Текст книги "Высшая математика. Шпаргалка"

11. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Предел последовательности

Последовательность {а_n} называется сходящейся, если существует такое вещественное число А, что последовательность {а_n – А} является бесконечно малой. Число А будет пределом последовательности: .

Сходящуюся последовательность можно представить в виде {a_n} = {A + γ_n}, где {γ_n} – бесконечно малая последовательность.

Бесконечно малые последовательности являются сходящимися с пределом, равным нулю, бесконечно большие – расходящимися (сходящимися к бесконечности).

Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности, если в любой ее ε–окрестности содержится бесконечно много элементов данной последовательности.

Лемма. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1) всякая сходящаяся последовательность имеет один предел;

2) сходящаяся последовательность {a_n} ограниченна;

3) пусть последовательности {a_n} и {b_n} сходятся и , тогда сходятся и последовательности {cx_n} (c = const) {a_n ± b_n} {a_n × b_n} {a_n / b_n} (в случае частного B ≠ 0, b_n ≠ 0, n = 1, 2, …). И их пределы вычисляются по общим правилам.

Теорема сравнения (предельный переход в неравенствах). Пусть заданы последовательности {a_n}, {b_n}. Тогда если последовательности {a_n}, {b_n} таковы, что a_n ≤ (≥) b_n, то (данное утверждение неверно для строгих неравенств).

Теорема (принцип двустороннего ограничения). Пусть заданы последовательности {a_n}, {b_n}, {c_n}. Тогда если a_n ≤ b_n ≤ c_n и последовательности {a_n} и {c_n} сходятся к одному и тому же пределу В, то последовательность {b_n} тоже сходится к тому же пределу: .

Следствия:

1) если все члены сходящейся последовательности {a_n} не отрицательны (не положительны), то предел последовательности есть число неотрицательное (неположительное), ;

2) если все элементы сходящейся последовательности {a_n} находятся на отрезке [a, b], то и предел этой последовательности {a_n} лежит на данном отрезке, ;

3) если все члены сходящейся последовательности {a_n} a_n ≤ (і) В, то , где В – некоторое число.

Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Всякая неубывающая (невозрастающая) последовательность {a_n}, ограниченная сверху (снизу) сходится. Иначе для того чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна.

12. Ряд. Сумма ряда. Сходимость ряда. Арифметические действия над рядами. Ряды с положительными членами

Числовым рядом называется выражение a_i = а₁ + а₂ +…+ а_n +…, где a_i (i= 1, 2…, n…) – вещественные или комплексные числа.

Частичной суммой ряда (n–ой частичной суммой) называется число S_n = а₁ + а₂ +…+ а_n = a_i.

Из частичных сумм можно образовать последовательность S₁ = a₁, S₂ = a₁ + a₂, S₃ = a₁ + a₂ + a₃ и т. д. Если существует предел последовательности частичных сумм ряда, то ряд называется сходящимся, а сам предел называется суммой ряда, обозначается . Если такового предела не существует, то ряд называется расходящимся.

Теорема. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Если ряд сходится, то его n–ый член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е. . Пусть даны два ряда

a_n и b_n. Тогда в результате сложения этих двух рядов получится ряд (a_n + b_n), при умножении получается ряд , произведением ряда a_n на число с будет ряд ca_n (с – вещественное или комплексное число).

Теорема. Пусть даны два ряда, имеющие соответствующие суммы a_n = S₁ и b_n = S₂. Тогда справедливо: (a_n +b_n) = S₁ +S₂, , ca_n = cS₁ (где с – число).

Теорема (принцип сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами a_n и b_n. Если ряд a_n сходится и a_i ≥ b_i (i = 1, 2…, n), то и ряд b_nb_n сходится, причем a_n ≥ b_n.

Теорема. Если члены ряда a_i не меньше соответствующих членов расходящегося ряда b_n, то и ряд a_n расходится.

13. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Функциональные ряды

Знакопеременный ряд – это ряд с произвольными вещественными числами.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Теорема. Всякий абсолютно сходящийся знакопеременный ряд есть ряд сходящийся.

Теорема. Если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Теорема. Если знакопеременный ряд сходится условно, то какое бы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма в точности оказалась бы равной А. Кроме этого, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что после перестановки ряд окажется расходящимся.

Ряд с вещественными членами называется знакочередующимся, если два любых его соседних члена имеют разные знаки. Его иногда записывают следующим образом: (–1)ⁿ⁺¹a_n (a_i > 0).

Теорема (признак сходимости Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда a_n удовлетворяют условиям |a_n| > |a_n +1 | (n = 1, 2…) и , то ряд сходится. При этом если a_n = S, то .

Ряд u_n(x) называется функциональным, если его члены являются функциями действительной переменной х.

Областью сходимости функционального ряда называется совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд сходится. Если функциональный ряд сходится при х = х₀, то х₀ называется точкой сходимости. Если ряд сходится в каждой точке некоторого множества, то говорят, что ряд сходится на этом множестве.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве М к функции S(x), если для всякого положительного ε найдется такое число N, что для всех n > N и для всех х, принадлежащих множеству М, справедливо неравенство:

Теорема. Если члены ряда u_n(x) – непрерывные функции и ряд на множестве М сходится равномерно, то и S(x) = u_n(x) является непрерывной функцией.

14. Степенные ряды. Тригонометрический ряд. Ряды Фурье

Степенным рядом называется функциональный ряд вида а₀ + а₁(х – х₀) + а₂(х – х₀)² +…+ а_n(x – x₀)ⁿ +… = a_k(x – x₀)^k. Числа a_i (i = 0, 1, 2…) называются коэффициентами ряда. Число R называется радиусом сходимости.

Свойства степенных рядов.

Теорема 1. Если степенной ряд a_k(x – x₀)^k имеет радиус сходимости R, то в любом круге комплексной плоскости (или на любом отрезке вещественной оси) вида |x – x₀| < r, r < R он равномерно сходится.

Теорема 2. Если для степенного ряда a_k (x – x₀)^k существует предел , то он равен радиусу сходимости данного ряда, т. е. L = R.

Следствие.

1. На множестве {x| |x – x₀| < r}, r < R сумма степенного ряда является непрерывной функцией.

2. Степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать на множестве {x| |x– x₀| < r}, r < R.

Если функция f(x) является суммой сходящегося ряда a_k(x – x₀)^k, т. е. f(x) = a_k(x – x₀)^k, то говорят, что функция f(x) разложена в степенной ряд.

Бесконечно дифференцируемая в точке х₀ функция f(x) может быть представлена в виде степенного ряда Тейлора:

При х₀ = 0 имеем ряд Маклорена:

Ряд Тейлора может расходиться всюду, кроме точки х₀, сходиться к функции f(x) или к другой функции.

Остаточным членом (n–м остаточным членом) в форме Лагранжа называется функция:

Функциональный ряд –  называется тригонометрическим рядом. Числа a_n и b_n (n = 1, 2…) называются коэффициентами тригонометрического ряда. Если функция f(x) с периодом 2π является суммой тригонометрического ряда, т. е. , а коэффициенты данного ряда представлены в виде коэффициентов Фурье, то такой тригонометрический ряд называется рядом Фурье функции f(x).

15. Функции. Основные определения. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Величина у называется функцией переменного аргумента х, если каждому х соответствует одно или несколько определенных значений у. Переменная х называется аргументом функции. Если каждому значению х отвечает одно значение у, то функция называется однозначной, если два или более, то – многозначной Область определения функции – совокупность значений аргумента х, для которых функция у = f(x) определена. Область значения функции – совокупность всех значений, принимаемых зависимой переменой у.

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x, y) плоскости хОу, координаты которых связаны соотношением у = f(x).

Основные элементарные функции: постоянная степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические. Элементарные функции получаются из основных элементарных путем конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий.

Функция считается ограниченной, если любое ее значение по абсолюной величине не превосходит некоторое положительное число.

Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на интервале (a, b), если для любых x₁ и x₂ из неравенства x₂ > x₁ вытекает f(x₂) > f(x₁) (f(x₂) < f(x₁)); если вытекает нестрогое неравенство f(x₂) ≥ f(x₁) (f(x₂) ≤ f(x₁)), то функция называется неубывающей (невозрастающей). Функции возрастающие убывающие неубывающие, невозрастающие называются монотонными.

Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х ≠ а, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, имеет место неравенство .

Число А называется пределом функции f(x) в бесконечности, если для любого числа ε > 0 существует такое число N > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию |x| > N, имеет место неравенство |f(x) – A| < ε, .

Функция α(х) называется бесконечно малой при х → а, если .

Свойства бесконечно малых:

1) сумма и произведение бесконечно малых есть бесконечно малая;

2) произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая;

3) произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая;

4) частное от деления бесконечно малой на переменную величину стремящуюся к отличному от нуля пределу, есть бесконечно малая.

Если отношение двух бесконечно малых β / α бесконечно мало, то β величина высшего порядка малости относительно α (α – величина низшего порядка малости относительно β).

Если отношение двух бесконечно малых величин β / α стремится к конечному пределу, то эти величины бесконечно малые одного порядка малости.

16. Основные теоремы о пределах функций. Непрерывность функции

Теорема 1. Для того чтобы число А было пределом функции f(x) при х → а, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представлена в виде f(x) = А + α(х), где α(х) – бесконечно малая.

Теорема 2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.

Теорема 3. Если f(x) ≥ 0 (f(x) ≤ 0) для всех х в некоторой окрестности точки а, кроме точки а, и в точке а имеет предел, то .

Теорема 4. Если функции f₁(x) и f₂(x) имеют пределы при х → а, то (для частного при ):

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 5. Если для функций f(x), f₁(x), f₂(x) в некоторой окрестности точки а выполняется неравенство f₁(x) ≤ f(x) ≤ f₂(x) и , то .

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению Δх аргумента х в точке х₀ соответствует бесконечно малое приращение функции Δу, т. е.

Функция f(x) непрерывна в точке, если предел ее в этой точке равен ее значению в этой же точке. Если функция f(x) не является непрерывной в точке х₀, то она разрывна в этой точке, а точка х₀ – точка разрыва.

Теорема 1. Если функции f₁(x) и f₂(x) непрерывны в точке х₀, то непрерывны в этой точке также их сумма, произведение и частное.

Теорема 2. Если функция u = w(x) непрерывна в точке х₀, а функция y = f(u) непрерывна в точке u₀ = w(x₀), то сложная функция y = f(w(x)) непрерывна в точке x₀.

Теорема 3. Если f(x) – непрерывная функция, имеющая однозначную обратную функцию, то обратная функция непрерывна.

Теорема 4. Все основные элементарные функции непрерывны там, где они определены.

Теорема 5. Функция f(x), непрерывная в точке х₀, не равная нулю в этой точке, сохраняет знак f(x₀) в некоторой окрестности этой точки.

17. Производная функции. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций

Производной функции называется предел, к которому стремится отношение приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении к нулю Δх, обозначается у' или dy / dx:

Если существует предел слева  (или справа ), то этот предел называется левой (правой) производной функции f(x) в точке х.

Дифференцирование – это процесс нахождения производной функции.

Дифференцируемая функция в точке – это функция, которая имеет производную в этой точке. Разрывная функция в точке разрыва не может иметь производной. Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Теорема. Если функция у = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, то она непрерывна в этой точке.

Правила дифференцирования.

Пусть u(х), v(х) – функции, имеющие производные u' и v', тогда:

1) (u + v)' = u' + v';

2) (cu)' = cu';

3) (uv)' = u'v + uv';

4) (u / v)' = (u'v – uv') / v².

Пусть y = f(u), а u = w(x), f(u) имеет производную по u, а w(x) – производную по x (т. е. y есть сложная функция от х), тогда:

Пусть y = f(x), a x = w(y), тогда если функция у имеет не равную нулю производную f'(x), то обратная функция имеет производную w'(y), причем w'(y) = 1 / f'(x).

Таблица производных основных элементарных функций.

1. (с)' = 0, где с – постоянная.

2. (х)' = 1.

3. (xⁿ)' = nx^{n –1}.

Производная показательной функции.

1. (a^х)' = a^х lna.

2. (e^х)' = e^х.

Производная логарифмической функции.

1. (log_aх)' = 1 / (х lna).

2. (lnх)' = 1 / х.

Производные тригонометрических функций.

1. (sin х)' = cos х.

2. (cos х)' = – sin х.

3. (tg х)' = 1 / cos² х.

4. (ctg х)' = –1 / sin² х.

Производные обратных тригонометрических функций.

1. .

2. .

3. (arctg х)' = 1 / (1 + х²).

4. (arcctg х)' = –1 / (1 + х²).

18. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Свойства дифференцируемых функций

Дифференциал функции f(x) есть произведение ее производной на приращение (дифференциал) независимой переменной (dy = y'Δx).

Операция нахождения дифференциала называется дифференцированием.

Геометрически дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, соответствующее приращению аргумента Δх.

Для дифференциалов справедливо (здесь u, v – функции дифференцируемые):

1) dC = 0;

2) d(u + v) = du + dv;

3) d(uv) = v du + u dv;

4) d(Cu) = C du;

5) d(u / v) = (v du – u dv) / v²;

6) d(xn) = nxⁿ – 1dx;

7) d(e^x) = e^x dx;

8) d(a^x)= a^x lna dx;

9) d (ln x) = dx / x;

10) d (log_a x) = dx /(x lna);

11) d(sin x) = cos x dx, d(cos x) = – sinx dx;

12) d(tg x) = dx / cos²x, d(ctg x) = – dx / sin2x;

13) d(arcsin x) = dx / , d(arccos x) = – dx / ;

14) d(arctg x) = dx / (1 + x²), d(arcctg x) = – dx / (1 + x²);

15) дифференциал сложной функции равен dy = f_u'(u)w' × (x)dx, здесь y = f(u), u = w(x), причем f(u) имеет производную по u, а w(x) – по x.

Производная у' называется производной первого порядка. Если существует производная от у', то это будет производная второго порядка, обозначается (у')' = у''. В общем случае производная n–порядка это есть производная от производной (n – 1) – порядка и обозначается y⁽ⁿ⁾ = (y^(n–1))'.

Функция у = f(x) называется непрерывно дифференцируемой n раз, если существуют ее производные до порядка n включительно и эти производные непрерывны.

Для производных любого порядка справедливо: (u + v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ + v⁽ⁿ⁾, (Cu)⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾, а производная произведения вычисляется по формуле Лейбница:

Дифференциал n–порядка это есть первый дифференциал от дифференциала (n – 1) – го порядка.

Теорема Ферма. Если функция y = f(x), определенная в интервале (a, b), достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная f'(c), то f'(c) = 0.

Теорема Ролля. Если функция y = f(x), непрерывная на отрезке [a, b] и дифференцируемая в интервале (a, b), принимает на концах этого отрезка равные значения f(a) = f(b), то в интервале (a, b) существует точка с такая, что f'(c) = 0.

Теорема Лагранжа. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то в интервале (a, b) найдется такая точка с, что (f(b) – f(a)) / (b – a) = f'(c).

19. Исследование функций с помощью производных. Формула Тейлора

Условие возрастания или убывания функции Теорема 1. Если функция y = f(x), дифференцируемая в интервале (a, b), не убывающая (не возрастающая) на нем, то ее производная в этом интервале не отрицательна f'(x) ≥ 0 (не положительна f'(x) ≤ 0).

Теорема 2. Если функция y = f(x), дифференцируемая в интервале (a, b), удовлетворяет на нем условию f'(x) > 0 (f'(x) < 0), то эта функция возрастает (убывает) в интервале (a, b).

Условие существования экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие). Если функция y = f(x), дифференцируемая в интервале (a, b), имеет в точке х₀ ∈ (a, b) экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю f'(x₀) = 0.

Теорема 2 (достаточное условие). Если производная функции f(x) обращается в точке х₀ в нуль и при переходе через эту точку в направлении возрастания х меняет знак плюс (минус) на минус (плюс), то в точке х₀ эта функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точку х₀ производная функции f(x) не меняет знака, то в этой точке функция f(x) экстремума не имеет.

Теорема 3. Пусть функция y = f(x) имеет в точке х₀ и ее окрестности непрерывные первую и вторую производные причем f'(x₀) = 0 f''(x₀) ≠ 0. Тогда функция f(x) имеет в точке х₀ минимум (максимум) если f''(x₀) > 0 (f''(x₀) < 0).

Определение выпуклости вогнутости и точек перегиба.

Теорема 1. Если вторая производная f''(x) функции у = f(x) положительна (отрицательна) в интервале (a, b), то график этой функции является вогнутым (выпуклым) в этом интервале.

Теорема 2. Если вторая производная f''(x) функции у = f(x) обращается в точке х₀ в нуль и при переходе через эту точку меняет знак, то точка (x₀, f(x₀)) графика данной функции является точкой перегиба.

Условие существования наклонной асимптоты: график функции y = f(x) имеет при x → ∞ наклонную асимптоту тогда и только тогда, когда существуют два предела . (При k = 0 наклонная асимптота становится горизонтальной.)

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Пусть в интервале (a, b) функция f(x) имеет производные до (n + 1) – го порядка включительно. Тогда для всякого х из этого интервала и фиксированного а этого интервала имеет место формула:

Здесь с ∈ (a, x), последнее слагаемое и есть остаточный член в форме Лагранжа.

При а = 0 данную формулу называют формулой Маклорена остаточный член в этом случае равен:

20. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей

Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке, если F'(x) = f(x).

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) – две первообразные для функции f(x) в некотором промежутке, то разность между этими первообразными равна постоянному числу.

Следствие. Любая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных.

Неопределенный интеграл функции f(x) – это наиболее общий вид ее первообразной: F(x) + С, где F(x) – первообразная функции f(x), С – произвольная const и обозначается ∫f(x)dx, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x) dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования.

∫f(x)dx = F(x) + С, если F'(x) = f(x).

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то у функции f(x) существует первообразная функция. График первообразной функции F(x) называется интегральной линией функции f(x).

Свойства неопределенного интеграла:

1)  или тf(x)dx = тf(x)dx;

2) ∫dF(x) = F(x) + C или ∫F'(x)dx= F(x) + C;

3) ∫cf(x)dx = c∫f(x)dx;

4) ∫[f₁(x)dx + f₂(x)dx.

Таблица основных интегралов.

1. .

2. .

3. ∫e^xdx = e^x + C.

4. .

5. ∫sin x dx = – cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C.

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Формула замены переменной:

∫f(x) dx = ∫f[w(t)]w'(t) dt (f(x) – непрерывная функция x = w(t), w(t) – функция имеющая непрерывную производную).

21. Определенный интеграл. Основные свойства определенного интеграла. Оценка определенного интеграла

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции f(x) и отрезками прямых у = 0, х = а, х = b.

Если отрезок [a, b] разобьем на n частей, то площадь криволинейной трапеции будет равна сумме произведений длин этих частей на соответствующее значение функции. Некоторому частичному сегменту [x_k–1, x_k] соответствует значение функции f(τ_к), где τ_к ∈ [x_k–1, x_k]. При возрастании числа разбиений точность увеличивается.

Определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a, b] называется предел (если он существует) , не зависящий от способа разбиения отрезка [a, b] и выбора точек τ_к (здесь λ = max Δx_k = max(x_k – x_k–1)), обозначается . Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b] функцией f(x), dx – подынтегральным выражением, а – нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом,  – интегральной суммой.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.

Свойства определенного интеграла:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) интеграл по сегменту равен сумме интегралов по его частям .

Теорема 1 (об оценке интеграла). Если m есть наименьшее, а М – наибольшее значение функции f(x) в промежутке (a, b), то при a < b имеем m(b – a) ≤ f(x)dx ≤ M(b – a).

Теорема 2 (об оценке интеграла). Если в каждой точке промежутка (a, b) соблюдается неравенство ψ(х) ≤ f(x) ≤ φ(х), то .

Неравенство Буняковского: