Текст книги "Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки"

Поэтому неудивительно, что мы очутились в трехмерном мире. (Физики называют это «антропный принцип»). И нечего роптать. В фундаментальном смысле трехмерное пространство – самое богатое из всех возможных. Чем оно лучше одномерного и двумерного, очевидно: в Лайнландии и Флатландии нет места для интересной сложности. (Вспомните, как визуально бедна жизнь во Флатландии, где все предметы выглядят как отрезки.) Что до пространств с четырьмя и больше измерениями, там все слишком «легко»: так много степеней свободы, так много вариантов поворотов и движений, что любые сложности сразу реконструируются и исчезают. Нужный градус творческого напряжения достигается лишь в трехмерном пространстве – вот, наверное, почему математики считают его самым интересным и трудным для изучения.

Возьмем хотя бы гипотезу Пуанкаре, одну из величайших и самых неподатливых задач современной математики. В целом она гласит, что любое n-мерное тело, обладающее определенным алгебраическим свойством, можно при помощи разных манипуляций превратить в n-мерную сферу. Пуанкаре сформулировал эту гипотезу в 1904 году. К 1961 году удалось доказать, что она справедлива в любых пространствах пяти измерений и выше. В 1982 году гипотеза была доказана для четырехмерного пространства. Но лишь в нашем веке Григорию Перельману удалось разобраться с самым, как выяснилось, сложным случаем гипотезы Пуанкаре – случаем трехмерного пространства.

Приучив себя к мысли о «более пространственном пространстве», чем наш трехмерный мир, мы, несомненно, расширили границы своего воображения, и это способствовало научному прогрессу. И теперь мы, несомненно, можем понять, почему Квадрату, не говоря уже о всевозможных теософах, платониках и кубистах, так хотелось вознестись в чертоги четвертого измерения и дальше. Но нам не обязательно следовать за ними. Что касается интеллектуальных богатств и эстетического разнообразия, нам вполне достаточно трехмерного мира.

Глава десятая. Комедия красок

Полтораста лет назад один студент, раскрашивая карту Англии, заметил, что ему хватает всего четырех цветов, чтобы соседние графства, например, Кент и Саффолк, не получились одного цвета. Это подтолкнуло его к мысли, что четырех цветов хватит для любой карты – и настоящей, и придуманной. Он поделился этой досужей идеей с братом. Брат, в свою очередь, рассказал о ней одному выдающемуся математику, который, немного поэкспериментировав и проверив, правдоподобна ли эта гипотеза, попытался ее доказать – и не сумел.

В последующие десятилетия при попытке решить проблему четырех красок оказались в тупике и многие другие математики, а с ними и множество дилетантов, в том числе великий французский поэт, основатель американского прагматизма и по меньшей мере один епископ Лондонский. Формулировка этой задачи так проста, что ее поймет каждый ребенок, но при этом она соперничала с Великой теоремой Ферма за звание самой знаменитой головоломки в истории математики. Наконец, в 1976 году мир узнал, что загадка разгадана. Однако когда стало известно, как именно это было сделано, праздничное настроение сменилось огорчением, скептицизмом и откровенным недоверием. Оказалось, что проблема, считавшаяся задачей чистой математики, обернулась философским вопросом, точнее, даже двумя: во-первых о том как в научном сообществе положено подтверждать свои претензии на математические знания, а во-вторых о том, может ли машинный интеллект помочь нам усвоить априорные истины.

При всей своей математической и философской занятности проблема четырех красок не имела очевидного практического применения, по крайней мере, для картографов, которые не проявляют склонности минимизировать количество используемых цветов. Однако, чтобы подойти к задаче, полезно взглянуть на атлас. Обратимся к карте Европы – к той ее части, где расположены Бельгия, Франция, Германия и Люксембург. Каждая из этих стран граничит с остальными тремя, поэтому очевидно, что для того, чтобы они не сливались, потребуется не меньше четырех красок. Вероятно, читатель сочтет, что четыре цвета нужны только тогда, когда на карте есть подобный квартет соседствующих друг с другом областей. Если вы так думаете, обратитесь к карте США и посмотрите на штат Невада, окаймленный пятью другими штатами (Калифорния, Орегон, Айдахо, Юта и Аризона). Ни одна комбинация штатов не соседствует друг с другом так, как Бельгия, Франция, Германия и Люксембург. Однако это скопление в целом невозможно раскрасить меньше чем четырьмя цветами так, чтобы никакая пара штатов не сливалась, в чем легко убедиться самостоятельно. С другой стороны, Вайоминг и шесть окружающих его штатов вполне можно раскрасить всего тремя цветами – какой удар для интуиции!

Некоторым картам нужно четыре краски, и этого достаточно. Проблема четырех красок гласит, что невозможно составить карту, которой было бы нужно больше четырех цветов. Что значит «доказать» такую гипотезу? Варианта два. Предположим, как считают некоторые математики, что она ложна. Тогда достаточно нарисовать всего одну карту, для раскрашивания которой нужно пять и более цветов, и вопрос закрыт. (В апреле 1975 года Мартин Гарднер опубликовал в журнале Scientific American сложнейшую карту из 110 регионов, которую, по его словам, невозможно было раскрасить меньше чем пятью цветами. Сотни читателей прислали в редакцию копии карты, старательно раскрашенные всего в четыре цвета: должно быть, они не сообразили, что Гарднер решил порадовать себя маленькой первоапрельской шуткой.) А чтобы доказать, что гипотеза четырех цветов верна, придется показать, что любая мыслимая карта – а их бесконечно много – может быть раскрашена всего четырьмя красками, какими бы многочисленными, сложнозакрученными и перепутанными ни были обозначенные на ней области.

Поэтому простота проблемы четырех красок обманчива. А чтобы осознать, насколько обманчива, стоит взглянуть на долгую историю попыток ее доказать или опровергнуть – настоящую комедию ошибок. Судя по всему, Фрэнсис Гатри, который в 1852 году заподозрил, что хватит и четырех красок, считал, что доказал свою гипотезу. Впоследствии Гатри стал профессором математики в Южной Африке, однако за всю свою жизнь не опубликовал ни одной работы, касающейся проблемы четырех красок: очевидно, его больше интересовала ботаника (в его честь назван вид вереска). Однако он обсуждал проблему со своим младшим братом Фредериком, который привлек к ней внимание своего профессора математики Огастеса де Моргана. Де Морган был очень способным математиком и важной фигурой в истории логики. Проблема четырех красок заинтересовала его, и он очень увлекся мыслью, что если карта содержит четыре взаимно граничащие области, одна из них должна быть полностью окружена остальными тремя (если вернуться к вышеприведенному примеру, то Люксембург полностью окружен Бельгией, Францией и Германией). Де Морган полагал – ошибочно, – что эта «скрытая аксиома» необходима для доказательства гипотезы, над которым он ломал голову до самой своей смерти – он скончался в 1871 году.

Именно де Морган впервые упомянул о гипотезе четырех красок в печати, причем не где-нибудь, а в анонимной философской заметке, которую он послал в 1860 году в популярный литературный журнал Athenaeum. Слухи о заметке пересекли Атлантику и дошли до США, где под колдовское обаяние гипотезы подпал философ Чарльз Пирс. Пирс заявил, что «со стороны логики и математики непростительное упущение, что такое простое утверждение до сих пор не доказано», и в конце 1860-х годов предложил собственное гипотетическое доказательство гарвардскому математическому обществу. Никаких сведений о нем не сохранилось. Однако впоследствии Пирс был вынужден признать верность доказательства, которое предоставил другой ученый, и поспособствовать его публикации в Nation в Рождество 1879 года. Тем самым Пирс невольно подтвердил истинность доказательства, которому предстояло стать самым знаменитым примером пагубного заблуждения в истории математики.

Здесь, пожалуй, уместно сказать несколько слов о том, как математики вообще относятся к доказательствам утверждений, особенно таких, которые, подобно проблеме четырех красок, охватывают бесконечное множество случаев. Один из методов доказательства называется математической индукцией. Иногда его сравнивают с тем, как падает бесконечный ряд косточек домино. Главное в методе математической индукции – показать, что если такое-то и такое-то утверждение верно для числа n, то тогда оно верно и для n+1. Аналогия с домино означает, что каждая падающая косточка сбивает следующую в очереди, и в конце концов упадут все. Чтобы применить математическую индукцию к проблеме четырех красок, нужно показать, что если каждая карта, на которой обозначено n областей, может быть раскрашена четырьмя красками, это возможно и для карты, на которой n+1 областей. Как выяснилось, это чудовищно трудно. Когда добавляешь на данную карту «эн-плюс-первую» область, иногда приходится перекрасить некоторые или все n остальных областей, чтобы новая область вписалась в четырехцветную схему. Общее правило такой перекраски никому сформулировать не удалось. Так что никакого падения доминошек.

К счастью, есть и другой подход к доказательству утверждения, охватывающего бесконечно много случаев: доказательство от противного. Берешь утверждение, противоположное тому, которое хочешь доказать, и доводишь его до абсурда. В случае проблемы четырех красок это означает, что мы предполагаем, что существуют контрпримеры, то есть карты, для которых нужно пять и более красок, а затем выводим из этого предположения противоречие. Поскольку подобные контрпримеры нарушают принцип четырех красок, их принято в обиходе называть «криминальными». Если криминальные карты существуют, в них может быть любое количество областей, но полезно сосредоточиться на тех, где областей абсолютный минимум. Такие карты называют «минимальными» криминальными картами. (Очевидно, чтобы потребовалось пять цветов, на минимальной криминальной карте должно быть не меньше пяти областей.) Любая карта с меньшим числом областей, чем минимальная криминальная, по определению законопослушна, то есть ее можно раскрасить в четыре цвета.

Мы оказались в занятном положении. Возьмем карту, которая может оказаться минимальной криминальной. Выберем любую область и сожмем ее в точку. Это уменьшит количество областей на одну. Теперь у редуцированной карты не хватает областей, чтобы считаться криминальной, поскольку у нее на одну область меньше, чем у минимальной криминальной карты, с которой мы начали. Следовательно, редуцированная карта законопослушна, а значит, ее можно раскрасить четырьмя красками. Раскрасим ее.

Теперь обратим процесс. Вернем на карту область, которую мы сжали в точку – раздуем эту область обратно. Теперь у нас есть первоначальная карта, на которой как следует раскрашены все области, кроме той, которую мы сжали, а потом восстановили. Зададимся вопросом: есть ли способ раскрасить восстановленную область так, чтобы она вписалась в четырехцветовую схему, которую мы применили к редуцированной карты? Это, конечно, зависит от того, какую область мы выбрали для сжатия и восстановления. Если, например, была выбрана область, граничащая только с тремя другими, вам повезло: когда вы ее восстановите, из четырехцветной схемы останется один цвет, который отличит восстановленную область от трех соседок. Но тогда вы смогли раскрасить исходную карту четырьмя красками. Значит, предполагаемая минимальная криминальная карта вовсе не была криминальной!

Тогда очевидно, что карта, претендующая на звание минимальной криминальной, не должна содержать областей, граничащих только с тремя другими областями. Иначе (1) можно сжать такую область в точку, таким образом снизив число областей на одну и сделав так, чтобы карта оказалась ниже минимально-криминального порога и, следовательно, оказалась законопослушной, (2) раскрасить редуцированную законопослушную карту четырьмя красками, (3) затем восстановить сжатую область, раздув ее снова, и (4) раскрасить восстановленную область одним из четырех цветов, не совпадающим с цветами ее трех соседок, тем самым включив восстановленную область в четырехцветную схему. И тогда исходная карта в конце концов оказывается законопослушной.

Если карта поддается этому процессу сжатия-раскрашивания-восстановления, говорят, что у нее «редуцируемая конфигурация». Как мы только что видели, один их типов редуцируемой конфигурации – это область, граничащая только с тремя другими областями. Увы, такая область найдется не на каждой карте. Но, вероятно, есть и другие типы редуцируемых конфигураций. И, вероятно, можно показать, что любая карта, какой бы сложной она ни была, обязательно содержит хотя бы одну редуцируемую конфигурацию. Если да, это решило бы вопрос. Карта, содержащая редуцируемую конфигурацию, не может быть минимальной криминальной, такая карта всегда может быть раскрашена в четыре цвета в результате процесса сжатия-раскрашивания-восстановления. Так что если любая карта содержит хотя бы одну разновидность редуцируемой конфигурации, значит, минимальных криминальных карт не бывает. А если не бывает минимальных криминальных карт, значит, криминальных карт не существует, и точка. (Если криминальные карты существуют, среди них должны быть карты с минимальным числом регионов.) А если не существует криминальных карт, значит, любая карта законопослушна, то есть может быть раскрашена в четыре цвета.

∞

Именной этой логикой руководствовался и Альфред Брэй Кемп, лондонский адвокат и математик-любитель, который в 1879 году заявил, что доказал гипотезу четырех красок. Рассуждения Кемпа были полны математических хитростей, но показались убедительными, и не только Чарльзу Пирсу. Лучшие математики Британии, Континента и Соединенных Штатов признали, что перед ними долгожданное решение проблемы четырех красок. Кемпа приняли в Королевское общество, а затем и посвятили в рыцари. Его «доказательство» продержалось десять лет, пока в нем не обнаружили неочевидную, но фатальную ошибку. Нашел ее ученый-классик и математик Перси Хивуд, он же «Котик» Хивуд, как прозвали его друзья за роскошные усы.

Хивуд, который чуть ли не извинялся за то, что опроверг доказательство Кемпа, обладал некоторыми странностями характера, которые выделяют его даже среди героев этой саги, полной всевозможных чудаков и эксцентриков. Был он тощ и слегка сутул и, как правило, одевался в плащ с пелериной в необычных узорах и не расставался с древним саквояжем. Его повсюду сопровождала собака – даже на лекциях. Он любил заседать в ученых комитетах и считал, что день прошел зря, если он не поучаствовал хотя бы в одном заседании. Время на своих вечно отстававших часах он выставлял раз в год, в Рождество, а потом весь год подсчитывал в уме, какой нынче час. «Нет, они не на два часа спешат, а на десять часов отстают!» – уверял он коллегу. Однако были у него и практические таланты: когда Даремский замок XI века едва не сполз с утеса, на котором был построен, в реку Уир, Хивуд почти в одиночку собрал денег на его спасение.

А теперь еще одна математическая интерлюдия. Если доказать гипотезу четырех красок трудно, попробуем задачу попроще: так называемую гипотезу шести красок. Это аналог проблемы четырех красок, только, очевидно, слабее: гипотеза гласит, что для того, чтобы раскрасить любую возможную карту так, чтобы соседние области всегда были разного цвета, достаточно шести красок. Гипотеза шести красок достойна рассмотрения, поскольку выявляет математические корни проблемы четырех красок, восходящие к середине XVIII века и к великому швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (чья фамилия на самом деле произносится «Ойлер»).

Эйлер, вероятно, был самым плодовитым математиком в истории. Среди открытий, которые он совершил, курсируя между дворами Фридриха II и Екатерины II, была формула V-E+F=2; недавно ее признали второй по красоте теоремой в математике. (Победителем конкурса красоты, по данным опроса 1988 года в журнале Mathematical Intelligencer, стало тождество e=-1)[16]16
  Авторство которого, между прочим, тоже принадлежит Эйлеру. – Прим. науч. ред.


[Закрыть]). Формула Эйлера описывает любой многогранник, то есть любое тело, ограниченное плоскими поверхностями, вроде куба или пирамиды. Она гласит, что если сосчитать все вершины многогранника (V), вычесть количество ребер (E) и прибавить количество граней (F), в результате всегда получается 2. Например, у куба 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. И в самом деле, 8-12+6=2.

