Текст книги "Теорема века. Мир с точки зрения математики"

Что же мы видим теперь?

Прежде всего – первый прогресс, и прогресс огромный. Теперь известны отношения между электричеством и светом: три области – свет, электричество и магнетизм, – прежде разделенные, объединились в одну и, по всей видимости, объединились окончательно.

Однако этот триумф стоил нам некоторых жертв. Световые явления входят в область электрических как частный случай; пока они оставались изолированными, легко было объяснять их движениями, которые считались известными во всех деталях; но теперь объяснение может быть принято лишь тогда, когда оно может без труда охватить всю область электричества. А вот это не обходится без трудностей.

Наиболее удовлетворительной из всего, что мы имеем, является теория Лоренца; эта теория, как мы это увидим в последней главе, объясняет электрический ток движением малых наэлектризованных частиц; она, бесспорно, лучше всех истолковывает известные нам факты, освещает больше реальных отношений, чем любая другая, и свойственные ей черты войдут в наибольшем числе в будущее окончательное построение. Тем не менее ей свойствен отмеченный уже выше крупный недостаток: она противоречит ньютонову закону действия и противодействия; или, точнее, по мнению Лоренца, этот закон приложим не только к самой материи; чтобы он оправдывался, надо принимать в расчет действие эфира на материю и противодействие, оказываемое материей на эфир. Но до новых открытий представляется вероятным, что положение вещей не таково.

Как бы то ни было, благодаря Лоренцу результаты, полученные Физо при исследовании оптических свойств движущихся тел, законы нормальной и аномальной дисперсии и законы поглощения света оказываются связанными как между собой, так и с другими свойствами эфира, и эта связь, без сомнения, более не порвется. Посмотрите, с какой легкостью новое явление Зеемана нашло в этой теории готовое место и даже помогло ввести в систему фарадеево магнитное вращение, не повиновавшееся усилиям Максвелла; эта легкость доказывает, что теория Лоренца не есть искусственное построение, обреченное на разрушение. Ее, возможно, придется изменить, но не разрушить.

Однако Лоренц не имел иных притязаний, как только обобщить в едином целом всю оптику и электродинамику движущихся тел; он не имел в виду дать им механическое истолкование. Лармор идет дальше: сохраняя существенные черты теории Лоренца, он, так сказать, прививает к ней идеи Мак-Кёллафа (MacCullagh) о направлении движений эфира. С его точки зрения, скорость эфира имеет те же направление и величину, что и магнитная сила. Тем самым становится известной скорость эфира, поскольку свойства магнитной силы доступны опыту. Как бы остроумна ни была эта попытка, недостатки теории Лоренца здесь сохраняются и даже увеличиваются. По Лоренцу, мы не знаем характера движений эфира и благодаря этому незнанию можем предполагать их такими, чтобы, компенсируясь движениями материи, они восстанавливали равенство действия и противодействия. По Лармору, мы знаем движения эфира и можем констатировать, что компенсация не имеет места.

Если попытка Лармора, как я считаю, не имела успеха, то означает ли это невозможность механического истолкования? Нисколько: я уже говорил раньше, что раз данное явление подчиняется принципу сохранения энергии и принципу наименьшего действия, оно допускает бесчисленное множество механических истолкований: то же самое имеет место и для световых и электрических явлений. Но этого недостаточно: чтобы механическое истолкование было пригодным, надо, чтобы оно было простым; для отбора между всеми возможными истолкованиями надо иметь еще и другие основания, кроме простой необходимости отбора. И вот теории, которая удовлетворяла бы этому условию и, следовательно, могла бы быть на что-нибудь пригодной, мы еще не имеем. Следует ли сожалеть об этом? Это означало бы забыть, какую цель мы преследуем; истинная, единственная цель науки – раскрытие не механизма, а единства.

Поэтому нам следует ограничить наши притязания: не будем гнаться за механическим истолкованием, удовлетворимся указанием на то, что мы всегда могли бы его достигнуть, если бы пожелали. В этом мы имели бы успех: принцип сохранения энергии постоянно подтверждается; к нему присоединился и второй принцип, принцип наименьшего действия, облеченный в подходящую для физики форму. Он также постоянно подтверждался, по крайней мере для обратимых явлений, подчиненных уравнениям Лагранжа, т. е. наиболее общим законам механики.

