Текст книги "Решаем уравнения"

Линейные уравнения

В этой небольшой книжке будет рассматриваться решение алгебраических уравнений с одной и двумя переменными. Для начала займемся линейными уравнениями. Вы скорее всего в курсе, что общий вид таких уравнений это , где и – некоторые числа, а – неизвестное, которое требуется найти. Линейное уравнение это всегда уравнение первой степени и поэтому у него всегда может быть только один корень. Формула для вычисления корня имеет следующий вид:

Давайте на примере посмотрим как решаются такие уравнения.

Решим уравнение . Подставив соответствующие числа в формулу получим:

После сокращения имеем . Сделаем проверку:

Этот же результат можно получить и без всяких формул. Просто перенесем слагаемое -2 в левую часть с переменой знака: . А теперь разделим обе части на 4:

В итоге после сокращения обеих частей получим .

Далее пример с подобными слагаемыми. Решим уравнение: .

Уравнение выглядит совсем не так как предписывает формула общего вида, поэтому мы его к этому виду сейчас приведем. Для этого сгруппируем слагаемые так чтобы в левой части были слагаемые с иксом, а в правой без икса. Перенос слагаемых нужно делать с переменой знака на противоположный. Не забывайте это! В итоге наше уравнение должно принять такой вид:

Сложив все получим: , откуда легко вывести, что .

Дальше предлагаю решить задачу на составление уравнений. Итак, старая задачка про стаю гусей:

Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» «Нас не сто гусей,– отвечает ему вожак стаи,– если бы нас было столько, сколько теперь, да еще столько, да еще пол столько, да еще четверть столько, да еще ты, гусь, был бы с нами, вот тогда нас было бы сто гусей». Сколько было в стае гусей?

Возьмем за икс неизвестное число гусей. Вожак говорит, что если бы «было столько, сколько теперь», то есть икс, «да еще столько», то есть еще икс, и «еще пол столько», то есть половина икса, и плюс «еще четверть столько», иначе говоря плюс четвертая часть икса и вдобавок встреченный гусь, тогда получим сотню. Записав все это на языке алгебры получим:

Поступим также как в прошлом примере, то есть сгруппируем разные слагаемые по двум частям уравнения – известные вправо, а неизвестные влево:

Приводим подобные члены и получаем простейшее линейное уравнение:

Делим обе части на коэффициент при икс или, что то же самое умножаем обе части на обратную ему дробь и в итоге получаем:

Таким образом выходит, что в стае было 36 гусей.

Дробно-рациональные уравнения

Вообще следует иметь ввиду следующее: если в знаменателе нет переменной, то выражение целое, а если есть, то дробное. Например, выражение – целое и его можно представить в виде . Выражение тоже целое, так как в знаменателе отсутствует переменная и разделив обе части исходного выражения на 2 получим:

.

А вот выражение – дробное, так как в знаменателе имеется переменная.

При решении дробно-рациональных уравнений зачастую требуется приводить части уравнения к общему знаменателю. Во многих случаях достаточно просто перемножить знаменатели, а потом получить дополнительные множители к числителям, дописав к ним знаменатели из соответствующих дробей. Разберем это на примере, решив следующее уравнение: . Обнулим правую часть перенеся в левую часть со знаком «минус»:

Общим знаменателем здесь будет , а значит к первой дроби дополнительный множитель это 2, а ко второй – , так как и . Дописав полученные множители к своим числителям, будем иметь такую конструкцию:

После перемножения наше уравнение примет такой вид:

конец ознакомительного фрагмента