Какое отношение многогранники имеют к картам? Если взять многогранник и после некоторых хирургических манипуляций развернуть его в плоскость, каждая грань будет похожа на область на карте. Напротив, из карты можно сшить многогранник. При этом формы и размеры областей изменятся, но это не повлияет на общую конфигурацию карты и на количество цветов, необходимых, чтобы ее раскрасить. Таким образом, проблема четырех цветов – это задача по топологии, отрасли математики, занимающейся свойствами, не меняющимися при растяжении и скручивании.

А теперь применим формулу Эйлера к карте. Тогда F – это число областей, E – число границ, а V – число точек пересечения этих границ. Теперь можно вывести результат, без которого невозможно подойти к проблеме раскрашивания: на каждой карте должна быть по крайней мере одна область, у которой не больше пяти непосредственных соседок. Доказать это достаточно просто. Если бы существовала карта, на которой у каждой области было бы по меньшей мере шесть соседок, то, сосчитав области, границы и точки пересечения и подставив их в формулу Эйлера, мы получили бы экстраординарный результат 0=2. Противоречие! Значит, на каждой карте обязательно найдется область, граничащая не более чем с пятью другими.

Теперь, когда у нас есть этот результат, доказать гипотезу шести красок – дело одной минуты. Предположим, существуют криминальные карты, требующие больше шести цветов. Возьмем минимальную криминальную карту. Проделаем старый добрый фокус со сжатием, раскрашиванием и восстановлением. Поскольку предполагаемая минимальная криминальная карта, как и все карты, должна содержать по крайней мере одну область, у которой не больше пяти соседок, выберем эту область и сожмем ее в точку. Раскрасим редуцированную карту, которая должна быть законопослушной, шестью красками. Теперь восстановим сжатую область. Поскольку у нее пять и меньше соседок, поэтому мы ее и выбрали, для нее должен остаться незадействованным один из шести доступных цветов. Это противоречит предположению, что эта карта – минимальная криминальная, поэтому гипотеза шести красок становится настоящей теоремой.

Логике, которая стоит за всем этим, недостает прямизны. Но если сделать надлежащее усилие, можно удержать ее в голове и «увидеть», почему теорема четырех красок верна. Доказательство это неожиданно и убедительно одновременно – можно сказать, оно даже остроумно. Увы, с эстетической точки зрения оно ничем не лучше самой проблемы. Метод, которым Кемп в 1879 году попытался свести шестицветный минимум к желаемым четырем цветам, был зубодробительно сложным. Но он не опирался на подлинно глубокие математические идеи. И к тому же содержал ошибку. Тем не менее Хивуд, обнаружив эту ошибку, сумел спасти достаточную часть логических рассуждений, чтобы показать, что любую карту можно раскрасить не более чем пятью красками.

В число заинтересовавшихся проблемой четырех красок входил и Фредерик Темпл, епископ Лондонский, а в дальнейшем архиепископ Кентерберийский, который тоже опубликовал ошибочное доказательство, и французский поэт Поль Валери, оставивший десяток страниц основательных рассуждений об этой проблеме в своем дневнике за 1902 год. Некоторым исследователям казалось, что от этого досадного вопроса удастся избавиться, как только к нему приложит руку какой-нибудь по-настоящему первоклассный математик. Предложить доказательство попытался на своей лекции в Гёттингенском университете великий Герман Минковский, однако, потратив на него несколько недель занятий, он объявил студентам: «Моя дерзость прогневила небеса, мое доказательство тоже ошибочно». Другие известные математики предпочли этой проблемой не заниматься – возможно, это было мудрое решение. Ведь она лежит в стороне от математического мейнстрима. Насколько было известно ученым, от ее истинности или ложности не зависело ничего важного. Когда в 1900 году на международной конференции в Париже Давид Гильберт, вероятно, самый выдающийся математик своего времени, сформулировал 23 важнейшие математические задачи, гипотезы четырех красок среди них не было.

И все же известность и неподатливость этой гипотезы делали ее непреодолимо соблазнительной для математиков по обе стороны Атлантики (причем некоторые потом жалели, что потратили на нее время). Атаковали они ее в целом с той же стороны, что и Кемп: стратегия состояла в том, чтобы найти все лазейки, оставляющие простор для контрпримеров гипотезы четырех красок, а затем закрыть эти лазейки. Но для этого количество лазеек должно было быть конечным, а иначе их нельзя было бы учесть все до единой и показать, что их можно закрыть. На протяжении XX века одни математики находили изобретательные способы исчерпывающим образом описать все множество лазеек, а другие находили не менее изобретательные способы их закрыть. Проблема состояла в том, что множества лазеек («неизбежные множества») были до нелепого огромными, число входящих в них конфигураций на картах доходило до десяти тысяч. А закрыть каждую лазейку, то есть показать, что рассматриваемая конфигурация редуцируема, зачастую было делом неподъемно трудоемким – настолько, что живому математику оно оказывалось не по силам. Однако к шестидесятым годам несколько ученых, работавших над этой задачей, заподозрили, что процесс проверки лазеек можно существенно упростить, если описать его механическим алгоритмом. Это заставило рассмотреть интересный вариант: возможно, доказать гипотезу четырех красок удастся с помощью компьютера.

Следует отметить, что математики приветствовали компьютерную эру без особого восторга. По традиции, еще со времен Пифагора, они уповали на то, что для познания новых истин нужно просто как следует подумать. Принято было говорить, что математический факультет стоит на втором месте по дешевизне в любом университете, поскольку для его работы нужны только бумага, карандаши и мусорные корзины (дешевле только философский: там обходятся без корзин). Уже в 1986 году один стэнфордский математик хвастался, что на его кафедре меньше всего компьютеров – даже меньше, чем на кафедре французской литературы.

Так или иначе, проблема четырех красок поначалу казалась непосильной даже для компьютера. Получалось, что самая быстрая из существующих машин будет перебирать все случаи больше ста лет. Однако в начале семидесятых Вольфганг Хакен, математик из Университета штата Иллинойс, усовершенствовал методологию и совместно с талантливым программистом Кеннетом Аппелем наладил с компьютером своеобразный диалог, целью которого было сократить количество лазеек и закрывать их производительнее. Впоследствии Хакен сказал о своем компьютере: «Он вырабатывал сложные тактики на основании всех трюков, которым его “научили”, и его методы зачастую были куда хитрее тех, которые пробовали мы». Аппель и Хакен не знали, что параллельно по всему земному шару – и в Онтарио, и в Родезии, и в Гарварде – другие исследователи приближаются к решению задачи при помощи похожих методов. А по крайней мере один математик не оставил попыток создать сложную карту, требующую пяти цветов. В июне 1976 года, после четырех лет упорных трудов, для которых потребовалось 12 тысяч часов компьютерного времени и неоценимая помощь одного профессора литературы из Монпелье, Аппель и Хакен получили свой результат: четырех цветов и правда хватит. Не прошло и месяца, как об этом рассказала лондонская Times (более осторожная New York Times выждала две недели, прежде чем признавать, что задача решена, и редакционную колонку для нее написал выдающийся математик из Колумбийского университета Липман Берс). Гипотеза четырех красок превратилась в теорему четырех красок.

Или все-таки нет? Как бы ни отнесся к этой новости большой мир, многие математики морщили нос, узнав некоторые подробности. «Признание, что компьютерные шуточки Аппеля и Хакена – это тоже математика, оставляет у нас ощущение интеллектуальной неудовлетворенности», – заметил один из них. Для недовольства выделялись три группы причин. Первая – эстетическая. Доказательство было некрасивым, прямолинейным, как бульдозер; перечисление случаев не таило никакого очарования и прелести для интеллекта. Как заметил когда-то Г. Г. Харди, «в мире нет места безобразной математике».

Вторая группа причин имела отношение к применимости. Хорошее доказательство должно содержать новые доводы и выявлять скрытые структуры, которые можно применить в других областях математики. А доказательство Хакена и Аппеля в этом отношении казалось совершенно бесплодным. К тому же оно ничего не говорило о том, почему, собственно, теорема четырех красок верна. Хакен и Аппель просто выдали ответ на вопрос, похожий на «чудовищное совпадение», как выразился один математик.

Третья и главная группа причин относилась к эпистемологии. Действительно ли достижение Хакена и Аппеля позволяет нам с полным правом утверждать, что теперь мы знаем, что гипотеза четырех красок верна? Доказательство ли это? В идеале доказательство – это рассуждение, которое можно перевести на формальный язык и проверить законами логики. На практике математики никогда не затрудняются подобными формальными доказательствами, которые могут быть крайне неуклюжими. Они предпочитают делать свои доводы разумно строгими, проговаривая достаточно шагов, чтобы убедить специалистов в своей области. Чтобы довод был убедительным, он должен быть «исследуемым», то есть нужно, чтобы человеческий разум мог осознать и проверить его. А доказательство Хакена и Аппеля явно к таким не относилось.

Человеческая часть доказательства, состоящая примерно из семисот страниц, сама по себе обескураживала. А часть, так сказать, in silico, которая в виде компьютерной распечатки была четыре фута высотой, в принципе не могла быть проверена людьми, даже если бы за это взялись все математики планеты. Как будто бы кульминационную сцену доказательства пересказывал оракул в виде долгой череды «Да, да, да». Если бы хотя бы одно из этих «да» оказалось «нет», все доказательство пошло бы насмарку. Откуда нам знать, что в компьютерную программу не вкрался «баг»? Чтобы проверить результат Хакена – Аппеля, рецензенты были вынуждены сами запустить независимую компьютерную программу – как физик попытался бы повторить эксперимент, проведенный в другой лаборатории. Философ Томас Тимошко в своей авторитетной статье, опубликованной в 1979 году в The Journal of Philosophy и называвшейся «Проблема четырех красок и ее философское значение» (Thomas Tymoczko, The Four-Color Problem and Its Philosophical Significance) утверждал, что подобные компьютерные эксперименты привносят в математику элемент эмпирики. В наши дни почти все математики уверены, что теорема четырех красок верна, но их уверенность основана на данных, подлежащих исправлению. Теорема не удовлетворяет платоновскому идеалу ясного, абсолютного, априорного знания, и это подозрительно. Самое большее, что мы можем сказать, – что она, вероятно, верна, подобно физическим теориям, стоящими за действиями машины, которая помогла доказать ее.

Доказательство теоремы четырех красок стало прорывом, знаменовавшим сдвиг в математической практике. С тех пор с помощью компьютеров было доказано несколько других гипотез (особо стоит отметить доказательство несуществования конечной плоскости порядка 10, выведенное в 1988 году). Между тем математики подчистили доказательство Хакена – Аппеля, и теперь компьютерная часть стала гораздо короче, так что кое-кто надеется, что когда-нибудь будет найдено традиционное доказательство теоремы четырех красок, которое подарит нам и красоту, и просветление. Ведь именно жажда просветления подвигла столь многих на работу над этой проблемой на протяжении ее долгой истории и даже на то, чтобы посвятить ей жизнь. (Один математик заставил молодую супругу раскрашивать карты во время медового месяца.) Даже если сама по себе теорема четырех красок относится скорее к математическим развлечениям, в ходе неудачных попыток ее доказать было получено много полезной математики. К тому же она, несомненно, обеспечила философам последних нескольких десятилетий огромные запасы пищи для ума. Что же до более общих ее результатов, тут трудно быть в чем-то уверенным. Рассматривая карту Соединенных Штатов на форзаце толстого словаря, который я когда-то выиграл в состязании грамотеев среди нью-йоркских журналистов, я с легким удивлением заметил, что раскрашена она ровно четырьмя красками. Как печально, что штаты Арканзас и Луизиана, у которых есть общая граница, оказались раскрашены синим.