Текст книги "Высшая математика. Шпаргалка"

Высшая математика. Шпаргалка

1. Основные понятия. Системы координат. Прямые линии и их взаимное расположение

Координата точки – это величина, определяющая положение данной точки на плоскости, на прямой или кривой линии или в пространстве. Значение координаты зависит от выбора начальной точки, от выбора положительного направления и от выбора единицы масштаба.

Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых – осей, точка их пересечения – начало координат О, ось ОХ – ось абсцисс, ось ОY – ось ординат. На осях выбираются масштаб и положительное направление.

Рис. 1

Системы координат

Положение точки М определяется двумя координатами: абсциссой х и ординатой у. Записывается так: М(х, у). Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если – во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в – III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если – в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.

Косоугольной системой координат аналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому. Прямоугольная и косоугольная системы относятся к декартовой системе координат.

Полярная система координат состоит из полюса О и полярной оси ОХ, проведенной из полюса. Положение точки определяется полярным радиусом ρ (отрезок ОМ) и полярным углом φ. Для полярного угла берется его главное значение (от –π до π). Числа ρ, φ называются полярными координатами точки М.

Связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат: x = r cosφ, y = r sinφ или:

Пусть имеются две точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂). Расстояние между точками:

Общее уравнение прямой линии (система координат прямоугольная): Ах + Ву + С = 0 (А и В одновременно не равны нулю).

Если В не равно нулю, то уравнение прямой: у = ах + b (здесь а = – А / В, b = – С / В). Здесь а есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, b равно длине отрезка от начала координат до точки пересечения рассматриваемой прямой с осью ординат. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс: у = b, уравнение оси абсцисс: у = 0; уравнение прямой, параллельной оси ординат: х = с, уравнение оси ординат: х = 0.

2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой

1. Пусть даны три точки А₁ (х₁, у₁), А₂ (х₂, у₂), А₃ (х₃, у₃), тогда условие нахождения их на одной прямой:

либо (х₂ – х₁) (у₃ – у₁) – (х₃ – x₁) (у₂ – у₁) = 0.

2. Пусть даны две точки А₁ (х₁, у₁), А₂ (х₂, у₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

(х₂ – х₁)(у – у₁) – (х – х₁)(у₂ – у₁) = 0 или (х – х₁) / (х₂ – х₁) = (у – у₁) / (у₂ – у₁).

3. Пусть имеются точка М (х₁, у₁) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямой L через данную точку М:

у – у₁ = а(х – х₁).

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х – х₁) + В(у – у₁) = 0.

Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямой L через данную точку М:

у – у₁ = –(х – х₁) / а

или

а(у – у₁) = х₁ – х.

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х₁, у₁), описывается уравнением А (у – у₁) – В(х – х₁) = 0.

4. Пусть даны две точки А₁ (х₁, у₁), А₂ (х₂, у₂) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:

1) точки А₁, А₂ лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах₁ + Ву₁ + С) и (Ах₂ + Ву₂ + С) имеют одинаковые знаки;

2) точки А₁, А₂ лежат по разные стороны от данной прямой, если выражения (Ах₁ + Ву₁ + С) и (Ах₂ + Ву₂ + С) имеют разные знаки;

3) одна или обе точки А₁, А₂ лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах₁ + + Ву₁ + С) и (Ах₂ + Ву₂ + С) принимают нулевое значение.

5. Центральный пучок – это множество прямых, проходящих через одну точку М (х₁, у₁), называемую центром пучка. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка у – у₁ = к (х – х₁) (параметр пучка к для каждой прямой свой).

Все прямые пучка можно представить уравнением: l(y – y₁) = m(x – x₁), где l, m – не равные одновременно нулю произвольные числа.

Если две прямые пучка L₁ и L₂ соответственно имеют вид (А₁х + В₁у + С₁) = 0 и (А₂х + В₂у + С₂) = 0, то уравнение пучка: m₁(А₁х + В₁у + С₁) + m₂(А₂х + В₂у + С₂) = 0. Если прямые L₁ и L₂ пересекающиеся, то пучок центральный, если прямые параллельны, то и пучок параллельный.

6. Пусть даны точка М (х₁, у₁) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояние d от этой точки М до прямой:

3. Полярные параметры прямой. Нормальное уравнение прямой. Преобразование координат

Полярными параметрами прямой L будут полярное расстояние р (длина перпендикуляра, проведенного к данной прямой из начала координат) и полярный угол α (угол между осью абсцисс ОХ и перпендикуляром, опущенным из начала координат на данную прямую L). Для прямой, представленной уравнением Ах + Ву + С = 0: полярное расстояние

полярный угол α

причем при C > 0 берется верхний знак, при C < 0 – нижний знак, при С = 0 знаки берутся произвольно, но либо оба плюса, либо оба минуса.

Нормальное уравнение прямой (уравнение в полярных параметрах) (cм. рис. 2): x cosα + y sinα – p = 0. Пусть прямая представлена уравнением вида Ах + Ву + С = 0. Чтобы данное уравнение привести к нормальному виду необходимо последнее разделить на выражение  (знак берется в зависимости от знака С).

Рис. 2

После деления получается нормальное уравнение данной прямой:

Пусть имеется прямая L, которая пересекает оси координат. Тогда данная прямая может быть представлена уравнением в отрезках х / а + у / b = 1. Справедливо: если прямая представлена уравнением х / а + у / b = 1, то она отсекает на осях отрезки а, b.

Преобразование координат возможно путем переноса начала координат, или поворотом осей координат, или совместно переносом начала и поворотом осей.

При переносе начала координат справедливо следующее правило: старая координата точки равна новой, сложенной с координатой нового начала в старой системе. Например, если старые координаты точки М были х, у, а координаты нового начала в старой системе О*(х₀, у₀), то координаты точки М в новой системе координат с началом в точке О* будут равны х – х₀, у – у₀ т. е. справедливо следующее х = х* + х₀, у = у* + у₀ или х* = х – х₀, у* = у – у₀ (* новые координаты точки).

При повороте осей на некоторый угол φ справедливы следующие формулы (где х, у – старые координаты точки; х*, у* – новые координаты этой же точки):

x = x* cosα – y* sinα;

y = x* sinα + y* cosα

или

x* = x cosα + y sinα;

y* = – x sinα + y cosα.

4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола

Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линией n–порядка.

Окружность с радиусом R и центром в начале координат описывается уравнением: х² + у² = R², если центром окружности является некоторая точка С (а, b), то уравнением:

(х – а)² + (у – b)² = R².

Чтобы уравнение Ах² + Вх + Ау² + Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х² и у² были равны, чтобы В² + С² – 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой линии).

Координаты центра окружности, описанной уравнением Ах² + Вх + Ау² + Су + D = 0 и ее радиус: a = –B / 2A, b = –C / 2A, R² = (В² + С² – 4АD) / 4A².

Эллипс – сжатая окружность (рис. 3).

Рис. 3

Прямая АА₁ называется осью сжатия, отрезок АА₁ = 2а – большой осью эллипса, отрезок ВВ₁ = 2b – малой осью эллипса (a > b) точка О – центром эллипса, точки А, А₁, В, В₁ – вершинами эллипса. Отношение k = b / a коэффициент сжатия величина α = 1 – k = (a – b) / a – сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.

Каноническое уравнение эллипса: x² / a² + y² / b² = 1.

Другое определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний которых до двух данных точек F, F₁ имеет одно и то же значение 2а (F₁M + FM = 2a) (рис. 4).

Рис. 4

Точки F и F₁ называются фокусами эллипса, а отрезок FF₁ – фокусным расстоянием, обозначается FF₁ = 2с, причем с < а. Эксцентриситет эллипса ε – это отношение фокусного расстояния к большой оси ε = с / а. Эксцентриситет эллипса меньше единицы, имеем: k² = 1 – ε².

Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F₁ имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). |F₁M – FM| = 2a. Точки F, F₁ называются фокусами гиперболы, расстояние FF₁ = 2c – фокусным расстоянием. Справедливо: c > a.

Каноническое уравнение гиперболы: х² / а² + у² / (а² – с²) = 1. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями у = bx / a и y = – bx / a (b² = c² – a²).

Парабола – это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы – точка О. Каноническое уравнение параболы: у² = 2рх.

Рис. 5

5. Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость

Всякая поверхность в пространстве определяется уравнением вида f(x, y, z) = 0.

Общее уравнение плоскости: Ах + Ву + Сz + D = 0. Если А, В, С, D не равны нулю, то уравнение называется полным.

При D = 0 уравнение Ах + Ву + Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.

Если А = 0, то уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. Если два из коэффициентов А, В, С равны нулю одновременно, то уравнение определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей: при А = 0 и В = 0 параллельно плоскости хОу, при А = 0 и С = 0 параллельно хОz, при В = 0 и С = 0 параллельно yOz. Уравнение Cz = 0 определяет плоскость xOy, By = 0 – плоскость xOz, Ax = 0 – плоскость yOz. Уравнение плоскости в «отрезках»: х / а + у / b + z / c = 1. Расстояние от точки М (х₁, у₁, z₁) до плоскости:

Пусть имеются две плоскости А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0. Угол φ между этими плоскостями:

Условие равенства двух плоскостей: А₁ / А₂ = В₁ / В₂ = С₁ / С₂ = D₁ / D₂. Условие параллельности плоскостей: А₁ / А₂ = В₁ / В₂ = С₁ / С₂. Условие перпендикулярности плоскостей: А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М (х₁, у₁, z₁) параллельно плоскости, заданной уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0: А(х – x₁) + В(у – y₁) + С(z – z₁) + D = 0. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ (х₁, у₁, z₁), М₂ (х₂, у₂, z₂), М₃ (х₃, у₃, z₃):

Уравнение плоскости, проходящей через две точки М₁(х₁, у₁, z₁) и М₂(х₂, у₂, z₂) перпендикулярно к плоскости, заданной уравнением A_x + B_y + C_z + D = 0:

Уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (х₁, у₁, z₁) перпендикулярно двум непараллельным плоскостям А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0, имеет вид:

Имеем три плоскости, заданные общими уравнениями:

6. Прямая в пространстве

Всякая прямая определяется в пространстве системой двух уравнений

Канонические (симметричные) уравнения прямой: (x – x₀) / m = (y – y₀) / p = (z – z₀) / q, прямая проходит через точку M₀ (x₀, y₀, z₀). Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями:

Условие параллельности двух прямых: m₁ / m₂ = p₁ / p₂ = q₁ / q₂. Условие перпендикулярности двух прямых: m₁m₂ + p₁p₂ + q₁q₂ = 0.

Пусть имеются прямая (x – x₀) / m = (y – y₀) / p = (z – z₀) / q и плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0. Условие параллельности прямой и плоскости: Am + Bp + Cq = 0. Условие перпендикулярности прямой и плоскости: A / m = B / p = C / q. Условие принадлежности прямой плоскости:

Если прямая задана параметрически x = x₀ + mt, y = y₀ + pt, z = z₀ + qt, то координаты точки пересечения этой прямой и плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 определяются по параметрическим уравнениям прямой при подстановке значений t, определенных (Am + Bp + Cq)t + Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0. Уравнение прямой, проходящей через точки М₁ (х₁, у₁, z₁) и М₂ (х₂, у₂, z₂):(х – х₁) / (х₂ – х₁) = (у – у₁) / (у₂ – у₁) = (z – z₁) / (z₂ – z₁). Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀, у₀, z₀) перпендикулярно прямой (x – x₁) / m = (y – y₁) / p = (z – z₁) / q, имеет вид: m(x – x₀) + p(y – y₀) + q(z – z₀) = 0. Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀, z₀) перпендикулярно плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, имеет вид: (х – х₀) / А = (у – у₀) / В = (z – z₀) / C. Уравнение плоскости, проходящей через М₀(х₀, у₀, z₀) и (x – x₁) / m = (y – y₁) / p = (z – z₁) / q, не проходящую через М₀:

Уравнение плоскости, проходящей через М₀ (х₀, у₀, z₀) и параллельной двум прямым:

Уравнение плоскости, проходящей через (x – x₁) / m₁ = (y – у₁) / p₁ = (z – z₁) / q₁ и параллельной (x – x₂) / m₂ = (y – y₂) / р₂ = (z – z₂) / q₂ имеет вид:

Уравнение плоскости, проходящей через (x – x₁) / m₁ = (y – y₁) / p₁ = (z – z₁) / q₁ перпендикулярно Ах + Ву + Сz + D = 0;

7. Матрицы и действия над ними

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица вида:

или А = (a_ij), где i = 1, 2…, m; j = 1, 2…, n. Числа a_ij – называются элементами матрицы. Если m = 1, а n > 1, то матрица является матрицей–строкой. Если m > 1, а n = 1, то матрица является матрицей–столбцом. Если m = n, то матрица называется квадратной, а число ее строк (или столбцов) называется порядком матрицы.

Две матрицы А и В называются равными, если их размер одинаков и a_ij = b_ij. Нулевая матрица – это матрица, у которой все элементы равны нулю.

Единичной матрицей называется квадратная матрица:

Матрицей, транспонированной к матрице А размерности m х n называется матрица А^т размерности n х m, полученная из матрицы А если ее строки записать в столбцы а столбцы – строки.

Матрицы одинакового размера (однотипные) можно складывать, вычитать, перемножать и умножать на число.

Суммой (разностью) двух однотипных матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме или разности c_ij = a_ij ± b_ij. При сложении справедливы:

А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С), А + 0 = А.

Произведением матрицы А на число р называется матрица, элементы которой равны рa_ij.

Справедливы свойства:

α(βA) = (αβ)А;

(А + В)α = αА + αВ;

(α + β)А = αА + βА.

Произведением двух квадратных матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i–ой строки и k–го столбца, является суммой парных произведений элементов i–ой строки первой матрицы на элемент k–ой строки второй матрицы С = АВ. То же правило распространяется на умножение прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы–множимого равно числу строк матрицы–множителя.

Матрицы, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими.

Справедливы свойства:

1) ЕА = АЕ = А;

2) А(ВС) = (АВ)С;

3) a(АВ) = (aА)В = А(aВ);

4) (А₁ + А₂)В = А₁В + А₂В, А(В₁ + В₂) = АВ₁ + АВ₂;

5) А0 = 0А = 0;

6) (АВ)^т = А^тВ^т.

При умножении двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.

8. Определители. Обратная матрица. Вырожденная и невырожденная матрицы. Система линейных уравнений

Определителем второго порядка, соответствующим матрице , называется число, равное

Свойства определителя:

1) величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами или если к элементам какой–либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и тоже число;

2) определитель поменяет знак при перемене мест его строк или столбцов;

3) определитель будет равен нулю, если элементы какого–либо столбца (или строки) равны нулю или элементы двух строк (или столбцов) соответственно равны.

Минором M_ik элемента a_ik определителя IАI называется определитель полученный из А вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит этот элемент.

Алгебраическим дополнением A_ik элемента a определителя |A| называется его минор, взятый со знаком (–1)^i+k, A = (–1)^i+kM_ik.

Определителем n–порядка, соответствующим квадратной матрице n–го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой–либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Теорема. Если А и В – квадратные матрицы одного порядка с определителями |A| и |B|, то определитель матрицы С = АВ равен: |C | = |A| |B|.

Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется матрица А^–1, которая удовлетворяет условиям АА^–1 = А^–1А = Е. Матрица А называется вырожденной, если ее определитель |A| равен нулю.

Теорема. Матрица

где A_ik – алгебраическое дополнение элемента a_ik невырожденной матрицы А, является обратной для А.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

9. Числовые последовательности, арифметические действия над ними. Предел последовательности

Если каждому значению n из натурального ряда чисел – 1, 2, n – ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число а, то множество занумерованных вещественных чисел – а₁, а₂, а_n – называется числовой последовательностью (последовательностью), числа а_n называются элементами или членами последовательности.

Числовая последовательность:

{a_n},a_n = f(n),

где n = 1, 2, 3… – номер члена последовательности.

Cпособы задания последовательностей:

1) аналитический (с помощью формулы n–члена);

2) рекуррентный (путем задания первого члена или нескольких членов и формулы для определения любого члена по известным членам);

3) словесный.

Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {x_n} и {y_n} называются соответственно следующие последовательности: {x_n + y_n}, {x_n – y_n}, {x_n × y_n}, {x_n / y_n}, в случае частного y_n ≠ 0. Если в нуль обращается лишь конечное число членов последовательности знаменателя, то частное определяется с номера, отличного от нуля члена последовательности.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняется условие: a_n+1 > a_n (a_n+1 < a_n). Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется условие: a_n+1 ≤ a_n (a_n+1 ≥ a_n).

Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.

Последовательность {a_n} называется сходящейся, если существует такое число А, что для любого положительного числа ε > 0 найдется такой номер N, что при всех n > N |a_n – A| < ε. Если последовательность не сходится, то она называется расходящейся.

Число А называется пределом последовательности {a_n}, если для ε > 0 существует такое натуральное число N, что при всех n > N |a_n– A| < ε. Обозначение предела последовательности: .

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Для подпоследовательностей справедливо:

1) если последовательность сходится к пределу А, то и ее подпоследовательность сходится к пределу А;

2) если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу и к нему же сходится исходная последовательность.

Теорема. Предел суммы (разности), произведения и частного равен сумме (разности), произведению и частному пределов, т. е., если , то:

, где с – постоянная;

10. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Последовательность {а_n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что для любого n a_n ≤ M (a_n ≥ m). Число М (m) называется верхней (нижней) границей последовательности {a_n}.

Последовательность {а_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Теорема. Последовательность {а_n} ограничена тогда и только тогда, когда существует число r > 0 такое, что |a_n| < r для всех n.

Теорема. Свойства ограниченности последовательности сверху, снизу и с двух сторон не нарушатся при отбрасывании (добавлении) конечного числа членов последовательности.

Теорема. Сумма двух ограниченных последовательностей есть ограниченная последовательность.

Последовательность {а_n} называется бесконечно малой, если для любого положительного ε существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a_n| < ε.

Последовательность {а_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного Р существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a_n| < Р.

Предел бесконечно большой последовательности при n > ∞ равен ∞.

Бесконечно большая последовательность не ограничена и, следовательно, расходится.

Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей. Для того чтобы последовательность {а_n} была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {b_n} b_n = 1 / а_n была бесконечно малой.

Теорема. Если {а_n} – бесконечно большая последовательность, а {b_n} – сходящаяся последовательность, не являющаяся бесконечно малой, то их произведение есть бесконечно большая последовательность.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) предел бесконечно малой последовательности равен нулю: ;

2) стационарная последовательность с, с, …, с, … является бесконечно малой тогда, когда с = 0;

3) свойство последовательности быть бесконечно малой не нарушится, если отбросить (прибавить) конечное число членов;

4) пусть {b_n} – бесконечно малая последовательность и для всех n справедливо а_n ≤ b_n, тогда последовательность {а_n} тоже является бесконечно малой;

5) бесконечно малая последовательность ограниченна;

6) сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

7) пусть {а_n} – бесконечно малая последовательность, {b_n} – ограниченная последовательность, тогда их произведение есть бесконечно малая последовательность;

8) пусть {а_n} – бесконечно малая последовательность, а с – любое действительное число, тогда последовательность {са_n} тоже бесконечно мала;

9) произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.