Текст книги "Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним"

Наш опыт зрительного восприятия мира строится на том, что свет, проходя через глазное яблоко, попадает на сетчатку и создает два плоских изображения. Светочувствительные клетки сетчатки преобразуют свет в электрические сигналы, которые передаются в зрительную кору головного мозга, а уже там двумерная информация реконструируется в трехмерную. Два глаза позволяют нам видеть объект под немного различными углами, а мозг еще в нашем юном возрасте обучается интерпретировать эти различия как разницу в перспективе и строить трехмерное изображение. Но даже закрыв один глаз, мы не переключаемся мгновенно в двумерное толкование мира. Смотря на мир одним глазом, мы все равно получаем от него “подсказки” в виде искажений перспективы, игры света и тени, которые позволяют нам в своем воображении воссоздать объем видимого. А еще для того, чтобы усилить ощущение трехмерности, мы можем двигаться или крутить головой, изменяя угол зрения; можем дополнять то, что видим, информацией от других органов чувств – слуховой, осязательной. Мы так наловчились добавлять к картинке лишнее измерение, что, смотря кино на плоском экране телевизора, автоматически, без всяких 3D-технологий воспринимаем его как объемное.

Спрашивается: если мы способны построить трехмерное изображение из получаемой нами двумерной картинки, можем ли мы, используя трехмерную зрительную информацию, создать в своем воображении мысленный образ четвертого измерения? Наша сетчатка плоская от природы, но у электронной технологии нет такого ограничения. Установив в разных местах достаточное количество фотокамер или других устройств для получения изображений, мы можем собирать информацию одновременно с какого хотим количества точек, под любыми углами. Но все же для формирования четырехмерного изображения этого мало. Наблюдатель с реальным четырехмерным зрением, смотря на объект в нашем мире, способен был бы видеть не только всю его трехмерную поверхность, но одновременно и то, что находится внутри. К примеру, если вы запрете свои ценности в сейфе, четырехмерное существо сможет, бросив на него один лишь взгляд, не только увидеть сейф одновременно со всех сторон, но и заглянуть внутрь (а при желании и достать его содержимое!). И это не потому, что подобное существо обладает рентгеновским зрением и способно видеть сквозь стены, нет. Просто у него есть возможность использовать дополнительное измерение. Мы используем ту же возможность, глядя на замкнутое пространство в двумерном мире. Нарисуйте квадрат на бумаге – пусть это будет двумерный сейф, – а внутри него какие-нибудь драгоценности. Житель Флатландии, обитающий в плоскости своей двумерной страны, увидит только внешнюю границу сейфа – отрезок прямой. Мы же, смотря на лист бумаги – флатландский мир – сверху, видим одновременно и линии, образующие стенки сейфа, и его содержимое и можем, протянув руку, вынуть из него двумерные драгоценности. Флатландец несказанно удивился бы тому, как мы сумели, не проделав ни единого отверстия в стенках, увидеть то, что внутри сейфа, и достать спрятанное. Точно так же и наблюдатель, рассматривающий наш мир из своего четвертого измерения, смог бы одновременно видеть и снаружи, и изнутри все составные части любого трехмерного объекта – будь то дом, автомобиль или человеческое тело.

Один из возможных способов создать если не четырехмерное зрение, то хотя бы его иллюзию – это сконструировать трехмерную сетчатку, состоящую из множества слоев, на каждый из которых проецируется уникальное сечение трехмерного объекта. Информацию с такой искусственной сетчатки можно было бы передавать непосредственно в человеческий мозг таким образом, чтобы у его обладателя был доступ одновременно ко всем сечениям – в точности как у настоящего четырехмерного наблюдателя. В результате получилась бы пусть не реальная четырехмерная картинка, но нечто подобное образу трехмерного объекта, который мы увидели бы, рассматривая его “с высоты” четвертого измерения. Такая технология немало пригодилась бы в разных областях. Причем первый компонент для нее – трехмерная сетчатка – уже существует в реальности: это медицинские сканеры, строящие объемные изображения человеческого тела из двумерных изображений-срезов. Второй компонент нам пока недоступен: мы не можем передать информацию в зрительную кору таким образом, чтобы мозг сумел построить из нее многоракурсное изображение объекта во всех его видах сразу, – для этого у нас нет ни достаточно совершенного нейрокомпьютерного интерфейса, ни нужных знаний в области неврологии. Однако не исключено, что “Человек 2.0” не такая уж далекая перспектива – всего-то нужно подождать еще пару десятков лет. Футуролог Рэй Курцвейл считает, что к 2030-м годам мы будем вживлять себе в мозг наноботы – микроскопические роботы, способные связываться с облачными компьютерными сервисами. В 2017 году технологический предприниматель Илон Маск основал компанию Neuralink, планирующую объединить человеческий мозг с искусственным интеллектом путем вживления в его кору электронных имплантатов.

