Читать книгу "Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах"

3.7. Вопрос. К каким последствиям может привести замена инерциальной системы отсчета на неинерциальную, например, вращающуюся?

Ответ. Каждому относительному движению тела во вращающейся системе отсчета можно поставить в соответствие движение точно такого же тела относительно инерциальной системы координат. Но для такого соответствия надо воспроизвести не только те реальные силы, которые действовали на исходное тело, но и добавить новые силы, соответствующие эйлеровым силам инерции в относительном движении исходного тела. Эйлеровы силы инерции здесь определяются как реальные силы, действующие на тело, в предположении, что подвижная система отсчета условно принимается за неподвижную. Например, если поворачивающий автобус мы примем за неподвижный, то нам придется считать реальными центробежные силы, действующие на повороте.

Таким образом, если мы свяжем подвижную систему координат с Землей, то ускорение точки на Земле в «абсолютной» системе – реальное ускорение – будет являться векторной суммой трех ускорений: относительного, переносного и кориолисова (по имени французского механика XIX века Густава Кориолиса), которое возникает тогда, когда подвижная система координат вращается. Вот с этим-то кориолисовым ускорением и соответствующей ему кориолисовой силой начинают происходить «чудеса» наподобие тех, что происходят с даламберовыми силами инерции. Их начинают считать реально существующими, приписывать им соответствующие действия и т. д.

Здесь надо твердо помнить, что и переносные, и кориолисовы силы инерции – силы нереальные, они зависят только от выбора системы координат и не отражают взаимодействий взятой точки с другими точками. Не имеют эти силы и противодействия, которое по третьему закону Ньютона должна иметь каждая сила. Силы инерции, какими бы они ни были, всегда нереальны; и нельзя верить, если даже в учебнике написано, что они на что-то «действуют» (см. вопрос 3.3). Силы эти, по образному выражению известного физика Ричарда Фейнмана, – «псевдосилы».

3.8. Вопрос. Можно ли определить эйлеровы силы инерции не формально, а исходя из физической сути явлений?

Ответ. Можно, хотя на это понадобится воображение [17]. Рассмотрим вспомогательное тело, полностью идентичное основному. Пусть это вспомогательное тело совершает в точности такие же движения по отношению к произвольно выбранной «абсолютной» системе координат, какие совершает основное тело по отношению к выбранной неинерциальной системе координат. Таким образом, на все точки вспомогательного тела действуют те же физические силы, что и на основное тело. Однако, чтобы движение вспомогательного тела относительно «абсолютной» системы координат в точности повторяло движение основного тела относительно неинерциальной системы координат, необходимо к вспомогательной системе приложить, помимо всех физических сил основной системы, еще и дополнительные силы. Так как движение рассматривается по отношению к «абсолютной», инерциальной системе отсчета, то это могут быть только физические силы. Очевидно, что они точно соответствуют эйлеровым силам инерции.

Таким образом, эйлеровы силы инерции равны тем физическим силам, которые следует добавить к исходным физическим силам, чтобы в точности воспроизвести относительное движение какого-либо тела как движение абсолютное, т. е. в инерциальной системе отсчета.

3.9. Вопрос. Если кориолисовы силы инерции нереальны, как они могут вызвать подмывание берегов рек? Что такое гироскопический эффект?

Ответ. Подмывание берегов рек можно качественно объяснить и без использования подвижной системы отсчета, эйлеровых сил инерции и других предположений.

Известно, что у рек, текущих в Северном полушарии, подмываются правые берега. Взглянем на Землю с высоты со стороны ее Северного полюса. Представим для простоты, что река, начинаясь на экваторе, течет прямо на север, пересекает Северный полюс и заканчивается тоже на экваторе, но уже с другой стороны. Вода в реке на экваторе имеет ту же скорость в направлении с запада на восток, как и ее берега (не течение реки, а именно скорость воды вместе с берегами и с Землей). Это при суточном вращении Земли составляет около 0,5 км/с. По мере приближения к полюсу скорость берегов уменьшается, а на самом полюсе она равна нулю. Но вода в реке «не хочет» уменьшать свою скорость – она подчиняется закону инерции. А скорость эта направлена в сторону вращения Земли – с запада на восток. Вот и начинает вода «давить» на восточный берег реки, который оказывается правым по течению. Дойдя до полюса, вода в реке полностью утратит свою скорость в «боковом» направлении, так как полюс – это неподвижная точка на Земле. Но река продолжает течь теперь уже на юг, и берега ее вращаются опять же с запада на восток со все увеличивающейся по мере приближения к экватору скоростью. Западный берег начинает «давить» на воду в реке, разгоняя ее с запада на восток, ну а вода, по третьему закону Ньютона, «давит» на этот берег, оказавшийся правым по течению.

На Южном полушарии все происходит наоборот. Если взглянуть на Землю со стороны Южного полюса, то вращается она уже в другом направлении. Все, у кого есть глобус, могут проверить это. Вот вам и закон Бэра, названный так в честь российского естествоиспытателя Карла Бэра (1792–1876), подметившего эту особенность рек.

А тут уже недалеко и до объяснения гироскопического эффекта вообще. Продолжим нашу реку дальше и опишем ею замкнутый круг на поверхности Земли. При этом заметим, что вся северная часть реки, находящаяся в Северном полушарии, будет стремиться направо, а вся южная часть – налево. Вот и все объяснение гироскопического эффекта, который считается едва ли не труднейшим в теоретической механике!

Итак, наша река – это огромное кольцо или маховик, вращающийся в том же направлении, что и течение реки. Если при этом поворачивать этот маховик в направлении вращения Земли, то вся северная его часть будет отклоняться вправо, а южная – влево (рис. 13). Иначе говоря, маховик будет поворачиваться так, чтобы его вращение совпало с направлением вращения Земли! Это и является качественным проявлением гироскопического эффекта.

Рис. 13. Схема вращения маховика, «обернутого» вокруг Земли.

3.10. Вопрос. Говорят, что гироскопический эффект удерживает велосипед от падения. Так ли это?

Ответ. Приходится много читать о том, что устойчивость велосипеда достигается благодаря гироскопическому эффекту его колес. Между тем – это явное преувеличение, и вот почему.

Гироскопический эффект – это возникновение момента при попытке принудительного поворота оси вращающегося тела. Но величину гироскопического момента мы пока не определяли. При поворачивании оси велосипедного колеса этот момент равен произведению момента инерции колеса на угловые скорости его вращения и поворота оси (вынужденной прецессии). Для простоты решим, что масса колеса 2 кг, радиус его 0,25 м и, стало быть, момент инерции, примерно равный произведению массы на квадрат радиуса, равен 0,125 кг·м². Велосипедист спокойно маневрирует уже на скорости 1 м/с, и колесо при этом вращается с угловой скоростью 4 рад/с. Угловая скорость поворота оси колеса раз в 20 меньше и равна примерно 0,2 рад/с. В результате получаем гироскопический момент, равный 0,1 Н·м. Это то же самое, что гирьку в 1 кг подвесить на конец гвоздя, торчащего из стены всего на 1 см. Вряд ли такой ничтожный момент может что-либо изменить в движении велосипеда.

В то же время едущий велосипедист, свернув всего на 10 см от прямой, если не наклонится в сторону поворота, создаст опрокидывающий момент, равный его весу плюс примерно полвеса велосипеда, умноженные на 0,1 м, что достигает порядка 100 Н·м. Этот момент в тысячу раз больше, чем гироскопический момент! Вот таким образом, наклоняясь к центру поворота, велосипедист сохраняет устойчивость.

Кстати, если речь идет о специальных «монорельсовых» транспортных средствах, удерживающих равновесие именно благодаря массивному и быстровращающемуся маховику, то здесь, действительно, помогает гироскопический эффект. Производя вынужденную прецессию (поворот оси) маховика с большим кинетическим моментом, мы вызываем огромные гироскопические моменты, удерживающие в вертикальном положении многотонные машины. Например, при моменте инерции маховика 100 кг·м² (это примерно колесо от железнодорожного пассажирского вагона), угловой скорости 600 рад/с и той же, что и раньше, вынужденной прецессии 0,2 рад/с, гироскопический момент будет равен 12 кН·м, что равносильно грузу 1,2 т, подвешенному на плече 1 м. Столь большой момент может не только стабилизировать тяжелое транспортное средство, но и разрушить быстровращающиеся подшипники маховика. Поэтому возможность возникновения гироскопических моментов надо всегда учитывать при расчете подшипников.

3.11. Вопрос. Если выстрелить из пушки вертикально вверх, то упадет ли снаряд снова в ствол пушки?

Ответ. Эта задача не давала покоя механикам XIX века. Конечно же, снаряд упадет обратно в ствол, если все происходит в абсолютной системе отсчета. А в реальной жизни, то есть на вращающейся Земле, все будет не так. Обычно эту задачу рассматривают с переходом на вращающуюся систему отсчета, что сильно усложняет ее, по крайней мере в математическом отношении. Давайте здесь попробуем рассмотреть лишь качественную сторону этой задачи в инерциальной системе отсчета.

Допустим, на широте Москвы массивная точка падает в вакууме с вышки высотой 100 м. Земля вращается с запада на восток, и точка эта имела в момент падения окружную скорость большую, чем поверхность Земли, так как дальше отстояла от ее центра. Падая, точка сохраняет свою окружную скорость, и соприкоснется она с Землей, сместившись в сторону превышения скорости, т. е. на восток. Расчет показывает, что это смещение невелико – всего 1,2 см.

А теперь выстрелим точечным снарядом вертикально вверх. В момент выстрела – на поверхности Земли – окружная скорость точки меньше, чем на высоте. Поэтому, поднимаясь вверх, точка будет отклоняться на запад. Особенно большое время точка проведет в верхней зоне своего полета, так как вертикальная скорость там мала, поэтому и путь, пройденный на запад, будет достаточно велик. На обратном пути точка тоже будет отклоняться на запад, правда теперь все медленнее и медленнее. Таким образом, она упадет западнее жерла пушки.

Кстати, наклонив ствол пушки чуть-чуть на восток, можно, в принципе, добиться того, чтобы снаряд, падая, коснулся снова жерла пушки; но реально, особенно с учетом влияния атмосферы, это сделать невозможно – задача эта сугубо теоретического плана.

Конечно же, весь расчет можно было бы провести точно, причем без привлечения фиктивных кориолисовых сил. Но большинство специалистов-механиков считает, что помещая нашу пушку в относительную вращающуюся систему координат и вводя фиктивные кориолисовы силы, можно выполнить расчет короче и проще. Если даже это и так, то не потерять бы главного – ощущения реальности происходящего, что в физике играет не последнюю роль!

4. Движение и сила

4.1. Вопрос. Катер проходит с одинаковой скоростью относительно воды один и тот же путь туда и обратно сначала по озеру, а потом по реке. Одинаковое или разное время затратит катер на эти путешествия?

Ответ. Этот вопрос лучше всего задавать при изучении относительного движения. В сущности, вопрос провокационный – ученики обычно чуть ли не хором отвечают, что при движении по течению к скорости катера прибавляется скорость воды в реке, а обратно – эта скорость вычитается. В результате время нахождения катера в пути будет одинаковым – что в озере, что в реке. Преподаватель может возразить: если скорость течения реки равна, а то и больше скорости катера, катер обратно вообще не вернется. Или если скорость течения реки совсем ненамного меньше скорости катера – обратный путь займет очень много времени, что также указывает на ошибку в ответе учеников.

Поэтому когда в вопросе фигурируют время и скорость, ученикам следует помнить: эти параметры обратно пропорциональны друг другу, а ответ на подобные вопросы следует подкрепить расчетами.

Если скорость реки v_p, катера – v_k, длина пути – х, то время прохождения пути туда и обратно в реке:

а в озере:

Разница между продолжительностью пути по реке и по озеру:

Рассмотрим ряд случаев, которые могут встретиться при решении задачи.

1. v_p = 0; тогда второй сомножитель в (4.3) обращается в нуль и Δt = 0; время в пути по реке t_p будет равно времени в пути по озеру t_оз.

2. v_к = v_р; тогда второй сомножитель стремится в бесконечность и Δt → ∞. Катер назад не вернется. Не вернется он назад и в том случае, если v_р > v_к. При этом из (4.1) видно, что время возвращения катера назад (второе слагаемое) отрицательно, чего не бывает.

3. v_к → ∞ (какой-нибудь сверхскоростной скутер!); второй сомножитель и Δt стремятся к нулю. При большой разнице в скоростях v_к и v_р, t_р ненамного превосходит t_оз.

4. В любом случае, когда v_к > v_р, Δt > 0 и, стало быть, t_р > t_оз.

Вот к каким разнообразным, а для кого-то из учеников и неожиданным результатам приводит анализ, казалось бы, простейшей задачки.

К слову, все сказанное легко проверить и без заплывов по воде. На эскалаторе метро или движущемся тротуаре (желательно коротких, чтобы физически можно было пройти этот участок против движения) нетрудно поставить эксперимент по существу решенной нами задачи.

4.2. Вопрос. Как, используя простые технические средства, например трос, получить весьма большие силы, необходимые для вытаскивания завязшего автомобиля?

Ответ. Лучше, если трос будет металлическим, т. е. по возможности малорастяжимым. Подойдет и прочная металлическая цепь. Трос, цепь или аналогичная гибкая связь должна быть достаточно длинной – необходимость этого будет понятна из постановки опыта (рис. 14).

Рис. 14. Схема опыта с натянутым тросом.

Закрепим один конец троса на предмете, который хотим вытащить, например, на крюке А автомобиля. Другой конец троса фиксируем на явно прочной опоре В – толстом дереве, пне, крюке в стене и т. д. Натягиваем трос как можно сильнее, затем беремся за середину его и рывком тянем в поперечном направлении (стрелка на рис. 14). Если угол между прямой АВ и тросом равен α, то усилие Т в тросе, действующее на крюк А, равно:

где sin α ≈ α при малых значениях угла α. Если длина троса, например, 50 м, а мы поперечной силой F оттянули его от первоначального направления на 0,5 м, то угол α равен 0,5/25, т. е. 0,02 радиана или около 1 градуса. Тогда, если сила F была равна 200 Н, что не так уж много, то усилие Т составит около 5 кН. Такой силой можно вытащить завязший легковой автомобиль без помощи трактора. Для практических целей напомним, что после каждого движения автомобиля вперед, нужно подкладывать под колеса упоры (бревна, камни и т. д.), чтобы автомобиль не откатился назад, а трос необходимо снова натянуть для последующего нового рывка.

Этим же объясняется то, что гитарист может достаточно легко порвать натянутую струну, если будет оттягивать ее за середину вбок даже с небольшой силой. Попробовал бы он порвать ее, просто растягивая руками!

4.3. Вопрос. Человек начал взбираться по приставной лестнице, и она пока не отъезжает от стены. Есть ли гарантия, что лестница не отъедет, когда человек поднимется еще выше?

Ответ. Для ответа на этот вопрос нужно воспользоваться понятием угла трения φ, связанного с коэффициентом трения/следующим соотношением:

Пояснить роль угла трения можно следующем примером. Если к телу, лежащему на шероховатой поверхности, приложить силу Р, образующую угол α с нормалью (рис. 15), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие P sin α будет больше Pfcos α:

Никакой силой, образующей с нормалью угол α, меньший угла трения φ, нельзя сдвинуть тело по данной поверхности.

Рис. 15. Схема к определению угла трения.

А теперь перейдем к сути нашего вопроса. Лестница прислонена к стене под углом α (рис. 16).

Рис. 16. Схема сил, действующих на приставную лестницу.

В предельном равновесном положении на лестницу действуют реакции R_A и R_B пола и стены, отклоненные за счет шероховатости поверхности от нормалей к этим плоскостям на угол трения φ. Материалы стены и пола в первом приближении считаем одинаковыми, чтобы иметь одинаковый угол трения ср. Линии действия реакций пересекаются в точке К. Следовательно, при равновесии третья действующая на лестницу сила Р, равная весу человека, тоже должна пройти через эту точку К. Ведь известно, что если свободное тело (например, наша лестница, где действие пола и стены заменены силами R_A и R_B) находится в равновесии под действием трех непараллельных сил в одной плоскости, то силы эти пересекаются в одной точке (это известная в механике «Теорема о трех силах»). Действительно, если бы эти силы не пересекались в одной точке, то тело, попросту говоря, завертелось бы от образовавшегося момента.

Поэтому можно сказать, что человек выше точки D (см. рис. 16) подняться не может – лестница отъедет от стены, и человек упадет вместе с нею. Обиднее и больнее всего для падающего, когда эта точка D находится на самом верху лестницы.

Следовательно, человек может подняться до конца лестницы только тогда, когда она образует со стеной угол α < φ. А уж этот угол можно определить из формулы (4.5), зная коэффициент трения опорной поверхности лестницы о пол. Здесь существует очень коварное заблуждение – если лестница сама не падает, то, якобы, не упадет она и с человеком. Это не так – ведь центр тяжести самой лестницы находится практически посреди нее, например в точке D. А ведь нам бывает надо взобраться и выше.

Автор предлагает пользоваться таким приемом: если можно достать вытянутой рукой до верхней ступеньки лестницы, то нужно потянуть за нее вниз – если лестница не падает, то на нее можно забираться. Если верхняя ступенька высоко, то к ней можно привязать веревку и тянуть за нее вниз.

4.4. Вопрос. Чем была сила в понимании древних людей?

Ответ. Древние люди различали два вида движения – естественное и насильственное. В нашем понимании естественное движение – это движение инерционное, без приложения внешних сил. Летит себе астероид в космическом пространстве с постоянной скоростью и по прямой – это и есть его естественное движение.

Но древние под естественным движением имели в виду нечто другое – возвращение предмета на его «естественное» место: если это камень, то вниз, если огонь, то наверх, на небо. И чтобы изменить это естественное движение, нужно было приложить силу – поднять камень вверх и т. д.

Из древних ученых наиболее серьезно занимался вопросами движения и сил Аристотель. Интересно, что древних греков совершенно не интересовало направление движения – им были важны только начальная и конечная точки движения.

Сила, названная Аристотелем «динамис», могла быть в современных обозначениях записана так:

где Р – вес движимого тела,

L – длина пути,

Т– время движения,

k – безразмерный коэффициент пропорциональности, видимо, имевший что-то общее с коэффициентом трения.

Поэтому размерностью аристотелевой силы по современным понятиям будет Н·м/с, т. е. Вт – единица мощности.

Даже из рассуждений Аристотеля можно было сделать вывод, что под силой он подразумевал мощность. Он считал, что одной и той же силой можно продвинуть половинный груз на вдвое большее расстояние, или на то же расстояние в половину времени. Видно, что сила отождествлена с работой и мощностью.

Сущность Аристотелевой силы подтверждается и терминологией. Греческое «динамис» переводится латинским «potentia», что соответствует французскому «puissance», или русскому «мощность». Античное воззрение на силу отразилось и на существующей до сих пор единице мощности – лошадиной силе. В действительности же лошадиная сила – это не сила, а работа эталонной лошади, отнесенная ко времени, в течение которого эта работа была совершена, то есть мощность. И возникла эта единица как количественная оценка паровой машины Уатта по мощности, а не по силе, которая в этом случае не имеет никакого смысла.

4.5. Вопрос. В законе всемирного тяготения массы считаются точечными. А в действительности они огромны по размерам, например наша Земля. Как будет действовать этот закон внутри нашей планеты?

Ответ. При ответе на этот вопрос мы столкнемся с рядом трудностей. Если тело находится на большой высоте над Землей, к тому же в безвоздушном пространстве, то силу притяжения этого тела к Земле можно определить по закону всемирного тяготения, а зная массу этого тела – ускорение по второму закону Ньютона. Подставив силу F притяжения двух тел – Земли и падающего тела – из закона всемирного тяготения:

в формулу второго закона Ньютона F = т_Tа и разрешив полученное выражение относительно ускорения, получим:

где G – гравитационная постоянная;

т_З и т_T – соответственно, массы Земли и тела;

R – расстояние между центрами масс тела и Земли.

Заметим, что ускорение а не зависит от массы самого тела.

При попадании в атмосферу Земли картина притяжения тела Землей меняется (здесь, конечно же, не идет речи об аэродинамическом сопротивлении атмосферы движению тела). С одной стороны, центр тяжести Земли становится ближе, и сила притяжения увеличивается. Вместе с тем, тело начинают притягивать массы воздуха, расположенные с другой стороны от центра масс Земли. Ускорение уже нельзя определить по формуле (4.8).

Далее, пусть тело достигнет уровня океана. Здесь перед нами встает новый вопрос: считаем ли мы, что рассматриваемое тело вращается вместе с Землей или оно неподвижно относительно «абсолютной» системы отсчета?

Если тело находится на полюсе, безразлично, на Северном или Южном, ускорение свободного паденияg = 9,83 м/с². Вращение Земли тут роли не играет: полюс – это неподвижная точка относительно инерциальной системы отсчета, если не принимать в расчет вращения Земли вокруг центра масс Солнечной системы, прецессии земной оси и других факторов, мало влияющих на отклонения движения полюса от инерционного. Но Земля «сплюснута» у полюсов и «раздута» у экватора из-за своего суточного вращения. Поэтому на полюсе тело максимально приближено к центру Земли.

На экваторе же из-за отдаленности от центра, а еще более – из-за вращения Земли, которое теперь уже мы не можем игнорировать (невозможно представить себе тело, находящееся на Земле, а тем более заглубленное в нее, и не вращающееся вместе с ней!), ускорение свободного падения g = 9,78 м/с².

Далее, величина ускорения свободного падения зависит от того, над чем находится тело: над глубоким океаном, где плотность воды невелика – около 1000 кг/м³, или над сушей, где плотность доходит до 2600 кг/м³ и более (например, над залежами железной руды), или над пустотами, если даже они заполнены нефтью или газом. Ускорение свободного падения тем больше, чем плотнее материал под телом, и тем меньше, чем он менее плотен.

Положение усложняется, когда мы начинаем заглублять рассматриваемое тело в Землю. Если мы опускаем его на дно океана, то над телом оказывается легкая вода. Она хоть и притягивает тело в сторону от центра масс Земли, но этот центр, оказываясь все ближе, доминирует в притяжении. Если мы заглубляем тело в грунт, скальные породы или железнорудные залежи, то притяжение от центра все существеннее.

Следует иметь в виду, что плотность вещества в центре Земли очень высока – около 12000 кг/м³ – это побольше, чем у свинца! Поэтому величина ускорения свободного падения g еще достаточно долго при заглублении в Землю увеличивается. Но потом она неизбежно начинает уменьшаться и в центре масс Земли ускорение свободного падения равно нулю. Тело одинаково притягивается внешними слоями Земли.

Интересно, что было бы, если бы Земля была полой и вся ее масса была сосредоточена в оболочке? Тогда, оказавшись в полости, все предметы «плавали» бы в ней, находясь в невесомости, как в космическом корабле!

4.6. Вопрос. Говорят, Галилей доказал, что тяжелые и легкие тела падают на Землю с одинаковой быстротой, основываясь на опытах бросания шаров с наклонной Пизанской башни. Возможно ли это на самом деле?

Ответ. Да, действительно, существует миф о том, что Галилей бросал шары с наклонной Пизанской башни (рис. 17), измеряя при этом время падения. И, будто бы, убедился в том, что легкие и тяжелые шары достигают Земли одновременно.

Рис. 17. Башня в Пизе (Италия), откуда по преданию Галилей бросал шары.

Не надо ехать в Пизу и, рискуя быть арестованным, пытаться сбрасывать предметы со знаменитой «падающей» башни. Попробуйте сделать это у себя дома с балкона двадцатого этажа или выше. Внизу поставьте счетчиков с секундомером. И сбрасывайте шары – железный, свинцовый, деревянный и из пенопласта. Что, они достигнут земли одновременно? Не нужно никаких хронометров, чтобы убедиться, что пенопластовый шар, например, будет еще «порхать» в то время, когда один за другим упадут на землю свинцовый, железный и деревянный шары.

Если бы Галилей и производил эти опыты, то нетрудно догадаться, к каким бы выводам он пришел – как и Аристотель, он бы убедился, что тяжелые тела падают быстрее легких. Ведь о пустоте – вакууме, тогда не могли помышлять и самые смелые умы. Ученые смеялись над теми, кто заявлял о существовании пустоты – «места без помещенных туда тел». Впервые «увидел» пустоту (вернее, разреженные ртутные пары) Эванджелиста Торричелли (1608–1647) в 50-х годах XVII века, когда Галилея уже не было в живых.

В действительности же Галилей катал шары по наклонному желобу и по пульсу (более точного и надежного метода тогда не было) измерял время их пробега. Некорректность этих опытов в аспекте сопоставления их с падающими телами очевидна. Шары в желобе, помимо прямолинейного движения центра их масс, приобретали вращение, существенно замедляющее их скорость. Угловая же скорость шаров зависела от их диаметра, распределения масс в шаре, материала шара, его плотности, упругих свойств, и т. д и т. п. На скорость шаров влияло неизбежное проскальзывание, а также трение качения, зависящее от материала шаров и желоба. Даже сопротивление воздуха, пропорциональное квадрату скорости, в верхней части шара в четыре раза больше, чем в центральной, что тоже не способствует точности опытов.

Поэтому, видимо, не рассчитывая на достоверность своих опытов, Галилей так логически «доказал» одномоментность приземления легких и тяжелых тел: «Уважаемые сеньоры, представьте, что вы взошли на башню, имея две монеты в 5 и 3 скудо. Первая должна падать быстрее, вторая – медленнее. Если вы свяжете монеты бечевкой, вес возрастает, и они должны падать быстрее, но, с другой стороны, монета в 3 скудо, как более легкая, должна тормозить 5 скудо. Получаемое противоречие снимается одним утверждением – вес предмета не влияет на скорость свободного падения».

Если действительно произвести этот опыт, легко убедиться, что быстрее всего падает монета в 5 скудо, медленнее – связка из двух монет, так как монета в 3 скудо действительно будет тормозить монету в 5 скудо, а наиболее медленно – монета в 3 скудо. Но если попытаться поместить эти монеты в один невесомый корпус, например, легкий полый пластмассовый шарик, то быстрее всего падала бы тяжелая связка из двух монет, затем 5, а последней – 3 скудо. В любом случае опыт не вяжется с доказательством Галилея, построенным на формальной логике!

Только в вакууме, например в трубке Ньютона (рис. 18), тяжелые и легкие тела – дробинка и перышко – будучи отпущенными вместе, падают одновременно. Автор подчеркивает, что для этого падающие предметы должны быть отпущены именно одновременно. Если же их отпускать порознь, то этот «постулат» равного времени падения легкого и тяжелого тел не соблюдается, по крайней мере, теоретически. Но об этом подробнее в следующем вопросе.

Рис. 18. Трубка Ньютона.

4.7. Вопрос. Когда говорят о падении тел друг на друга, например груза на Землю, учитывается ли, что оба тела движутся навстречу друг другу?

Ответ. Эта задача принципиально близка той, где рассматривается вращение небесных тел вокруг общего центра масс. Свободные тела не могут двигаться независимо друг от друга, так как они связаны силами взаимного тяготения. Если расположить два тела на каком-нибудь расстоянии друг от друга и отпустить их, т. е. позволить им свободно перемещаться без начальной скорости, они начнут сближаться друг с другом, пока не произойдет их соприкосновение. Если одно из этих тел – небесное, то говорят о падении тел на Землю, Луну, комету, астероид и т. д. При этом чем более сопоставимы по массе тела – падающее и то, на которое оно падает – тем соизмеримее их перемещения навстречу друг другу.

Что же считать в подобных случаях «быстротой» падения? Разумнее всего критерием быстроты падения считать время, прошедшее от начала падения до соприкосновения тел.

Если мы, как это описано практически во всех учебниках, отпускаем одномоментно два тела – легкое и тяжелое, то они упадут одновременно (в вакууме, конечно), потому что они оба, находясь вместе, одновременно притягивают к себе Землю или другой объект, на который они падают. Происходит как бы сближение всего двух тел, двух масс. Два падающих тела, более и менее массивное, находясь вместе, просто не могут упасть порознь. И тело, на которое падают вместе два других тела, передвигается навстречу сразу этим двум телам.

Если же опыт провести иначе – отпустить одно тело, измерить время падения, а затем заменить это тело на более или менее массивное, проделать тот же опыт еще раз, то результат будет различный. Чем массивнее падающее тело при постоянной массе тела, на которое оно падает, тем быстрее тела соприкоснутся, иначе говоря, тем быстрее упадет тело.

Если отвлечься от большой разности в массах (это уже количественная сторона вопроса), подобным же образом обстоит дело с падением обычных по массам тел на Землю. Если эти тела бросать поодиночке над одним и тем же местом на Земле (например, на экваторе или на полюсе, над океаном или над залежами тяжелых руд и т. д.) и измерять время падения, не забывая убирать упавшее тело куда-нибудь в космическую даль, то, чем массивнее падающее тело, тем быстрее оно «приземлится» с одной и той же высоты, и наоборот. Желательно, конечно, чтобы падающие тела были помассивнее, тогда современными средствами измерения времени можно было бы уловить разницу. Ну, а если на Землю будут падать, к примеру, планета Венера и в сравнении с ней пудовая гиря, то разница во времени падения будет ощутима и без часов!

Определим время падения одного тела на другое. Обозначим массу одного тела, например, планеты – М, а массу падающего груза – т. Как известно из закона всемирного тяготения, силы, действующие на эти тела, равны: