Текст книги "Сколько будет 2+2?"

§ 7. «Двуногость» и «плосконогтие», или Пределы количественного анализа

Наконец, самое интересное, что всплывает в ходе поиска оснований сложения разнородных начал.

Как правило, все, что протекает в неограненном строгими формами потоке предвычислений, иными словами, в ходе предварительной обработки каких-то интуитивных общих представлений о мире, обнаруживается нами лишь там, где уровень сложности скрытых от обыденного сознания процессов переходит некий критический рубеж. Но, как уже говорилось, далеко не всегда мы оказываемся на должной духовной высоте и осознаем эту сложность как интеллектуальную задачу, которая требует своего разрешения. Гораздо чаще все списывается на глупость поставленного вопроса, а то и вообще на глупость того, кто его задает.

Мы вправе говорить о возрастающей практической значимости задачи сложения, казалось бы, несопоставимых величин, и чем дальше диверсифицируется совокупная деятельность человека, тем настоятельней становится потребность развития и совершенствования интеллектуальных навыков ее решения. А это значит, что единым действием сложения могут быть объединены даже самые неожиданные вещи. Одно уравнение:

«веревкообразность» + «столбоподобие» + «змеевидность» = слон.

уже было рассмотрено и успешно решено нами. Попробуем решить другие:

«одушевленность» + «двуногость» + «плосконогтие» – «перья» =?

«капитанские погоны» + «спящие фазаны» – «мировой порядок» =?

Какой-то опыт уже подсказывает нам, что за предельной идиотичностью могут скрываться очень важные вещи, однако даже самая пылкая фантазия не в состоянии вообразить, что и здесь может таиться что-то осмысленное. И тем не менее смысл (и очень глубокий) есть. Скажем больше: слишком многое в европейской культуре зиждется именно на правильности или неправильности решения этих уравнений, чтобы ими можно было пренебречь. Слишком многое и в нашем анализе зависит именно от того, каким будет ответ.

Впрочем, продлим интригу. Отметим только, что решение подобных уравнений столь же значимо и для нашей цивилизации и для организации мышления отдельно взятого индивида, сколь умение складывать парно– и непарнокопытных и фортепианные концерты с египетскими пирамидами. Вполне справедливо предположить, что количественному сравнению могут и должны подлежать не только те вещи, качественные отличия между которыми сравнительно невелики, но и те, между которыми пролегает целая пропасть.

Стоит задуматься о том, что такие парадоксальные вопросы имеют полное право не только на существование, но и на получение четкого и однозначно интерпретируемого ответа. Стоит уже хотя бы для того, чтобы обнаружить (а нам еще предстоит убедиться в этом), что все те количественные шкалы, которыми пользуются в повседневном обиходе, решительно неприменимы там, где качественные отличия между подлежащими сопоставлению вещами, явлениями, процессами оказываются слишком большими.

О чем говорит отсутствие шкал, необходимых для измерения последних? О том, что количественные операции вообще не могут выполняться там, где качественные отличия переходят какой-то критический рубеж?

Здесь есть некая тонкость, которая требует своего осознания. Или мы соглашаемся с тем, что операции количественного сопоставления могут совершаться над любыми вещами вообще, или признаем, что они правомерны только для сравнительно небольшой части общего круга объектов, процессов, явлений, которые в своей сумме и составляют всю окружающую нас действительность. Последнее обстоятельство означает, что сфера количественного анализа должна быть ограничена, что за пределами этого круга не вправе применяться решительно никакие количественные определения. Словом, математика не вправе претендовать на всеобщность, действительный круг «подведомственного» ей сравнительно узок. Другими словами, объект-носитель тех или иных качеств, например, флейта, способная издавать приятные звуки, токарный станок, способный резать металл, это одно, а присущие им свойства – совершенно другое. Мы вправе суммировать первую со вторым, например, по «штукам» или какому-нибудь другому основанию, скажем, по массе. В последнем случае допустимо утверждать, что масса станка значительно превосходит массу музыкального инструмента. Но любая попытка определить, насколько точно (в долях одной «штуки» или в граммах) отличается музыкальная гармония от металлообработки, заранее обречена на провал.

