. В таких контекстах приходится принимать во внимание смыслы выражений. Подобного рода контексты называются интенсиональными, и их исследования осуществляются в рамках неклассических логик.

Надо сказать, что, когда мы пытаемся прилагать эту теорию к определенным видам имен, в нее приходится вносить изменения. Возьмем, например, собственное имя. Собственным именем называется имя, которое предназначено для указания на один, и только один объект. Многие собственные имена, которые мы встречаем в повседневной жизни, не удовлетворяют этому определению, т. е. они не являются собственными в логическом смысле. Действительно, возьмем ли мы имена или фамилии людей, клички животных, нередко даже названия населенных пунктов – эти имена, как правило, обозначают более чем один объект. Логические же собственные имена – это имена уникальных объектов, это своего рода ярлыки, которые приклеиваются к вещам: одна вещь – один ярлык. Обозначение объекта с помощью собственного имени можно уподобить указанию на него пальцем: в последнем случае мы не сообщаем о предмете никакой информации, мы только указываем на него. Исходя из подобных соображений Б. Рассел утверждал, что собственное имя имеет значение, но не имеет смысла.

Следующий вид имен – общие имена. Общими называются имена, предназначенные для указания на произвольный объект определенной области. Примерами общих имен могут служить такие имена, как «человек», «число», «закон». Для них уже сам Фреге усложнил свою схему. Он полагал, что эти имена указывают на объект не напрямую, но посредством такой сущности, как понятие. Именно понятие, по его мнению, является значением общего имени. Под понятие, в свою очередь, подпадают определенные объекты. При этом число объектов, подпадающих под понятие, может изменяться от нуля до бесконечности. Взаимосвязь общего имени с указанными компонентами иллюстрируется на рис. 1.2.

Рис. 1.2

Тем не менее, каковы бы ни были особенности этой теории применительно к различным видам имен, для всех них в классической логике имеют силу следующие принципы употребления имен:

1) всякое имя является именем предмета;

2) любое имя, являющееся частью более сложного имени, может быть заменено другим именем, имеющим такое же значение, и при этом значение сложного имени не изменится.

Первый из них является принципом предметности, второй – принципом взаимозаменимости.

Что понимать под значением имен, содержащих переменные? Предложение «5 >4» имеет значение «истина», предложение «3 >5», имеет значение «ложь», но каково значение «x >у»? Вопрос этот не праздный, поскольку отношение следования устанавливается между формами высказываний, которые, как мы выяснили выше (с. 5), содержат переменные. Но логические отношения между выражениями устанавливаются исходя из значений этих выражений. Для преодоления этой трудности вводится понятие интерпретации. Интерпретация – это некоторое произвольное присваивание значений переменным, входящим в данное выражение. Так, примеры 1.3 и 1.4 являются разными интерпретациями примера 1.2. Пример 1.3 получается в результате присвоения переменным х, у, и z значений 3, 5 и 4 соответственно. Предложение «Санкт-Петербург севернее Москвы» можно понимать как одну из интерпретаций выражения «х севернее у», а именно такую, где переменной х присвоено значение «Санкт-Петребург», а переменной у – значение «Москва». Очевидно, что на одних интерпретациях выражения, содержащие переменные, становятся истинными, а на других – ложными. Интерпретация, на которой выражение принимает значение «истина», называется моделью. С помощью этих понятий мы можем дать более точное определение отношению следования:

Высказывание А является логическим следствием из множества высказываний {X}, сокращенно {X} |= А, если и только если каждая интерпретация, делающая истинной все высказывания, входящие в {X}, делает истинным и высказывание А.

Или короче:

Высказывание А является логическим следствием из множества высказываний {X}, сокращенно {X} |= А, если и только если каждая модель {X} является моделью А.

Тема 2
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Первый, наиболее простой раздел современной логики – это логика высказываний. Простейшим элементом в этом разделе выступает высказывание. Сначала установим некоторые терминологические различения.

2.1. ВЫСКАЗЫВАНИЕ, СУЖДЕНИЕ, ПРЕДЛОЖЕНИЕ

Предложение – языковое средство выражения высказывания. Одно и то же высказывание может быть выражено разными предложениями. Например, предложение русского языка «Знание – сила» выражает то же самое высказывание, что и английское предложение «Knowledge is power» или латинское «Scientia potentia est».

Высказывание выражается не всяким предложением, но только повествовательным. Только такие предложения несут сообщения, которые могут быть оценены как истинные либо ложные. Не выражают высказываний восклицательные, вопросительные предложения. Кроме того, высказываний не выражают так называемые перформативы. Это широкий класс предложений, которые представляют собой действие. К ним относятся обещания, приказы, объявления (например, «Объявляю вас мужем и женой» или «А вас я попрошу остаться») и т. п.

Высказывание – это смысл предложения, который может быть оценен как истинный или ложный¹.

От высказывания следует отличать суждение – действие, состоящее в признании или непризнании истинности высказывания (его утверждении или отвержении). Заметим, что в традиционной логике термин «суждение» часто использовался и в том смысле, в котором мы употребляем термин «высказывание». При этом многие авторы вынуждены были оговаривать различие между суждением в логическом смысле и суждением в только что указанном, психологическом, смысле, и это различие не всегда выдерживалось достаточно последовательно.

Высказывание, как и выражающее его предложение, имеет структуру, но некоторые типы рассуждений можно описать, не принимая ее во внимание. Нас будет интересовать лишь одно свойство высказывания – его истинность или ложность. Общим именем для истины и лжи является термин «истинностное значение». Если ни одна часть высказывания не является высказыванием, то оно называется простым. Простое высказывание называют также атомарным (от греч. atomos – «неделимый»), тем самым подчеркивая, что внутренняя структура высказывания не принимается во внимание. Эти атомарные высказывания можно соединять друг с другом разными способами с помощью различных логических связок (их могут называть также логическими союзами, операторами, функциями). Различные связки задают разные виды сложных высказываний.

2.2. ЯЗЫК ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Теперь приступим к построению языка логики высказываний. Как следует из вышеизложенного, в алфавите языка логики высказываний должны содержаться, во-первых, нелогические символы, предназначенные для выражения высказываний; во-вторых, логические символы для выражения логических связок.

I. Алфавит.

– p, q, r…, p1, q1, r1… – символы высказываний (пропозициональные переменные);

– И, Л – пропозициональные константы, или собственные имена истины и лжи;

– &, ∨, ↮, ⊃, ↔, ¬ – символы логических операций (логические константы);

–), (– скобки (вспомогательные знаки).

На основе этого алфавита мы должны описать синтаксис языка, т. е. правила построения допустимых выражений из тех символов, которые перечислены в алфавите. Когда синтаксис задан, мы будем в состоянии отличить осмысленные выражения языка от бессмысленных последовательностей символов нашего алфавита. Эта цель достигается всего лишь с помощью одного определения – определения правильно построенного высказывания² (сокращенно – ППВ).

II. Определение ППВ.

1. Пропозициональная переменная (атом) и пропозициональная константа есть ППВ.

2. Если А – ППВ, то ¬А – тоже ППВ.

3. Если А и В – ППВ, то А & В, А ∨ В, А ⊃ В, А ↔ В, А ↮ В – тоже ППВ.

4. Других ППВ, кроме перечисленных в пп. 1–3, в языке нет.

Обратим внимание, что в определении ППВ использованы буквы А и В, которых нет в алфавите нашего языка. Это не что иное, как символы метаязыка, под которыми следует понимать сокращенное обозначение любой последовательности символов алфавита.

Надеемся, что читатель сможет самостоятельно убедиться в том, что следующие последовательности символов представляют собой ППВ, поскольку они построены в соответствии с пп. 1–4 определения: q, ¬ q, ¬¬ q, p & ¬ q, r ⊃ (p & ¬ q), ¬ (r ⊃ p) & (¬ q ∨ ¬ q₁).

Столь же самостоятельно рекомендуется объяснить, по каким причинам следующие последовательности символов не являются ППВ: p¬, &q, p¬ &q, p (r ∨ q).

III. Семантика.

Задача семантики в том, чтобы мы могли устанавливать значение любого выражения языка, удовлетворяющего правилам синтаксиса, или, проще говоря, значение любого ППВ.

Пропозициональные константы представляют собой частный случай имен собственных и потому обозначают определеные объекты: И обозначает идеальный объект «истина», Л обозначает идеальный объект «ложь». Каждая пропозициональная переменная неопределенным образом обозначает один из двух объектов – истину или ложь. Вспомогательные знаки сами по себе ничего не обозначают, именно поэтому они и называются вспомогательными.

