Текст книги "Нечеткая логика"

При ближайшем рассмотрении предметы нечетки, а границы неточны и размыты, различные объекты сосуществуют друг с другом. Вы можете припарковать свой автомобиль на месте № 34, но случайно занять небольшую площадь места под № 35 рядом. В таком случае утверждение о том, что вы припарковали свой автомобиль на № 34, не будет полностью верным и истинным равно так же, как и утверждение о том, что вы не припарковали свой автомобиль на 34-м месте. Получается, что в большей степени вы и ваш автомобиль все-таки заняли 34-е парковочное место, а не 35-е. Но в какой-то степени получается, что вы заняли оба места. Однако же утверждение о том, что вы припарковали машину на 34-м месте, больше всего соответствует действительности.

Еще одним интересным примером здесь будет пример с учителем и его учениками в классе. Представьте, что учитель задает ученикам, сидящим за партами, какой-либо вопрос, и, как правило, те ученики, которые знают ответ на него, поднимают руку вверх, чтобы их спросили. Неважно, каким будет вопрос, интересен сам факт того, что ученики, которые готовы на него ответить, должны вытянуть руку вверх, в то время как те, которые не готовы, не должны тянуть руки. Пожалуй, это первый двухвалентный фильтр, с которым сталкиваются маленькие дети в школе: знание ответа – рука стремится вверх, незнание – ребенок не должен поднимать руку. Допустим, если он знает ответ лишь частично, не понимает, как объяснить ответ, то его рука должна оставаться на парте. В том случае, если ребенок поднимет руку и даст неполный ответ, скорее всего, учитель не расценит его ответ как правильный, то есть как ответ в целом.

Нечеткие множества… Если профессор, находясь в аудитории, попросит поднять руки всех мужчин, то руки поднимут только мужчины, женщины будут лишь наблюдать. Соответственно, здесь имеет место только двоичная логика Аристотеля. То же самое произойдет в случае, если профессор попросит всех находящихся в аудитории женщин поднять руки над головой: присутствующие в аудитории разделятся на «черное» и «белое» – женщин и мужчин.

Пойдем дальше и усложним задачу – допустим, профессор в аудитории задает вопрос: «Кто из вас доволен своей работой?». Тут же руки начнут то подниматься, то опускаться, касаясь локтями парт. Руки тех людей, которые точно уверены в том, что любят свою работу и с удовольствием ходят на нее каждый день, тянутся вверх, но большая часть людей находится в некоторой растерянности, не зная, поднять или опустить руку, будучи не уверенными на сто процентов в том, что полностью удовлетворены своей работой. Этот пример определяет уже нечеткое множество людей. В какой-то степени здесь приводится в действие логика Будды. Нечеткая логика оперирует нечеткими множествами.

Действительно, просьба поднять руки мужчин и женщин отличается от просьбы поднять руки тех, кто доволен своей работой. Что касается вопроса о мужчинах и женщинах, то здесь мы видим в действии двоичную логику Аристотеля: мужчины не могут быть немного женщинами – и наоборот. Но что касается вопроса о людях и их отношениях с работой, мы видим небольшой разброс: очень немногие полностью довольны или же недовольны своей работой, большая часть людей сомневается и словно одновременно видит в работе как плюсы, так и присущие ей минусы. Здесь мы едва ли можем провести параллель с логикой, начало которой положил Аристотель.

Пример с аудиторией и опросом присутствующих в ней наглядно демонстрирует сущность нечеткости. Нечеткие вещи, предметы, объекты имеют расплывчатые границы со своими противоположностями. Чем больше что-либо напоминает свою противоположность, тем ярче мы можем наблюдать нечеткость: здесь хорошим примером послужит стакан воды, который как наполовину полон, так наполовину пуст.

Эмблемой нечеткости, взаимодействия крайних противоположностей является обозначение Инь-Ян, символ, восходящий корнями к китайской философии и даосизму.

Этот символ характеризует разделение двух противоположных свойств и обозначается появлением у двух противоположностей двух разных цветов – светлого и темного. Символ Инь-Ян украшает флаг Южной Кореи, а в Южной Калифорнии является эмблемой серфинг-клуба.

На протяжении многих лет сторонники идеи о нечеткой логике боролись с этой очевидной мистикой, которую мир науки не изучал досконально. Ученые превращали серое в черное и белое, что влекло за собой то, что мир, как окружающий их, так и научный, играл лишь черно-белыми красками. Безусловно, мир выглядит гораздо проще, если поделить его лишь на черное и белое, а Вселенную разделить лишь на две части согласно строгой двоичной логике. Ученые признавали лишь факт А или факт В, только истину или только же ложность, вместо того чтобы сделать малейшую попытку найти правду и смысл где-то посередине.

Ученые умы занимаются вопросом двухвалентности, берут на себя ее задачи, поднимаются по этой лестнице и, достигнув высшей точки, забывают, что стоят на ней. На практике дело обстоит и выглядит так, словно они занимаются религией, а не наукой. Они превращают свое представление о двухвалентности во вступительный экзамен и считают, что все не согласные с их идеями не способны сдать этот экзамен, проще говоря, все ученые, не согласные с двухвалентной логикой, провалили экзамен, дискредитируя идеи ученых, выступающих за градации серого и нечеткую логику, характеризуя постулаты аргументами вроде «неверные рассуждения», «недостаточно строгие и тщательные исследования», «ненаучная тактика», «недостаточная подготовленность к изучению вопроса», «недостаточная экспериментальная база», «нездравомыслящее идееполагание» или же вовсе «эти ученые рассуждали бы совершенно по-другому будь они чуть более осведомлены в области математики».

Большая часть черно-белого мира науки борцам за идеи о нечеткой логике казалась необоснованной. Язык, на котором говорят в науке, особенно в математике, создает искусственные границы между черным и белым. Разум и здравый смысл смещает и делает эти границы более расплывчатыми. Разум и здравый смысл действуют в градациях серого.

Ученые, сторонники оттенков серого и нечеткой логики, долгое время пытались найти альтернативу рассуждениям о мире в проекции двухвалентности. Если наука полагается только на математику, то должна быть какая-то альтернатива, не так ли? Нечеткая логика способствовала появлению такой альтернативной мысли. Она действовала в том же поле и имела тот же математический привкус, но судила о предметах и явлениях совершенно иначе, учитывая разные степени возможности того или иного. Нечеткая логика стала тем разделом математики, который стал обобщением классической логики, базируясь на понятии нечеткого множества. Некоторые ученые стали развивать данную научную идею, пользуясь широким спектром научных каналов. Было написано много статей и книг, прочитано много лекций, проведено конференций и семинаров на тему нечеткой логики. Словно атеисты, которые пытались опровергнуть существование Бога, ученые искали ответы на свои вопросы о существовании нечеткой логики и градаций серого. Если бог нечеткой логики существовал, то тогда они должны были стать священниками в этой церкви науки, если же нет, им пришлось бы примкнуть к отрицателям нечеткости.

Нечеткость оказала колоссальное влияние на технику, повысив так называемый интеллект машин. Сотни бытовых приборов, используемых людьми в повседневной жизни, перешли на качественно новый уровень интеллектуальной работы: камеры, видеокамеры, телевизоры, микроволновые печи, стиральные машины, пылесосы. Нечеткость повлияла даже на работу двигателей и управление метрополитеном. Нечеткая логика возникла как наиболее удобный способ построения систем управления сложными технологическими процессами, а также нашла применение в бытовой электронике, диагностических и других экспертных системах.

Интеллект приборов был повышен в странах Дальнего Востока и Японии, в то время как ученые и инженеры на Западе бросали камни в теорию о нечеткой логике, всеми силами пытаясь дискредитировать ее. Если раньше они атаковали нечеткую теорию за отсутствие практических приложений к ней, то теперь, когда появилась качественно новая бытовая электроника, они атаковали положения, которым недоставало теории.

В то время как западные ученые и инженеры игнорировали или атаковали нечеткую логику, их коллеги на Востоке охотно применяли ее и запустили долгожданную эру коммерческого машинного интеллекта. К тому времени, когда в июне 1991 года состоялась первая конференция на тему нечеткости в штате Техас, японцы уже достигли отметку в 1 млрд долларов в годовом объеме продаж нечетких продуктов и совершили гигантский прыжок вперед в мировом лидерстве в области бытовой электроники и высокотехнологичного производства. Культурные предпочтения приходят с издержками.

Безусловно, мозг любого человека работает совершенно не по принципу двоичной логики Аристотеля или с компьютерной точностью. Это невозможно и было бы несколько странно. Время символических рассуждений в компьютерных программах прошло; возможно, именно об этом нам говорил киборг, которого сыграл Арнольд Шварценеггер в фильме «Терминатор II»: «Я могу получить новые навыки поведения, потому что мой процессор – процессор нейронной сети, процессор, способный к обучению». Если в наших рассуждениях присутствует логика, то она – нечеткая. Когда мы принимаем решение, то, как правило, руководствуемся умозаключением: «Я поступлю так, потому что считаю, что это будет правильно». Знание формальной логики, с которой мы впервые сталкиваемся на уроках геометрии в школе, – плохое подспорье для нас в принятии решений, возможно, именно поэтому мы закончили ее изучение в старшей школе.

Нечеткая логика начинается там, где заканчивается логика, которой следуют ученые на Западе.

Глава II. Принципы нечеткой логики

Неудивительно, что средства нашего языка не способны описать процессы, происходящие внутри атомов, поскольку наш язык был изобретен для описания событий повседневной жизни, а они, как известно, состоят только из процессов с участием чрезвычайно большого количества атомов.

Вернер Гейнзберг

Основной принцип нечеткой логики гласит: все зависит от степени и познается в сравнении. В данной книге нечеткая логика, одно из величайших достижений математики XX века, рассматривается через призму человеческой жизни и окружающего нас мира, а также мировоззрения. Некоторые вещи никогда не будут нечеткими, в основном это вещи, происходящие из мира математики. В этом мире Бог или же человек не оставили места нечеткости. Мы соглашаемся с утверждением, что 2 + 2 = 4, но когда возвращаемся из мира математики в реальный мир, окружающий нас, балом правит нечеткость. Она стирает рамки, размывает границы, словно мы разрезаем границы Вселенной на кусочки тупым ножом.

У нечеткости есть свое имя в науке – поливалентность, то есть способность образовывать множественные различные связи. Антонимом здесь послужит двухвалентность, подразумевающая лишь два варианта ответа на вопрос либо однозначное утверждение о каком-либо факте: оно может быть только истинно или исключительно ложно. Как уже было упомянуто выше, нечеткость подразумевает многовалентность, иными словами, широкий спектр возможностей и вероятных ответов и комментариев относительно какого-либо утверждения вместо лишь сухих двух. Это означает, что нечеткая логика обладает всем диапазоном оттенков серого цвета для описания мира вместо всего лишь двух, черного и белого.

Ученые в 20–30-х годах прошлого века впервые разработали многозначную логику для решения принципа неопределенности Гейзенберга в квантовой механике, о чем мы поговорим ниже. Принцип неопределенности Гейзенберга гласит: чем точнее измеряется одна характеристика частицы, тем менее точно можно измерить вторую. Принцип предполагает, что мы действительно имеем дело с трехзначной логикой: утверждения, которые являются истинными, ложными или неопределенными.

Польский логик Ян Лукасевич нарезал среднюю «неопределенную» составляющую на несколько частей и придумал многозначную логику. Термин «нечеткая логика» прочно вошел в научный язык. До тех пор логики, такие как Бертран Рассел, для описания многозначности использовали термин «неопределенность». В 1937 году квантовый философ Макс Блэк опубликовал статью о неопределенных множествах (о том, что мы теперь называем нечеткими множествами). Мир науки и философии проигнорировал статью Блэка, иначе мы могли бы теперь обсуждать историю смутной, а не нечеткой логики.

В 1965 году нечеткая логика появилась в работах Лотфи Заде, профессора технических наук Калифорнийского университета. В своих работах Заде обращался к термину многозначной логики, введенному Лукасевичем, перечисляя и рассматривая множества объектов и предметов, – аналогично примеру со множеством людей, удовлетворенных и неудовлетворенных своей работой. Лотфи Заде предложил миру науки того времени нечеткую логику, чтобы связать математику с интуитивным способом, которым люди разговаривают, думают и взаимодействуют с миром. Работа Заде стала основополагающей в возникновении теории нечетких множеств.

Введение термина «нечеткости» спровоцировало шквал научного гнева, обрушившегося на его создателя, а точнее говоря, с появлением данного термина появился целый ряд научных проблем. Государство отказывалось финансировать исследования в области «нечеткости»; газеты и журналы не хотели публиковать статьи на эту тему; университеты не поощряли исследователей нечеткости и их научные работы; можно сказать, что в то время небольшое сообщество ученых, пропагандирующих учение о нечеткости, ушло в подполье. Но, тем не менее, со временем оно обрело силу, стремление развиваться и стало полноценным учением. Условия, в которых оно развивалось, лишь укрепили его постулаты.

Нечеткая логика не достигла успеха на своем поприще в университетах. Она скорее преуспела на коммерческом рынке и перескочила философские возражения западных ученых. Нечеткий принцип возник с попыток западной культуры отрицать его, игнорировать, опровергать и всячески бороться с возможностью его развития. Наши рассуждения всегда остаются нечеткими. Более того, мы можем обеспечить бытовые приборы некоторым интеллектом исходя из принципов нечеткости и используя нечеткие концепции. Безусловно, медленное распространение нечеткости по миру насторожило многих ученых и в некоторой степени напугало их, поскольку ученые того времени были уверены, что в основе работы бытовой техники и прочих машин заложена строгая черно-белая логика и математические постулаты и принципы. Этот процесс спровоцировал новые обсуждения искусственного интеллекта. В данной книге мы рассмотрим нечеткий принцип в разных вариациях: от Древней Греции и Индии до современной Японии и не только: умная бытовая техника и инновационное оружие будущего встретятся на стыке науки и инженерии.

Итак, теперь мы знаем, что одним из первых логиков, предложивших в 1930 году вариант многозначной логической системы, отличающийся от классической бинарной логики, был польский математик Ян Лукасевич. В трехзначной логике Лукасевича использовалась три возможных истинных значения: «ложь», «истина», «возможность». В качестве высказываний с истинностным значением «возможно» могли выступать такие, которые относились к некоторому моменту времени в будущем. Затем термин «нечеткая логика» был введен профессором Лотфи Заде в работе «Нечеткие множества» в журнале «Информатика и управление». Предметом нечеткой логики стало исследование рассуждений в условиях нечеткости, размытости, сходных с обычными рассуждениями, и их применение в вычислительных системах. Лотфи Заде по праву считается отцом нечеткой логики. Мировая наука действительно изменилась после его открытий: на сегодняшний день нечеткая логика широко применяется в производстве бытовой техники, управлении транспортными средствами и промышленными процессами. Помимо прочего, нечеткая логика применяется и в политике, и в экономике. Вопреки аристотелевскому положению, которое может быть верным или неверным, Заде доказал, что степень истинности любого утверждения принимает непрерывные значения между истинностью и ложностью. Заде сделал открытие, которое противоречит теории великого Аристотеля, призывает видеть и воспринимать мир более красочным. Теория нечетких множеств, представленная Заде, стала новой вехой в информационных технологиях.

Но теория была скептически воспринята не только в США, но и в научных кругах во всем остальном мире. Причиной этому послужило противоречие этой теории логике самого Аристотеля, которой люди руководствовались на протяжении многих веков. Аристотель всегда считался основоположником классической теории логики. Однако классическая логика имеет большой недостаток – ее применение бесполезно в случае описания мышления человека. Проблема заключается в том, что возможно оперировать только двумя утверждениями: истина и ложь, других средних значений между ними не существует. Двоичная логика, которая, сравнивая два числа, определяет состояние системы, также признает только единицы и нули. В случае с вычислительными машинами не возникает проблем, но описание окружающего мира исключительно двумя понятиями представляет собой практически нерешаемую задачу. Нечеткая логика в силах справиться с ней.

Пожалуй, то, что теория о нечеткой логике получила всемирное признание, является заслугой Лотфи Заде. Благодаря Заде нечеткая логика с каждым годом привлекает все большее число исследователей из разных научных областей. В настоящее время нечеткой логикой во всем мире занимаются тысячи ученых и инженеров, по этой тематике опубликованы сотни книг, десятки тысяч статей, издается более 40 научных журналов по нечеткой логике и мягким вычислениям, механизмы нечеткой логики реализованы в сотнях прикладных систем.

В данной книге мы рассматриваем прошлое нечеткости, ее настоящее и будущее. Когда мы обращались к прошлому нечеткости, мы рассматривали исторические корни и происхождение нечеткости, начиная путь с логики Аристотеля. Изучая настоящее нечеткости, мы рассматриваем нечеткие множества и системы и то, как они получили признание в США и Японии. Будущее нечеткости предполагает то, каким образом нечеткая логика и высокопотенциальный интеллект машин может сказаться на жизни общества и повлиять на него в ближайшем и отдаленном будущем.

Двухвалентность и многозначность

Двухвалентности присуще делать выбор в пользу простоты, нежели точности. Черное и белое, истина или ложность очень удобны для суждения в математике и компьютерном программировании. Но, как бы там ни было, двухвалентность требует вовлечения оттенков серого и округления на определенном этапе рассуждений: достаточно вспомнить вопрос о том, кто из присутствующих в аудитории был доволен своей работой.

Информационная эпоха опирается на двухвалентность, потому что она опирается на «цифровую революцию» в обработке сигналов и микропроцессорных компьютерных чипах. Мы измеряем величины – звук, кровяное давление, интенсивность света, напряжение, температуру, интенсивность землетрясений – которые со временем плавно меняются. Мы должны пробовать округлять эти сигналы для того, чтобы передать их двоичному компьютерному интеллекту.

Мы можем рассматривать временной сигнал как кривую, колеблющуюся вверх и вниз, влево и вправо.

Ученые написали тысячи работ о том, как же изображать временную кривую, результатом явилось то, что чем больше отрезков времени возможно отобразить на кривой – тем лучше и информативнее. Оцифровка разрезает вертикальную линию на набор чисел. Здесь система округляет сигнал до ближайшего нарезанного значения. Затем система отбрасывает реальность и сохраняет только оцифрованные числа (черные точки в сетке) и преобразует каждое число в уникальный список. Остальное – это высокоскоростное число и мир компактных лазерных дисков, сотовых телефонов, факсимильных аппаратов, спецэффектов в фильмах и новых изображений Нептуна и Венеры.

Западная культура теперь видит двоичную, бинарную точность как часть научного метода. Цифровая революция словно оцифровывает наши умы. Представьте себе компьютер, который на какой-либо заданный ему вопрос дал бы ответ: более или менее. Скорее всего в данном случае мы бы решили, что компьютер просто-напросто запрограммирован ученым в белом халате таким образом, чтобы он мог разговаривать с нами равносильно тому, как общаются друг с другом люди. Мы бы точно не подумали, что компьютер действительно имеет в виду то, что он дал нам верный, на его взгляд, ответ на заданный нами вопрос.

Двоичная логика Аристотеля опирается на наши двухвалентные инстинкты. Мы ожидаем, что каждое хорошо и твердо сформулированное утверждение будет истинно или ложно, но не более истинно или более ложно. Этот строгий закон прослеживается и в нашем языке, и в наших мыслях и суждениях. Религиозный философ Серен Кьеркегор назвал книгу, написанную им в 1843 году «Или-или», в ней человек рассмотрен как космический раб двоичного выбора – быть или не быть, делать или не делать. В трактате «Или-или» представлена диалектика человеческой экзистенции. В каждой философии или религии существует зло, с которым она борется и стремится искоренить. Зло двузначности – это логическое противостояние истинности и ложности фактов.

В двухвалентной логике противоречие подразумевает все. Оно позволяет доказать или же опровергнуть любое утверждение. Математики трудятся над выдвигаемыми ими аксиомами для того, чтобы они не подразумевали высказываний, которые противоречат друг другу. До сих пор никто не доказал, что аксиомы современной математики не приводят к утверждениям, которые противоречат друг другу. Но в любой момент, даже уже завтра, все может измениться, и рамки современной математики просто-напросто рухнут. Между тем страхи и домыслы в области науки остаются. Именно поэтому в науке мало терпимости ко взглядам, которые допускают противоречия, совпадения между вещами, объектами и неминуемыми фактами. Нечеткая логика противостоит этой нетерпимости. Нечеткость начинается там, где возникают противоречия, где факты в какой-либо, даже самой минимальной степени, противоречат друг другу.

Восточная культура предлагает системы убеждений, которые не базируются на точной бинарной логике и четкости фактов, эта культура предполагает существование противоречий между фактами, Инь и Ян. Задолго до Аристотеля Будда уже размышлял иным путем, не позволяя загнать свои суждения в рамки «или-или». Он хранил благородное молчание, задаваясь бинарными вопросами, например, бесконечна ли Вселенная или же имеет четко очерченные границы.

Современные буддийские монахи дзен обучают медитировать на коанах – коротких вопросах, диалогах, не имеющих логической подоплеки, более доступных интуитивному пониманию: например, как выглядело ваше лицо прежде чем вы родились? Или, как одна рука воспроизводит хлопающий звук при соприкосновении с другой? Иными словами, путем медитации на коанах осуществляется попытка выйти за черно-белые рамки сознания. Даже Мао Цзэдун, китайский государственный и политический деятель XX века, писал работы на тему противоречий.

Давайте снова рассмотрим яблоко, которое, допустим, вы держите в руке, а затем откусываете от него по кусочку. Сначала то, что вы держите в руках, можно на 100 % назвать яблоком, чем оно и будет на самом деле являться. Когда вы откусываете яблоко часть за частью, оно перестает быть яблоком, то есть процент существования яблока падает со 100 % до 0 %, пока вы не съедите его полностью. На протяжении процесса у вас в руках будет находиться лишь 50 % яблока, поскольку половину вы уже съели. Проценты постепенно передают значения яблока как целого предмета до полного его отсутствия. Если мы нарисуем график, соответственно которому яблоко будет исчезать, то обозначим проценты линиями, где каждая линия будет занимать конкретное место относительно 100 % и 0 %. Эти линии будут отображать конфликт и противостояние между двухвалентностью и нечеткостью. Нечеткость или многовалентность будет содержать в себе информацию о процессе между строк. Когда в стакане не много воды, мы определяем его заполненность определенными рамками, – например, говорим, что стакан полон на 5 % или 10 %, тем самым сводя количество воды в стакане к определенной отметке. На деле же мы смотрим, к какой из отметок, 5 % или 10 %, находится ближе уровень воды, и округляем уровень воды до этой цифры. Здесь и кроется нечеткость.

Зачастую округление подходит, чтобы сгладить небольшие углы, когда дело касается цифр. Но что произойдет в случае, если мы решим округлить средние значения? В какую сторону и до какого значения нам стоит округлить 50 % – до 0 % или же до 100 %? Вопрос будет заключаться уже не в том, наполовину пуст стакан или же наполовину полон, а в том, пуст или полон рассматриваемый нами стакан в целом. Взаимодействие и использование средних значений в современной математике имеет отсылку к так называемым парадоксам. Математики применяют термин парадокс к среднему значению для того, чтобы делать свои предположения о пограничных случаях и исключениях. Фактически они возникают на основах бивалентной математики и логики. Математический парадокс – это такое высказывание, которое в теории может быть равно доказано и как истина, и как ложь. То есть, парадокс – это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения, иными словами, доказывающее как само суждение, так и его отрицание.

Одним из широко известных является теоретико-множественный «Парадокс брадобрея», открытый Бертраном Расселом в начале XX столетия. Рассел сформулировал известный парадокс о множестве всех множеств, которые не являются элементами самого себя. Суть парадокса заключается в противоречии при рассмотрении вопроса о принадлежности самому себе множества всех множеств. Его изложение имеет несколько различных формулировок. Одна из них такова:

«В полку служил парикмахер, которого также называли брадобреем. Однажды командир приказал ему побрить только тех, кто не бреется сам. Многие солдаты умели бриться сами, соответственно, брадобрею нужно было брить только тех, кто сам не умел. Тогда у брадобрея возник вопрос: брить ли ему самого себя? Ведь если он будет бриться, то нарушит приказ командира не брить тех, кто бреется сам. Брадобрей решил, что брить себя он не будет, но тогда понял, что если он сам себя брить не будет, то окажется, что он сам не бреется, и по приказу командира он должен все-таки себя побрить».

Рассмотрим подробнее. Если брадобрей бреется сам, то он принадлежит ко множеству тех, кто бреется сам. Но в заявлении утверждается, что брадобрей никогда не бреет тех, кто входит в это множество. Следовательно, наш брадобрей не может брить самого себя. Если же его бреет кто-нибудь другой, то он принадлежит к числу тех, кто не бреется сам. Но в заявлении сказано, что он бреет всех, кто не бреется сам. Следовательно, получается, никто другой не может брить этого брадобрея. Похоже, что его не может брить никто! Бертран Рассел предложил парадокс брадобрея, чтобы облечь в более наглядную форму знаменитый парадокс, обнаруженный им в теории множеств. Некие математические конструкции приводят к множествам, которые включают себя в качестве одного из своих членов. Например, множество, содержащее все, что не является яблоком, само не является яблоками и, следовательно, не должно содержать себя в качестве одного из членов. Рассмотрим теперь множество всех множеств, не содержащих себя в качестве одного из членов. Получается, что противоречия избежать невозможно. Любой ответ приводит к противоречию.

Нечеткая интерпретация рассматривает полупустой стакан и парикмахера-брадобрея как усредненные явления. Утверждения о них и возможные заявления, которые описывают их, являются «полуправдами». Они правдивы и действительны на 50 %, а не на 100 % или же на 0 %. Если мы будем настаивать на 100 %-ной истине заполненности стакана или парикмахерской деятельности брадобрея, то мы просто-напросто будем иметь дело с двухвалентным парадоксом. Именно это мы и видим на примере стакана, который заполнен наполовину.

За перетягиванием каната между двухвалентностью и многовариантностью лежит уравнение. Двухвалентность гласит, что уравнения не существует или же оно не имеет логического смысла. Многозначность считает, что оно существует в некоторой степени. В крайних случаях оно существует в полной мере или же, наоборот, совсем не существует. Поскольку редакторы исключают подобные уравнения из книг, подобно тому как садовники выкорчевывают сорняки из своих цветочных садов, уравнение, которое мы рассмотрим ниже, пожалуй, центральное уравнение данной книги и нечеткой логики, будет называться уравнение Инь-Ян. Несомненно, для ученых, логиков и математиков оно покажется смешным, но тем не менее вот оно:

А = не А

Как вы уже догадались, это – противостояние фактов в форме уравнения. Вместо того чтобы написать «Факт А и одновременно не факт А», знак равенства уравновешивает две пропорции по обе его стороны. Таким образом, парадокс двухвалентного рассуждения сводится к уравнению Инь-Ян: полупустая чаша подразумевает, что чаша наполовину заполнена, и наоборот. Мы можем нарисовать картину уравнения Инь-Ян в действии, точнее, последовательность изображений, где уравнение Инь и Ян будут взаимодействовать в разных степенях. Вспомните диаграмму Венна, в которой дано схематичное изображение всех возможных отношений нескольких подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде фигур все остальные рассматриваемые множества: предположим, что мы разрезаем прямоугольник или коробку на две части: часть А и часть не А, набор А и набор не А. Мы разделили линией ящик яблок на красные и не красные яблоки. Таким образом, мы проводим четкую границу между двумя частями яблок: А и не А.

Это двухвалентный случай, черно-белый мир математики и Аристотеля. Наше уравнение Инь-Ян здесь вообще неприменимо. Более того, оно имеет абсолютно нулевую степень. Существуют только точные, четко очерченные границы. Теперь предположим, что некоторые яблоки не полностью красные – на них есть оранжевые, розовые или зеленые полосы. Если мы попросим продавца фруктов распаковать ящик яблок и разделить его на две части – красные и яблоки, которые красными не являются, он может сформировать не только две части яблок, но отложить и третью часть – яблоки, которые не будут принадлежать ни к одной из двух вышеупомянутых категорий. Яблоки из третьей части будут в некоторой степени красными и в некоторой степени зелеными или розовыми. Именно эту третью часть продавцам фруктов трудно классифицировать, и они таким образом нарушают закон Аристотеля: либо – либо.