Текст книги "Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним"

Дэвид Дарлинг, Агниджо Банерджи
Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

© David Darling and Agnijo Banerjee, 2018

© А. Глущенко, перевод на русский язык, 2021

© А. Бондаренко, художественное оформление, макет, 2021

© ООО “Издательство АСТ”, 2021

Издательство CORPUS ®

* * *

Математика – самое прекрасное и могущественное творение человеческого духа.

Стефан Банах

Углубитесь во что угодно – и везде вы найдете математику.

Дин Шликтер

Предисловие

Все же математика – наука странная. Числовой ряд бесконечен – но бесконечности бывают разные. Простые числа помогают цикадам выжить. Шар (математический) можно разрезать, а затем сложить обратно без единого зазора так, что получится шар, больше начального в два раза. Или в миллион. Существуют фигуры, имеющие дробную размерность, и кривые, способные заполнить плоскость, не оставив ни малейшего просвета. Сидя на скучной лекции, математик Станислав Улам расчертил лист бумаги на клетки и стал по спирали записывать в них числа, начиная с нуля. Отметив все простые числа, он обнаружил, что многие из них расположились на диагональных прямых. До сих пор никто не может толком объяснить этот факт.

Мы часто забываем о том, насколько странный предмет математика, – столь прочно вошли в нашу повседневную жизнь цифры и вычисления, такие обычные, знакомые еще со школы. Но разве не удивительно то, что наш мозг так хорошо приспособлен к математическому мышлению и что мы способны при желании выполнять сложные абстрактные математические расчеты? Ведь нашим предкам десятки, сотни тысяч лет назад не было никакой нужды решать дифференциальные уравнения или заниматься общей алгеброй, чтобы дожить до репродуктивного возраста и передать свои гены следующему поколению. Знание геометрии высших измерений или теории простых чисел никак не могло помочь им найти пропитание или укрытие. И тем не менее нам самой природой дан мозг, в котором все эти возможности заложены от рождения, который способен с каждым годом открывать все новые и новые удивительные истины о математической вселенной. Эволюция снабдила нас этим умением, но как и зачем? Для чего человеку как биологическому виду даны способности, которые кажутся не более чем забавой для ума?

Математика каким-то странным образом вплетена в саму ткань реальности. Стоит копнуть поглубже, и то, что казалось осязаемыми клочками материи или сгустками энергии, – скажем, электроны или фотоны – вдруг исчезает, превращаясь в нечто бесплотное, в кривую вероятности, оставляя за собой лишь призрачный след в виде набора замысловатых, но завораживающих своей красотой уравнений. В каком-то смысле математика – основа окружающего нас физического мира, его невидимая инфраструктура. И все же она простирается далеко за его пределы, в абстрактные сферы возможного, которое, быть может, никогда не выйдет за рамки чисто умозрительных предположений.

В этой книге мы хотим подробнее поговорить о самых необычных и увлекательных областях математики, в том числе тех, где в самое ближайшее время можно ожидать интереснейших открытий. В одних случаях это будут достижения в области науки и технологий – физики элементарных частиц, космологии, квантовых компьютеров. В других (по крайней мере, на сегодня) это математика ради математики, попытки освоить неизведанное, существующее пока только в нашем воображении. Мы решили не избегать сложных тем. Одна из трудностей, с которыми сталкиваешься, когда пытаешься объяснить далеким от математики людям многие математические проблемы, – это оторванность этих проблем от повседневной, реальной жизни. Но, если постараться, всегда можно нащупать какую-то связь между проблемами, которыми занимаются сегодняшние исследователи и первопроходцы на передовых рубежах математики, и знакомым нам миром – пусть даже при этом приходится пользоваться не такой точной терминологией, какую предпочли бы ученые. Наверное, будет справедливо сказать, что, если какую-то проблему (пусть даже самую запутанную) не получается объяснить человеку с нормальным интеллектом, значит, объясняющему не мешало бы для начала самому подучить предмет.

Эта книга возникла не совсем обычным образом. Один из нас (Дэвид) – писатель, опубликовавший за 35 лет множество книг по астрономии, космологии, физике и философии, и даже энциклопедию развлекательной математики. Второй (Агниджо) – блестящий юный математик и вундеркинд с IQ не ниже 162 баллов по результатам теста общества Менса. На момент написания этих строк он только что вернулся из Венгрии, где проходил подготовку к Международной математической олимпиаде 2017 года. Агниджо начал заниматься с Дэвидом математикой и естественными науками в возрасте 12 лет. Три года спустя мы решили вместе написать книгу.

Совместно мы набросали перечень тем для книги. Дэвид, например, включил в список высшие измерения, философию математики и математику музыки, а Агниджо захотел написать о больших числах (его конек), вычислениях и о загадках простых чисел. С самого начала мы решили сделать акцент на вещах необычных и попросту странных и найти по возможности связь между этой странной математикой и проблемами реального мира, повседневным, житейским опытом. Мы договорились не избегать сложных, “труднообъяснимых” тем, приняв за правило, что, если ты не можешь объяснить что-то простыми словами, значит, сам не очень хорошо в этом разбираешься. Дэвид главным образом отвечал за исторические и философские аспекты каждой главы, а также за истории из жизни, а Агниджо взял на себя техническую часть. Агниджо вычитывал написанное Дэвидом и проверял факты, а Дэвид потом соединял все в окончательную редакцию глав. Алгоритм работал как часы! Надеемся, результат вам понравится.

Примечание для читателя

Пролистывая страницы книги, вы можете заметить, что в ней используются символы вроде x, ω (омега), а то и א (алеф). Время от времени вам будут встречаться уравнения с незнакомыми значками, например 3 ↑↑ 3 ↑↑ 3 (особенно в главах о больших числах и бесконечности). Если вы не математик, пусть вас это не пугает – мы заранее объясним вам, что они обозначают. А пользуемся мы ими просто для краткости, чтобы немножко быстрее и глубже погрузиться в суть вопроса. Один из нас (Дэвид) уже много лет дает частные уроки математики и пока еще не встретил ни одного студента, который не смог бы ее осилить – надо только поверить в себя. И помните: мы все математики от природы, независимо от того, сознаем мы это или нет. Ну а теперь приступим.

Глава 1. Математика в основе мироздания

Случались и более странные вещи; и, пожалуй, самая странная и удивительная из всех – это то, что математикой смогло овладеть существо, родственное обезьяне.

Эрик Белл, “Развитие математики”

Физика – математическая наука не потому, что мы так много знаем о физическом мире, а потому, что знаем так мало; мы способны открывать лишь его математические свойства.

Бертран Рассел

Интеллектуальные способности Homo sapiens если и изменились за последние 100 000 лет, то не так уж сильно. Поместите в современную школу детей из эпохи, когда по Земле бродили мастодонты и шерстистые носороги, и они будут развиваться не хуже, чем их сверстники из XXI века. Их мозг был бы способен усвоить и арифметику, и геометрию, и алгебру. А при желании они вполне смогли бы изучить предмет углубленно, а там, глядишь, и стать профессорами математики в Кембридже или Гарварде.

В ходе эволюции наш нейронный аппарат выработал способность выполнять сложные вычисления и постигать такие вещи, как теория множеств и дифференциальная геометрия, – причем задолго до того, как подобным способностям нашлось применение. Есть, кстати, в этом некая загадка: зачем нам этот врожденный талант к высшей математике, если в нем нет очевидной пользы для выживания? А с другой стороны, человеческий род потому и появился и выжил, что человек превосходил конкурентов по интеллекту, способности мыслить логично, планировать наперед и задавать себе вопрос “А что, если?..”. Уступая другим видам в скорости и силе, наши предки вынуждены были полагаться на смекалку и умение просчитывать ситуацию. Логическое мышление стало нашей единственной “сверхспособностью”, а уже из него со временем развилась способность к сложному общению, использованию символов, рациональному толкованию окружающего нас мира.

Как и все животные, мы успешно выполняем сложные математические вычисления не раздумывая, с лету. Чтобы выполнить даже самые простые действия – поймать брошенный мячик (или избежать встречи с хищником, или добыть дичь), – нужно очень быстро решить множество уравнений. Попробуйте запрограммировать на выполнение таких действий робота, и сложность этих вычислений станет вам очевидна. Но огромное преимущество человека в том, что он способен переходить от конкретного к абстрактному – анализировать ситуацию, спрашивать себя “А что произойдет, если?..”, планировать загодя.

С зарождением сельского хозяйства возникла необходимость четко отслеживать смену времен года, а развитие торговли и появление поселений породило потребность в совершении сделок и ведении учета. Как для составления календарей, так и для ведения коммерческой деятельности нужна была какая-то система расчетов. Тут-то и появилась на свет элементарная математика. Одним из регионов, где она стала бурно развиваться, был Ближний Восток. Найденные археологами керамические фишки шумерских торговцев относятся к VIII тысячелетию до нашей эры и показывают, что уже тогда люди овладели представлением чисел. Правда, в то время они еще не отделяли понятие числа от самих предметов, которые нужно было сосчитать. Для счета разных объектов, например овец или кувшинов масла, использовались фишки разной формы. При обмене большим количеством фишек их запечатывали в специальные глиняные контейнеры – буллы. Для проверки содержимого буллу приходилось разбивать. Позже на них стали наносить отметки, указывающие, сколько фишек находится внутри. Со временем из таких символических изображений сформировалась система записи чисел, а сами фишки стали использоваться в качестве примитивной формы денег. Попутно понятие числа отделилось от считаемых предметов – так что, например, пять оставалось пятью, будь то козы или буханки хлеба.

На этом этапе математика кажется неразрывно связанной с повседневной реальностью. Счет и ведение учета – прикладные инструменты земледельца и торговца, и если эти методы справляются со своей задачей, какая разница, что за концепция лежит в их основе? Простая арифметика неотделима от того, что происходит вокруг нас: овца плюс овца – две овцы, две овцы плюс две овцы – четыре овцы. Казалось бы, чего проще? Но стоит задуматься, и вы поймете, что уже произошло нечто странное. Говоря “овца плюс овца”, мы предполагаем, что овцы одинаковы или, по крайней мере, что различия между ними при подсчете не имеют значения. Но овца овце рознь. То есть мы отделили от овец то качество, что объединяет их и отличает от других объектов, а затем произвели над ним действия при помощи другой абстракции, которую мы называем сложением. Это серьезный шаг. На практике, чтобы прибавить одну овцу к другой, бывает достаточно просто пустить их пастись на одно поле. Но из той же практики мы знаем, что все овцы разные, а если копнуть глубже, то, что мы называем “овцой” (как и все остальное, что нас окружает), – неотъемлемая часть вселенной. Вдобавок к этому немного тревожит тот факт, что воспринимаемое нами как объекты окружающего мира (возьмите хоть тех же овец) на деле лишь порождения нашего разума, вызванные к жизни сигналами, воздействующими на органы чувств. Даже если предположить, что овца существует объективно, из физики нам известно, что это сложнейшая временная совокупность находящихся в постоянном движении элементарных частиц. И тем не менее, считая овец, мы способны каким-то образом игнорировать все эти сложности или, точнее, даже не отдавать себе в них отчет в повседневной жизни.

Египтяне хорошо владели практической математикой и с успехом применяли ее при строительстве пирамиды Хефрена в Гизе, изображенной на фото вместе с Большим сфинксом.

Из всех дисциплин математика – самая точная и незыблемая. Естественные науки и другие области человеческой деятельности представляют собой в лучшем случае некоторое приближение к идеалу, постоянно изменяются и эволюционируют. Как заметил немецкий математик Герман Ганкель, “в большинстве наук новое поколение разрушает созданное предыдущим; установленное одним отменяется другим. Только в математике каждое поколение достраивает новый этаж к прежнему зданию”. Это ее отличие от всех других наук неизбежно, оно заложено в самой ее сути – ведь математика начинается с того, что разум извлекает из данного нам в ощущениях только те знания, которые он определяет как наиболее фундаментальные и неизменные. Это приводит к появлению таких понятий, как натуральные числа, сложение и вычитание, позволяющих измерять количество объектов, увеличивать и уменьшать его. Абстрактное понятие количества (“один”, “два”, “три” и так далее) воспринимается как общий признак разных наборов объектов, независимо от того, что это за объекты и насколько сильно отличаются друг от друга отдельные объекты одного типа. Поэтому такое качество, как непреложность, незыблемость, присуще математике изначально и является важнейшим ее достоинством.