О знаках, обозначающих логические связки, поговорим немного подробней.

1. Знак конъюнкции & обозначает логический союз «И», с помощью которого образуется соединительное высказывание. Сложное высказывание, образованное с помощью этой связки, истинно тогда и только тогда, когда истинно каждое из составляющих его высказываний.

Для определения логических связок используют так называемые таблицы истинности, или истинностные таблицы. Таблица истинности состоит из трех столбцов: двух входных и одного выходного (или результирующего). Во входных столбцах перебираются все возможные комбинации истинностных значений простых высказываний. В выходном столбце указывается истинностное значение сложного высказывания, полученного в результате применения соответствующей связки к исходным высказываниям. Так, в приводимой ниже табл. 2.1 для конъюнкции выходной столбец для А & В (читается «А и В») содержит значение «истина» в первой строке, где оба входных высказывания тоже имеют значение «истина». Во всех остальных строках выходного столбца содержится значение «ложь».

Таблица 2.1

Заметим, что знак & не является просто заменителем союза русского языка «и». Во-первых, эта логическая связь может выражаться и другими средствами языка, например с помощью союзов «а», «но», «не только…, но и…», «несмотря на то что» и т. д., или просто перечислением предложений через запятую. Во-вторых, не всегда союз «и» естественного языка выражает конъюнктивную связь. Например, в предложении «Бологое находится между Петербургом и Москвой» союз «и» не выражает конъюнкции, поскольку здесь нет двух высказываний, из которых с помощью «и» строилось бы сложное высказывание. Более тонким контрпримером может служить такое предложение, как «Он увидел собаку Баскервилей и дико закричал». Здесь с помощью «и» два простых высказывания действительно соединяются в одно сложное, но это сложное высказывание не будет конъюнктивным. Оно выражает последовательность двух событий во времени, причем между этими событиями явно имеется причинная связь. Ведь если мы поменяем местами входящие в него предложения, то получим «Он дико закричал и увидел собаку Баскервилей», что несомненно будет иметь иной смысл и, пожалуй, иное истинностное значение.

2. Знак дизъюнкции слабой (ее также называют нестрогой и неисключающей) ∨ обозначает логический союз «И/ИЛИ» (табл. 2.2). С помощью этого союза образуется разделительное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из составляющих его высказываний. В русском языке дизъюнкция обычно выражается союзом «или». Например: «Для подготовки к семинару надо прочитать конспект или учебник».

Слабая дизъюнкция будет ложной лишь в том случае, если все входящие в нее простые высказывания являются ложными. Так, высказывание «Кенгуру обитают в России или в Бразилии» будет ложным, но «кенгуру обитают в России или в Австралии» – истинным.

Таблица 2.2

3. Знак дизъюнкции сильной (или строгой, исключающей) ↮ обозначает логический союз «исключающее ИЛИ» (табл. 2.3). С его помощью образуется исключающее разделительное высказывание. Это сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно ровно одно из входящих в него высказываний. В русском языке обычно выражается союзом «либо…, либо…». Например: «Со щитом либо на щите».

Таблица 2.3

Строгая дизъюнкция отличается от слабой тем, что она будет ложной, когда оба входящих в нее простых высказывания истинны. Так, если в приведенном выше примере простые высказывания «Для подготовки к семинару надо прочитать учебник» и «Для подготовки к семинару надо прочитать конспект» соединить строгой дизъюнкцией, то мы получим сложное высказывание, которое имеет истинностное значение «ложь». Действительно, поскольку оба связываемых высказывания истинны, ему соответствует первая строка таблицы истинности, в которой строгая дизъюнкция получает значение «ложь». Если же мы соединим их слабой дизъюнкцией, то получим истинное сложное высказывание.

4. Знак эквиваленции ↔ обозначает логический союз «ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ…, ТО…», с помощью которого образуется высказывание эквивалентности (табл. 2.4). Это такое сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинностные значения составляющих его высказываний совпадают. Эта связка, выраженная словами «тогда и только тогда…, когда…», использовалась во всех только что приведенных определениях.

Заметим, что все описанные до сих пор связки имеют свойство коммутативности: соединяемые ими высказывания можно менять местами, не вызывая изменения истинностного значения соответствующего сложного высказывания, – p & q имеет такое же значение, как q & p, p ∨ q – такое же, как q ∨ p. Следующая связка не имеет такого свойства.