Необратимые явления гораздо более непокорны. Однако и они упорядочиваются и стремятся войти в общее единство; озаривший их свет исходил из принципа Карно. Термодинамика долгое время ограничивалась изучением расширения тел и изменения их состояния. С некоторого времени она стала смелее и значительно расширила свою область. Мы обязаны ей теорией гальванического элемента и теорией термоэлектрических явлений; во всей физике нет ни одного уголка, не исследованного ею; она захватила даже химию. Повсюду царят одни и те же законы; повсюду под кажущимся разнообразием мы открываем принцип Карно и удивительное по своей абстрактности понятие энтропии, которое имеет столь же универсальный характер, как и понятие энергии, и которому, как и понятию энергии, по-видимому, соответствует какая-то реальность. Казалось, лучистая теплота должна была избежать такого подчинения; но в последнее время мы видели, что и она покорилась тем же законам.

На этом пути нам открылись новые аналогии, которые часто простираются до деталей: омическое сопротивление уподобляется вязкости жидкостей; гистерезис – трению твердых тел. Во всех случаях трение является образцом, которому подражают разнообразнейшие необратимые явления, и это сродство отличается реальностью и глубиной.

И для этих явлений искали механическое истолкование в собственном смысле, но почти без успеха. Чтобы найти его, нужно было предположить, что необратимость есть лишь видимость, что элементарные явления обратимы и подчиняются известным законам динамики. Но число элементов чрезвычайно велико; они постоянно перемешиваются между собой, так что нашему грубому зрению кажется, что все стремится к однообразию, т. е. что все движется в одном направлении без надежды на возврат. Таким образом, кажущаяся необратимость есть лишь следствие закона больших чисел. Лишь существо, одаренное бесконечно острыми чувствами, как воображаемый Максвеллом демон, могло бы распутать этот запутанный клубок и повернуть мировой процесс в обратном направлении.

Это представление, связанное с кинетической теорией газов, стоило больших усилий и все же в общем было не очень плодотворно; быть может, оно еще станет таковым. Здесь не место рассматривать, не ведет ли оно к противоречиям и соответствует ли оно истинной природе вещей.

Во всяком случае, отметим оригинальные идеи Гуи (Gouy) о броуновском движении. Согласно Гуи, это своеобразное движение избежало бы подчинения принципу Карно. Колеблемые им частицы меньше по размерам, чем петли нашего запутанного клубка; поэтому эти частицы были бы в состоянии распутать их и таким образом дать задний ход мировой машине. Тем самым как бы была видна работа максвеллова демона.

Резюмируя предыдущее, скажем, что известные раньше явления систематизируются все лучше и лучше. Но и новые явления требуют себе места; большинство их, подобно явлению Зеемана, нашло его тотчас же. Но мы имеем также катодные лучи, рентгеновские лучи, лучи урана и радия. Тут целый мир, о существовании которого никто и не догадывался. Всех этих неожиданных гостей надо определить к месту!

Никто не может еще предвидеть, какое именно место они займут. Но я думаю, что они не разрушат общего единства, а скорее дополнят его собою. В самом деле, с одной стороны, новые излучения представляются связанными с явлениями люминесценции; они не только возбуждают флюоресценцию, но иногда возникают при тех же условиях, что и эта последняя. Далее, они состоят в родстве с теми причинами, которые заставляют проскакивать искру под действием ультрафиолетового света. Наконец (и это особенно важно), во всех этих явлениях предполагают участие настоящих ионов, правда, обладающих несравненно более значительными скоростями, чем скорости ионов в электролитах. Все это довольно неясно; но точность придет со временем.

Фосфоресценция, действие света на искру были до сих пор областями сравнительно изолированными и поэтому менее привлекавшими исследователей. Теперь можно надеяться, что мы близки к построению нового пути, который облегчит их связь с универсальной наукой.

Мы не только обнаруживаем новые явления, но и в тех, которые считались известными, нам открываются неожиданные аспекты. В свободном эфире законы сохраняют свою величественную простоту; но материя в собственном смысле представляется все более и более сложной; все, что о ней говорится, всегда имеет только приближенное значение, и наши формулы ежеминутно требуют все новых членов.

Тем не менее это не разрушает общего плана. Отношения, установленные между вещами в предположении простоты последних, сохраняются и после того, как мы узнаем об их сложности, – а только это и важно. Правда, наши уравнения становятся все более и более сложными, для того чтобы по возможности ближе подойти к сложности природы; но в отношениях, которые позволяют выводить одни уравнения из других, не произошло никаких перемен. Одним словом, форма уравнений устояла.

Возьмем в качестве примера законы отражения света. Френель вывел их из простой и увлекательной теории, которая, по-видимому, подтверждалась опытом. Впоследствии более точные исследования доказали, что это подтверждение было лишь приближенным, и обнаружили повсюду следы эллиптической поляризации. Но тотчас же благодаря той точке опоры, которую мы имели в первом приближении, найдена была причина этих аномалий, состоящих в наличии поглощающего слоя: в существенных чертах теория Френеля сохранила свое значение.

Здесь только нельзя удержаться от следующего соображения. Все эти отношения остались бы незамеченными, если бы с самого начала существовала догадка о сложности взаимодействующих объектов. Давно уже было сказано, что если бы инструменты Тихо были в десять раз точнее, то мы никогда не имели бы ни Кеплера, ни Ньютона, ни астрономии. Для научной дисциплины составляет несчастье возникнуть слишком поздно, когда средства наблюдения стали слишком совершенными. В таком положении ныне находится физическая химия: третий и четвертый десятичные знаки причиняют большие затруднения ее основателем; по счастью, это – люди крепкой веры.

По мере того как продвигается изучение свойств материи, мы видим, как вступает в свои права идея непрерывности. Со времени работ Эндрюса и ван дер Ваальса мы уяснили способ, каким происходит переход от жидкого состояния к газообразному: этот переход не является внезапным. Точно так же нет и пропасти между жидким и твердым состояниями; в Трудах последнего съезда физиков наряду с работой о затвердевании жидкостей мы встречаем доклад о текучести твердых тел.

При такой тенденции простота, без сомнения, утрачивается: прежде некоторое явление изображалось несколькими прямыми, теперь приходится состыковывать эти прямые при помощи более или менее сложных кривых. Зато очень выигрывает единство. Эти разрозненные категории успокаивали ум, но не удовлетворяли его.

Наконец, физические методы завоевали новую область – химию; возникла физическая химия. Она еще очень молода, но уже видно, что она позволит нам связать друг с другом такие явления, как электролиз, осмос, движение ионов.

Что можно заключить из этого беглого очерка? То, что в итоге произошло приближение к единству; правда, движение было не таким быстрым, как этого ожидали пятьдесят лет назад, самые пути не всегда совпадали с ожидаемыми; но в конце концов приобретения оказались весьма значительными.

Без сомнения, читатель будет удивлен, встретив здесь размышления об исчислении вероятностей.

Какое отношение может оно иметь к методу физических наук? А между тем вопросы, которые я хочу поднять, не разрешая их, естественно встают перед философом, желающим размышлять о физике, и уже в двух предыдущих главах я принужден был несколько раз использовать выражения «вероятность» и «случайность».

Предвидение фактов, говорил я выше, может быть только вероятностным. «Как бы прочно обоснованным ни казалось нам наше предвидение, все же мы никогда не имеем абсолютной уверенности в том, что оно не будет опровергнуто опытом, предпринятым в целях его проверки. Однако вероятность часто бывает достаточно велика, чтобы практически мы могли ею удовлетвориться».

Затем несколько дальше я добавил:

«Рассмотрим, какую роль играет в наших обобщениях уверенность в простоте. Пусть мы установили, что некоторый простой закон подтверждается для достаточно большого числа отдельных случаев; тогда мы отказываемся допустить, что такое удачное совпадение было простой случайностью…»

Таким образом, во множестве случаев физик находится в таком же положении, как игрок, рассчитывающий свои шансы. Всякий раз, когда он применяет метод индукции, он более или менее сознательно пользуется исчислением вероятностей.

