Текст книги "Физика повседневности. От мыльных пузырей до квантовых технологий"

Глава 8

Следы на песке

Что может быть банальнее горки песка? А ведь этот гранулированный материал обладает неожиданными свойствами! Убедиться в этом можно и без лабораторного оборудования: например, поставить опыты с помощью обычной кухонной утвари. Ну а счастливчики могут отправиться на пляж!

Британский физик Осборн Рейнольдс (1842–1912) был выдающимся специалистом по гидродинамике. Возможно, благодаря изучению движения приливов во время его прогулок по пляжу? Однажды он сделал следующее наблюдение, которое впоследствии представил на конгрессе Британской ассоциации в 1885 году: «Когда нога надавливает на песок, плотный после ушедшего прилива, участок, находящийся вокруг ноги, тотчас же становится сухим… Надавливание ноги разрыхляет песок, и чем сильнее оно, тем больше воды уходит… Оно делает песок сухим до тех пор, пока снизу не прибудет достаточное количество воды» (илл. 1). По словам Рейнольдса, давление, оказываемое ногой, вызывает разрыхления песка, и в результате вода уходит в зазоры между окружающими песчинками, поэтому песок и становится сухим.

Это явление разрыхления кажется противоречащим здравому смыслу. Почему давление увеличивает пространство между песчинками, тем самым заставляя воду уходить? Ответ связан со структурой этой смеси воды и песка. Для простоты мы предположим, что песчинки сферические и одинаковые, и это приведет нас к задаче об укладке твердых шаров. А далее в этой главе мы зададимся вопросом, как укладывать атомы…

Можем ли мы заполнить все пространство твердыми шарами? Очевидно, нет, поскольку между ними всегда будет оставаться некоторое свободное пространство. Объем пространства, занимаемого шарами, определяет плотность упаковки. Чем меньше свободного пространства между ними, тем компактнее и плотнее эта упаковка. Как получить максимальную плотность при упаковке идентичных твердых шаров? Ответ на этот вопрос прояснит тайну песка, высыхающего под стопой.

1. Вокруг стопы, давящей на песок, возникает сухая область

Для начала рассмотрим аналогичную задачу, но на двумерном, а не трехмерном пространстве: как разместить одинаковые диски в плоскости. Для начала возьмем три диска. Наиболее компактной упаковкой будет являться такая, когда каждый диск касается двух других, то есть центры всех трех дисков образуют равносторонний треугольник. При наличии большего количества дисков наиболее компактная упаковка получается путем объединения таких групп, составленных из трех дисков (илл. 2a). Предлагаем читателю рассчитать долю площади плоскости, покрытой дисками: она равна или 90,7 %. Интересно сравнить этот случай с покрытием, изображенным на илл. 2b, где доля площади, занимаемой дисками, составляет лишь π/4, или 78,5 %.

Интуиция подсказывает, что именно такая упаковка, как на илл. 2а, наиболее компактная из всех возможных. Каждый диск касается еще шести, и невозможно сделать так, чтобы он касался большего количества дисков. Тем не менее тот факт, что количество точек соприкосновения между дисками является максимальным, еще не является достаточным доказательством того, что пространство, занимаемое заданным числом дисков, минимально. Точное доказательство было найдено лишь в XX веке.

2. Два типа упаковки одинаковых дисков на плоскости. a. Наиболее компактная упаковка. b. Менее компактная упаковка, при которой диски вписываются в квадратную сетку

Можно заметить, что диски при наиболее компактной упаковке могут быть вписаны в шестиугольники, которые полностью покрывают плоскость, – как, например, терракотовая плитка (илл. 2а): в таком случае говорят, что происходит «замощение» плоскости шестиугольниками. Именно такое мощение шестиугольниками осуществляют пчелы для постройки сот (илл. 3). Есть лишь два других способа замостить плоскость одинаковыми правильными многоугольниками: квадратами (илл. 2b) или треугольниками (илл. 4).

3. Создавая соты, пчелы выстраивают их шестиугольниками. Возможно, такое расположение максимально удобно для личинок. К тому же оно экономит воск. В самом деле, длина границ, разделяющих области равных площадей, будет наиболее короткой при упаковке правильными шестиугольниками

Это утверждение легко доказывается. В правильном многоугольнике, у которого n сторон, каждый угол равен α = 180° – 360°/n. С другой стороны, если каждая вершина многоугольника является общей с (m – 1) другими многоугольниками, то α = 360°/m. Поэтому для целых чисел m и n должно выполняться условие 2/m = 1 – 2/n, что возможно лишь для n = 3, 4 или 6 (в чем читатель может убедиться без особых усилий). В частности, невозможно выложить паркет из правильных пятиугольников!