Таблица 2.4

5. Знак материальной импликации ⊃ обозначает логический союз «ЕСЛИ…, ТО…» (табл. 2.5). Он является формализаций условного высказывания. В отличие от введенных выше это некоммутативная связка, поэтому каждой ее части присвоено свое название. В выражении «если А, то В» высказывание, обозначаемое «А», называется антецедентом (основанием), а высказывание, обозначаемое «В», называется консеквентом (следствием). Импликацией образуется такое сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда его антецедент истинен, а консеквент ложен.

Таблица 2.5

Формализация условного высказывания с помощью материальной импликации заслуживает несколько более подробного обсуждения. Материальной она называется в том смысле, что при такой формализации учитывается только материя связываемых высказываний, т. е. их истинностные значения, и не принимается во внимание смысловая связь между ними. Если этого не учитывать, несколько странным может показаться тот факт, что в третьей и четвертой строках союз «ЕСЛИ…, ТО…» является истинным.

Чтобы показать справедливость такой формализации, возьмем заведомо истинное условное высказывание, например «Если число делится на 9, то оно делится на 3», и попытаемся верифицировать отдельные строки таблицы истинности, т. е. для каждой строки найти такие числа, которые делают это высказывание истинным. Чтобы верифицировать первую строку, надо указать такое число, для которого истинно, что оно делится на 9, и истинно, что оно делится на 3. Несомненно, что такие числа существуют, поэтому в выходном столбце мы вправе написать значение «истина». Вторую строку могло бы верифицировать такое число, для которого истинно, что оно делится на 9, но ложно, что оно делится на 3. Таких чисел нет, что и фиксируется значением «ложь» в соответствующей строке выходного столбца. Наконец, числа, соответствующие третьей и четвертой строкам, конечно же существуют: есть числа, которые не делятся на 9, но делятся на 3, и есть числа, которые не делятся ни на 9, ни на 3. Но наличие подобных чисел никоим образом не ставит под сомнение справедливость нашего утверждения, что делимость числа на 9 влечет его делимость на 3.

Тем не менее не все могут смириться с тем фактом, что к ложному антецеденту можно присоединять любой консеквент, как истинный, так и ложный, и в результате всегда будет получаться истинное условное высказывание. Эта особенность даже стала называться парадоксом материальной импликации. Другой так называемый парадокс связан с первой и третьей строками, из которых можно сделать вывод, что к истинному консеквенту можно присоединять любой антецедент, хоть истинный, хоть ложный, всегда получая при этом истинное условное высказывание.

Классическим возражением стал пример: «Если 2 X 2 = 5, то луна сделана из зеленого сыра». Согласно таблице его следует считать истинным, но это как будто совершенно противоречит здравому смыслу. На это можно заметить, что объединение не связанных по смыслу высказываний сделает абсурдной любую строку таблицы истинности, и не только у импликации. Так, высказывание «В огороде бузина, а в Киеве дядька» тоже можно рассматривать в качестве примера, ставящего под сомнение справедливость предложенной выше формализации соединительного высказывания, поскольку между соединяемыми здесь простыми высказываниями нет никакой смысловой связи, но оно тем не менее претендует на истинность.

Вместе с тем стоит отметить, что некоторые виды условных высказываний действительно не могут быть формализованы с помощью материальной импликации. Это, в частности, контрфактуальные высказывания. Так называются высказывания с заведомо ложным антецедентом, в естественном языке они обычно выражаются предложениями в сослагательном наклонении, например: «Если бы в 2009 г. “Зенит” стал чемпионом России по футболу, то 1 января 2010 г. планета Земля начала бы крутиться в обратную сторону». Поскольку ему соответствует четвертая строка таблицы истинности, его следует считать истинным, но оно явно ложно, ибо нет никакой причинной связи между исходом спортивных состязаний и траекториями движения небесных тел. Исследование контрфактуалов является предметом одной из неклассических логик, математики же не обращают на них внимания, поскольку математика просто не имеет дела с такими высказываниями.

Все перечисленные выше связки являются бинарными, т. е. они применяются к двум высказываниям. В алфавите остался один логический символ, обозначающий унарную связку.

6. Знак отрицания ¬ выражает логическую связку «НЕ». Для табличного определения унарной связки достаточно одного входного столбца и двух строк (табл. 2.6).

Таблица 2.6

Мы ввели в наш язык так называемые основные логические связки. Они наиболее употребимы в естественном рассуждении. Вообще говоря, всего с помощью механического комбинирования, т. е. перебирая все возможные комбинации значений «и» и «л» в выходном столбце, можно задать 16 таких связок. При этом одни из них будут не особенно полезными (например, когда выходной столбец содержит только значения «и» или только значения «л» либо когда выходной столбец совпадает с одним из входных и т. п.), а другие – легко сводимыми к тем связкам, которые только что нами определены. Например, можно было бы задать такую связку, как несовместимость, обозначив «А несовместимо с В» через А | В и определив ее с помощью следующей таблицы (табл. 2.7).

Таблица 2.7

Однако можно заметить, что выходной столбец этой связки можно получить, подвергнув отрицанию конъюнкцию А & B. Поэтому ее можно ввести не в качестве основной, но с помощью определения, как сокращение для выражения ¬ (А & B). Логический союз «ни А, ни В», символически А ↓ В, определяемый табл. 2.8, имеет выходной столбец, который можно получить, отрицая дизъюнкцию А ∨ В. Поэтому аналогично предыдущему примеру эту связку тоже можно ввести с помощью определения, как сокращение для ¬ (А ∨ B).

Таблица 2.8

Еще одна достойная внимания связка – обратная импликация (иногда ее называют «репликация») – «А, если В» или «Только если А, то В», символически А ⊂ B. Это сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда его антецедент ложен, а консеквент истинен. Оно имеет следующую таблицу истинности (табл. 2.9).

Таблица 2.9

Надеемся, не будет сложно заметить, что такой выходной столбец можно получить из описанной выше импликации, поменяв местами столбцы для А и В. Поэтому А ⊂ B можно ввести как сокращение для В ⊃ А.

Полученные с помощью таких связок сложные суждения можно снова соединять связками и получать более сложные высказывания без каких-либо ограничений.

Пример 2.1

«Если кто-либо препятствует деятельности религиозных организаций или совершению религиозных обрядов, то он наказывается штрафом, либо исправительными работами, либо арестом» (ст. 148 Уголовного кодекса РФ). Формальная запись этого высказывания:

(p₁ ∨ p₂) ⊃ (q₁ ↮ q₂ ↮ q₃).

С помощью таблиц истинности можно анализировать сколь угодно сложные высказывания.

Пример 2.2

(p ∨ ¬ (r & q)) ⊃ r).

Поскольку в данном высказывании содержится три переменных: p, q, и r, его истинностная таблица должна содержать три входных столбца и восемь строк – ровно столько, сколько существует переборов истинностных значений для трех высказываний (табл. 2.10). Прежде чем получить выходной столбец, требуется построить промежуточные столбцы. В данном примере это столбцы с четвертого по шестой.

Таблица 2.10

Покажем, как табличный метод позволяет решать некоторые виды задач.

Пример 2.3

Допустим, на некотором острове обитают два вида существ: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, и только правду, лжецы не могут произносить ничего, кроме ложных высказываний. Допустим, перед нами два обитателя этого острова, назовем их А и В. На наш вопрос «Кто вы?» – существо А отвечает: «По крайней мере один из нас лжец». Кем являются А и В?

Для начала переведем условия задачи на язык логики высказываний. Обозначим через р высказывание «А – рыцарь», через q – высказывание «В – рыцарь». Тогда ¬ р будет означать «А – лжец», а ¬ q – «В – лжец». В таком случае сообщение, услышанное нами от А, следует представить как ¬ р ∨ ¬ q. Истинность этого высказывания зависит от того, кем является А. Если он рыцарь, то это высказывание истинно, т. е. если р, то действительно ¬ р ∨ ¬ q. Стало быть, р ⊃ (¬ р ∨ ¬ q). Если же он лжец, то любое услышанное от него сообщение мы должны подвергать отрицанию, т. е. если ¬ р, то ¬ (¬ р ∨ ¬ q). Стало быть, ¬ р ⊃ ¬ (¬ р ∨ ¬ q). Таким образом, мы получили два условия. Они оба справедливы, поэтому их следует соединить знаком конъюнкции. Итак, условия задачи можно представить в виде одного высказывания: