Текст книги "Физика для «чайников». Несерьезное пособие"

Механические колебания
Ты смотришь на него и засыпаешь…

Ну что же. Вот, наконец, и подбираемся к концу этой здоровенной механики. Последняя часть, наверное, будет мутная в плане математики. Но для того, чтобы считать, без математики не обойдёшься. Поэтому засучиваем рукава – и вперёд.

Был разговор про устойчивое равновесие. Там на тело действует сила, которая стремится вернуть его в первоначальное положение. Но сразу же оно туда не возвращается из-за собственной инертности: не может мгновенно остановиться в точке и проскакивает её, потом возвращается обратно, но опять проскакивает… Вот такие движения «туда-сюда» относительно какого-то положения равновесия называют механическими колебаниями. Более строго – это повторяющееся отклонение тела в разные стороны от положения равновесия. Координата, скорость и прочие цифири, которые машут руками из кинематики, здесь меняются так, что их изменения повторяются. Благодаря чему и появилась возможность их считать.

Здесь же встречаем старых знакомых – период и частоту. Они означают примерно то же самое: период колебаний – это минимальное время, за которое колеблющееся тело возвращается в первоначальное положение, или совершает одно полное колебание. В пример обожают приводить маятник: если он качнулся справа налево, то это только половина колебания! Полное – это когда он снова вернётся направо. Частота – количество таких полных колебаний в секунду. Единицы измерения такие же – секунда и герц соответственно.

Вообще говоря, колебание как таковое используется тоже чуть ли не во всей физике: например, есть ещё электромагнитные колебания, которые можно разделить на кучу составляющих. Самые распространённые колебания, над которыми обычно и заставляют ломать голову, называются гармоническими. Суть в том, что какая-то физическая величина (например, координата) меняется во времени по закону синуса или косинуса. То есть можно математически описать, что:

x = число sin (чего-то-там. t+ещё-что-нибудь). Или cos вместо sin (они, в общем-то, отличаются только тем, что sin – это тот же cos, только с разницей в 90 градусов под скобками). Да, придётся напрягать мозги и вспоминать математику: считать придётся все эти цифири, которые я обозначил словами.

Если превратить слова в буквы, то обычно это записывают так: x = A.sin (ωt+φ). x – наша координата, A – амплитуда, ω (омега) – циклическая частота, t – время, φ (фи) – начальная фаза. О нагородили, поди теперь разберись во всех этих умных словах! Попробуем.

Амплитуда. Это самое большое значение, которое может принимать наш икс (то бишь то, что меняется). Если опять обратиться к маятнику: когда он достигает крайнего левого или правого положения, это расстояние (от «центра» – точки равновесия – до крайнего положения) и есть амплитуда колебания. Бывает, в задачах делают так, что маятник «запускается», когда находится в крайнем положении. В этом случае в первый момент x = A, на что впоследствии опирается вся математика.

Циклическая частота. Это частота, умноженная на 2π. Да, вот так наукообразно. Почему и зачем? Во-первых: для того, чтобы комфортно считать синусы-косинусы без калькулятора, лучше всего приводить то, что в их скобках, к π (пи), умноженному на что-нибудь. Но это не самый важный аргумент. Во-вторых: слово «циклическая» обращается к окружности. А уж окружность без пи – это как Гибралтар без пролива. Или как душа без порыва. Длина окружности = 2π. радиус. Сколько раз описывает такую окружность наше колеблющееся тело в секунду – это частота. Но если считать по этой частоте всякие другие цифири, то тут же полезут все эти пи, 2пи и так далее. А сколько точно равно пи – так до сих пор никто и не знает. А вот если сразу умножить частоту на 2пи, а потом уже делить-умножать, то высока вероятность, что все эти пи сократятся. Сдаётся мне, что эта заморочка сделана только для точности расчётов. Другого объяснения просто не нахожу.

Фаза и начальная фаза. А это ещё более мутное понятие. Если циклическую частоту и амплитуду ещё худо-бедно можно себе представить, то фаза – вообще тушите свет. В учебниках (по крайней мере – тех, что я читал) их определения никакой смысловой нагрузки не несут: просто «величина в скобках называется фазой», и всё – понимай как хочешь. Я бы это объяснил так. Если фаза меняется на 2пи, то это получится одно полное колебание: синус (или косинус) пробежит все свои возможные значения от первоначального (через 0, -1, снова 0 и +1 – опять до первоначального).

Если представить, опять-таки, наш многострадальный маятник, то получится так. Сначала для удобства прикинем, что крайние левые и правые положения у него отстоят ровно на 90 градусов от среднего, то есть за половину колебания («справа налево») наш маятник опишет развёрнутый угол в 180 градусов. Тогда получается, что фаза – это такой воображаемый угол, на который в данный момент времени отклонился маятник. Причём угол этот считается по-хитрому: после того, как он прошёл первое крайнее положение (если он качается справа налево – это будет левое), угол не уменьшается, а по-прежнему возрастает! После 180 будет 181 – и так далее, вплоть до 360, пока маятник не вернётся снова в первоначальное положение. Но это всё очень условно – обычно положения маятника находятся не под прямым углом, и фазу именно таким образом будет не посчитать. (Представить по-прежнему можно будет, но она при этом как бы сожмётся в гармошку – реально тело отклонится на 1 градус, а фаза увеличится на несколько «градусов»… хотя её почти всегда измеряют в радианах.) То есть, получается, фаза – это какая-то цифирь от 0 до 2пи, отвечающая за то, в каком положении полного колебания (из всех возможных) тело сейчас находится. Или, если попробовать поменять на более понятную формулировку: каждая возможная фаза привязана к каждой из возможных точек, в которой тело будет находиться.

В формуле x = A.sin (ωt+φ) фаза – это всё, что в скобках синуса. Железная логика математики налицо: если то, что в скобках, поменялось на 2пи, синус этой скобки будет точь-в-точь такой же. А значит, и то, что колеблется, окажется точно в таком же положении, в каком было до этого изменения на 2пи. Отсюда можно понять, что такое начальная фаза: это то положение полного колебания, в котором находилось тело, когда включили секундомер (время было равно нулю). Да, это муть, я знаю. Но, к сожалению, фаза тоже имеет большое значение в колебаниях, ей даже умудряются манипулировать. К счастью, об этом в школьной физике говорят уже вскользь. Плюс к тому, чтобы не морочить себе голову, в механике начальную фазу часто вообще принимают за ноль. Только мы выбираем, с какого положения колебания вести отсчёт. Хоть с потолка, посчитать всё равно получится.

И вот теперь со всем этим багажом знаний предстоит что-то делать. Обычно принимают, что колебания, о которых идёт речь в задачах, – гармонические и свободные. Гармонически – значит, идут по вот той страшной формуле. Свободные – значит, происходят без участия внешних сил и сами по себе. Похоже на сказку. В жизни колебания рано или поздно затухают – попросту из-за того, что колеблющееся туловище теряет энергию хотя бы на то же трение или на тот же нагрев. Но в задачах обычно такое опускают. И мучают бедных учеников в двух направлениях: колебания груза на пружине и математический маятник.

Математический маятник? Это ещё что за зверь? Это такой же маятник, только у него нить, на которой висит грузик, очень-очень длинная. Гораздо длиннее, чем то расстояние, на которое отклоняется маятник – раз. Нерастяжимая – два. Невесомая – три. Зачем так много заморочек? Да чтобы расчётам не мешали сила, с которой натягивается нить, и сила её собственной тяжести. Самое сложное (и основное) в этих колебаниях – период.

Он считается так: T = 2π.√ (l/g). T – период, l – длина нити, g – ускорение свободного падения. Зная период, можно, в принципе, рассчитать и всё остальное. Да, здесь аж корень квадратный. Особо любопытным можно проверить размерность и убедиться, что без него секунду не получишь.

Груз же на пружине колеблется гармонически, если пружина деформируется всё по тому же самому закону Гука, и при этом достаточно мало трение. Тогда период будет: T = 2π.√ (m/k). m – масса груза, k – жёсткость пружины.

Ладно, это всё были свободные колебания. Есть ещё вынужденные – те, которые происходят не от хорошей жизни, а оттого, что какой-то вредный дядька их снаружи подталкивает. Например, те же качели. Только не которые были в статике (на которых двое садятся), а одноместные, на которых ещё «солнышко» (переворот) делать можно. Качаешь их время от времени – и они либо ускоряются, либо замедляются. Если качели ускоряются, то это будет то, что называют ещё одним малопонятным словом – «резонанс». Означает оно увеличение амплитуды колебаний при совпадении частоты колебаний системы с частотой, с которой изменяется внешняя колеблющая сила. Во как, аж язык сломаешь. Теперь по-русски. Когда та частота, с которой качаются качели, и та частота, с которой ты их качаешь, близки или совпадают, качели начинают раскачиваться сильнее. Вот то, что они при этом раскачиваются сильнее, – это и есть резонанс. Другой пример, который живьём увидеть гораздо сложнее: когда мост рушится от роты солдат, которые идут в ногу по нему. Если та частота, с которой их ноги топают, совпадает с той частотой, с которой колеблется мост (да, он тоже колеблется, просто это незаметно невооружённым глазом), то он начнёт ходить ходуном, по нему пойдёт что-то типа волны на воде, и, в конце концов, он из-за такой трясучки развалится. Ну и ещё один пример резонанса, не из механики: настройка телевизора или радиоприёмника. В тот момент, когда достигается резонанс электронной начинки принимающего устройства аппарата с тем сигналом, который передают теле– или радиовышка, изображение или звук становятся самыми чёткими. Что-то в таком духе.

Вкратце и поумнее: механические колебания – это повторяющиеся отклонения тела от положения равновесия в разные стороны. Период колебаний – минимальное время, за которое тело возвращается в первоначальное положение (совершает одно полное колебание). Частота – количество полных колебаний в секунду. Гармонические колебания – колебания, при которых некая физическая величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса: x = x₀.sin (ωt+φ), x₀ – амплитуда (максимальное отклонение тела от положения равновесия), ω (омега) – циклическая частота (2пи. частота), φ (фи) – начальная фаза (для простоты её принимают равной нулю). Аргумент синуса называется фазой. Свободные колебания – колебания, происходящие без участия внешних сил (как вариант – поддерживающиеся сами собой, хотя это и не очень точно). При гармонических колебаниях груза на пружине (пружина деформируется по закону Гука, трением можно пренебречь) период равен 2π.√ (m/k), где m – масса груза, k – жёсткость пружины. При гармонических колебаниях математического маятника (массивный груз на длинной нерастяжимой невесомой нити) период составляет 2π.√ (l/g), l – длина нити, g – ускорение свободного падения. Затухающие колебания – колебания, амплитуда которых со временем уменьшается за счёт потерь энергии в системе. Вынужденные колебания – колебания, которые происходят за счёт периодического воздействия внешней силы. Резонанс – явление увеличения амплитуды вынужденных колебаний при совпадении собственной частоты, с которой колеблется система, с частотой воздействия внешней силы.

Механические волны
…Просыпайся! Это последний раздел про механику!

Медленно, но верно подбираемся к самому последнему здесь. Математика вся позади, остались только слова. Волны. Это что-то, похожее на колебания, только колебания происходят с каким-то телом около какого-то положения, а волна распространяется в пространстве, и тела для своего распространения не требует. Если точно, то волна – это периодический процесс, распространяющийся в пространстве. Характеризуется обычно частотой. А период? Волны и секунды не слишком любят друг друга, и термин «период» для волн не используют. Почему? Потому что у тех волн, что чаще всего рассматривают, он просто очень мал. Кроме частоты, у волны есть ещё скорость распространения. Волны разделяют по нескольким признакам. Три основные из них: по признаку распространения, по геометрии распространения и по плоскости распространения. Если всё это раскрыть, то получаем – соответственно: бегущую или стоячую волну; плоскую, сферическую или спиральную волну; продольную или поперечную волну. Ух, сколько всего… Попробую чуть-чуть утешить: о втором признаке (геометрии распространения) будет отдельный разговор, о нём пока подзабудем.

Бегущая волна – это значит: грубо говоря, на её пути нет каких-либо препятствий, от которых она отразится, или которые заставят её погаснуть. Стоячая – если на её пути такие препятствия есть, от этого она может отразиться обратно и как бы складывается со своим «хвостом», который нагоняет её сзади. В жизни бегущая волна – это волна на воде, а стоячая – волна, возникающая при колебаниях струны музыкального инструмента. Бежит в одну сторону, ударяется о струнодержатель, поворачивает обратно, попутно складывается со своим «хвостом», идущим следом, и на другом конце происходит то же самое. Всё это распространяется по всей струне. Получается непонятная каша, из которой каким-то макаром выходит звук. (Звук, – это, кстати, тоже механическая волна, но о нём чуть-чуть попозже.)

Продольная волна – это значит: то, что колеблется (образует собой волну), колеблется параллельно тому направлению, в котором эта волна идёт. Пример – тот же звук: если крикнул прямо по курсу – то тебя и услышат скорее впереди, а не слева или справа. Поперечная волна – это если колебание идёт перпендикулярно направлению, в котором пошла волна. Здесь примеров много. Самый яркий (и, наверное, самый понятный) из них – это волна на воде. Вода поднимается и опускается вверх-вниз, но волна при этом идёт вперёд (или назад, если на неё удаётся залезть и переплыть). Вот, кстати, этот же гребень волны (или её ложбину, неважно) можно условно обозначить как «голову» и заявить, что именно с этого участка волна идёт вперёд, оставляя за собой колебания. Такой участок по-умному называется фронтом волны и строго описывается как «геометрическое место точек, имеющих одинаковую фазу колебаний». По сути, все эти умные слова означают одно: участок волны, в котором все колеблющиеся находятся, держась за руки, в одной и той же стадии колебания, и есть фронт. Опять непонятно? Ну хорошо, вот снова возьмём волну на воде. Кинули камень, и от него пошли круги. Вот этот круг и есть фронт нашей волны. Он бежит вперёд, постепенно расширяясь и оставляя за собой колебания – другие круги, каждый из которых, в свою очередь, повторяет действия первопроходца. Вот как-то так. И именно по форме фронта можно тоже разделить волны по второму признаку (по геометрии). Та, что на воде, это сферическая (круги идут и вглубь тоже!). Если бы волна пошла сплошняком, «стеной», прямо (и также поднимала за собой бы только прямые «стены», параллельные себе) – это была бы плоская волна. Увы, но более-менее жизненных наглядных примеров плоской волны мне пока на глаза не попадается. Спиральная волна? Выкинуть это из головы. В школе самое большое, что про неё могут спросить, – а существует ли вообще такая. Ответ – да. Всё.

Нагрузил по самое «не могу»? Спокойно. Страшные термины позади, теперь осталось самое простое. Три цифры, подсчёт которых не сложнее школьной формулы s=v.t. Частота волны, длина волны и скорость волны. Частота – логика подсказывает, что это то количество колебаний, которое волна делает в секунду. Единственная «строгая» поправка здесь: поскольку волна идёт туды-сюды, мы как бы хватаем её за одну точку и смотрим, сколько раз в этой самой точке она будет колебаться (в остальных точках фронта будет так же). Тоже меряется в тех же герцах. Длина волны? Та же логика подсказывает, что это то расстояние, за которое колеблющаяся точка вернётся в то же самое положение. По-умному – это минимальное расстояние между двумя фронтами волны. Обозначается буквой «лямбда». Да, та самая эмблема игрушки, название которой можно перевести как «период полураспада». Лямбдой обозначают длину волны! Измеряется в метрах. (О периоде полураспада разговор будет, но в самом-самом конце.) Ну а скорость, как уже можно догадаться, – это скорость распространения всё того же фронта волны. Ну и отсюда получаем: v = λ.ν. v – скорость волны, λ (лямбда) – длина волны, ν (ню) – частота. («Ню» пишется почти как v, поэтому специально обращаю внимание: у ню «усики» более задраны кверху, чем у v. И вообще, ню – это ещё такой стиль «обнажённого» искусства.)

Выходим на финишную прямую! Остался лишь один звук. В широком и заумном смысле – это механические колебания частиц и давления, распространяющиеся в упругих средах, газах, жидкостях и твёрдых телах. Сам не понял, что написал. В узком смысле – это механические колебания, частота которых составляет от примерно 16 Гц до 20 кГц (килогерц, то есть 20 000 Гц), которые воспринимает слуховой аппарат человека.

Три его основных характеристики: скорость, громкость и высота. Поскольку звук – это волна, его скорость с точки зрения физики ничем не отличается от скорости другой механической волны. Вообще говоря, она зависит от среды (ну уж точно не от понедельника или четверга), в которой звук распространяется. Чем плотнее среда, тем больше скорость. В воздухе это примерно 331 км/с, в воде – 1348 км/с. (Это если вода идеально чистая. Если она тёплая или солёная, то скорость будет расти. На большей глубине скорость тоже будет расти.) В твёрдом теле звук распространяется ещё быстрее и сложнее: там появляются ещё поперечные звуковые волны, с которыми мне совершенно не хочется никого знакомить. Громкость звука в основном зависит от его амплитуды, ну а высота – от частоты. Выше частота – выше звук. В музыкальных инструментах звук получается как раз от колебаний струны – но, как сильно струну ни дёргай, звук будет тихим (с малой амплитудой). Для того чтобы его стало слышно лучше, используется резонанс: так, в акустических гитарах это специальное отверстие, вырезанное в корпусе. Размеры его специально рассчитаны так, чтобы звук, зайдя внутрь (а внутрь он зайдёт обязательно, потому что распространяется во все стороны), стал поддерживать сам себя. То есть получается, что звук усиливается оттого, что частота его колебаний поддерживается им же. Именно поэтому вступает в силу резонанс, и звук становится громче. В электрической гитаре хитрее: там используется несколько «звукоснимателей», «слышащих» струну каждый на отдельном её участке. Эти звукосниматели превращают звук в электрический сигнал, который потом усиливается «начинкой» специального электронного усилителя, после чего все полученные электрические сигналы складываются и превращаются обратно в звук – получаем то, что слышим из динамика. Именно из-за этого электрического преобразования электрогитара может звучать совершенно по-разному: от мягкого джаза до какого-нибудь жесточайшего punk-metal-death-hardcore.

Ну и на закуску: звуковые волны, что по частоте ниже тех, что мы слышим (0…20 Гц) – это инфразвук. Выше 20 кГц – ультразвук. Ни то, ни другое мы не слышим, но говорят, что можем воспринимать. А некоторые животные слышат инфра– или ультразвук, но глухи к некоторым нашим звукам. Вот такие дела.

Вкратце и поумнее: волна – это периодический процесс, распространяющийся в пространстве. Характеризуется частотой, длиной волны и скоростью. Признаки, по которым делят волны: по признаку распространения, по плоскости распространения, по геометрии распространения, соответственно: бегущая/стоячая, продольная/поперечная, плоская/сферическая/спиральная. Фронт волны – линия или поверхность, образованная частицами, колеблющимися в одной и той же фазе. Частота волны – количество полных колебаний в единицу времени (секунду), которые совершаются в той или иной точке пространства. Единица измерения – герц. Длина волны – минимальное расстояние между фронтами волны. Единица измерения – метр. Скорость волны – скорость распространения фронта волны. Единица измерения – метр в секунду. Звук в широком смысле – это механические колебания частиц и давления, распространяющиеся в упругих средах, газах, жидкостях и твёрдых телах, в узком смысле – механические колебания с частотой от 16 Гц до 20 кГц, воспринимаемые слуховым аппаратом человека.

Скорость звука зависит от среды распространения – чем плотнее среда, тем выше скорость (в воздухе – 331 км/с, в воде – 1348 км/с), громкость зависит от амплитуды звука (чем больше – тем громче), высота – от частоты (чем больше – тем выше).