Хотя для задачи компактной укладки дисков почти нет практического применения, в реальном трехмерном мире часто рассматривается аналогичная задача (просто заменим диски на цилиндры). Например, электрические провода (цилиндрической формы) обычно собираются в компактные пучки. Это относится и к сверхпроводящим кабелям (см. главу 25, «Технология сверхпроводящих кабелей»), которые состоят из множества сверхпроводящих жил, заключенных в медную оболочку. Изначально провода имеют цилиндрическую форму, но после обжатия они превращаются в шестиугольные призмы!

Формальное доказательство гипотезы Кеплера

В отличие от «классических» математических доказательств, написанных на языке формул, доказательство гипотезы Кеплера американский математик Томас Гейлс частично доверил компьютеру. Использование программных продуктов, помогающих ученым в их работе, бурно развивается в последние десятилетия. Подобное программное обеспечение помогает математикам в поисках решений как давно существующих, так и новых открытых проблем. К тому же они освобождаются и от скрупулезной проверки, которую теперь выполняет компьютер, – ведь его вычислительная мощность намного выше человеческой.

Полное доказательство, предложенное Гейлсом, представляет собой серию статей на более чем 250 страницах, а компьютерные коды занимают почти три гигабита памяти. Кто бы взялся прочесть их во всех подробностях и полностью вникнуть в суть доказательства Гейлса? Даже используя помощь компьютера, рецензенты статьи, опубликованной Гейлсом в 2005 году в Annals of Mathematics[6]6
  Математический журнал, основанный в 1874 году и ныне издаваемый раз в два месяца Принстонским университетом и Институтом перспективных исследований. – Прим. пер.


[Закрыть], не взялись утверждать, что предложенное им доказательство гипотезы Кеплера безупречно. И только в августе 2014 года команда Гейлса представила аргументы, которые привели к окончательному официальному признанию его доказательства! Как бы там ни было, но все и так давно были уверены, что предложенная Кеплером упаковка является максимально компактной. Ведь если бы это было не так, то за более чем три столетия кто-нибудь нашел бы лучшую, не так ли?

А теперь давайте выйдем из плоскости. Шары реального мира трехмерны, как и само пространство. Как можно их разместить наиболее компактным способом? Давайте попробуем: разумно будет для начала сформировать компактный плоский слой в соответствии с илл. 2. Затем выложим сверху идентичный слой, убедившись, что число точек соприкосновения максимально. Если это так, то каждый шар верхнего слоя касается трех шаров нижнего слоя, и наоборот (илл. 5a). Затем кладем третий слой, чтобы каждый из его шаров коснулся трех шаров второго слоя, и т. д. В результате каждый шар касается еще 12 шаров: шести в том же слое, трех в нижнем и трех в верхнем (илл. 5b). То же самое происходит и в следующих слоях.

4. Покрытие плоскости треугольниками. Центры дисков с илл. 2а образуют такую «сеть из треугольников»

5. Пример наиболее компактной упаковки шаров. a. На компактный плоский слой (желтого цвета) укладывается идентичный слой (красного цвета) таким образом, чтобы каждый красный шар касался трех желтых шаров. b. Третий слой может быть уложен двумя различными способами, при этом шары в нем либо расположены строго над шарами первого слоя (как синий шар), либо смещены (как белый шар)

Решили ли мы задачу? Является ли такая упаковка шаров наиболее плотной? Да, считал ученый XVII века Иоганн Кеплер (более известный открытием траектории движения планет вокруг Солнца. Он доказал, что планета описывает вокруг Солнца эллипс, в одном из фокусов которого оно и находится). Но у Кеплера не было доказательства для задачи об укладке шаров. В отличие от двумерного случая, строгое доказательство действительно очень сложно! Так сложно, что задача об укладке шаров (часто называемая «задачей Кеплера») фигурирует в известном списке, составленном в начале XX века немецким математиком Давидом Гильбертом, где были собраны приоритетные, на его взгляд, математические задачи.

Только в 1998 году американский математик Томас Гейлс объявил, что он решил эту задачу (см. врезку). Как и ожидалось, Кеплер был прав: упаковка компактных двумерных слоев действительно оказывается наиболее компактной трехмерной реализацией (илл. 6). Процент пространства, заполненного шарами, в таком случае составляет около 74 %. Если быть более точными, то читатель, имеющий достаточно храбрости[7]7
  Приведем основные этапы расчета: в каждом слое N₁ центров N₁ шаров радиусом R образуется сеть из N₁ ромбов площадью (отсюда рассчитывается и доля площади плоскости, покрытой дисками: Расстояние между двумя слоями – Если имеется N шаров, то они занимают общий объем тогда как полный объем самих шаров составляет 4πNR³/3.


[Закрыть], может убедиться, что доля объема пространства, заполненного шарами, составляет Это довольно мало.

6. Витрина с апельсинами – практический пример компактной укладки твердых шаров

«Поцелуи» шаров в задаче Кеплера

В описанных выше компактных укладках каждый шар контактирует с 12 соседями. Но если рассматривать только один центральный шар, то, возможно, удастся расположить вокруг него большее количество шаров? И сколько шаров в таком случае можно разместить в общей сложности вокруг одного? Это максимальное число в английском языке называют kissing number («число поцелуев» между шарами).

Аналогичная задача в двумерном пространстве уже обсуждалась в разделе «Если бы мир был плоским…». На основе рассуждений или из опыта (ниже) легко увидеть, что «число поцелуев» на плоскости равно шести. Если еще несколько раз воспроизвести полученную локальную упаковку, то так можно замостить всю плоскость.

Для трехмерного случая решение не столь очевидно. Чтобы получить представление о явлении, ничто не помогает так, как наглядный эксперимент! Если у вас найдется достаточное количество мячиков или шаров для пинг-понга, скрепите их суперклеем; или, еще проще, чтобы не испачкаться, положите шарики в прозрачный пакет и попытайтесь сделать его как можно компактнее. Вы убедитесь, что более 12 шаров разместить вокруг центрального не удается. Тем не менее место между ними еще остается, и можно предположить, что, как-то постаравшись, 13-й шар можно было бы между ними вписать (см. илл. далее). В XVII веке этот вопрос стал предметом полемики между Исааком Ньютоном и математиком Дэвидом Грегори. Последний, в отличие от Ньютона, как раз и считал, что рядом с центральным шаром возможно втиснуть и 13-й шар. Сегодня мы знаем, что прав был Ньютон; доказательство этого впервые было найдено лишь через три столетия, в 1953 году.

Так что, разве точное установление «числа поцелуев» в пространстве не дало ответ на задачу Кеплера? Увы, нет! Существует множество способов размещения 12 периферийных шаров вокруг центрального, что делает задачу очень сложной. Один из таких способов упаковки – это гранецентрированная кубическая решетка (см. главн 8, «Задача с многочисленными решениями»). Центры соседних шаров в этом случае образуют неправильный многогранник, называемый кубоктаэдром Кеплера (ниже). Он имеет 14 граней (восемь равносторонних треугольников и шесть квадратов). На треугольных гранях кубоктаэдра три шара уложены максимально компактно, так как ребра этих граней равны диаметру шаров и, следовательно, шары никак не могут располагаться ближе друг к другу. То же самое можно сказать и о квадратных гранях.

Когда вокруг центрального шара располагают 12 периферийных без какого-то особого порядка, то их центры обычно образуют икосаэдр (многогранник с 20 треугольными гранями), который может быть как правильным, так и неправильным. Если вычислить длину ребер икосаэдра, окажется, что они больше диаметра шаров[8]8
  Далее приведены основные этапы расчета для регулярного икосаэдра. Объем кубоктаэдра где а – диаметр шариков. Объем икосаэдра: где b – длина ребра. Квадрат соотношения b/a равен 8sin²(π/5)/[3 + sin²(π/5) – cos(π/5)], углы выражаются в радианах. Таким образом, b/a = 1,044.


[Закрыть]. Таким образом, можно немного изменять положение периферийных шаров, не отрывая их от центрального шара.

Даже когда очевидно, что наиболее компактная укладка шаров – укладка такими многогранниками, еще предстоит определить, какими именно. Кубоктаэдром? Икосаэдром? Обычный икосаэдр имеет меньший объем, но пространство невозможно заполнить путем укладки правильных икосаэдров. Вот насколько сложна задача Кеплера…

Сколько одинаковых монет можно разложить на столе, чтобы они касались монетки, помещенной в центре? Легко продемонстрировать, что можно разместить максимум шесть штук

В пространстве размещается максимум 12 одинаковых шаров (зеленого цвета на илл.) вокруг центрального шара (синего цвета). Однако между зелеными шарами остается свободное пространство, это позволяет предположить, что возможно вместить и 13-й шар

a. Фигура, образованная окружением атома в гранецентрированном кубическом кристалле, представляет собой кубоктаэдр Кеплера. (Примечание: мы перевернули этот многогранник, поэтому вертикальная ось на илл. а не совпадает с вертикальной осью на илл. 7b.) b. Еще один 12-вершинный многогранник: обычный икосаэдр

Удивительно, но описанная нами укладка не уникальна. Есть два способа уложить второй слой шаров на первый, но они эквивалентны. Но вот третий слой может быть размещен двумя различными способами. Так, его можно расположить строго над первым слоем (илл. 7a) или же сместить относительно него (илл. 7b). При укладке каждого последующего слоя возможны оба варианта, поэтому задача Кеплера имеет бесконечное количество решений. Эта множественность решений и влечет за собой всю сложность задачи (см. врезку). Среди всех этих решений два имеют особое значение:

а) упаковка, получаемая путем размещения n-го слоя строго над (n – 2)-м слоем независимо от n;

b) упаковка, получаемая путем смещения n-го слоя относительно (n – 2)-го слоя.

Природа дает нам многочисленные примеры структур, которые следуют одному из этих правил, например некоторые кристаллы. Кристаллы сформированы из периодически повторяющихся «упаковок» атомов, молекул или ионов в пространстве (см. также главу 9, «Случайно расположенные шарики»). Построенные по правилу (a) кристаллические структуры называют «плотноупакованными гексагональными»; по правилу (b) – «гранецентрированными кубическими структурами». Многие химические элементы, например кобальт, цирконий, имеют гексагональную плотноупакованную структуру.

7. Компактная упаковка шаров. a. Случай, когда третий слой помещается строго над первым (гексагональная упаковка). b. Случай, когда третий слой смещен относительно первого. В таком случае четвертый слой находится над первым (кубическая гранецентрированная решетка)

Теперь вернемся к задаче, поставленной в начале этой главы. Какова взаимосвязь между компактной укладкой шаров и следами ног на песке?

Даже если читатель находится далеко от песчаного пляжа, он может поставить следующий, очень простой опыт, который иллюстрирует сделанный Рейнольдсом вывод. Для этого возьмите мягкий пластиковый стаканчик и наполните его песком, затем пропитайте водой до тех пор, пока она не проступит на поверхности (илл. 8). Далее сожмите верхнюю часть стакана, и вода исчезнет, проникнув в зазоры между песчинками. Все происходит так, будто песок «расширяется», и его верхняя граница поднимается над уровнем воды.

8. Свидетельство эффекта расширения песка под действием давления. a. Мягкий пластиковый стаканчик, содержащий песок, заполняется водой до тех пор, пока она не выступит на поверхность. b. Когда стакан сплющивают посередине, вода исчезает с поверхности песка

Этот эффект расширения возникает только в том случае, если первоначальное расположение песчинок было достаточно компактным. Но почему отлив оставляет песок в таком компактном расположении? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим механизмы, которые способствуют более или менее компактной укладке.

9. Объяснение эффекта разрыхления песка. Под действием силы, приложенной ногой, одна из песчинок (здесь отмеченная желтым цветом) оказывается над другой (коричневой). (См.: É. Guyon et al., Ce que dissent les fluides, Belin, 2011)

Давайте начнем с простого опыта, который читатель может выполнить на кухне (если, конечно, он не делал этого раньше!). Возьмем стеклянный стакан, лучше граненый, и до краев наполним его сахарной пудрой. Затем стакан слегка потрясем или аккуратно похлопаем по нему: сверху появится свободное место, и теперь в стакан можно всыпать еще пудры!

В 1960 году английский ученый Г. Скотт измерил это явление количественно. Он помещал одинаковые маленькие шарики в сосуды различных размеров и определял процент заполнения. Он удостоверился, что этот показатель зависит от того, как именно заполнять сосуд. Если бросать шарики в емкость по одному, заполнение составляет около 60 %, что значительно ниже максимума в 74 %, который достигается при наиболее компактном расположении. Если же встряхивать сосуд во время опускания шариков, заполнение достигает 64 % – оно выше, но все еще остается далеким от максимального значения.

Таким образом, результаты, полученные Скоттом, подтверждают и уточняют наше наблюдение: компактность зернистой среды, такой как песок, эффективно повышается путем встряхивания системы. Как же объяснить роль тряски? Шарик, находящийся на дне полости, пребывает в состоянии устойчивого равновесия и при не слишком больших отклонениях системы будет его сохранять. В то же время такой же шарик, находящийся в верхней части горки, пребывает в неустойчивом равновесии, и при встряхивании он, желая понизить свою потенциальную энергию, сдвинется вниз. Примерно это и происходит в рассматриваемом опыте: когда вы встряхиваете шарики, находящиеся в контейнере, некоторые из них проскальзывают в свободные пустоты. При этом уровень наполнения емкости уменьшается, что перемещает центр масс системы вниз и уменьшает ее потенциальную энергию в поле сил тяжести.

Наконец-то, мы можем объяснить загадку Рейнольдса. Отступающее море посредством набегающих и уходящих волн встряхивает песок, так что песчинки, падая, укладываются компактно (хотя, вероятно, не самым оптимальным образом). Когда нога мистера Рейнольдса надавливает на песок, то она заставляет его деформироваться: песчинки сдвигаются, а зазоры между ними увеличиваются (илл. 9). В результате вода уходит в образовавшиеся между песчинками полости, и вокруг отпечатка стопы появляется сухая область.

Об интересе физики к факирам

Кажущееся парадоксальным свойство сыпучих сред было хорошо известно еще индийским факирам. Один из их фокусов состоял в том, чтобы многократно вонзать тонкий нож в сосуд с узким горлышком, до краев наполненный рисом. Через некоторое время нож застревал в рисе, и тогда, если потянуть нож вверх, можно было вместе с ним приподнять весь сосуд! Хитрый факир, вероятно, встряхивал емкость, заполняя ее рисом, чтобы получить достаточную компактность упаковки. Погружая в него нож, он заставлял рисовые зерна сдвигаться друг на друга, что увеличивало пространство между ними. Давление и трение, которые они испытывали из-за ножа, возрастали, что в конечном итоге препятствовало его извлечению из сосуда.

Физик Пьер-Жиль де Жен любил демонстрировать этот простой опыт на своих лекциях: нож заменялся рукояткой метлы, рис – песком, а факир… лауреатом Нобелевской премии по физике!

Вариант опыта индийского факира

а. Плотно заполнить песком емкость с удерживаемой посередине палкой.

b. Постепенно утрамбовать песок, постукивая по стенкам контейнера.

c. Взяться за палку и потянуть вверх – емкость поднимается вместе с ней!

В этой главе прогулка по пляжу позволила нам изучить математическую задачу оптимального заполнения пространства твердыми шарами. Хотя атомы на самом деле не являются шариками, тем не менее они обладают некоторыми схожими свойствами. Это позволит нам в следующей главе рассмотреть структуру материи…

Глава 9

От кристаллических снежинок к аморфному стеклу

В V веке до нашей эры греческий философ Левкипп и его ученик Демокрит предложили гипотезу об атомистическом строении материи. Задолго до повсеместного признания атомов наукой предположение о том, что материя состоит из небольших твердых шариков, которые притягиваются друг к другу, послужило источником прогресса в нашем понимании ее фундаментальных свойств.

В начале XVII века Иоганн Кеплер был поражен формой снежных кристаллов. Большинство из них, как и шестиконечные снежинки (илл. 1), имеют гексагональную симметрию: соседние лучи образуют между собой угол 60°. Этот угол появляется и при компактной упаковке дисков (илл. 2), так как центры соседних кругов образуют равносторонние треугольники; также он возникает и при компактной укладке шаров (илл. 5). Вероятно, именно эти соображения привели Кеплера к предположению, что кристаллы снега состоят из компактно упакованных микроскопических шариков. Как мы вскоре увидим, эта гипотеза оказалась ошибочной. Тем не менее для ученых следующих поколений она послужила базисом в развитии других теорий, составивших прочную основу для атомной теории материи.

1. Кристаллы снега. Формы, принимаемые снежинками, чрезвычайно разнообразны. Помимо прочего, они зависят от влажности и температуры