Текст книги "Радиотехника. Шпаргалка"

11. Линейный четырехполюсник. Характеристики четырехполюсника

Задачей линейных цепей является передача и фильтрация сигналов в тракте канала радиосвязи.

Радиотехническую цепь, через которую проходит сигнал, часто можно представить в виде четырехполюсника – устройства, имеющего два входных и два выходных зажима.

Если четырехполюсник представляет собой линейную цепь с постоянными параметрами то при подаче на его вход синусоидального сигнала U_вх c некоторой амплитудой, частотой и фазой на выходе появится также синусоидальный сигнал U_вых той же частоты, однако амплитуда и фаза могут быть иными. При прохождении сигнала через линейный четырехполюсник с постоянными параметрами изменяется его комплексная амплитуда.

Линейный четырехполюсник характеризуется комплексным коэффициентом передачи:

(25)

Модуль коэффициента передачи К(ω) дает отношение действительных амплитуд выходного и входного напряжений, а аргумент (φ_к(ω) – изменение начальной фазы выходного напряжения по сравнению с входным.

Пусть требуется обеспечить неискаженную передачу сигнала U_вх(t) через некоторый четырехполюсник Сигнал на выходе будет иметь вид:

(26)

В идеальном случае при прохождении через четырехполюсник все спектральные составляющие входного сигнала должны изменяться по амплитуде в одинаковое число раз k и испытывать одинаковое запаздывание t₀ во времени. Для неискаженного воспроизведения сигнала комплексный коэффициент передачи четырехполюсника должен иметь вид:

К(ω) = Кe^-ωt₀, (27)

т. е. его модуль должен быть одинаковым для всех передаваемых частот (К(ω) = const), а аргумент – представлять собой линейную функцию частоты (φk(ω) = – ωХ₀). Зависимость модуля коэффициента передачи от частоты называют амплитудно-частотной (или просто частотной) характеристикой, а от фазы – фазочастотной (или фазовой) характеристикой.

Наряду с требованиями, предъявляемыми к четырехполюсникам в отношении идеальной передачи полезных сигналов с некоторой шириной спектра Δω_сигн,необходимо, чтобы коэффициент передачи четырехполюсника вне желаемой частоты обращался в нуль так как любые сигналы, спектр которых находится вне полосы частот полезного сигнала, являются помехами. Идеальный четырехполюсник должен иметь п-образную частотную характеристику.

У реального четырехполюсника форма характеристики отличается от п-образной. Это приводит к искажению сигнала – тем большему, чем сильнее это отличие. Допустимые искажения сигнала и требования к характеристикам K(ω) и φ_К(ω) зависят от конкретной системы передачи сигнала. В тракте радиовещательного приемника удовлетворительными принято считать четырехполюсники, для которых в рабочей полосе частот коэффициент передачи меняется менее чем в  раз.

12. Фильтрующие свойства последовательного колебательного контура

Последовательный контур изображенный на рис. 4 – пример линейного четырехполюсника, который можно использовать в качестве фильтра.

Рис. 4

Входными зажимами фильтра являются зажимы АА', выходными – ВВ'. Коэффициент передачи такого фильтра:

где R – активное сопротивление контура (сопротивление источника ЭДС не учитывается).

Представим числитель и знаменатель в показательной форме:

откуда модуль и аргумент коэффициента передачи соответственно имеют вид:

(29)

(30)

Выражение – это амплитудно-частотная, а (30) – фазочастотная характеристика фильтра.

Полосу пропускания фильтра определяют из условия, что на границе полосы модуль коэффициента передачи фильтров уменьшается в  раз по сравнению с его значением при резонансе, т. е. при ξ = 0. Уравнение для определения полосы пропускания последовательного контура имеет вид:

(31)

где ξ – расстройка, соответствующая граничным частотам фильтра.

Из (31) получим выражение для относительной ξ_ппроп и абсолютной Δf_проп полосы пропускания фильтра:

 (32)

При рассмотрении фильтрующих свойств последовательного контура мы пренебрегли внутренним сопротивлением источника ЭДС. В реальной ситуации любой источник сигнала характеризуется некоторой ЭДС и внутренним сопротивлением R. Если источник включается в последовательный контур, полное активное сопротивление контура становится равным R + R_г с учетом R_г, добротность последовательного контура

где  – собственная добротность контура.

Из-за больших потерь энергии, возникающих на внутреннем сопротивлении генератора, значительно уменьшается добротность контура, и расширяется полоса пропускания фильтра.

13. Фильтрующие свойства параллельного колебательного контура

Рассмотрим фильтрацию радиосигнала в схеме с параллельным контуром (рис. 5). Импенданс этого контура Z_К. Коэффициент передачи четырехполюсника, имеющего входные зажимы АА', выходные ВВ':

 (34)

где ξ_m, U_m – комплексные амплитуды ЭДС и напряжения на контуре соответственно.

Рис. 5

Для нахождения K надо предварительно найти импенданс параллельного контура:

(35)

где  – импендансы двух параллельных ветвей.

Подставив Z_L и Z_C в (35), получим:

 (36)

В наиболее интересном с практической точки зрения случае, когда частота «близка» к резонансной частоте

контура, выражение (36) можно упростить.

Знаменатель (36) равен импендансу Z последовательного контура, который имеет вид:

Полоса пропускания:

 (37)

Эта полоса тем ближе к собственной полосе контура

чем меньше отношение .

При R → 0 полоса пропускания неограниченно возрастает, а контур полностью утрачивает избирательные свойства. При использовании контура – фильтра в радиоустройствах необходимо учитывать влияние на его избирательные свойства не только внутреннего сопротивления источника сигнала, но также сопротивления цепей, являющихся нагрузкой фильтра.

14. Система связанных контуров как полосовой фильтр

Идеальный фильтр должен иметь П-образную частотную характеристику и линейную фазовую характеристику в полосе пропускания. Для решения многих радиотехнических задач необходимы фильтры, частотные характеристики которых в большей степени, чем у одиночного контура, приближаются к идеальным.

В радиодиапазоне при создании таких фильтров используется система нескольких контуров, связанных между собой либо общим магнитным полем (индуктивная связь), либо общим электрическим полем (емкостная связь).

Рис. 6

Рассмотрим случай двух контуров с индуктивной связью (рис. 6). Коэффициент передачи такой схемы:

 (38)

где ξ_m, I_m и U_m – соответственно комплексные амплитуды ЭДС, силы тока во втором контуре и напряжения в конденсаторе С₂.

Амплитуды силы тока в контурах при заданной амплитуде синусоидальной ЭДС:

 (40)

где  – импедансы первого и второго контура, сопротивления связи.

На основе этого соотношения можно заключить, что вязь со вторым контуром в электрическом отношении эквивалентна включению в первый контур дополнительного сопротивления, называемого вносимым сопротивлением.

Полное эквивалентное сопротивление первого контура при учете связи со вторым можно представить в виде:

Z_экв = Z₁ + Z_вн

Количественно связь между контурами характеризуют безразмерным параметром:

называемым коэффициентом связи.

15. Прохождение АМ сигналов через полосовой фильтр

При прохождении через фильтр модулированных колебаний меняются соотношения между амплитудами различных спектральных компонентов сигнала.

Амплитуду напряжения некоторого компонента на выходе фильтра можно найти по формуле:

U_mвых(ω) = К(ω)U_mвх (ω).

Это можно сделать графически. Спектр входного сигнала и амплитудно-частотную характеристику частотно-избирательного фильтра K(ω) изображают в относительных единицах на одном и том же рисунке (рис. 7).

Перемножение ординат обоих графиков дает относительную амплитуду спектральных составляющих на выходе фильтра. За единицу приняты амплитуда несущей частоты и значение K(ω_нес).

Рис. 7

На выходе фильтра отношение

меньше, чем на входе, т. к. коэффициент передачи фильтра на боковых частотах меньше, чем на несущей частоте (K(ω_бок) < K(ω_нес)). Так как отношение

определяет глубину модуляции АМ колебаний, то ее глубина на выходе фильтра оказывается меньше, чем на входе (m_ввых< m_вх). В качестве фильтра используем последовательный колебательный контур, он настраивается на несущую частоту сигнала (ω_р = ω_нес).

Учитывая, что

U_{m.нес. вых} = К(ω_нес)U_{m.нес. вх}, U_{m.бок. вх} = К(ω_бок)U_{m.бок. вх},

получим:

где  – расстройка боковой частоты относительно несущей.

m_вых < m_вх, чем выше добротность фильтра и частота модулирующего сигнала, тем сильнее неравенство. Зависимость m_вых от частоты модуляции Ω приводит к частотным искажениям АМ сигнала при его прохождении через фильтр. Для уменьшения частотных искажений фильтр должен иметь амплитудно-частотную характеристику, близкую к П-образной.

16. Системы с распределенными параметрами. Длинные линии

К системам с распределенными параметрами относятся антенны, длинные линии и используемые в диапазонах дециметровых и сантиметровых волн колебательные системы.

Под длинной линией понимают систему двух параллельных цилиндрических проводников (двухпроводная линия) (рис. 8) или концентрических цилиндрических проводников (коаксиальная линия) (рис 9).

Рис. 8

Линейные размеры системы вдоль направления распространения электромагнитной волны больше или сопоставимы с длиной волны, а в поперечном направлении много меньше длины волны (l > λ, d << λ).

В диапазонах метровых, дециметровых и сантиметровых волн применяют плоские (полосковые) линии передачи: проводник в виде узкой тонкой полоски располагается параллельно другому проводнику в виде широкой пластины, которая заземляется.

Рис. 9

Полосковую линию называют несимметричной. В симметричных полосковых линиях узкая металлическая полоска располагается симметрично между двумя заземленными металлическими пластинами. Пространство между проводниками заполняют диэлектриком.

Поскольку линейный размер длинной линии в направлении распространения электромагнитной энергии много больше длины волны, учитывается запаздывание в распространении сигналов. Сила тока в линии и напряжение между проводами зависят от времени и координаты: i = i(t, x), u = u(t, x).

 (41)

 (42)

Уравнения (41) и (42) получены при создании теории проволочного телеграфа и называются телеграфными. Скорость распространения электромагнитных волн в длинных линиях (двухпроводных и коаксиальных) определяется по формулам:

 (43)

17. Излучение электромагнитных волн

Элементарный осциллятор, излучающий электромагнитные волны, впервые был исследован Г. Герцем, поэтому его называют вибратором или диполем Герца.

На рисунке 10 изображена модель вибратора Герца. Два металлических шарика, расстояние между центрами которых равно l, подсоединены к зажимам источника гармонической ЭДС.

Расстояние l мало по сравнению с длиной волны излучения вибратора в окружающей среде, поэтому приближенно вибратор Герца можно рассматривать как некоторый колебательный контур, в котором роль конденсатора играют шарики, а роль катушки индуктивности – соединяющие их проводники. Источник ЭДС создает вынужденные колебания заряда и тока в этом контуре, причем частота ЭДС обычно выбирается близкой к собственной частоте (ω ≈ ω₀). Разноименные заряды шариков в такой системе меняются по гармоническому закону и в любой момент времени равны по модулю (q' = – q).

Поскольку l << λ, силу тока

в каждый момент времени можно считать одинаковой во всех сечениях вибратора.

При питании вибратора от источника переменной ЭДС заряды и токи в нем периодически меняются. Это означает, что вокруг вибратора существуют переменные электрическое и магнитное поля. Как видно из рисунка 10, области максимального электрического и магнитного полей пространственно совмещены, поэтому эта система хорошо излучает.

Колебательная система, имеющая подобную картину поля, получила название открытой Обычный колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и конденсатора, является закрытой колебательной системой: в нем электрическое поле сосредоточено в конденсаторе, магнитное – в катушке, т. е. поля пространственно разделены.

Рис. 10

В пространстве, окружающем контур, электрические и магнитные поля практически отсутствуют, поэтому такой колебательный контур плохо излучает. Для получения электромагнитных волн в окружающем пространстве необходимо создать достаточно сильное переменное электрическое и магнитное поле. Такую функцию и выполняет излучающая антенна. Электромагнитное поле любой реальной излучающей системы всегда можно рассматривать как суперпозицию полей излучения некоторой совокупности элементарных вибраторов, поэтому модель элементарного вибратора является очень важной в теории электромагнитного поля.

18. Элементарный вибратор

Если расстояние r от вибратора до точки наблюдения A мало по сравнению с длиной волны (r << λ), то электрическое поле вибратора совпадает с полем электрического диполя, т. е. пропорционально электрическому моменту диполя и убывает с расстоянием пропорционально – ¹/_r³.

Магнитное поле вибратора при r << λ совпадает с полем элемента тока длиной l и убывает с расстоянием пропорционально ¹/_r².

Такой характер поля элементарного вибратора в ближней зоне связан с тем, что при r <<λ выполняется отношение:

где c – скорость электромагнитных волн в вакууме,

Т – период электромагнитных колебаний в вибраторе.

Отношение есть время τ распространения электромагнитного поля от вибратора до точки наблюдения Выполнение неравенства  означает, что в этих условиях можно пренебречь временем τ, т. е. считать скорость распространения электромагнитного поля бесконечно большой.

Следовательно, при  напряженность электрического поля E в точке наблюдения в момент времени t определяется значением электрического дипольного момента вибратора в этот же момент времени, т. е. отсутствует запаздывание поля в точке наблюдения. Область пространства, для которой

называют квазистационарной зоной. Наибольший практический интерес представляет волновая зона. Время распространения электромагнитного поля от вибратора до точки наблюдения, находящейся в волновой зоне, много больше периода колебаний Т и этим временем нельзя пренебречь. Волновая зона в системе СИ:

(44)

где p – электрический дипольный момент вибратора,

E₀ – диэлектрическая пропускаемость вакуума.

(45)

Значение напряженности магнитного поля Н_m(r) в волновой зоне:

где  – (волновое сопротивление вакуума);

E_m амплитуда электрического поля на расстоянии r от вибратора;

M₀ пронизаемость вакуума.

Мощность излучения антенны:

(46)

19. Антенны

Элементарный вибратор – это открытый колебательный контур, в котором шарики образуют конденсатор, а роль катушки индуктивности играют соединяющие их проводники. Простая антенна, применяющаяся как приемник в диапазонах коротких (КВ) и ультракоротких волн (УКВ), – это полуволновый вибратор.

Полуволновый вибратор можно рассматривать как совокупность бесконечного числа элементарных вибраторов длиной dx. Амплитуда силы тока в каждом из них равна амплитуде силы тока I_m(х) на расстоянии х от середины полуволнового вибратора. Амплитуда электрического поля, создаваемого бесконечно малым элементом dx на расстоянии r от него, равна:

В общем случае при изменении х меняется как q, так и r. Однако если точка наблюдения находится достаточно далеко от вибратора (r >> λ), приближенно можно считать sinθ и r одинаковыми для всех элементов dx.

Тогда

 (48)

Поле излучения вдали от полуволнового вибратора эквивалентно полю излучения элементарного вибратора длиной

возбуждаемого током с максимальной амплитудой.

Для полуволнового вибратора

называется действующей длиной (или действующей высотой) вибратора.

Понятие действующей высоты можно ввести для линейной антенны произвольной длины:

Если полуволновый вибратор расположить вертикально, его размер можно уменьшить вдвое благодаря проводящим свойствам Земли. Нижний конец антенны подключается к одному из зажимов генератора электромагнитных колебаний, второй зажим заземляется. Такая антенна называется вертикальной несимметричной антенной, ее высота приблизительно равна ^λ/₄. Мощность пропорциональна квадрату напряженности электрического поля, следовательно:

(49)

В случае вертикальной несимметричной антенны некоторого увеличения излучаемой мощности при сохранении неизменной высоты антенны можно добиться путем улучшения распределения тока.

20. Вольт-амперные характеристики и параметры резистивных нелинейных элементов

Нелинейными являются те элементы радиотехнической цепи, параметры которых зависят от протекающего по ним тока или от приложенного напряжения. Наиболее широкое применение в радиотехнических системах имеют нелинейные элементы, которые можно рассматривать как нелинейные активные сопротивления. К ним относятся электронные лампы, полупроводниковые диоды и транзисторы: их называют резистивными нелинейными элементами. Имеются также реактивные нелинейные элементы, например конденсаторы, емкость которых непостоянна и меняется под действием приложенного напряжения.

Зависимость I(U), описывающая вольт-амперную характеристику линейного активного сопротивления в соответствии с законом Ома представляет собой уравнение прямой:  (рис. 11).

Для нелинейного сопротивления зависимость I(U) выражается нелинейной функцией. Вид этой функции у разных нелинейных элементов различен и определяется физическими процессами, которые происходят под действием приложенного напряжения (рис 12).

В радиотехнических цепях на нелинейный элемент в общем случае действуют постоянное и переменное напряжение.

Рис. 11

В отсутствие переменного напряжения постоянное напряжение U₀ и соответствующий ему постоянный ток I₀ определяют режим покоя нелинейного элемента. Точку на вольт-амперной характеристике с координатами (U₀, I₀) называют рабочей точкой.

Рис. 12

Сумма постоянного и переменного напряжений (U₀ + u) в каждый момент времени определяет мгновенное положение изображающей точки. В простейшем случае переменное напряжение является гармоническим:

u = U_mcosωt.

В зависимости от амплитуды U_m изображающая точка перемещается в пределах некоторого участка вольт-амперной характеристики в окрестности рабочей точки. Этот участок называют рабочим участком характеристики.

Важным параметром нелинейного элемента является его сопротивление. Различают сопротивление элемента постоянному и переменному току. Сопротивление элемента постоянному току:

(50)

где R₌ определяется котангенсом угла β.

Сопротивление элемента переменному току, или дифференциальное сопротивление:

(51)

21. Аппроксимация вольт-амперных характеристик

Существуют графические и аналитические методы анализа нелинейных элементов.

Аппроксимация – это аналитический метод изучения процессов в цепи с резистивным нелинейным элементом. В этом случае реальная вольт-амперная характеристика нелинейного элемента обычно аппроксимируется (т. е. приближенно представляется) посредством подходящей аналитической функции. Эта функция должна достаточно точно описывать характеристику в рабочей области и в то же время должна быть по возможности простой. Чаще всего аппроксимация производится с помощью степенного полинома:

I = I₀ + au + bu +… + lu^k, (52)

где u = ΔU – приращение напряжения в окрестности рабочей точки;

I₀ – сила тока в рабочей точке.

Число членов полинома, аппроксимирующего вольт-амперную характеристику, зависит от режима использования нелинейного элемента, который, в свою очередь, определяется положением рабочей точки и размером рабочего участка характеристики. При гармоническом воздействии размер рабочего участка равен удвоенной амплитуде (размаху) переменного напряжения (рис. 13).

Рис. 13

Наиболее употребительные аппроксимации.

Аппроксимация полинома II-й степени:

I ≈ I₀ + au + bu². (53)

Коэффициенты полинома определяются так, чтобы в пределах рабочей области парабола возможно ближе подходила к аппроксимируемой характеристике.

Квадратичная аппроксимация часто применяется при анализе нелинейных процессов.

Кусочно-линейная аппроксимация.

Если для удовлетворительной аппроксимации характеристики требуется использование полинома высокой степени, то реальную характеристику можно заменить линейной ломаной, составленной из отрезков прямых линий.

Такое представление характеристики называется кусочно-линейной аппроксимацией. В рассматриваемом примере характеристика задается системой уравнений двух прямых:

I=0

при U ≤ 0,

i = α(U – U₀)

при U > U₀,

где α ≈ tqα – угловой коэффициент (крутизна) линеаризованного участка характеристики (если «излом» характеристики соответствует началу координат, U₀ = 0).

Если решаемая задача не допускает применения квадратичной или билинейной аппроксимации вольт-амперной характеристики нелинейного элемента, то используют более сложную аппроксимацию.