Математика существует – в этом никто не сомневается. Скажем, теорема Пифагора – она ведь как-никак часть нашей реальности. Но вот где она существует тогда, когда не используется и не воплощается в какой-то материальной форме, и где она существовала раньше, тысячи лет назад, до того, как пришла кому-то в голову? Платоники считают, что математические объекты, такие как числа, геометрические фигуры и отношения между ними, существуют независимо от нас, наших мыслей, языка и физической вселенной. Они, правда, не уточняют, в каких таких неземных сферах обитают эти объекты, но убеждены, что те каким-то образом реально существуют. Большинство математиков, надо признать, разделяют эту точку зрения, а значит, считают, что математические истины открывают, а не изобретают. Справедливо, впрочем, и то, что большинству математиков, скорее всего, нет дела до всей этой философии – их вполне устраивает просто заниматься наукой, точно так же как большинство физиков, как работающих в лаборатории, так и решающих теоретические задачи, вряд ли волнуют проблемы метафизики. И все же постижение истинной природы вещей – в нашем случае математических объектов – занятие интересное, пусть даже нам не суждено найти окончательного ответа. Прусский математик и логик Леопольд Кронекер считал, что человеку были даны только целые числа: по его выражению, “целые числа создал Господь Бог, остальное – дело рук человеческих”. Английский астрофизик Артур Эддингтон пошел еще дальше, сказав: “Математики не существует, пока мы ее не создаем”. Наверняка люди и дальше будут спорить о том, что же такое математика – открытие, изобретение или, возможно, сочетание первого и второго, порожденное синергизмом разума и материи. Вряд ли на этот вопрос есть простой ответ.

Одно ясно: в математике единожды доказанное положение навсегда становится истиной, не допускающей споров и не подверженной влиянию субъективных факторов. “Я люблю математику, – заметил Бертран Рассел, – за то, что в ней нет ничего человеческого, за то, что ее ничего, в сущности, не связывает ни с нашей планетой, ни со всей этой случайной вселенной”. Давид Гильберт высказал похожую мысль: “Математика не знает рас и географических границ; для математики весь культурный мир представляет собой единую страну”. Эта беспристрастность, универсальность математики – ее важнейшее достоинство, которое, однако, никак не умаляет ее эстетической привлекательности для человека с наметанным глазом. “Красота – самый первый критерий; для некрасивой математики в мире нет места”, – заявил английский математик Годфри Харолд Харди. Ту же мысль, но с точки зрения теоретической физики высказал Поль Дирак: “Природе присуща та фундаментальная особенность, что самые основные физические законы описываются математической теорией, аппарат которой обладает необыкновенной силой и красотой”[1]1
  Визгин В. П. “Догмат веры” физика-теоретика: “предустановленная гармония между чистой математикой и физикой” // Проблема знания в истории науки и культуры. СПб.: Алетейя, 2001. – Здесь и далее прим. перев., если не указано иное.


[Закрыть].

Но у универсальности математической науки есть и обратная сторона: она может показаться холодной и стерильной, лишенной страсти и чувства. В результате может оказаться, что, хотя разумные существа иных миров и пользуются той же математикой, что и мы, это не самый лучший язык для общения на волнующие нас темы. “Многие предлагают использовать математику для общения с инопланетянами”, – прокомментировал ситуацию исследователь из Института поиска внеземного разума (SETI) Сет Шостак. Более того, голландский математик Ханс Фройденталь даже разработал для этого целый язык (Lincos). “Однако, – продолжает Шостак, – я лично считаю, что на языке математики трудно будет описать такие понятия, как любовь или демократия”.

Любая наука (физика уж точно) стремится в конечном итоге свести то, что она наблюдает в окружающей реальности, к математическому описанию. Специалисты по космологии, физике элементарных частиц и аналогичным дисциплинам радуются как дети, когда им удается что-нибудь измерить или выразить количественно, а затем отыскать между этими количествами зависимость. Мысль о том, что вселенная в своей основе математична, имеет древние корни и восходит еще к пифагорейцам, а то и к более раннему периоду. Еще Галилей видел мир как “великую книгу”, написанную на языке математики, а много позже, в 1960 году, венгерско-американский физик и математик Юджин Вигнер написал статью под названием “Непостижимая эффективность математики в естественных науках”.

