Текст книги "Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни"

* * *

В случае сомнительных юридических решений бесполезно поучать судей, поэтому сторонники математических методов распознавания манипуляций занялись поисками других показателей и критериев, которые невозможно отбросить по надуманным основаниям. Манипуляции заставляют сторонников одной из партий бесполезно тратить значительное количество голосов. Как только ваш кандидат получает большинство, все дополнительные голоса становятся лишними и никак не влияют на результат. А раз так, то при справедливом выборе границ избирательных округов обе партии должны тратить бесполезно примерно одинаковое число голосов. В 2015 году Николас Стефанопулос и Эрик Макги нашли новый метод подсчета бесполезных голосов – анализ разрыва в эффективности{12}12
  N. Stephanopoulos and E. McGhee. «Partisan gerrymandering and the efficiency gap», University of Chicago Law Review 82 (2015) 831–900.


[Закрыть]. В деле Gill v. Whitford 2016 суд Висконсина объявил карту избирательных округов на выборах в законодательное собрание штата незаконной, и основанием для этого решения стал разрыв в эффективности. Чтобы посмотреть, как вычисляется разрыв в эффективности, упростим процесс до выбора из двух кандидатов.

Существует два основных способа сделать ваш голос бесполезным. Голос, отданный за проигравшего кандидата, бесполезен потому, что вы могли с тем же успехом не голосовать вообще. Лишний голос, отданный за победителя уже после того, как он набрал 50 %, бесполезен по той же причине. Справедливость этих утверждений зависит от реальных результатов и определяется задним числом: невозможно с уверенностью сказать, что ваш голос бесполезен, пока неизвестны результаты выборов. В ходе всеобщих выборов 2020 года в Великобритании кандидат от лейбористов в моем избирательном округе получил 19 544 голоса, а кандидат консерваторов – 19 143 голоса. Лейборист победил с перевесом в 401 голос при общем числе голосов, отданных за две партии, равном 38 687. Если бы какой-то избиратель решил не голосовать, перевес все равно составил бы 400 голосов. Но если бы от голосования воздержалось чуть больше 1 % сторонников Лейбористской партии, победил бы кандидат консерваторов.

Согласно определению, бесполезными у Консервативной партии стали все 19 143 голоса, а у Лейбористской партии – 200 голосов. Разрыв эффективности показывает, насколько у одной партии бесполезных голосов больше, чем у другой. В данном случае он равен:

Число бесполезных голосов консерваторов

минус

Число бесполезных голосов лейбористов

разделить на

Полное число голосов.

То есть (19 143–200)/38 687, что составляет +49 %.

И это всего один избирательный округ. Идея метода в том, чтобы рассчитать совокупный разрыв в эффективности для всех избирательных округов и добиться, чтобы законодатели установили целевое значение. Разрыв в эффективности всегда лежит между –50 % и +50 %, а справедлив разрыв, равный 0 %, поскольку в этом случае у обеих партий бесполезными оказывается одинаковое число голосов. В итоге Стефанопулос и Макги предложили считать, что разрыв в эффективности, выходящий за рамки ±8 %, указывает на манипуляции.

Однако и у этого способа измерения есть недостатки. Когда результаты близки, большой разрыв в эффективности неизбежен, и всего несколько голосов могут изменить его с почти +50 до почти –50 %. В моем избирательном округе манипуляций не было, несмотря на разрыв в эффективности +49 %. Если бы всего 201 человек, вместо того чтобы отдать голос лейбористам, проголосовал за консерваторов, он был бы равен –49 %. Если одной из партий просто везет и она побеждает в каждом округе, кажется, будто это результат манипуляций. Демографические факторы также могут искажать картину. В деле Gill v. Whitford защита справедливо указала на эти недостатки, но истцы заявили, что к данному случаю они отношения не имеют, и выиграли дело. Однако в целом такие возражения совершенно оправданны.

В 2015 году Майра Бернштейн и Мун Дучин{13}13
  M. Bernstein and M. Duchin. «A formula goes to court: Partisan gerrymandering and the efficiency gap», Notices of the American Mathematical Society 64 (2017) 1020–1024.


[Закрыть] нашли у разрыва в эффективности еще ряд недостатков, а в 2018 году Джеффри Бартон показал, как можно устранить их{14}14
  J. T. Barton. «Improving the efficiency gap», Math Horizons 26.1 (2018) 18–21.


[Закрыть]. Предположим, например, что у нас есть восемь округов и в каждом из них Светлые получают 90 голосов, тогда как Темным достаются оставшиеся 10. У Светлых при этом бесполезных голосов 40 × 8 = 320, а у Темных – 10 × 8 = 80, так что разрыв в эффективности составляет (320–80)/800 = 0,3 = 30 %. Если принять предложенный 8 %-ный порог, то такой разрыв в эффективности говорит о манипуляциях, направленных против Светлых. Но Светлые по результатам голосования получили все восемь мест!

Второй сценарий вскрывает еще один вопрос. Предположим, что Светлые побеждают в трех округах 51:49, тогда как Темные – в двух с таким же результатом 51:49. Тогда у Светлых пропадает 1 + 1 + 1 + 49 + 49 = 101 голос, а у Темных 49 + 49 + 49 + 1 + 1 = 149 голосов. Разрыв в эффективности составляет (101–149)/500 = –0,096 = –9,6 %, что говорит о манипуляциях против Темных. Однако Темные – партия меньшинства, ей не следует рассчитывать больше чем на два места, что они и делают. Получение Темными еще одного места дало бы партии меньшинства большую часть мест.

Слева: график зависимости числа мест от числа голосов показывает пропорциональное представительство (жирная линия) и область (выделена серым), в которой разрыв в эффективности считается справедливым. Справа: график модифицированного разрыва в эффективности: серая область окружает диагональную линию

Бартон объясняет обе проблемы использованием необработанных данных о бесполезных голосах. На любых выборах голоса сверх необходимого, отданные за победителя, пропадают напрасно, какими бы ни были границы округов. Бартон заменяет «бесполезные голоса» на «голоса, пропадающие без необходимости», вычисляя для каждой партии долю голосов, которые однозначно пропадут, и вычитая их из бесполезных голосов. При первоначальном определении график места-голоса дает узкую полосу вокруг линии, идущей от 25 % голосов внизу до 75 % наверху, как на рисунке слева. Диагональная линия показывает идеальный график для пропорционального представительства. То и другое совпадает лишь на очень небольшом участке вблизи распределения голосов 50:50. Если учитывать голоса, пропадающие без необходимости, то получается график, показанный справа. Здесь область приемлемого разрыва в эффективности плотно окружает диагональ, что, конечно, куда более разумно.

* * *

Еще один метод распознавания манипуляций заключается в рассмотрении альтернативных карт и сравнении гипотетических результатов с использованием данных о вероятных паттернах распределения голосов по всему региону, о разбивке которого на округа идет речь. Если карта, предложенная Темными, дает им 70 % мест, а большинство альтернативных карт – лишь 45 %, то они явно мухлюют.

Основная проблема этой идеи заключается в том, что даже при разумном количестве округов нельзя рассмотреть все возможные карты. Происходит комбинаторный взрыв, то есть число вариантов растет с невероятной скоростью. Более того, все рассмотренные карты должны соответствовать закону, накладывающему ограничения, которые математически невозможно учесть. Однако математики давно нашли метод обхода комбинаторного взрыва: это марковская цепь Монте-Карло (Markov Chain Monte Carlo, MCMC). Вместо изучения каждой возможной карты MCMC предполагает создание случайной выборки карт, достаточно большой для точной оценки. Такой подход аналогичен тому, что используют центры общественного мнения, когда оценивают намерения избирателей по результатам опроса относительно небольшой случайной выборки.

Методы Монте-Карло восходят к Манхэттенскому проекту военного времени, целью которого было создание атомной бомбы. Математик Станислав Улам, выздоравливавший после болезни, раскладывал пасьянсы, чтобы скоротать время. Заинтересовавшись своими шансами на успех, он попытался оценить, какое число раскладов карточной колоды приведет к успеху при идеальной игре, но быстро понял бесперспективность такого подхода. Тогда он стал раскладывать пасьянсы один за другим и подсчитывать, как часто пасьянс сходится, а потом понял, что аналогичный фокус можно проделать и с физическими уравнениями, которые приходилось решать в рамках Манхэттенского проекта.

Цепи Маркова, названные в честь русского математика Андрея Маркова, представляют собой обобщение случайного блуждания (блуждания пьяницы). Подгулявший прохожий бредет, спотыкаясь, вдоль улицы, шагая то вперед, то назад случайным образом. Как далеко он продвинется в среднем после заданного числа шагов? (Ответ: в среднем примерно на квадратный корень из числа шагов.) Марков нарисовал в воображении аналогичный процесс, где улица была заменена сетью, а для переходов вдоль ребер этой сети назначены вероятности. Ключевой вопрос: после очень долгого блуждания по окрестностям какова вероятность нахождения в любой заданной точке? Цепи Маркова моделируют многие задачи реального мира, в которых происходят последовательности событий, вероятности которых зависят от текущих обстоятельств.

MCMC – это результат применения методов Монте-Карло к выборке из нужного списка вероятностей. В 2009 году статистик Перси Диаконис подсчитал, что около 15 % статистических расчетов в науке, технике и бизнесе проводится с помощью MCMC, так что имеет смысл применить такой мощный, отработанный и полезный метод для выявления манипуляций на выборах. Используем случайные блуждания по Маркову для генерирования карт избирательных округов, сделаем из них выборку по методу Монте-Карло и получим статистический метод оценки того, насколько типична предлагаемая карта. К этому нужно добавить лишь толику хитроумных математических выкладок, известных как эргодическая теория, которые гарантируют, что достаточно длинная случайная цепочка блужданий дает точную статистическую выборку.

Не так давно математики давали показания о MCMC в судах. В Северной Каролине Джонатан Маттингли использовал MCMC-оценки разумной серии величин, таких как полученные в результате выборов места, для доказательства того, что выбранный план округов представлял собой статистическое исключение и давал преимущества одной партии. В Пенсильвании Уэсли Пегден с помощью статистических методов показал, насколько мала вероятность того, что политически нейтральный план округов даст худшие результаты, чем планы, созданные на основе случайных блужданий, и оценил вероятность случайного получения такого результата. В обоих случаях судьи сочли математические доказательства убедительными.

* * *

Математическое истолкование избирательных манипуляций работает в обе стороны. Оно может не только помогать избирателям и представителям закона выявлять манипуляции, но и предлагать более эффективные методы подтасовок. Оно способно помогать, с одной стороны, удерживать людей в рамках закона, а с другой – нарушать закон или, что, возможно, еще хуже, извращать его смысл. Всякий раз, когда вводятся технические ограничения, призванные предотвращать нарушения, люди обходят систему и внимательно изучают законодательные нормы в поисках лазеек. Огромное достоинство математического подхода заключается в том, что он делает правила четкими и понятными. Кроме того, он порождает совершенно новую возможность. Вместо бесплодных попыток убедить конкурирующие политические силы договориться о том, что считать справедливостью, давая им возможность обойти систему, а потом наводить порядок в системе через суды, разумнее позволить им разрешить спор через единоборство. Не в общей свалке, где власть и деньги дают громадное преимущество, а на основе принципов, гарантирующих не только справедливость результата и восприятие его как справедливого, но и невозможность отрицания его справедливости заинтересованными сторонами.

Такой запрос может показаться чрезмерным, но в последнее время расцвела целая область математики, посвященная именно этой идее: теория справедливого дележа. И она гласит, что тщательно структурированные принципы переговоров помогают добиться того, что поначалу представляется невозможным.

Классический пример, из которого вытекает все остальное, – это спор двух детей из-за пирожного. Задача заключается в том, чтобы разделить пирожное, используя протокол – набор заранее определенных правил, – справедливость которого можно доказать. Классическое решение: «Я режу, ты выбираешь». Алиса разрезает пирожное таким образом, чтобы, по ее мнению, обе части имели равную ценность. После этого Боб выбирает себе один из кусочков. У Боба не должно возникнуть возражений, потому что выбирает он и, если ему не нравится один кусочек, он может взять другой. У Алисы также не должно быть возражений: если она считает, что Боб выбрал кусочек побольше, то ей с самого начала следовало разрезать пирожное иначе, чтобы кусочки получились равными. Если для них принципиален вопрос, кто первый, можно бросить монетку, но на самом деле в этом нет необходимости.

Впрочем, с учетом человеческой природы нельзя быть уверенным, что дети согласятся со справедливостью раздела после события. Когда я упомянул этот метод в статье, один из читателей написал мне, что опробовал его на своих детях, и Алиса (ненастоящее имя) стала жаловаться, что Бобу (тоже ненастоящее имя) досталось больше. Когда же отец заметил, что она сама в этом виновата, потому что разрезала неровно, это девочке не слишком понравилось – по ее мнению, это было все равно что обвинить жертву, – поэтому отец поменял доставшиеся детям кусочки. И услышал громкий рев: «У Боба все равно больше, чем у меня!» Но такого рода протокол должен, по идее, удовлетворить политиков – или, по крайней мере, заткнуть им рот – и определенно должен подойти суду. Судье нужно всего лишь убедиться, что протокол был соблюден.

Ключевой особенностью подобного протокола является то, что мы не пытаемся устранить взаимный антагонизм Алисы и Боба, а используем его для получения справедливого результата. Не просите их поступать по справедливости или сотрудничать, не предлагайте искусственных юридических определений справедливости. Просто позвольте им бороться друг с другом в рамках предложенной игры. Конечно, Алиса и Боб должны заранее согласиться играть по этим правилам, но им все равно придется согласиться на что-то, а правила здесь очевидно справедливы, так что несогласие, скорее всего, ни к чему не приведет.

Очень важно то, что протокол «я режу, ты выбираешь» не предполагает внешней оценки достоинств кусков пирожного. Он опирается на субъективные оценки игроков. Они просто должны считать, что полученная доля справедлива по их собственным критериям. В частности, им нет нужды достигать согласия относительно ценности чего бы то ни было. Мало того, справедливый дележ проходит легче, если они в этом не согласны. Один хочет вишенку, другой – кремовую розочку, остальное никого не волнует: дело сделано.

Когда математики и социологи начали воспринимать задачи такого рода всерьез, в них обнаружились замечательные скрытые глубины. Первый шаг вперед был сделан, когда математики и социологи задумались о том, как разделить пирожное на троих. Здесь не только сложно найти простейший ответ, но и обнаруживается новая закавыка. Алиса, Боб и Чарли могут согласиться, что результат справедлив, в том смысле что каждый получил по крайней мере треть пирожного по их собственной оценке, но Алиса может все же позавидовать Бобу и решить, что его доля больше, чем ее. Доля Чарли должна скомпенсировать это в глазах Алисы, если будет меньше ее доли, но в этом нет никакого противоречия, поскольку у Боба и Чарли могут быть разные представления о том, насколько ценны их кусочки для них. Так что имеет смысл поискать протокол, который будет не только справедливым, но и свободным от зависти[2]2
  Это математический термин. Свойство алгоритма дележа «свободный от зависти» означает, что каждый из участников дележа может быть уверенным в том, что никто не получил большую долю, чем он сам. (Разумеется, представления участников о величине и ценности долей могут быть разными.) – Прим. науч. ред.


[Закрыть]. И этого можно добиться{15}15
  В начале 1960-х годов Джон Селфридж и Джон Хортон Конвей независимо друг от друга нашли свободный от зависти метод дележа пирожного для трех игроков:
  1) Алиса разрезает пирожное на три равноценных, по ее мнению, кусочка.
  2) Боб пропускает ход, если не может выбрать среди трех кусочков самый большой; если может, он отрезает от самого большого кусочка лишнее, чтобы он перестал быть самым большим. Обрезки называются «остатком» и откладываются в сторону.
  3) Чарли, Боб и Алиса, именно в таком порядке, выбирают для себя кусочек, который они считают самым большим или одним из самых больших. В том случае, когда Боб не пропускает ход 2, он обязан выбрать обрезанный кусочек, если Чарли не выбрал его первым.
  4) Если Боб пропустил ход 2, то обрезков нет и дележ закончен. Если это не так, то либо Боб, либо Чарли взял обрезанный кусочек. Мы можем назвать того, кому достался этот кусочек, нережущим, а второго – режущим. Режущий делит остаток на три равные, по его мнению, части.
  5) Игроки выбирают себе по кусочку из этих трех в следующем порядке: нережущий, Алиса, режущий. Ни у одного игрока нет причин завидовать тому, что получают остальные: если он завидует, значит, его тактика была ошибочной и выбирать ему следовало иначе. Доказательство см.: en.wikipedia.org/wiki/Selfridge-Conway_procedure.


[Закрыть].

В 1990-е годы понимание задачи справедливого и свободного от зависти дележа значительно углубилось, начиная со свободного от зависти протокола дележа на четверых, найденного Стивеном Брамсом и Аланом Тейлором{16}16
  S. J. Brams and A. D. Taylor. The Win-Win Solution: Guaranteeing Fair Shares to Everybody, Norton, New York (1999).


[Закрыть]. Разумеется, пирожное всего лишь метафора ценной вещи, которая поддается дележу. Теория рассматривает объекты, которые можно делить на сколь угодно малые части (пирожное) и которые существуют в виде дискретных единиц (книги, драгоценности). Это делает теоретические принципы применимыми к вопросам справедливого дележа в реальном мире, а Брамс и Тейлор объяснили, как использовать эти методы для разрешения имущественных споров в бракоразводных процессах. Их протокол подстраивающегося победителя обладает тремя основными достоинствами: он справедлив, свободен от зависти и эффективен (или оптимален, по Парето). То есть каждая сторона дележа считает, что его доля по крайней мере не меньше средней, ни одна сторона не хочет меняться долями с кем-либо, и не существует другого варианта дележа, который был бы по крайней мере столь же хорош для всех и лучше для кого-либо одного.

В бракоразводных процессах, например, протокол может работать примерно так. После долгой совместной жизни и попыток научиться расшифровывать взаимные криптографические послания Алиса и Боб понимают, что им все надоело, и решают развестись. Каждому из них выделяется по 100 баллов, которые они распределяют, присваивая каждому объекту имущества – дому, телевизору, кошке – определенное значение. Поначалу объекты переходят к тому из них, кто оценил их выше, то есть присвоил больше баллов. Это эффективно, но обычно такой метод не обеспечивает справедливости и не свободен от зависти, так что протокол предусматривает следующий этап. Если сумма баллов с обеих сторон совпадает, то всех все устраивает и дележ на этом завершается. Если нет, допустим, доля Алисы, согласно ее же оценкам, получается больше, чем доля Боба по его оценкам. Теперь объекты переходят от Алисы (победителя) к Бобу (проигравшему) в таком порядке, который обеспечивает уравнивание оценок. Поскольку и оценки, и объекты дискретны, один из объектов, возможно, придется делить на части, но протокол подразумевает, что делать это придется не более чем с одним объектом – скорее всего, с домом, который продают, а деньги делят. Однако этого не происходит, если Боб приобрел акции Apple до взлета этой компании на фондовом рынке.

Протокол подстраивающегося победителя удовлетворяет трем важным условиям справедливого дележа. Он гарантирует справедливость: можно доказать, что он справедлив, свободен от зависти и эффективен. Он работает по принципу многосторонней оценки: в нем учитываются индивидуальные предпочтения и ценность доли каждого участника дележа определяется по его собственным оценкам. И наконец, он справедлив по процедуре: обе стороны могут понять и проверить гарантию справедливости для любого решения, полученного в конечном итоге, а при необходимости в справедливости решения может убедиться и суд.

* * *

В 2009 году Зеф Ландау, Онейл Рейд и Илона Ершова предположили, что аналогичный подход мог бы, в принципе, устранить проблему манипуляций на выборах{17}17
  Z. Landau, O. Reid and I. Yershov. «A fair division solution to the problem of redistricting», Social Choice and Welfare 32 (2009) 479–492.


[Закрыть]. Протокол, не позволяющий никому из участников перекраивать границы округов в свою пользу, кладет конец попыткам манипуляций. Этот метод не связан с рассмотрением формы округов и не дает якобы беспристрастным третьим лицам возможности навязать участникам свою карту. Он нацелен на уравновешивание конкурирующих интересов.

К тому же этот подход можно улучшать, чтобы принять во внимание дополнительные факторы, такие как географическая целостность и компактность. Если окончательное решение должна принимать внешняя организация, например избирательная комиссия, то результаты дележа могут быть представлены ей в составе фактов, на основании которых следует основывать суждение. Никто не утверждает, что в реальном мире такие методы способны полностью устранить предвзятость, но они работают намного лучше существующих методов и в значительной мере устраняют соблазн прибегнуть к откровенно нечестной практике.

В этом протоколе, слишком сложном для подробного описания, задействован независимый агент, который предлагает способ деления штата на две части. Затем партиям предоставляется возможность изменить карту агента, разделив одну из половин еще надвое, при условии, что другая партия разделит вторую половину. Или они могут выбрать вариант, при котором партии меняются ролями. Это вариант принципа «я режу, ты выбираешь» с более сложными последовательностями резов. Ландау, Рейд и Ершова доказывают, что их протокол справедлив с точки зрения любой партии. По существу, две партии играют одна против другой. Но игра организована так, чтобы заканчиваться ничьей, а каждый участник был уверен в получении максимально возможного результата. Если это не так, то ему следовало играть лучше.

В 2017 году Ариэль Прокачча и Уэсли Пегден усовершенствовали этот протокол, исключив из него независимого агента, так что теперь все вопросы решаются двумя противоборствующими сторонами. Если коротко, одна политическая партия делит карту штата на требуемое по закону число округов с равным (насколько возможно) числом избирателей в каждом. Затем вторая партия «замораживает» один округ, то есть делает дальнейшее изменение его границ невозможным, и перерисовывает, как считает нужным, границы остальных. Затем первая партия замораживает на новой карте еще один округ и перерисовывает оставшиеся. Так партии по очереди замораживают и перерисовывают округа, пока все они не окажутся замороженными. Это и есть окончательная карта избирательных округов. Если всего округов, скажем, 20, процесс займет 19 циклов. Пегден, Прокачча и приглашенный студент-компьютерщик Юй Динли математически доказали, что этот протокол не дает первому игроку преимущества и что ни один из игроков не сможет сосредоточить в одном округе определенную часть населения, если второй игрок этого не захочет.

* * *

В настоящее время математика выборов – очень обширный предмет, а манипуляции при разбивке на округа лишь один из изучаемых аспектов. Немало работы проделано по разным системам голосования – мажоритарной системе, системе единого передаваемого голоса, пропорциональному представительству и т. д. Один из выводов, вытекающих из этих исследований, заключается в том, что если составить короткий список свойств, желательных для любой разумной демократической системы, то в определенных обстоятельствах они неизменно противоречат друг другу.

Прабабушкой подобных результатов можно считать теорему Эрроу о невозможности, которую экономист Кеннет Эрроу опубликовал в 1950 году и объяснил в своей книге «Коллективный выбор и индивидуальные ценности» (Social Choice and Individual Values)[3]3
  Эрроу К. Дж. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. – М.: ВШЭ, 2004.


[Закрыть] годом позже. Эрроу рассмотрел рейтинговую систему голосования, при которой каждый избиратель присваивает серии вариантов численные рейтинги: 1 – самому лучшему с его точки зрения варианту, 2 – следующему и т. д. Он объявил три критерия справедливости такой системы голосования:

• Если каждый избиратель предпочитает одну из альтернатив, то это верно и для группы.

• Если ни у одного из избирателей предпочтения в отношении двух конкретных вариантов не меняются, не меняются они и у группы, даже если предпочтения в отношении остальных вариантов меняются.

• Не существует такого диктатора, который может всегда определить, какой вариант предпочитает группа.

Все это прекрасно и очень желательно, но, как далее доказывает Эрроу, логически противоречиво. Это не значит, что такая система обязательно несправедлива: это означает лишь, что при некоторых обстоятельствах результат будет нелогичным.

У избирательных манипуляций имеются собственные потомки теоремы Эрроу. В одной из таких теорем, опубликованной Борисом Алексеевым и Дастином Миксоном{18}18
  B. Alexeev and D. G. Mixon. «An impossibility Theorem for gerrymandering», American Mathematical Monthly 125 (2018) 878–884.


[Закрыть] в 2018 году, изложены три принципа справедливой разбивки на округа:

• Один человек, один голос: все округа включают в себя примерно равное число избирателей.

• Компактность по Полсби – Попперу: все округа имеют тест Полсби – Поппера, превышающий определенное законом значение.

• Ограниченный разрыв в эффективности: более формальный параметр. Грубо говоря, если население любых двух округов не превышает некоторой фиксированной доли полного населения всех округов, то разрыв в эффективности составляет меньше 50 %.

Затем они доказывают, что никакая система нарезки избирательных округов не может во всех случаях удовлетворять этим трем критериям.

Демократия не может быть идеальной. Поразительно, что она вообще работает, если учесть, что ее цель – убедить миллионы людей, имеющих собственное мнение, согласиться по какому-то важному вопросу, затрагивающему всех. Диктаторские режимы намного проще. Один диктатор – один голос.