Текст книги "Сколько будет 2+2?"

§ 3. Логика и реальность

Новая, рожденная великими немцами, логика отличается не только этим, но и структурой вывода.

Рассмотрим цепочку утверждений:

а = b; b = c; следовательно, а = с.

Например, береза есть дерево, дерево есть растение, следовательно, береза есть растение. Финальные утверждения «а = с» («береза есть растение») представляют собой строгий логический вывод, который (в системе принимаемых нами допущений) не может быть опровергнут ничем из уже известного нам.

Каждое из утверждений (в логике они называются суждениями) предстает как форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его признаком или отношение между предметами. При этом любое суждение может быть истинным (соответствующим действительности) или ложным (не соответствующим ей). Грамматически это просто повествовательное предложение. Не всякое предложение может быть суждением: вопросительные, побудительные и другие, ничего не утверждающие и ничего не опровергающие, элементами логики не являются.

Полная структура простого суждения включает в себя четыре элемента:

– субъект (S), понятие, которое является предметом мысли. В сопоставлении с грамматическими категориями это логическое подлежащее;

– предикат (Р), понятие, отражающее то, что именно говорится о предмете, его свойствах или соотношении с другими объектами (логическое сказуемое);

– связка (в языковой форме выражается словами «есть/не есть», «является/не является»), которая отражает наличие/отсутствие той или иной связи между субъектом и предикатом;

– некий дополнительный определитель, который позволяет говорить о всеобщности («все S», «каждое S», «ни одно S… не»), особенности («некоторые S», «многие S», «часть S»), или единственности («это S», «данное S») и отражает количественную характеристику суждения.

Если объединить количественную и качественную характеристики, мы получим следующую классификацию суждений:

– общеутвердительные («Все S есть Р»),

– частноутвердительные («Некоторые S есть Р»),

– общеотрицательные («Ни один S не есть Р»),

– частноотрицательные («Некоторые S не есть Р)».

При этом суждение может только утверждать или, напротив, только отрицать что-либо.

Последнее обстоятельство является одним из основополагающих законов классической логики. Из двух высказываний: «А» или «не А» одно обязательно является истинным, а значит, другое – ложным. Другими словами, два суждения, одно из которых является отрицанием другого, не могут быть одновременно ложными или одновременно истинными, одно из них либо истинно, либо ложно. Этот закон называется законом исключенного третьего и образует собой краеугольный камень не только логики, но и математики.

Казалось бы, все строго и безупречно. Но вот вопрос: применим ли этот закон к реальной действительности? Конечно, там, где речь идет о сравнительно простых явлениях, сомнений не возникает. Но что будет, если вспомнить о сложных?

Обратимся к Библии, среди прочего, заповедовавшей нам запрет на всякое убийство. В одной из ее книг говорится о том, как ассирийская армия под предводительством Олоферна осадила город Ветилуе. Юдифь, богатая и красивая, уважаемая всеми за набожность вдова, пробралась во вражеский лагерь… дождавшись, когда Олоферн напьется и уснет, Юдифь отрубила ему голову.[15]15
  Кн. Иудифи, 8—16


[Закрыть]

Или вот…

«Человек, сидевший при дороге, был Долгушов, телефонист. Разбросав ноги, он смотрел на нас в упор.

– Я вот что, – сказал Долгушов, когда мы подъехали, – кончусь… Понятно?

– Понятно, – ответил Грищук, останавливая лошадей.

– Патрон на меня надо стратить, – сказал Долгушов.

Он сидел, прислонившись к дереву. Сапоги его торчали врозь. Не спуская с меня глаз, он бережно отвернул рубаху. Живот у него был вырван, кишки ползли на колени, и удары сердца были видны.

– Наскочит шляхта – насмешку сделает. Вот документ, матери отпишешь, как и что…

– Нет, – ответил я и дал коню шпоры.

Долгушов разложил по земле синие ладони и осмотрел их недоверчиво.

– Бежишь? – пробормотал он, сползая. – Бежишь, гад…

Испарина ползла по моему телу. Пулеметы отстукивали все быстрее, с истерическим упрямством. Обведенный нимбом заката, к нам скакал Афонька Бида.

– По малости чешем, – закричал он весело. – Что у вас тут за ярмарка?

Я показал ему на Долгушова и отъехал.

Они говорили коротко, – я не слышал слов. Долгушов протянул взводному свою книжку. Афонька спрятал ее в сапог и выстрелил Долгушову в рот.

– Афоня, – сказал я с жалкой улыбкой и подъехал к казаку, – а я вот не смог.

– Уйди, – ответил он, бледнея, – убью! Жалеете вы, очкастые, нашего брата, как кошка мышку…

И взвел курок.

Я поехал шагом, не оборачиваясь, чувствуя спиной холод и смерть…»[16]16
  Бабель. Конармия. Смерть Долгушова.


[Закрыть]

Вдумаемся.

По законам классической логики, мы, признав незыблемость древней заповеди, были бы обязаны обвинить героиню библейского сказания в нарушении нравственных устоев мироздания. (Кстати, не случайно, будучи неотъемлемой частью Ветхого Завета, книга Юдифи все же исключается из канона, т. е. из совокупности книг Библии, признаваемых церковью «боговдохновенными», и применяемых в богослужении.) Но почему же ставшей примером мужества вдове посвящают вдохновенные церковные проповеди, пишут стихи? Донателло создает знаменитую бронзовую скульптуру «Юдифь и Олоферн», аллегорию борьбы флорентийской коммуны против тирании, Микеланджело помещает ее образ в Сикстинской капелле. Она вдохновляет Боттичелли, Джорджоне, Тицианa, Веронезе, Караваджо, Беккафуми, Рембрандта, Рубенса… В музыкальном искусстве известны оратория «La Giuditta» Скарлатти, «Juditha triumphans» Вивальди, «La Betulia Liberata» Моцарта, «Юдифь» Александра Серова… Да именно потому, что жизнь никак не вписывается в прокрустово ложе формальных максим.

Не властны они и над героями Бабеля…

Разумеется, и творцы классической логики, не исключая самого Аристотеля, понимали, что ее законы не способны отразить реальную действительность во всей полноте. Но предполагалось (и продолжает предполагаться), что, расчленяя эту действительность на мельчайшие фрагменты и поверяя каждый из них, мы будем неограниченно приближаться и приближаться к самой истине. Так, например, не зная ничего, кроме теоремы Пифагора, мы можем с любой точностью вычислить площадь круга, для этого нужно разбить его на достаточно большое число треугольников. Мы в состоянии с любой точностью рассчитать даже само число «пи», для этого достаточно разбить окружность на отрезки прямых, сложить их длины и разделить получившуюся сумму на диаметр; чем мельче будут отрезки, тем точней станет результат. Да ведь и наш пример (сколько будет два плюс два?) преследует своей целью найти какие-то безусловные основания, от которых можно восходить к более сложным материям.

Но вот и оборотная сторона такой веры.

Одна из самых глубоких и волнующих тайн – это тайна жизни. Известно, что многое может быть раскрыто из анализа тех процессов, которые протекают в простейшем организме – клетке. С совершенствованием микроскопа человек смог узнать многое о ее структуре. Клетка разрезалась на тонкие «ломтики» и каждый из них подвергался тщательному изучению.

Для их изготовления объект исследования погружают в фиксирующие жидкости, которые денатурируют (проще говоря, убивают) белки и стабилизируют структуры и соединения, подлежащие исследованию. Наиболее распространенным фиксатором является формалин, смертельнейший яд для всего живого, который уничтожает все бактерии, вирусы, грибки и их споры. После фиксирования и промывания в воде объект исследования можно резать на тонкие пластинки, предварительно заморозив его на специальном замораживающем микротоме – приборе, при помощи которого изготовляют гистологические срезы. Для замораживания объекта чаще всего используют жидкий углекислый газ либо электрозамораживающую установку. Для изготовления более тонких срезов, толщиной до 2 мкм, объект исследования пропитывается веществом, которое делает его более плотным. Такими веществами являются парафин, желатин и целлоидин. Объект после фиксирования и промывания погружают последовательно в спирты возрастающей концентрации – от 50 до 100 градусов для его обезвоживания и пропитывают желатином, парафином или целлоидином. После пропитывания и уплотнения объекта его можно резать на микротоме.[17]17
  См. материалы сайта http://modernbiology.ru/index.html


[Закрыть]

Чем больше сумма «ломтиков» (чем тоньше каждый из них), тем точней наше знание о микроструктуре клетки. Но, при всем том, что клетка – это наименьшая частица, наделенная жизнью и всеми свойствами целого организма, тайна жизни «по определению» остается за непреодолимой чертой, – ведь на каждом шагу (внимательно вчитаемся в описание методики) мы уничтожаем саму возможность жизни.

Словом, нужны какие-то другие подходы, которые не сдерживали бы движение мысли требованиями формальной непротиворечивости заранее заданным определениям, которые к тому же сами противоречат полноте содержания анализируемого явления.

§ 4. «Веревко-столбо-змеи» познания

Новая логика, фундамент которой закладывает Кант, вводит совершенно иную структуру вывода, и эта структура абсолютно немыслима с позиций формальной, ибо центральным звеном умозаключения здесь предстает не что иное, как род «нечистой силы» в храме – противоречие.

Правда, нельзя слишком уж демонизировать противоречие и в формальной логике, ведь именно оно в конечном счете приводит нас к истине; не будь его, мы так никогда и не встретились бы с нею. Как говорил все тот же Шерлок Холмс: «Отбросьте все невозможное, то, что останется, и будет ответом, каким бы невероятным он ни казался».[18]18
  Конан Дойл. Знак четырех.


[Закрыть] Невозможное же – это и есть то, что противоречит ранее установленным фактам или безупречно доказанным утверждениям. Вместе с тем в неклассической логике оно обретает новую роль, ибо органической частью входит в структуру самой истины.

Цепочка рассуждений здесь начинается с утверждения (тезис), развивается его опровержением (антитезис) и завершается рождением новой более высокой и сложной категории, примиряющей взаимоотрицание (синтез). Кстати, все вводимые Кантом категории, как мы уже видели, сгруппированы именно по этой схеме: одно из них отрицает и опровергает другое, а третье синтезирует их в составе какого-то обобщающего начала, где раскрываются ранее невидимые стороны и первого, и второго (а может, и вообще не существовавшие в них до объединения).

Впрочем, и к этой последовательности операций ни в коем случае нельзя относиться механистически, бездумно: сказал «а» – немедленно ищи опровержение («не-а»), а затем объединяй их в чем-то третьем («а»+«не-а»). По этой схеме, сказав «горячее», мы обязаны тут же вспомнить о «холодном», конечной же истиной должно стать понятие «холодно-горячего», т. е. «теплого». Ничего глупей или, вернее сказать, карикатурней этой схемы, наверное, придумать нельзя. Во-первых, потому что отрицаний может быть много больше двух, обобщающее же понятие обязано найти разумное и необходимое оправдание каждому. Во-вторых, взаимоотрицание тезиса и антитезиса – это вовсе не формальное противопоставление «а» и «не-а», но активный творческий поиск чего-то такого, что выходит за рамки и первого и второго (все это нам еще предстоит увидеть). Иными словами, логическое отрицание – это не слепое отторжение одностороннего взгляда на предмет, чтобы на его месте утвердить столь же однобокую и столь же убогую противоположность, но созидательный процесс, порождающий многомерность и полноту истины. Так, у Рафаэля Небо и Земля, Платон и Аристотель, последователи того и другого не только противопоставляются друг другу, но и образуют единую законченную композицию, служившую примером высшей гармонии для поколений и поколений тех, кто погружался в ее изучение.

Существует старинная притча о слепцах, один из которых, ощупав неведомое животное, заключил о том, что это некое подобие змеи, другой, что это род столба, третий сказал, что находящееся перед ним чем-то напоминает веревку… Но вовсе не образ чудовищного «веревко-столбо-змея» – целостное представление о слоне находит объяснение и первому, и второму, и третьему утверждению.

Порядок решения рассматриваемого нами примера наглядно иллюстрирует действие именно такой логики. Так, например, тезис нам задан заранее: «два плюс два» равно «четыре». С антитезисом мы уже тоже столкнулись: «два ежа» и «два ужа» действием простого «сложения» не объединяются. Разрешение же противоречия состоит в выявлении некоторого обобщающего основания, в котором растворяются оба «слагаемых». Синтез гласит: «четыре метра колючей проволоки». Заметим попутно, что этот синтез – вовсе не механическая сумма исходных понятий («ёже-уж» или «уже-ёж»), ибо, строго говоря, ни полное представление о колючей проволоке, ни даже отдельные его фрагменты не содержатся ни в «уже», ни в «еже». Точно так же ни «парно-, ни «непарнокопытность» коров и лошадей не содержат в себе и намека на категорию «домашнего скота»; ни геометрия пирамид, ни последовательность тех благозвучных сотрясений воздуха, которые вызывают в нас странное состояние духа, сами по себе не наводят на мысль о творчестве. Для того чтобы найти разрешающее противоположности начало, необходимо каждый раз погружаться в совершенно иной, далеко не очевидный, контекст. Другими словами, проделать сложную интеллектуальную работу, которая подчас требует глубокой ревизии всей суммы усвоенных человеком знаний. И даже более того – всей индивидуализированной культуры, ибо знания – это еще далеко не все, что требуется в постижении истины.

Процесс отыскания (часто специального построения) общего основания, которое дает возможность для количественного сравнения разнородных явлений, далеко не всегда замечается нами. Этот факт говорит о том, что многие из подобных логических операций выполняются в каких-то глубинных слоях нашей психики. Другими словами, сама способность к их выполнению является одной из фундаментальных характеристик человеческого сознания. Однако поставить ее в один ряд с такими вещами, как способность к дыханию или перевариванию пищи, никоим образом нельзя. Она не дается от рождения, но воспитывается. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно представить, что мы еще не располагаем требуемыми контекстом какой-то задачи обобщающими знаниями об окружающем мире или что мы еще не сформировали прочные навыки подведения под обобщающие понятия разнородные явления.

Отсутствие обобщающих знаний, равно как и отсутствие способности и автоматизированных навыков пользоваться ими означало бы для нас принципиальную невозможность «количественной» ориентации в мире объективной реальности. Другими словами, возможность любых сопоставлений, сравнений, измерений, без чего решительно немыслимо вообще никакое (т. е. не только научное) познание.

Все это самым непосредственным образом подтверждается при анализе первобытного сознания. Этнографам хорошо известен тот факт, что первобытный человек, не знающий общих категорий, не в состоянии даже понять вопрос о том, сколько всего деревьев там, где рядом стоят две сосны и две березы. И уж тем более не в состоянии ответить на него. Отсутствие у неразвитых племен способности к сложным абстракциям и логическим обобщениям лишает их возможности совершать самые простейшие математические действия с предметами, резко контрастирующими по своим свойствам. Первобытный разум не в силах сложить разные породы, ибо у него нет обобщающего понятия «дерево». Между тем, по числу надежно различаемых разновидностей (причем не только деревьев) любой дикарь может поспорить с профессиональным ботаником и зоологом.[19]19
  См. Леви-Стросс К. Первобытное мышление. – М., 1994. – С. 116–120.


[Закрыть] И это притом, что в его распоряжении нет справочников и классификационных таблиц, всю информацию он должен держать в своей «оперативной памяти». Кстати, справедливость требует отметить, что и умственными способностями люди, живущие в условиях первобытного строя, отнюдь не обделены. Неумение решать привычные нам задачи свидетельствует отнюдь не об ущербности их интеллекта, но просто о другом его складе, об ином составе знаний, а самое главное – иной системе их обобщения и классификации. Глубиной же своих познаний они вполне могут поспорить и с теми, кто профессионально занимается научной деятельностью.

Сегодня мы решаем задачи, подобные той, которая анализируется в настоящей работе, почти не задумываясь, едва ли не рефлекторно. Но все это только потому, что за долгие тысячелетия человеческое сознание пережило целую череду революций, в ходе которых радикально менялся и состав наших знаний и основные принципы их систематизации.

Впрочем, зачем погружаться в глобальный поток общемировой истории, если все это можно увидеть, глядя на развитие ребенка. Ведь в какой-то форме наше собственное сознание в ходе индивидуального освоения всех тех ценностей, которые накопила человеческая цивилизация, воспроизводит ход общеисторической эволюции мышления. В общении с ребенком легко обнаружить, что способность совершать те интеллектуальные операции, которые требуются для количественных сопоставлений, отнюдь не дается нам от рождения, но появляется лишь в определенном возрасте.

В психологии существует понятие «интериоризации». В отечественной науке о ней впервые говорит С.Л. Выготский, по мнению которого то, что мы считаем психическими явлениями, представляют собой до предела свернутые и как бы вложенные внутрь внешние действия, это перенос внешнего пространства культурных значений во внутренне идеальное (психическое) пространство. Заметим, что общение в представлении Выготского – это не общение отдельно взятых индивидов, оно объединяет личность и общество в целом. Главная его идея состоит в том, что внутренний мир человека возникает вне индивида: «Все высшие психические функции суть интериоризированные отношения социального порядка…».[20]20
  Выготский Л.С. История развития высших психических функций. Т. 3. – М., 1983. – С. 146.


[Закрыть] Психические функции входящего в мир человека складываются только в условиях его совместной со взрослым деятельности. Первоначально разделенные между ребенком и взрослым, формы деятельности постепенно присваиваются, интериоризируются ребенком как индивидуальные. Понятно, что это требует и времени и большого (пусть даже не всегда бросающегося в глаза) совместного труда ребенка и взрослых.

Школьник может посмеяться над малышом, впервые сталкивающимся с простейшими логическими процедурами, студент может иронизировать над трудностью тех задач, которые приходится решать школьнику. Но все же и приобретенный за годы студенчества интеллектуальный опыт и даже защищенные диссертации – это только малый шаг в долгом восхождении к подлинным духовным вершинам. Поставленные ранее «дурацкие» вопросы о сложении пароходов, утюгов и египетских пирамид лишь подтверждают это.

Уже из сказанного можно сделать определенные выводы.

Первый из них заключается в том, что, казалось бы, элементарные умственные операции вовсе не так бесхитростны и непритязательны, как кажутся на первый взгляд. На самом деле их простота обусловлена только тем, что где-то под поверхностью сознания выполняется комплекс сложных логических функций. Впрочем, наверное, было бы правильней сказать над-, или мета-логических, если, разумеется, под логикой видеть только те общеизвестные формальные правила построения наших умозаключений, которыми мы руководствуемся в своей повседневности.

Та другая логика, о которой говорит современная философия, до некоторой степени вправе рассматриваться как нечто более высокое и совершенное, нежели формальная. Часто ее именно так и понимают – как высшую, то есть как подобие высшей математики, которая образует собой конструкцию, стоящую над элементарной.

Но все же правильней взглянуть на нее по-другому. Дело в том, что те обыденные правила построения мысли, которыми мы пользуемся при решении рутинных задач бытия, – это еще не формальная логика (хотя многие ее элементы и практикуются нами). В действительности классическая логика представляет собой нечто более высокое и упорядоченное, нежели то, чему подчиняется обыденное сознание. Формальная и диалектическая могут рассматриваться как интеллектуальные конструкции одного порядка, но предназначенные к решению разных – до некоторой степени противоположных – интеллектуальных задач. Диалектика – это просто другая логика, которая подчиняется одновременно и многим (не всем) законам формальной и каким-то своим принципам. Ее назначение состоит в осмыслении процесса познания, если угодно – процесса открытия принципиально нового знания, которое не может быть получено путем простого перебора, перекомбинирования уже знакомых истин. Иными словами, путем последовательного объединения в единой системе «уравнений» определяющих и определяемых понятий, значение которых становится неизменным и строго обязательным для всех. В свою очередь формальная – это логика доказательства уже открытого нами (или его опровержения), она не работает там, где содержание понятий нестабильно и способно меняться даже в ходе самих рассуждений. А между тем подобные понятия – отнюдь не исключение, более того, именно развитие, а не кристаллизация их содержания составляет основное назначение науки.

Мы сказали, что все эти операции совершаются под поверхностью так называемого обыденного сознания, ибо, строго говоря, речь идет именно о нем. Но здесь нужно оговорить: обыденное сознание – это вовсе не уничижительный термин. Такое – вполне достойное нашего уважения – понятие, как «здравый смысл», представляет собой его точный литературный синоним. Словом, это просто сознание человека, не имеющего каких-то специальных навыков сложной интеллектуальной работы. Но все же любой, кто ставит своей целью изучение наук и именно в научной деятельности мечтает о достижении каких-то вершин, обязан видеть его ограниченность и уметь восходить над ним. Без этого ни о каком самосовершенствовании не может быть и речи.

Уже из приведенных примеров можно видеть, что даже там, где подповерхностный мета-поток обработки информации протекает незаметно, стихийно, именно он является первоочередным необходимым условием выполнения всего того, что на подконтрольном обыденной логике уровне кажется таким простым и непритязательным. Если вдруг исключить или как-то блокировать эту стихийно, «подсознательно», выполняемую умственную работу, все столь элементарное на первый взгляд окажется принципиально неразрешимым. Или предстанет идиотичным.

Второй вывод состоит в том, что сама возможность операций количественного сравнения опирается на сложный и развитый комплекс общих представлений о мире. Эти представления, как правило, не преподаются нам на какой-то систематической упорядоченной основе, но самостоятельно постигаются каждым из самого «воздуха» той этнокультурной среды, которым мы «дышим» с самого рождения. То есть еще из бессознательного восприятия самого строя – ритмики, грамматики, лексического состава, образности – речи. Случайные обрывки чужих суждений, впитываемые нами верования, убеждения, предрассудки, которые сплетаются с собственным познанием мира и образуют собой, может быть, самый фундаментальный слой всех наших знаний, над которым долгие годы штудий будут лишь надстраивать какие-то сложные конструкции.

Неумение усваивать все это «из воздуха» культуры часто говорит об ущербности человека. Об этом хорошо сказано у Цветаевой, которая вспоминает «…первую и единственную за все детство попытку вопроса:

– «Мама, что такое Наполеон?

– Как? Ты не знаешь, что такое Наполеон?

– Нет, мне никто не сказал.

– Да ведь это же – в воздухе носится!

Никогда не забуду чувство своей глубочайшей безнадежнейшей опозоренности: я не знала того, что в воздухе носится!»[21]21
  Цветаева Марина. Мой Пушкин // Наука и жизнь. – 1967. – № 2.


[Закрыть]

Далеко не все составляющие этого сложного комплекса бессознательно во младенчестве усвоенных знаний и навыков интеллектуальной работы поддаются четкому определению и строгой формализации. Больше того, само выявление некоторых из них представляет собой значительное, иногда даже эпохальное достижение человеческой мысли. Так, например, подсознательно, интуитивно все мы согласны с тем, что через две точки можно провести прямую и притом только одну, или с тем, что три точки задают плоскость и притом только одну, и так далее. Не сомневались в этом, как кажется, и египтяне. Совокупность этих и других интуитивно ясных положений уже сама по себе обрисовывала и контур трехмерного пространства и тот строгий контекст, который в принципе мог бы использоваться нами при выводе каких-то новых утверждений о точке, прямой и плоскости. Но только грекам удалось впервые четко сформулировать основополагающие аксиомы геометрии и тем самым дать мощный импульс развитию дисциплины, долгое время остававшейся «царицей» всех наук. А ведь их формулировка подводила лишь какой-то промежуточный итог, подчиняла единой организации ту, может быть, не всегда упорядоченную интеллектуальную работу, которая до них на протяжении веков выполнялась человеческим сознанием.

(Мы произнесли слово «организация», и нам еще предстоит увидеть далеко не однозначную связь этого понятия с тем отмеченным выше обстоятельством, что каждое явление подчиняется всем законам природы, увидеть что, может быть, именно здесь скрывается самая глубокая тайна и нашего познания и всеобщего развития.)

Таким образом, если «изъять» из нашего интеллектуального багажа все те неопределяемые общие представления об окружающем мире, которыми мы, сами того не замечая, постоянно пользуемся, немедленно рассыплется все, как рассыплется вся геометрия (и не одна только она!), если вдруг исключить из нее постулаты и аксиомы Евклида, древнегреческого математика, работавшего в Александрии в III веке до нашей эры и умершего где-то между 275–270 годами.

Именно с них начинается самый знаменитый в истории математики трактат. Сам Евклид называет их аксиомами, но разбивает на два списка. По сложившейся традиции, первый, состоящий из пяти положений, получает название постулатов, второй, из девяти, – аксиом. К слову, они стоят того, чтобы привести их здесь, где говорится об основоположениях правильно организованной мысли. Они еще пригодятся для постижения всего того, что кроется в тайне искомого нами ответа.

Постулаты. Допустим:

1. Что из всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.

4. И что все прямые углы равны между собой.

5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых [углов], то, неограниченно продолженные, эти прямые встретятся с той стороны, где [внутренние] углы [в сумме] меньше двух прямых [углов].

Аксиомы:

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые [т. е. суммы] будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

5. И удвоенные одного и того же равны между собой.

6. И половины одного и того же равны между собой.

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не содержат пространства.[22]22
  Цит. по Успенский В.А. Что такое аксиоматический метод? – Москва – Ижевск, 2001. – С. 7.


[Закрыть] (То есть не могут замкнуть собою никакую часть пространства).

К слову, первым, кто заговорил о том, что получение даже самого простейшего знания (разумеется, речь идет только о новом, ранее недоступном человеку) связано с действием скрытых механизмов сознания и подсознательными же представлениями о фундаментальных началах нашего мира, был тот же Кант. Согласно его учению, все истины математики опираются на внутреннее созерцание пространства и времени. Именно они, – говорится в «Пролегоменах», – являются теми началами, которые чистая математика кладет в основу своих суждений: геометрия кладет в основу чистое созерцание пространства, арифметика создает понятия своих чисел последовательным прибавлением единиц во времени.[23]23
  Кант И. Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей возникнуть как наука / И. Кант // Собр. соч. Т. 4. Ч. 1. – М., 1965.


[Закрыть] То и другое существуют для нас только как врожденные, данные нам до всякого опыта реалии нашей собственной психики; все вокруг нас можно представить исчезнувшим – пространство и время останутся с нами даже после этого. «Пространство есть необходимое <…> представление, лежащее в основе всех внешних созерцаний. Никогда нельзя себе представить отсутствие пространства, хотя нетрудно представить себе отсутствие предметов в нем».[24]24
  Кант. Критика чистого разума. – М., 1994. – С. 130.


[Закрыть] «Оно должно быть первоначально созерцанием <…> это созерцание должно находиться в нас a priori, т. е. до всякого восприятия предмета <…>, все геометрические положения <…> например положение, что пространство имеет только три измерения <…> не могут быть эмпирическими».[25]25
  Там же. С. 132–133.


[Закрыть] То же говорится и о времени: «Время есть необходимое представление, лежащее в основе всех созерцаний. Когда мы имеем дело с явлениями вообще, мы не можем устранить само время, хотя явления прекрасно можно отделить от времени. Следовательно, время дано a priori. <…> Все явления могут исчезнуть, само же время <…> устранить нельзя».[26]26
  Там же. С. 138.


[Закрыть]

В общем, простое и очевидное (что может быть проще «двух» и «двух»?), как только мы начинаем задумываться, погружает нас в какие-то неведомые глубины…