В природе мы не сталкиваемся с числами непосредственно, поэтому не сразу очевидно, что математика – во всем, что нас окружает[2]2
  Чтобы это увидеть, можно, например, почитать книгу Математическая составляющая / Редакторы-составители Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. 2-е изд., расш. и доп. М.: Фонд “Математические этюды”, 2019. – Прим. науч. ред.


[Закрыть]. Зато мы видим геометрические формы – почти точные сферы планет и звезд, криволинейные траектории брошенных предметов и движущихся по орбите объектов, симметрию снежинок и многое другое, – а их уже можно описать с помощью числовых соотношений. А кроме них есть еще закономерности, которые также можно перевести на язык математики, в работе электрического и магнитного поля, во вращении галактик, в поведении электронов в атомах. Эти закономерности и описывающие их уравнения обосновывают отдельные события и явления и представляют собой глубинные, неподвластные времени истины, лежащие в основе постоянно меняющегося сложного и многогранного мира, в котором мы все существуем. Немецкий физик Генрих Герц, первым убедительно доказавший существование электромагнитных волн, писал: “Невозможно избавиться от ощущения, что математические формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было заложено”[3]3
  Кафаров В. В., Ветохин В. Н. Основы автоматизированного проектирования химических производств. М.: Наука, 1987.


[Закрыть].

Несомненно, что современная наука имеет под собой прочный математический фундамент. Но это не обязательно означает, что сама реальность математична по своей сути. Еще со времен Галилея наука разделяла субъективное и объективное, или поддающееся измерению, и сосредоточивалась именно на последнем. Ученые делают все возможное, чтобы исключить любые факторы, относящиеся к наблюдателю, и принимать во внимание только то, что, по их мнению, находится за пределами “помех”, вносимых нашим мозгом и органами чувств. Весь путь развития, пройденный современной наукой, практически гарантирует, что в ее основе будет лежать математика. Но тогда за бортом остается множество областей, не так легко поддающихся научному анализу. Наиболее очевидная из них – сознание. Может быть, когда-нибудь мы построим добротную, всеобъемлющую модель работы мозга, разобравшись во всех нюансах функционирования памяти, обработки зрительной информации и многого другого. Но вопрос о том, для чего нам дан еще и внутренний опыт, ощущение того, “каково это – быть”, остается (и, возможно, всегда останется) за пределами традиционной науки, а значит, и математики.

Для чего в процессе эволюции человеческий мозг развил в себе такие выдающиеся способности к совершенно ненужной ему для выживания математике?

С одной стороны, есть сторонники платонизма, считающие математику уже существующей территорией, которая лишь ждет, пока мы ее исследуем. С другой стороны, есть те, кто утверждает, что мы изобретаем математику постепенно, по мере возникновения необходимости в ней. И у той и у другой точки зрения есть слабые стороны. Платоники не в силах толком объяснить, где именно вне физической вселенной и человеческого разума существуют такие вещи, как число пи. А их оппоненты не могут отрицать тот факт, что планеты, например, будут вращаться вокруг Солнца по эллиптической орбите независимо от наших математических расчетов. Третья философская школа занимает промежуточную позицию: ее представители считают, что математика далеко не так эффективно описывает реальный мир, как это иногда пытаются представить. Да, уравнения помогают нам направить космический аппарат на Луну или Марс, спроектировать новый самолет или предсказать погоду на несколько дней вперед. Но эти уравнения – всего-навсего приближение той реальности, которую они призваны описывать; к тому же они применимы лишь к малой части явлений, происходящих вокруг нас. Превознося успехи математики, сказал бы реалист, мы умаляем значение огромного количества явлений, которые слишком сложны или плохо изучены для того, чтобы укладываться в математическую форму, либо по самой своей природе не поддаются такому анализу.