Однако жизнь показывает, что область применимости математики постоянно и неуклонно расширяется, а значит, до пределов количественного анализа еще очень далеко. Вспомним. Вплоть до начала XVII века математика – это преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; она оперирует лишь постоянными величинами. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее – алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью их применения являются счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В Новое время потребности естествознания и техники (развитие мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) порождают идеи движения и изменения. Эти идеи реализуются прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Появляется аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление. В XVIII веке возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В XIX–XX веках математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию неевклидовых пространств. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и другие. Практическое освоение результатов теоретического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в XIX–XX веках численные методы вырастают в самостоятельную ветвь – вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач приводит к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники влекут за собой появление целого ряда новых дисциплин, как, например, теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.[42]42
  См. Обзор истории математики // Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – М.: Наука, 1984.


[Закрыть]

Думается, можно быть вполне уверенным в том, что и в будущем экспансия количественных методов анализа продолжится, и вполне разумно сделать уже знакомое нам индуктивное умозаключение о том, что, наверное, не существует вообще никаких пределов для количественного исследования. Но если эта индукция верна, то абсолютно правомерно ставить вопрос о количественном соотношении между собой любых начал, любых объектов, процессов, явлений. Словом, об измерении, сравнении всего того, о чем вообще только можно помыслить. Таким образом, в логическом пределе оказывается допустимым сложение друг с другом самых «экзотических» вещей, утверждать, что своя количественная шкала должна найтись для любого класса явлений. А значит, то, что сегодня мы можем выполнить эту операцию далеко не со всеми из них, говорит лишь о том, что совокупность общих представлений о мире, которые лежат в основании любого счета, далеко не завершена.

Впрочем, мы уже смогли понять, что способность решать анализируемые здесь уравнения требуется не только для тех, кто мечтает о точных науках. Поэтому утешать себя тем, что неспособность к логике и математике еще ничего не значит, что кроме точных наук, есть и такие, как филология (что может быть легче, читай себе беллетристику…), не стоит. Между тем, один из приведенных выше примеров относится именно к филологии, ибо решение уравнения о мировом порядке и капитанских погонах составляет центральный вопрос одного из самых великих романов во всей истории европейской культуры. Кстати, мы встретились именно с ней и в случае с Юдифью и с героями бабелевской «Конармии». Словом, навыки точной мысли требуются повсюду, а значит, их отсутствие так или иначе проявит себя…

Но здесь мы сталкиваемся и с другой, не менее важной для выбора жизненного пути проблемой. Суть ее заключается в следующем. Мечта любого начинающего исследователя состоит в том, чтобы совершить великое научное открытие. Но поначалу едва ли не самой трудной научной проблемой для него оказывается обнаружить хотя бы какую-нибудь проблему, найти то, что еще в принципе не решено наукой. На первых порах кажется, что ею давно уже выявлено все, что только можно, и новое знание реально получить лишь там, где начинается проникновение за какой-нибудь «…надцатый» знак после запятой достоверно установленного результата. Естествоиспытателю, только привыкающему к общению с развитым инструментарием научного исследования, кажется, что современные средства познания уже сегодня позволяют докапываться до самых интимных секретов природы. Дальнейшее же углубление всех наших знаний прямо зависит только от повышения мощности этих средств. Но вот что-то уже начинает подсказывать нам, что в действительности залог достоверности любого теоретического знания кроется не только в строгих правилах и не только в разрешающей способности наших инструментов, но и в не имеющей вообще никаких контуров системе наиболее общих представлений о мире, не исключая философских и тех, которые рождаются при обращении к библейским откровениям и чтении ключевых для истории культуры романов.

Больше того: не столько в инструментарии науки, сколько в этих, не дающих покоя поколениям и поколениям интеллигентов, абстракциях. Между тем общие представления об окружающей действительности – это уже совсем не конкретная научная дисциплина. Упорядоченный их свод в конечном счете образует собой состав философии, здесь именно ее царство. Подлинным залогом истины на поверку оказывается не что иное, как абстрактное философское построение. Прежде всего абстрактное философское построение, и только потом – то остальное, что так поражает входящего в науку исследователя. (Вот только необходимо понять, что философия не сводится к сухим трактатам и учебникам, она растворена во всей совокупности артефактов гуманитарной культуры. Как, впрочем, и в математике, и в физике, и в биологии…)

Таким образом, вовсе не то, что мы привыкли относить к конкретному точному знанию, но нечто совершенно противоположное, неуловимое армирует каркас и нашей культуры и нашей цивилизации. Но одновременно мы замечаем и то, что система общих представлений далеко не полна. Неумение сложить офицерские погоны с мировым порядком и спящими фазанами, результаты футбольных матчей с технологией гальванических покрытий, преобразования Лоренца-Фицжеральда с трансцендентальным единством апперцепции, показывает, что сегодняшняя гордость нашей цивилизации, наши знания, – в действительности весьма обрывочны и фрагментарны. На самом деле окружающий мир – это все еще огромная terra incognita (неизведанная земля), на которой удалось проторить лишь отдельные тропинки. Поэтому неспособность разглядеть фундаментальную научную проблему свидетельствует не столько о достижении пределов развития теоретических представлений, сколько о банальной зашоренности сознания.

А значит, то, что еще не покрывается имеющимися в нашем распоряжении общими абстрактными понятиями, которые были бы в состоянии соединить кажущиеся несоединимыми вещи, может таить в себе самые удивительные научные открытия. Но все эти открытия так никогда и не будут сделаны, если исследовательская мысль станет чуждаться внимательного анализа таких на первый взгляд очевидных и непритязательных истин, как «дваплюсдваравночетыре». Или шарахаться от «дилетантских» попыток сопоставить несопоставимое, сложить «двуногость» (за минусом перьев) с «плосконогтием».

Так что, затруднение со счетом, как кажется, и в самом деле свидетельствует лишь о существовании больших пробелов, «белых пятен» в наших знаниях. Вдумаемся в суть того, что именно утверждает гипотетический запрет на измерение явлений, между которыми существуют слишком большие качественные отличия. Ведь он заставляет нас размышлять над количественным измерением качественной пропасти, которая пролегает здесь. В самом деле, если нельзя сопоставлять друг с другом слишком разнородные вещи, то нужен строгий критерий того, где уровень отличий еще не превышает «норму», и следовательно, уместны все количественные методы, а где начинается методологический «беспредел». Однако ясно, что этот критерий может быть выведен только из скрупулезного анализа степени отличий, которые существуют между вещами и их свойствами. А значит, речь все-таки идет о количественном сравнении совершенно несопоставимых начал. Другими словами, запрет содержит в самом себе глубокое логическое противоречие, ибо вытекающий отсюда вывод категорически опровергает исходную посылку. А такое противоречие не может быть отнесено к разряду тех, которыми оперирует диалектика; подобные ему обязаны изгоняться и из нее.

Здесь правильней было бы выдвинуть другую гипотезу, которая бы утверждала возможность одновременного существования множества количественных шкал для измерения разных групп явлений. В самом деле, существуют же системы шкал, которые позволяют сравнить между собой температуры таких образований, как звезда и живое тело, сопоставить друг с другом размеры атома и галактик, сравнить длительность геологических периодов и времени протекания внутриядерных процессов… Заметим, что глубина отличий между всеми объектами, подвергающимися измерению каждой из этих шкал совершенно сопоставима с той дистанцией, которая отделяет и спящих фазанов от офицерских погон, и результаты футбольных матчей с гальваникой, и релятивистские эффекты теории относительности с трансцендентальным единством апперцепции. Так, может быть, все дело в том, что для сложения несопоставимых начал мы просто не располагаем подходящим инструментарием, подходящим «количеством»? Ведь было же время, когда нам были недоступны и температурные, и временные, и пространственные измерения. Так почему бы не допустить аналогии и здесь?