Ввиду этого я принужден сделать отступление и прервать наше изучение метода физических наук, чтобы подробнее рассмотреть, какое значение имеет это исчисление и какого доверия оно заслуживает.

Уже одно название «исчисление вероятностей» представляет собой парадокс; вероятность, в противоположность достоверности, есть то, чего не знают; как же можно вычислять то, о чем нет никаких знаний? Между тем многие выдающиеся ученые занимались этим вычислением, и никто не станет отрицать, что наука уже извлекла из него некоторую пользу. Как же объяснить это явное противоречие?

Была ли определена вероятность? И может ли она быть определена? И если нет, то как мы решаемся рассуждать о ней? Определение, – скажут, – очень просто: вероятность какого-нибудь события есть отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию, к полному числу возможных случаев.

Простой пример даст нам понять, как неполно это определение. Я бросаю две игральные кости; какова вероятность того, что по крайней мере на одной из них выпадет 6? Каждая кость может выпасть шестью различными способами: число возможных случаев есть 6 × 6 = 36; число благоприятствующих случаев есть 11, вероятность равна 11/36.

Таково правильное решение. Но не могу ли я с таким же успехом сказать: числа очков, выпавшие на обеих костях, могут образовать (6 × 7)/2 = 21 различных комбинаций; среди этих комбинаций 6 благоприятствующих; вероятность равна 6/21.

Почему первый способ рассчитывать возможные случаи более законен, чем второй? Во всяком случае наше определение нам этого не указывает.

Таким образом, приходится дополнить это определение, говоря: «…к полному числу возможных случаев при условии, чтобы эти случаи были равновероятны». И вот мы пришли к определению вероятного при помощи вероятного же.

Как мы узнаем, что два возможных случая равновероятны? Не является ли это результатом некоторого условного соглашения? Если мы в начале каждой проблемы явно укажем условное соглашение, то все пойдет хорошо; нам придется только применять правила арифметики и алгебры, и мы доведем вычисление до конца так, что результат не оставит места никакому сомнению. Но если мы желаем сделать малейшее применение этого результата, то необходимо будет доказать, что наши условные соглашения были законны, и мы как раз натолкнемся на то затруднение, которое думали обойти.

Нам могут сказать: простого здравого смысла достаточно чтобы указать, какое соглашение следует допустить. Но вот Бертран, курьеза ради, разобрал простую задачу: «Какова вероятность того, чтобы в окружности хорда была больше стороны вписанного равностороннего треугольника?» Знаменитый геометр допустил последовательно два соглашения, одинаково, по-видимому, внушаемые здравым смыслом, и нашел в одном случае 1/2, в другом 1/3.

Заключение, которое по всей видимости вытекает из всего этого, состоит в том, что исчисление вероятностей есть наука бесполезная, что нужно с недоверием относиться к тому неясному инстинкту, который мы называем здравым смыслом и к которому обращаемся при установлении наших соглашений.

Тем не менее мы не можем подписаться под этим заключением; мы не можем обойти этот неясный инстинкт; без него наука была бы невозможна, без него мы не могли бы ни открыть закон, ни применять его. Имеем ли мы, например, право говорить о законе Ньютона? Без сомнения, многочисленные наблюдения согласуются с ним; но не есть ли это результат простой случайности? И далее, откуда мы знаем, что этот закон, верный на протяжении стольких веков, будет верным и на будущий год? На это возражение вы можете лишь ответить: «это очень мало вероятно».

Но примем некий закон; я верю, что, опираясь на него, я могу вычислить положение Юпитера на целый год. Однако имею ли я на это право? Кто мне сказал, что за это время какая-нибудь гигантская масса, наделенная огромной скоростью, не пройдет вблизи Солнечной системы и не произведет непредвиденных возмущений? И здесь ничего не остается ответить, как только: «это очень мало вероятно».

С этой точки зрения все науки суть только бессознательные приложения исчисления вероятностей; осудить это исчисление – значит осудить всю науку в целом.

Я не стану долго останавливаться на научных проблемах, где участие исчисления вероятностей является более очевидным.

Такова прежде всего задача интерполяции, где по известному числу значений функции стараются определить промежуточные значения. Упомяну также о знаменитой теории погрешностей наблюдений (к которой еще вернусь позднее), о кинетической теории газов – этой общеизвестной гипотезе, по которой предполагается, что каждая газовая молекула описывает крайне сложную траекторию, но где по свойству закона больших чисел явления, взятые в среднем – в форме, единственно доступной для наблюдения, – подчиняются простым законам, каковы законы Мариотта и Гей-Люссака.

Все эти теории покоятся на законах больших чисел, так что падение исчисления вероятностей, очевидно, увлекло бы их за собой. Правда, они представляют только частный интерес и, за исключением интерполяции, это были жертвы, с которыми можно было бы примириться. Но, как я указал выше, речь шла бы не об этих только частных жертвах – речь шла бы о всей науке, законность которой была бы подвергнута сомнению.

Я знаю, что мне могли бы сказать: «Мы ничего не знаем, и все-таки мы должны действовать. Но мы не имеем времени заняться исследованием, достаточным для того, чтобы рассеять наше незнание; кроме того, подобное исследование потребовало бы бесконечного времени. Следовательно, мы должны решаться, не обладая знанием; надо действовать наудачу и следовать правилам, не слишком им доверяя. Я знаю не то, что такая-то вещь истинна, но то, что для меня все же лучше действовать так, как если бы она была истинна». Исчисление вероятностей и, следовательно, наука имели бы не более как только практическое значение.

К сожалению, таким путем трудность не была бы устранена. Игрок желает попытать счастья, он спрашивает у меня совета. Если я ему дам совет, я буду руководствоваться исчислением вероятностей, но я не гарантирую ему успеха. Это то, что я назову субъективной вероятностью. В этом случае можно было бы довольствоваться объяснением, которое я привел выше. Но предположим, что при игре присутствует наблюдатель, который отмечает все ходы, и что игра продолжается долгое время; когда он подведет итог в своей записной книжке, он констатирует, что события распределены согласно законам исчисления вероятностей. Это – то, что я назову объективной вероятностью, и именно это явление нужно объяснить.

Существует множество страховых обществ, которые применяют правила исчисления вероятностей; они выдают своим акционерам дивиденды, объективную реальность которых невозможно оспорить. Чтобы объяснить это, недостаточно ссылаться на наше незнание и на необходимость действовать.

Таким образом, абсолютный скептицизм не может быть принят; мы должны быть осторожны, но не должны все огульно осуждать; необходимо подробное исследование.

I. Классификация проблем вероятности. Чтобы классифицировать проблемы, которые касаются такой темы, как вероятность, можно стать на несколько различных точек зрения и прежде всего на точку зрения общности.

Выше я сказал, что вероятность есть отношение числа благоприятствующих случаев к числу возможных случаев. То, что за недостатком лучшего термина я называю общностью, будет возрастать с числом возможных случаев. Это число может быть конечным, как, например, в случае, когда рассматривается бросание костей, где число возможных случаев есть 36. Это – первая степень общности.

Но если мы спросим, например, какова вероятность того, что точка, расположенная внутри круга, окажется лежащей также внутри вписанного квадрата, то число возможных случаев будет таково же, как число точек в круге, т. е. бесконечно. Это – вторая степень общности. Общность может быть распространена еще далее: можно задаться вопросом о вероятности того, что функция удовлетворяет данному условию; в этом случае существует столько возможных случаев, сколько можно вообразить различных функций. Это – третья степень общности, до которой восходят, например, когда стараются определить наиболее вероятный закон по конечному числу наблюдений.

Можно стать на совершенно иную точку зрения. Абсолютное знание, будучи тождественным достоверности, не оставило бы места для вероятности. Но и абсолютное незнание не привело бы к вероятности: ведь надо все же иметь хоть какую-нибудь осведомленность, чтобы прийти даже к этой недостоверной науке. Проблемы вероятности могут быть, таким образом, классифицированы по большей или меньшей глубине незнания.

Уже в области математики могут возникать проблемы вероятности. Какова вероятность того, что пятый десятичный знак логарифма, взятого наудачу из таблиц, будет 9? Никто не затруднится ответить, что эта вероятность есть 1/10. Здесь мы обладаем всеми данными проблемы; мы могли бы вычислить наш логарифм, не прибегая к таблицам, но мы не хотим заниматься этим. Это – первая степень незнания.

В физических науках наше незнание уже больше. Состояние системы в данный момент зависит от двух обстоятельств: от ее начального состояния и от закона, по которому это состояние изменяется. Если бы мы сразу знали и этот закон и это начальное состояние, то нам нужно было бы разрешить только математическую проблему и мы снова пришли бы к первой степени незнания.

Но часто бывает, что нам известен закон, начальное же состояние неизвестно. Спрашивается, например, каково действительное распределение малых планет; мы знаем, что во всякое время они подчинены законам Кеплера, но мы не знаем, каково было их начальное распределение.

В кинетической теории газов предполагается, что все газовые молекулы движутся по прямолинейным траекториям и подчиняются законам удара упругих тел; но, так как их начальные скорости неизвестны, то ничего не известно и об их действительных скоростях. Только исчисление вероятностей позволяет предвидеть средние явления, которые будут результатом комбинации этих скоростей. Это – вторая степень незнания.

Возможно, наконец, что не только начальные условия, но и самые законы будут неизвестны; тогда мы будем иметь третью степень незнания и вообще ничего не сможем утверждать относительно вероятности явления.

Часто бывает, что стараются предсказать не событие по более или менее несовершенному знанию закона, а, наоборот, зная события, стараются предсказать закон; таким образом, выводят не действия из причин, а причины на основании действий.

Это – так называемые проблемы вероятности причин, наиболее интересные с точки зрения их научных приложений.

Я играю в экарте[14]14
  Карточная игра. – Прим. ред.


[Закрыть] с человеком, которого знаю как вполне порядочного; он сдает карты. Какова вероятность того, что он откроет короля? Эта вероятность равна 1/8; это – проблема вероятности событий. Я играю с человеком, которого не знаю; он 10 раз сдавал карты и 6 раз открывал короля; какова вероятность того, что это шулер? Это – проблема вероятности причин.

Можно сказать, что это – главная проблема экспериментального метода. Я наблюдал n значений для x и соответственные значения для у; я констатировал, что отношение вторых к первым является заметно постоянным. Вот событие; какова его причина?

Вероятно ли, чтобы существовал общий закон, по которому y пропорционально x, и чтобы небольшие отклонения были обусловлены погрешностями наблюдений? Вот вопрос, который постоянно ставит перед собой исследователь и который он бессознательно решает всякий раз, когда занимается наукой.

Теперь я займусь обсуждением различных категорий проблем и рассмотрю сначала то, что я выше назвал субъективной вероятностью, а затем то, что назвал вероятностью объективной.

II. Вероятность в математических науках. Невозможность квадратуры круга доказана в 1883 году; но уже много раньше этой близкой к нам даты все геометры рассматривали эту невозможность как столь «вероятную», что Академия наук оставляла без рассмотрения мемуары (к сожалению, слишком многочисленные), посылаемые ей каждый год какими-то неудачниками.

Была ли Академия права? Конечно, да; она хорошо знала, что, поступая так, она нисколько не рискует затормозить важное открытие. Она не могла бы доказать, что она права; но она знала, что ее инстинкт не обманывает ее. Если бы вы спросили академиков, они бы вам ответили:

«Мы сравнили вероятность того, что неизвестный ученый нашел истину, которую тщетно искали уже столь долгое время, с вероятностью того, что число умалишенных людей увеличилось на единицу; вторая вероятность показалась нам больше». Эти соображения очень хороши, но они не имеют в себе ничего математического; они – чисто психологического характера.

А если бы вы спрашивали их более настойчиво, они прибавили бы: «Почему вы желаете, чтобы частное значение трансцендентной функции было алгебраическим числом? И если бы π было корнем алгебраического уравнения, то почему вы желаете, чтобы только этот корень был периодом функции sin 2х и чтобы ими не были другие корни того же уравнения?» Словом, они сослались бы на принцип достаточного основания в его наиболее неопределенной форме.

Но что они бы могли извлечь из этого? В лучшем случае – практическое правило для употребления времени, которое с большей пользой могло бы быть потрачено на их обычные работы, чем на изучение вымученного сочинения, внушающего законное недоверие. Но то, что я назвал выше объективной вероятностью, не имеет никакого отношения к этой первой проблеме.

Иначе обстоит дело со второй проблемой. Возьмем 10 000 первых логарифмов, которые я нахожу в таблицах. Среди этих 10 000 логарифмов я беру наудачу один; какова вероятность, что его третий десятичный знак есть четное число? Вы не затруднитесь ответить: 1/2 – и в самом деле, если вы просмотрите в таблице третьи десятичные знаки этих 10 000 чисел, вы найдете приблизительно столько же четных цифр, сколько и нечетных.

Или, если желаете, напишем 10 000 чисел, по количеству наших логарифмов; каждое из этих чисел пусть равно +1, если третий десятичный знак четный, и −1 в обратном случае. Возьмем затем среднюю величину из этих 10 000 чисел. Я не затруднюсь сказать, что эта средняя величина, вероятно, равна нулю; если бы я произвел вычисление в действительности, я убедился бы, что она очень мала.

Но эта проверка даже бесполезна. Я мог бы строго доказать, что это среднее меньше 0,003. Чтобы установить этот результат, мне пришлось бы привести довольно длинное вычисление, для которого здесь мало места, и поэтому я ограничусь ссылкой на статью, опубликованную мною в «Revue générale des Sciences» 15 апреля 1899 г. Единственный пункт, на который я должен обратить внимание, следующий: в этом вычислении я опирался только на два факта, а именно, что первая и вторая производные логарифма в рассматриваемом промежутке остаются заключенными в известных пределах.

Отсюда первое следствие: что это свойство справедливо не только для логарифма, но для какой угодно непрерывной функции, так как производные всякой непрерывной функции заключены в определенных пределах.

Если я уже заранее был уверен в результате, то это прежде всего потому, что я часто замечал аналогичные факты для других непрерывных функций; затем потому, что я – более или менее бессознательно и несовершенно – провел в уме рассуждение, которое привело меня к предыдущим неравенствам, подобно тому как опытный вычислитель, не доведя до конца умножения, соображает, что «получится приблизительно столько-то».

И кроме того, так как то, что я назвал бы моей интуицией, есть лишь несовершенный образ истинного рассуждения, то, как выяснилось, наблюдение подтвердило мои догадки, и объективная вероятность оказалась в согласии с вероятностью субъективной.

В качестве третьего примера я выберу следующую проблему: пусть число u взято наудачу, n – данное очень большое целое число; каково вероятное значение sin nu? Эта проблема сама по себе не имеет никакого смысла. Чтоб придать ей смысл, необходимо условное допущение: мы условимся, что вероятность того, что число u заключено между а и а + da, равна φ(a)da; что она, следовательно, пропорциональна величине бесконечно малой разности da и равна этой величине, умноженной на функцию φ(а), зависящую только от а. Что касается этой функции, то я выбираю ее произвольно, но надо предположить ее непрерывной. Так как значение sin nu остается тем же, когда и возрастает на 2π, то я могу, не ограничивая общности, допустить, что и заключено между 0 и 2π, и таким образом приду к допущению, что φ(а) есть периодическая функция с периодом 2π.

Искомое вероятное значение легко выражается простым интегралом, и легко показать, что этот интеграл меньше, чем

2π (M_k / n_k),

где Mk – наибольшее значение k-й производной функции φ(u). Итак, мы видим, что если k-я производная конечна, то наша вероятная величина стремится к нулю, когда n возрастает беспредельно, и притом быстрее, чем

1/n_k-1.

Итак, вероятное значение sin nu для очень большого n есть нуль; чтобы определить это значение, мне необходимо было сделать условное допущение, но результат остается тем же, каково бы ни было это условное допущение. Я наложил лишь небольшие ограничения, допуская, что функция φ(а) есть непрерывная и периодическая, и эти гипотезы столь естественны, что неясно, как можно было бы их избежать.