А может быть, на самом деле вселенная по своей природе не математична? В конце концов, ни в космосе, ни в содержащихся в нем объектах нет ничего явно математического. Мы, люди, пытаемся дать наблюдаемым нами явлениям рациональное объяснение, упростить их, чтобы смоделировать какие-то аспекты устройства вселенной. При этом математика оказывает нам неоценимую помощь в познании этой самой вселенной. Но это не обязательно означает, что математическая наука – нечто большее, чем инструмент, созданный нами для собственного удобства. Однако же, если математики не было во вселенной изначально, как получилось, что мы смогли изобрести ее и применить для такой цели?

Всю математику можно грубо разделить на две области – прикладную и чистую[4]4
  Термин “чистая математика” приписывают Годфри Харолду Харди, который считал, что математика, “чистая” от приложений, является самой красивой, а прикладная математика “тривиальна”, “уродлива” или “скучна”. – Прим. науч. ред.


[Закрыть]. Чистая математика – это наука ради науки. Прикладные математики применяют свои знания для решения практических задач. Но зачастую достижения чистой математики, не имеющие, казалось бы, никакого практического применения, позднее оказываются на удивление полезными для ученых-практиков и инженеров. В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон сформулировал идею кватернионов – обобщений обычных чисел на четырехмерное пространство. На тот момент они не представляли никакого практического интереса, но спустя больше ста лет нашли широкое применение в робототехнике, компьютерной графике и видеоиграх. Задача о плотной упаковке сфер в трехмерном пространстве, которую впервые попытался решить Иоганн Кеплер в 1611 году, используется для того, чтобы более эффективно передавать информацию по шумным каналам связи. Исследования в теории чисел – самой чистой математической дисциплине, которую считали почти не имеющей практической ценности, – привели к важным открытиям в области разработки криптостойких шифров. А новая геометрия Бернхарда Римана, изучавшая искривленные поверхности, более пятидесяти лет спустя оказалась идеальной основой для создания общей теории относительности Эйнштейна – новой теории тяготения.

В июле 1915 года один из величайших ученых всех времен Альберт Эйнштейн посетил Гёттингенский университет, где произошла его встреча с одним из самых выдающихся математиков той эпохи Давидом Гильбертом. А в декабре следующего года оба ученых почти одновременно опубликовали уравнения, описывающие гравитационное поле в эйнштейновской общей теории относительности. Но если для Эйнштейна сами уравнения были целью его работы, то Гильберт надеялся, что они станут шагом на пути к осуществлению еще более грандиозного замысла. Им двигало страстное желание найти фундаментальные принципы, или аксиомы, лежащие в основе всей математики. Для этого, по мнению Гильберта, нужно было в том числе сформулировать минимальный набор аксиом, из которых можно было бы вывести уравнения не только общей теории относительности Эйнштейна, но и любой другой физической теории. Курт Гёдель своими теоремами о неполноте подорвал веру в то, что математика способна дать ответы на все вопросы. И до сей поры остается неясным, насколько математичен мир, в котором мы живем. Или же это только видимость?

Целые разделы математики, возможно, так никогда и не найдут практического применения, а будут лишь приводить к открытию все новых направлений фундаментальных исследований. С другой стороны, как знать, может быть, законы чистой математики каким-то неожиданным образом действуют в физической вселенной – если и не в нашей, то в каких-нибудь других вселенных, составляющих, по подозрению космологов, мультивселенную непостижимого масштаба. Быть может, все, что истинно и справедливо с точки зрения математики, где-то, когда-то, каким-то образом представлено в той реальности, в которую мы заключены. Ну а пока мы отправимся в увлекательнейшее путешествие по просторам познания, исследуя новые рубежи чисел, пространства и человеческого разума.

В последующих главах мы с вами попытаемся глубже разобраться в некоторых вопросах, с одной стороны, необычных и поразительных, а с другой – имеющих самое непосредственное отношение к окружающему нас миру. Да, кое-что в математике может показаться заумным, надуманным или даже бессмысленным, этакой странной и запутанной игрой воображения. Но в своей основе математика – наука практичная, уходящая корнями в торговлю, сельское хозяйство и архитектуру. И хотя в своем развитии она и претерпела превращения, которые даже в голову не могли прийти нашим предкам, все же по своей сути она остается тесно связанной с повседневной жизнью.