Научить человека пользоваться трехмерной сетчаткой и создавать мысленные образы таким радикально новым способом будет нелегко, даже имея необходимые для этого технологии и установив связь между ними и корой мозга, – потребуются длительное обучение и тренировки. Зато какие уникальные возможности откроются перед врачами-диагностами, хирургами, исследователями и педагогами!

Сложный процесс обучения четырехмерному видению можно реализовать только при помощи симуляций, поскольку в нашем мире четырехмерных объектов просто не существует. Вероятно, проще всего будет начать с компьютерной модели тессеракта, изучавшегося Хинтоном. Глядя на трехмерное воплощение тессеракта, мы видим его только с одного ракурса, воспринимая лишь одну проекцию четырехмерного объекта. Чтобы человек смог постичь все четырехмерное многообразие тессеракта, зрительному центру мозга потребуется мгновенно собрать воедино и скомбинировать в целостное изображение многочисленные проекции. Повторимся: даже при наличии необходимых технологий и нейронных связей придется потратить немало времени на упражнения и тренировки, чтобы четвертое измерение предстало перед нами во всем своем величии. Трудно – да, но не невозможно. Есть вполне реальная надежда, что, мысленно соединяя с помощью компьютерных технологий в единый образ большое количество трехмерных сечений четырехмерного объекта, мы сумеем понять, что же это такое – видеть в четырех измерениях.

Математика дает нам возможность всесторонне и глубоко изучать то, что неподвластно одному нашему воображению. С ее помощью мы можем выходить за пределы своего привычного трехмерного мира и исследовать в мельчайших подробностях свойства вещей, имеющих четыре и более измерений. Математика позволяет нам двигать вперед теоретическую науку, необходимую для познания Вселенной как на ультрамикроскопическом, так и на космическом уровнях. Но что еще важнее, она открывает перед нами возможность разработать средства, которые позволят нам воочию увидеть многомерный мир.

Глава 3. Неслучайная случайность

Так многое в жизни, похоже, определяется чистой случайностью.

Сидни Пуатье

Многое из происходящего вокруг кажется нам совершенно непредсказуемым. Мы объясняем это “иронией судьбы”, виним в происшедшем “неудачное стечение обстоятельств” или списываем на то, что “просто повезло”. Как же много всего в этом мире, похоже, зависит от капризов удачи, везения или невезения! Но математика поможет нам развеять туман и в путанице и неразберихе случайности разглядеть некое подобие порядка.

Тщательно перетасуйте колоду карт. Готово? Поздравляю – скорее всего, вы только что совершили нечто уникальное. Почти наверняка еще ни у кого за всю историю человечества ни разу не получилось перемешать карты так, чтобы они расположились в колоде именно в такой последовательности. Причина проста: 52 карты дают нам 52 × 51 × 50 × 49 × … × 3 × 2 × 1 вариантов их расположения в колоде. Это в общей сложности примерно 8 × 10⁶⁷, или 80 миллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов, вариантов различных последовательностей карт. Если бы все живущие на свете люди тасовали по колоде карт в секунду с момента возникновения Вселенной, то на сегодняшний день они перетасовали бы их всего 3 × 10²⁷ раз, что в сравнении с теоретически возможным количеством вариантов просто ничтожно мало.

И тем не менее утверждают, что бывали случаи, когда после тасовки новой колоды карты оказывались в том же порядке, в каком они были сложены в коробке. По правде говоря, шансы в этом случае гораздо выше, чем 1 к 8 × 10⁶⁷, то есть чем вероятность получить любую другую последовательность. В новой, только что распакованной колоде карты обычно рассортированы по мастям – червы, трефы, бубны и пики, – а каждая масть уложена в возрастающем порядке, начиная с туза, двойки и тройки и кончая валетом, дамой и королем. Если сдающий – мастер “американской” тасовки и может раз за разом точно делить колоду пополам, а затем, пролистывая половинки, соединять их вместе, перемежая ровно по одной карте из каждой стопки, то исходный порядок карт восстановится всего через восемь таких идеальных тасовок. Вот почему в казино новую колоду часто тасуют “по-детски”, раскладывая карты на столе и перемешивая их круговыми движениями ладоней (такой способ еще называют “мытьем” колоды). Чтобы так же хорошо перемешать карты предыдущим методом, потребуется не меньше семи тщательных, но не идеальных тасовок. “Мытье” дает порядок, который можно уверенно назвать случайным; другими словами, шансы того, что, посмотрев одну карту в перетасованной таким образом колоде, вы сможете угадать следующую, равны примерно 1 к 51. Но будет ли такой порядок истинно случайным? Что есть случайность и бывает ли вообще что-то абсолютно случайным?

Понятие случайности, или полной непредсказуемости, существует столько же, сколько сама цивилизация, а может быть, и дольше. Когда нам нужно сделать “случайный” выбор, первое, что приходит в голову, – бросить монетку или игральные кости. Древние греки для азартных игр использовали таранные кости коз и овец. Позже они стали применять и игральные кости правильной формы, хотя где именно те появились впервые, точно неизвестно. Египтяне пользовались игральными костями еще пять тысяч лет назад при игре в сенет. В Ригведе, древнем тексте на ведийском санскрите, написанном около 1500 года до нашей эры, также упоминаются кости, а в одной из месопотамских гробниц, относящейся к XXIV веку до нашей эры, обнаружены целые наборы для игр с костями. Греческие кости – тессеры – имели кубическую форму и нанесенные на гранях цифры от 1 до 6; но в том виде, как они существуют сегодня (то есть с очками на противоположных сторонах, дающими в сумме семь), кости появились только во времена Римской империи.

Таранные кости животных, использовавшиеся для игр (например, для игры в бабки).

Математики довольно долго обходили вниманием вопросы случайности, традиционно считавшиеся прерогативой религии. Как восточные, так и западные философии в исходе многих событий видели божий промысел или волю иных высших сил. Из Китая пришла “И Цзин” (“Книга перемен”), система гадания, основанная на толковании 64 различных гексаграмм. Некоторые христиане пользовались для принятия решения более простым методом – вытягиванием соломинок, заложенных между страниц Библии. Эти и множество других интереснейших методик прогнозирования, к сожалению, имели один отрицательный эффект – слишком долго никто не предпринимал попыток рационально объяснить природу случайности. В конце концов, если исход событий предопределен силами, недоступными пониманию человека, зачем суетиться и пытаться логически анализировать, почему все происходит так, а не иначе? К чему выяснять, нет ли каких-то законов, которым подчиняется вероятность того или иного исхода?

Как-то не верится, что, бросая кости, древние греки или римляне не имели хотя бы интуитивного представления о вероятности выпадения того или иного варианта. Когда речь идет о деньгах или иной материальной выгоде, и игроки, и другие заинтересованные стороны очень быстро схватывают все нюансы игры. Так что, скорее всего, какое-то внутреннее чутье, понимание шансов благоприятного исхода сформировалось не одно тысячелетие назад. Ну а наука всерьез взялась за изучение случайности и вероятности только в период позднего Возрождения и в XVII веке. В авангарде научных открытий в области случайности и вероятности в то время шли французский математик и философ (и к тому же ревностный янсенист) Блез Паскаль и его соотечественник Пьер де Ферма. Эти двое великих мыслителей взялись решить задачу, которую упрощенно можно сформулировать так: предположим, два игрока подбрасывают монету и денежный выигрыш достается тому, кто первым наберет три очка. Однако игра прерывается, скажем, в тот момент, когда один из игроков ведет со счетом 2:1. Как тогда разделить выигрыш между игроками наиболее справедливым образом? Еще до Паскаля и Ферма было предложено немало решений этой задачи. Возможно, ставку следует разделить поровну, раз игра не закончилась и определить победителя невозможно. Но это несправедливо по отношению к игроку, набравшему два очка, – надо же как-то учесть его преимущество. С другой стороны, вариант решения, в котором предлагалось отдать все деньги лидеру, несправедлив по отношению к его сопернику, у которого тоже был шанс выиграть, если бы игра продолжилась. В третьем варианте решения предлагалось разделить ставку с учетом набранных очков, то есть две трети отдать игроку с двумя очками и одну треть – игроку с одним очком. На первый взгляд, справедливо – но есть проблема. Предположим, игра прервалась бы при счете 1:0. В этом случае, если применять то же правило, игрок, набравший одно очко, получает все деньги, второй же (который мог бы выиграть, если бы игру довели до конца) остается ни с чем.

Паскаль и Ферма нашли более удачное решение, а заодно открыли новый раздел математики. Они вычислили вероятность победы каждого из игроков. Игроку с одним очком, чтобы выиграть, нужно набрать еще два очка подряд. Вероятность этого равна S, помноженной на S, то есть j. Таким образом, он должен получить четверть суммы выигрыша, а остальное идет сопернику. Этим же методом можно решить любую задачу такого рода, только вычисления могут оказаться посложнее.

Работая над этой задачей, Паскаль и Ферма пришли к понятию так называемого математического ожидания. В азартных играх или любой другой ситуации, когда успех зависит от случая, математическим ожиданием называют среднее значение выигрыша, на который вы можете резонно рассчитывать. Предположим, например, что вы играете в кости и выигрываете по шесть фунтов каждый раз, когда выпадает три очка. Ожидаемое значение выигрыша в этом случае – один фунт, поскольку шансы, что выпадет три очка, составляют один к шести, а одна шестая выигрыша – это и есть один фунт. Если играть много раз, за каждый бросок кости вы заработаете в среднем по одному фунту. После 1000 бросков ваш средний заработок составит 1000 фунтов, так что если каждый раз ставить по фунту, то вы как раз выйдете в ноль. Обратите внимание, что, хотя ожидаемое значение и составляет один фунт, выиграть ровно столько в этой игре невозможно. Не во всякой азартной игре возможно получить за одну партию точную ожидаемую сумму выигрыша; ожидаемое значение – это тот средний размер выигрыша за партию, на который вы можете рассчитывать при многократном повторении игры.

В лотерее ожидаемое значение, как правило, отрицательное, поэтому с рациональной точки зрения это не лучший способ заработать. (В некоторых лотереях при переносе джекпота иногда возникают ситуации, когда ожидаемое значение выигрыша становится положительным.) То же касается и игр в казино, по очевидной причине: казино – предприятие коммерческое, его задача – получать прибыль. Случаются, правда, и сбои из-за ошибки в расчетах. Известен случай, когда казино увеличило сумму выигрыша всего лишь по одному из исходов игры в блек-джек. В результате математическое ожидание выигрыша стало положительным и заведение за несколько часов потеряло огромную сумму. Заработок казино напрямую зависит от досконального знания математики теории вероятностей.

Случаются совпадения настолько маловероятные, что люди начинают подозревать неладное: один и тот же человек дважды выигрывает главный приз в лотерее или в двух розыгрышах выпадают одинаковые номера. Журналисты часто слетаются на такие истории как пчелы на мед, раздувая из кажущегося фантастическим совпадения настоящую сенсацию. А все из-за того, что мы в большинстве своем просто не умеем объективно оценивать вероятность подобных событий, поскольку исходим из ложных предпосылок. Взять хотя бы случай со счастливчиком, которому главный приз достался два раза: мы пытаемся решить эту задачу применительно к себе и рассуждаем – а у меня какие шансы выиграть дважды? И тут же отвечаем себе: да почти никаких. Но ведь те редкие люди, которым это удается, как правило, регулярно играют в лотерею много лет подряд. Два выигрыша за много лет игры – это уже совсем не так удивительно. Еще важнее помнить, какое огромное количество людей участвует в лотерее. Большинство из них никогда не выиграет джекпот даже один раз, не говоря уже о двух. Но при таком количестве играющих тот факт, что кто-то где-то выигрывает дважды, уже не выглядит таким уж невероятным.

Это может показаться парадоксальным и нелогичным, но причина в том, что мы пытаемся примерить задачу на себя. Естественно, крайне маловероятно, что именно вы выиграете джекпот два раза. Но если оценивать шансы того, что кому-либо из играющих так повезет, то вероятность такого выигрыша нужно умножить на количество участников лотереи (что значительно увеличивает шансы), а также на число способов, которыми можно выиграть лотерею дважды (оно приблизительно равно количеству раз, что участники сыграли в лотерею, возведенному в квадрат и деленному пополам). Если учесть все эти факторы, шансы того, что фортуна улыбнется кому-то дважды, начинают выглядеть довольно неплохо.

Наша ошибка при оценке вероятности какого-либо события заключается в том, что мы учитываем не все возможности его наступления. Именно она лежит в основе так называемого “парадокса дней рождения” (который, строго говоря, и парадоксом-то не является): если собрать в одной комнате 23 человека, то вероятность того, что у двух из них совпадут дни рождения, превысит 50 %. Казалось бы, она должна быть гораздо ниже. Кто-то даже поспорит: ведь если для такого совпадения достаточно всего 23 человек, то у каждого из нас должно быть как минимум несколько знакомых, родившихся в тот же день, что и мы, – а на деле такое всегда вызывает удивление. Но ведь в парадоксе речь идет не о вероятности того, что кто-то конкретный из этих людей (например, вы) обнаружит в комнате еще кого-то с тем же днем рождения, а о шансах того, что дни рождения совпадут у любых двоих из группы. Другими словами, нас интересует не вероятность того, что у двух конкретных членов группы один и тот же день рождения, а шансы того, что хотя бы два любых человека из группы родились в один день. Вероятность такого совпадения составляет 1 – (365/365 × 364/365 × 363/365 × … × × 343/365) = 0,507, или 50,7 %. В группе из 60 человек эта вероятность превышает 99 %. А вот чтобы получить 50-процентную вероятность того, что у кого-то в группе день рождения совпадает с вашим, нужно уже 253 человека.

Одна из причин, по которой это кажется парадоксальным, заключается в том, что мы смешиваем два разных вопроса. У большинства из нас просто нет 253 достаточно близких знакомых, у которых мы бы знали день рождения, поэтому нам и кажутся маловероятными подобные случайные совпадения. Но это вовсе не значит, что вероятность совпадения дней рождения у двух других людей так же мала.

Контринтуитивными могут казаться не только положения, относящиеся к вероятности, но и понятие случайности. Какая из двух последовательностей орлов (О) и решек (Р) ниже кажется вам более случайной?

О, Р, О, О, Р, О, Р, Р, О, О, Р, Р, О, Р, О, Р, Р, О, О, Р

или

Р, О, Р, О, Р, Р, О, Р, Р, Р, О, Р, Р, Р, Р, О, О, Р, О, Р

Подозреваю, что многие выберут первую, поскольку в ней поровну орлов и решек, расположенных без видимого порядка. Во второй решек явно больше, к тому же бросаются в глаза более длинные серии повторяющихся букв. На самом деле вторую цепочку один из нас (Агниджо) образовал с помощью генератора случайных чисел, а первую специально составил таким образом, чтобы она напоминала результат работы человека, которого попросили написать случайную последовательность букв О и Р. Человек в таком случае обычно избегает длинных серий повторяющихся букв, обе использует примерно поровну и переключается с О на Р и обратно чаще, чем когда это происходит случайно.

А как насчет вот такой последовательности?

О, Р, О, О, О, Р, Р, О, О, О, Р, О, О, О, О, Р, О, Р, Р, Р

Она выглядит вполне случайной, даже статистические методы анализа не заподозрят в ней дело рук человека. В действительности же она построена из десятичных знаков числа пи (без начальной тройки): О обозначает нечетные знаки, а Р – четные. Так являются ли знаки числа пи случайными? Формально нет, так как первый десятичный знак всегда 1, второй – всегда 4 и так далее, сколько бы раз вы ни пытались сгенерировать эту последовательность. Если нечто имеет постоянное место и неизменную величину (когда бы нам ни вздумалось на это нечто посмотреть), какая уж тут случайность? И все же математики задаются вопросом, можно ли считать десятичные знаки числа пи случайными статистически, то есть распределенными равномерно: другими словами, с одинаковой ли вероятностью в его записи встречаются все цифры по отдельности и все сочетания цифр (пары, тройки и так далее). Если да, то про пи можно сказать, что оно “нормально по основанию 10”. Именно так думает подавляющее большинство математиков. Считается также, что число пи “абсолютно нормально”, то есть не только его десятичные знаки статистически случайны, но и двоичные знаки (если его записать в двоичной системе, используя только нули и единицы), и троичные (если оно записано нулями, единицами и двойками) и так далее. Доказано, что почти все иррациональные числа абсолютно нормальны, но вот найти доказательство для конкретных случаев оказывается невероятно трудным делом.

Первый пример известного нормального числа по основанию 10 – постоянная Чемперноуна, названная так в честь английского экономиста и математика Дэвида Чемперноуна, который еще студентом в Кембридже опубликовал работу о ее значении. Чемперноун изобрел эту константу специально для того, чтобы доказать, что нормальные числа существуют, а заодно продемонстрировать, как легко такое число сконструировать. Его постоянная представляет собой просто-напросто цепочку, составленную из следующих друг за другом чисел натурального ряда: 0,1234567891011121314…, а потому содержит все возможные последовательности цифр в равных пропорциях. Десятую часть всех цифр константы составляют единицы, сотую часть всех пар цифр – пара 12 и так далее. Вот только, несмотря на нормальность этого числа по основанию 10, входящие в него цепочки цифр совсем не выглядят случайными (то есть неупорядоченными и непредсказуемыми), особенно в начале. Кроме того, нам неизвестно, является ли это число нормальным по какому-либо иному основанию, кроме 10. Существуют и другие константы, нормальность которых доказана, но все они, как и постоянная Чемперноуна, сконструированы нормальными искусственно. До сих пор не доказано, является ли число пи нормальным хотя бы по какому-то основанию.

Первые двести с небольшим знаков числа пи.

На момент написания этой книги известно 22 459 157 718 361, или чуть больше 22 триллионов, знаков числа пи. В будущем мы, конечно, сможем вычислить и больше знаков[11]11
  По состоянию на январь 2020 года известных нам знаков числа пи уже 50 триллионов. – Прим. науч. ред.


[Закрыть], но те, что нам известны, уже не изменятся никогда, сколько бы раз мы ни производили вычисление. Известные знаки числа пи – часть застывшей реальности математической вселенной, а потому не могут быть случайными. А что насчет остальных его знаков, тех, которые еще не вычислены? Если исходить из того, что пи нормально по основанию 10, они пока остаются для нас, по сути, статистически случайными. Другими словами, если вас попросят написать случайную цепочку из тысячи цифр, вы можете, предварительно собрав компьютер, способный вычислить на 1000 знаков числа пи больше, чем известно сейчас, использовать полученные новые знаки в качестве случайной цепочки. Еще одну случайную цепочку? Пожалуйста – вычисляем еще тысячу (ранее неизвестных) знаков. В связи с этим возникает любопытный философский вопрос о природе математических явлений: насколько реальны те десятичные знаки числа пи, до которых мы еще не добрались? Трудно ведь утверждать, что, скажем, септиллионный[12]12
  Септиллион – это триллион триллионов, или 10²⁴. – Прим. науч. ред.


[Закрыть] знак числа пи не существует или что у него нет конкретного постоянного значения, даже если мы не знаем, что это за знак. Но в каком смысле и в каком виде он существует до того, как появится в памяти трудяги-компьютера в результате невероятно долгого вычисления – вычисления, которое пока еще не производилось?

Кстати, стоит упомянуть любопытное открытие, сделанное в 1996 году исследователями Дэвидом Бэйли, Питером Боруэйном и Саймоном Плаффом. Им удалось найти довольно простую формулу – сумму бесконечного ряда членов, – с помощью которой можно вычислить любой знак числа пи, не зная ни одного предыдущего знака. (Строго говоря, вычисляемые по формуле Бэйли – Боруэйна – Плаффа знаки не десятичные, а шестнадцатеричные, то есть представлены по основанию 16.) На первый взгляд это кажется невозможным, да и для других математиков стало полным сюрпризом. Но еще больше поражает другое: для того чтобы вычислить с помощью этого метода, к примеру, миллиардный знак числа пи, достаточно обычного ноутбука и совсем немного времени – меньше, чем на обед в ресторане. Разные варианты формулы Бэйли – Боруэйна – Плаффа могут использоваться для поиска других “иррациональных” чисел, подобных пи, с десятичными знаками, что убегают вдаль бесконечной цепочкой, нигде не повторяясь.

Есть ли в чистой математике вообще хоть что-нибудь истинно случайное – вопрос не праздный. Случайность предполагает полное отсутствие упорядоченности и предсказуемости. Непредсказуемым можно назвать только то, что неизвестно, и только при условии, что нет никаких оснований считать один из возможных исходов вероятнее другого. Математика, по сути дела, существует вне времени; другими словами, она не меняется, не эволюционирует от одного момента к другому. Единственное, что меняется, – это наши знания о ней. Физический же мир изменяется непрерывно, причем эти изменения часто кажутся нам непредсказуемыми. Вращение подброшенной монеты мы считаем достаточно непредсказуемым, чтобы использовать этот метод для выбора одного из двух существующих решений. На деле же степень случайности зависит от того, какой информацией мы располагаем. Если бы нам были известны сила и угол броска, скорость вращения монеты, сопротивление воздуха и так далее, мы сумели бы (теоретически) точно предсказать, какой стороной вверх она упадет. То же касается и падения бутерброда с маслом, разве что в этом случае у нас имеются еще и научные данные, подтверждающие точку зрения пессимистов – чаще он падает маслом вниз. Эксперименты показали, что если бутерброд подбросить вверх (такое, конечно, может произойти только в лаборатории или в школьной столовой), то вероятность его приземления маслом вниз составляет 50 %. Но вот если его смахивают со стола или он соскальзывает с тарелки, тогда он действительно чаще падает намазанной стороной вниз. Причина проста: случайное падение обычно происходит с высоты примерно уровня пояса плюс-минус сантиметров тридцать и у бутерброда как раз достаточно времени, чтобы сделать пол-оборота, поэтому если полет начинается из традиционного положения “маслом вверх”, то закончится он, скорее всего, жирным пятном на полу.

Большинство физических систем гораздо сложнее падающего бутерброда. К тому же некоторые еще и хаотичны, а это значит, что даже незначительное вмешательство в начальные условия может привести к последствиям огромного масштаба на более позднем этапе. Одна из таких систем – погода. До появления современных метеопрогнозов оставалось лишь гадать, что день грядущий нам готовит. Метеоспутники, чувствительные наземные приборы и мощные компьютеры совершили настоящую революцию в метеорологии, позволив давать точный прогноз на период до 7–10 дней. Но при попытке заглянуть дальше даже самые передовые методики и высокотехнологичное оборудование наталкиваются на непреодолимый барьер – сложность и хаотичность системы, включая так называемый эффект бабочки: представление о том, что ничтожное колебание воздуха, вызванное взмахом крыльев бабочки, способно, постепенно усиливаясь, превратиться в страшный ураган.

Ураган “Феликс”, сфотографированный с Международной космической станции 3 сентября 2007 года.

Даже при всей сложности системы может показаться, что любым явлением, будь то вращение подброшенной монеты или климат на планете, руководят одни и те же законы природы, и законы эти детерминированы. Когда-то считалось, что вселенная устроена наподобие гигантского часового механизма – фантастически сложного, но совершенно предсказуемого. Такое представление неверно по двум причинам. Первая связана опять-таки со сложностью. Даже внутри детерминированной системы – то есть такой, в которой исход зависит от ряда событий, а каждое из событий можно предсказать, точно зная предыдущее состояние системы, – задача может быть настолько сложной, что узнать заранее, чем все закончится, просто нереально. В таких системах даже самая совершенная и быстродействующая модель (например, компьютерная) не способна “обогнать” само явление. Это касается систем не только физических, но и чисто математических – таких, например, как клеточные автоматы. О самой известной из таких моделей – игре “Жизнь”, придуманной Джоном Конвеем, – мы еще поговорим подробнее в пятой главе.

Эволюция любой фигуры в игре “Жизнь” полностью детерминирована, но непредсказуема: исход игры можно узнать только после того, как был рассчитан последовательно каждый ее этап. (Есть, конечно, фигуры, которые изменяются циклично – например “пульсируют” или после нескольких этапов начинают передвигаться, не меняя формы. Такие можно рассчитать заранее, зная их поведение. Но наблюдая за игрой первый раз, мы еще не знаем, как они себя поведут.) В математике даже неслучайное может быть непредсказуемым. Но до начала XX века большинство физиков считало, что, пусть мы и не можем знать всех деталей происходящего в физической вселенной, мы в принципе способны познать ее настолько, насколько захотим. Имея достаточно информации, верили они, мы можем с помощью уравнений Ньютона и Максвелла рассчитать ход любых событий с необходимым нам уровнем точности. Но появление квантовой механики положило конец этим представлениям.