Совершенно очевидно, что шкала, призванная измерять температуру, глубоко отлична от шкалы, назначение которой состоит в сравнении временных интервалов, шкала, измеряющая массы объектов, абсолютно неприменима для определения кислотности химических соединений. И так далее. Все это наводит на мысль о том, что единого универсального «количества» вообще не существует, что все количественные характеристики любого класса явлений каким-то таинственным – но вместе с тем неразрывным – образом связаны с их качественными особенностями. Выражаясь лапидарным афористическим языком древней Лаконики (а вернее сказать, философским жаргоном), «количество» всегда производно от «качества», и каждому «качеству» соответствует свое и только свое «количество». Словом, строгая индивидуальность качественных характеристик разнородных вещей всегда сопровождается абсолютной исключительностью того «количества», которое им соответствует.

Но повторим то, о чем уже говорилось здесь: любые две разнородные вещи могут быть приведены к какому-то одному основанию сравнения, к одному «качеству». Обратное эквивалентно существованию последней границы мира, ибо его пределы очерчиваются не только пространством и временем, но и качественными характеристиками. И если существуют границы его свойств, то все недоступное сложению может лежать только за ними, то есть принадлежать какому-то другому миру. В пределах же нашего обязана существовать определенная иерархия и «количеств» и «качеств». А значит, и на вершине всего существующего здесь, в «нашем» мире, должны быть какие-то универсалии, которым обязаны подчиняться все отдельные средства измерения.

В самом деле, если мы соглашаемся, что все окружающее – это предмет поступательного развития, предмет непрерывного восхождения от чего-то изначально простого и неразвитого к сложно организованным формам бытия, тогда иерархия качеств получает простое и естественное объяснение. Мы обнаружим, что каждая более высокая ступень образующейся здесь конструкции, генетически связана со всеми низлежащими уровнями. Взаимоотношения между ними принимают строгую упорядоченную форму. Отсюда и все количественные шкалы, способные измерять те или иные «качества», в свою очередь, выстраиваются в некое подобие пирамиды, иерархизируются по мере восхождения от единичных объектов к их видам, родам, классам и так далее. Поэтому более «общие количества» оказываются пригодными только для измерения каких-то умозрительных обобщенных качественных характеристик, но неприменимыми для сопоставления того, что можно увидеть или пощупать. Самым же фундаментальным «количествам», таким, как, например, пространство и время, доступно измерение лишь предельно обобщенных определений, в которых исчезают все индивидуальные свойства и характерные отличия конкретных единичных вещей. В самом деле, когда ротный старшина выстраивает новобранцев по ранжиру, в расчет принимается только их рост. Все остальное: цвет волос, сложение и уж тем более такие начала, как характер, интеллект, образование и так далее отходит куда-то далеко на задний план. Когда мы говорим: «два дня пути», забывается о том, что оба дня состоят из рассветов и закатов, дневной суеты, вечернего умиротворения и так далее, остается некая «чистая» длительность и только.

Но перед нами-то стоит задача количественного соизмерения не только тех свойств, которые все еще сохраняются на самой вершине пирамиды, но и индивидуальных характеристик вещей, явлений, процессов, тяготеющих к самому ее основанию. Другими словами, измерения не умозрительных абстракций, но вполне осязаемых вещей. (Кстати, осязаемых не только кожным покровом, но и покровом нравственного чувства, ибо те же офицерские погоны – вовсе не умозрительность, но вполне осязаемое и этой тонкой метафизической сенсорикой начало.)

§ 8. Стереотипы мышления и иллюзии истины

Вернемся к нашей исходной задаче.

Поиск строгого ответа на нее – это своеобразная модель движения научной мысли, итогом которого должен быть объективный, полный, точный и, наконец, конкретный результат. Однако уже сейчас можно видеть, что стереотипный ответ («равночетыре»), который с самого начала вертится на языке у любого, этим критериям не удовлетворяет.

О его объективности нам еще придется говорить. Но уже сказанное здесь позволяет со всей уверенностью заключить о том, что затверженный стереотип страдает значительным субъективизмом. Уже хотя бы потому, что он сильно зависит от состава и способа систематизации общих представлений о мире, вне контекста которых невозможно никакое количественное сравнение. Между тем представления профессора несопоставимы с образовательным уровнем студента, того – с представлениями школьника, последнего – с взглядом на мир ребенка. Да и пример с первобытным мышлением говорит не только о неразвитом примитивном сознании, – это прежде всего столкновение с другой культурой, иным составом знаний и какими-то другими принципами их обобщения и классификации. Меж тем, если ответ не абсолютен в разных культурах, он в принципе не отвечает критериям научности. Да и принадлежность к какой-то одной школе мысли при полном игнорировании культуры другой грешит все тем же субъективизмом.

О полноте и точности мы также еще поговорим. Что же касается его конкретности, то здесь он не выдерживает вообще никакой критики. Любая попытка конкретизации исходной задачи немедленно обнаруживает затруднения в согласовании реально получаемого результата с этим, казалось бы, пригодным на все случаи жизни ответом.

Так, например:

– Можно сколь угодно много добавлять синевы к и без того синему цвету, его оттенок не изменится ни на йоту.

– Сливая в одну емкость равные количества разных по своему химическому составу жидкостей мы далеко не всегда удваиваем объем.

– Две и две капли воды дают совсем не четыре, а только одну, а иногда и все двадцать четыре.

– Два километра (метра, сантиметра, парсека и так далее) в час плюс два километра (метра, сантиметра, парсека и так далее) в час дают вовсе не четыре; кто знаком с основными положениями теории относительности, знает, что результат сложения скоростей будет всегда меньше.

– Атомная масса меньше суммы масс, составляющих атом частиц (протонов, нейтронов, электронов) на величину, обусловленную энергией их взаимодействия (т. н. дефект массы);

– Суммируя цвета, мы вновь получаем что-то очень далекое от удвоения. Это, кстати, известно каждому, кто хоть когда-то брал в руки кисть: смешивая разные оттенки мы вовсе не продвигаемся от ультрафиолетовой части спектра к инфракрасной или наоборот, но всегда получаем что-то промежуточное. В конечном же счете (в теории) вообще обязан получиться белый цвет.

– Сложение волн дает удвоенную амплитуду лишь в том случае, если совпадают фазы колебаний обоих источников, проще говоря, если гребень одной совпадает с гребнем другой; в противном случае, т. е. там, где гребень одной приходится на впадину другой, сумма может равняться нулю. Во всех других мы получаем промежуточные значения.

– Результат скрещивания двух самцов и двух самок во многом зависит от того, что именно считать результатом. Кстати, итог может быть и предельно экзотическим: «не мышонок, не лягушка, а неведома зверушка». Однако и этот результат, несмотря на всю его парадоксальность, в такой же мере количествен, как и все остальное; все дело в том, что количественная шкала и здесь прямо производна от слагаемых «качеств».

Словом, мы обнаруживаем, что два плюс два далеко не во всех случаях дают четыре. Это открытие удивительно, но удивительно не только тем, что сама действительность на каждом шагу опровергает затверженный с детства ответ, но – главным образом – тем, что противоречие не замечается нами. Маленький сын как-то спросил Эйнштейна: «Почему, собственно, ты так знаменит, папа?» Видишь ли, – ответил тот, – когда слепой жук ползет по поверхности шара, он не замечает, что пройденный им путь изогнут. Я же, напротив, имел счастье это заметить…»[43]43
  Кузнецов Б.Г. Эйнштейн. Жизнь. Смерть. Бессмертие. – М.: Наука, 1980. – С. 173.


[Закрыть]. Вот так и мы, уподобляясь слепому жуку, ползем и ползем по поверхности явлений, не замечая многого вокруг нас.

Таким образом, как ни считай, иллюзия всеобщности и строгости когда-то в детстве затверженного ответа сохраняется только там, где мыслятся предельно абстрактные умозрительные вещи. Мы же хотим прямо противоположного – предельной конкретности вывода. Повторимся: нам требуется ответ, пригодный для всех уровней той пирамиды явлений, о которой говорилось выше.

Примеры можно множить и множить, но каждый раз, когда мы пытаемся конкретизировать исходную задачу и строго определить, что же именно подвергается «сложению», обнаруживается, что стандартный заведомо известный каждому школьнику ответ требует решительного пересмотра. В лучшем случае – уточнения, ибо каждый раз нам приходится учитывать тонкую специфику именно того класса явлений, которые и подвергаются количественному анализу. Переходя от одного класса явлений к другому, мы находим, что та метрика, которая использовалась ранее, или уже совсем непригодна или в новой сфере объективной реальности применима только в ограниченной мере и дает лишь приблизительный результат. Эксперименты с разными по своим свойствам вещами показывают, что в действительности единой, равно пригодной для всех случаев жизни метрики просто не существует. Универсальная количественная шкала, как оказывается, существует исключительно в нашем воображении (иными словами, является продуктом предельного субъективизма). В действительности же она постоянно подвергается деформации, на нее всякий раз оказывают свое воздействие индивидуальные качественные особенности каждого нового класса явлений, включаемых нами в сферу исследования.

В общем, все свидетельствует о том, что заученный с детства ответ в действительности оказывается не чем иным, как простым предубеждением нашего сознания. Можно сказать и жестче – обыкновенным предрассудком. На поверку анализом он представляет собой яркий пример именно того отвлеченного и не поддающегося никакой верификации схоластического умствования, которое должен решительно искоренять в себе любой, кто ставит своей целью занятие наукой.

Но и многие из тех, кого удалось убедить в сказанном, кто сумел понять, что противоречия и парадоксы далеко не всегда свидетельствуют об ошибках, кто нашел в себе силы понять, что кажущаяся глупость вопроса часто (может быть, большей частью) свидетельствует не в пользу того, кто отказывается видеть в нем действительную проблему, будут разочарованы. Ведь настоящие трудности еще только начинаются; глухих логических тупиков и сомнений в здравости рассудка будет еще предостаточно, все усвоенное – это только мелкая лужица в сравнении с океаном.

Вот доказательства.

Мы не имеем ни малейшего представления о том, как вычесть пароходы из тех же египетских пирамид или фортепианных концертов, лошадей – из коров… Ну а о том, чтобы умножить тех же лошадей на время и разделить пространство на пирамиды, мы не в состоянии даже помыслить.

Впрочем, можно обратиться и к менее экзотическим примерам. Мы знаем, что операцией, обратной сложению, является вычитание, и что, в принципе, оно может служить проверочным тестом. Но попробуем вычесть из уже полученных четырех абстрактных голов домашнего скота двух лошадей, получим ли мы обратно наших коров или перед нами предстанут свиньи, быки, «веревко-столбо-змеи»? Если вычесть из четырех достижений культуры две пирамиды, получим ли мы два фортепианных концерта или останутся два бубна бурятских шаманов, а то и вообще две фиги (которые по праву могут быть отнесены именно к ее артефактам)? Ответ неизвестен, ибо мы уже знаем, что сумма разнородных вещей образует собой субстанцию, отличную от вещественной природы любого из слагаемых. Между тем обратная операция должна возвращать нас к начальным условиям в любое время в любом месте. Таким образом, остается заключить: либо сложение выполнено с нарушением правил, либо то, что в ходе операции происходит необратимая деформация исходных предметов. Нам еще придется поупражняться и в вычитании.

Пока же подведем предварительный итог, который понадобится нам в дальнейшем: попытка получить объективный, действительно независящий от нашего сознания, поддающийся строгой экспериментальной проверке результат приводит к неожиданному выводу: единого универсального «количества» в природе не существует; количественная метрика каждого явления строго индивидуальна и не может быть применена к исследованию никакого другого.