Текст книги "100 задач с числом года. Часть 1. Выпуск 1"

100 задач с числом года
Часть 1. Выпуск 1
Ирина Краева

© Ирина Краева, 2023

ISBN 978-5-0060-0258-6 (т. 1)

ISBN 978-5-0060-0257-9

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Предисловие

Мысль аккумулировать все возможные задачи, в которых можно было бы использовать число, обозначающее текущий календарный год, формировалась долго.

К слову, идея использовать в математических задачах число года далеко не нова: практически во всех олимпиадных материалах такие задачи встречаются. Да и в не олимпиадных тоже.

Яркий пример – устное решение квадратных уравнений с суммой коэффициентов равной нулю: 2023x² – x – 2022 = 0.

Знакомо, правда?

Профессиональный опыт регулярно «подкидывал» задачи, в которых вроде бы и нет числа года, но есть потенциальная возможность его включить.

Потом случился «Математический календарь»11
  Что это такое и «с чем его едят» можно посмотреть, например, тут: «Математический календарь. 2018»


[Закрыть]. Сначала в электронно-бумажной версии. Потом – как контент паблика «Математические лайфхаки»22
  Сообщество в соцсети ВКонтакте «Математические лайфхаки».


[Закрыть].

И вот постепенно, разрабатывая тематику постов, «гуляя» по дружественным задачно-математическим сообществам, в 2022 году был реализован масштабный челлендж «Математические каникулы» (зимние, весенние и летние): каждый день на стене публиковались разнообразные задачи, главным «участником» которых было число 2022.

Материал копился на бумажных листочках, клочках и обрывках. Возникла необходимость их «окультуривания».

Не скрою, что в первую очередь публикация собранных материалов «задачи с числом года» это стремление упростить жизнь себе. Но вдруг кому-нибудь это тоже пригодится?

В процессе попыток систематизации задач проявились некоторые нюансы, с которыми пришлось считаться.

Например, не все задачи универсальны, если можно так сказать. Есть такие, решение которых совсем не зависит от того, какое число года в нём фигурирует. В других же свойство числа (чётность/нечётность, простое/составное,  кратность/остаток, набор цифр и т.д.) напрямую влияет как на формулировку условия, так и на ход решения.

В результате весь материал был разбит на три блока:

– часть I «Задачи со стандартным условием и универсальным способом решения»;

– часть II «Задачи с вариативным условием и/или меняющимся алгоритмом решения»;

– часть III «Задачи с уникальным условием и/или неалгоритмичным способом решения».

По мере работы количество собранных, придуманных и переформулированных задач увеличивалось.

И, видимо, будет продолжать увеличиваться. «Волшебству, как известно, стоит только начаться»…

От замысла сделать одну книгу пришлось отказаться.

Зато нашёлся другой, вполне жизнеспособный, вариант: делать регулярные публикации. Вот так и получилось, что данная книга содержит только стандартные задачи. Чтобы как-то соригинальничать, было принято решение ограничить количество задач. Так возник подзаголовок «Часть 1. Выпуск 1». Далее будут «Часть 2. Выпуск 1», «Часть 3. Выпуск 1», «Часть 1. Выпуск 2»…

Не надо думать, что все задачи, которые планируется публиковать, придуманы автором, хотя такие есть.

И уж простите, но конкретных ссылок на все многочисленные источники (книги, периодика, паблики в ВК и проч.) в которых были найдены задачи или идеи для них, не будет.

Во-первых, это трудно, а иногда невозможно: источники эти весьма многочисленны, а некоторые уже и забыты.

Во-вторых, некоторые задачи – это уже «общественное достояние». Элементарная математика «накопила» огромное количество интересных задач.

В-третьих, в своё оправдание скажу, что даже в таких известных книгах как «Математическая смекалка» Б.А.Кордемского, «В царстве смекалки» Е.И.Игнатьева и «По следам Пифагора» Щ.Еленьского встречаются одинаковые или очень похожие задачи без всяких ссылок.

Полагаю (возможно, ошибочно), что придумать абсолютно новую задачу сейчас очень трудно. «Ни что не ново под луной» – всё где-нибудь когда-нибудь встречалось. Поэтому создатели современных сборников задач являются скорее их составителями, но при этом, безусловно, они авторы оригинальных концепций подачи этих самых задач.

Отсутствие ссылок на первоисточники не означает отсутствие благодарности им со стороны автора за всю информацию, полученную на протяжении жизни и, в особенности, за последние лет пять. А также хочу выразить признательность коллегам по социальной сети ВКонтакте и своим подписчикам.

Все задачи формулируются в общем виде. Это продиктовано желанием упростить в будущем конструирование условий не только для числа текущего года, но и для грядущих лет.

Но для каждой задачи обязательно приводится пример для конкретного числа года (2023).

Иногда решение задачи в общих обозначениях даже очевиднее, чем для конкретного числового её воплощения. В некоторых случаях наоборот.

Условимся о некоторых нюансах.

1. Всегда будет подразумеваться, что разговор идёт в рамках десятичной системы счисления.

2. Все сто задач разбиты на группы по требованию: задачи на вычисления, на доказательство, решение уравнений и т. д. При этом в рамках одной группы тоже есть некоторая упорядоченность, но она не имеет большого значения, чтобы об этом стоило говорить.

3. Задачи не упорядочены по трудности – задача, которую можно решить устно, и задача, требующая письменных трудоёмких выкладок, могут стоять рядом; есть те, о способе решения которых догадаться нетрудно, а есть задачи на «подумать».

4. Задачи не упорядочены по школьной программе: по условию может показаться, что задача из 7-го класса, а по методу решения она оказывается из 11-го.

5. Ответом вычислительных задач может быть не число, а числовое выражение, если результат содержит огромное количество цифр или требует изнурительных вычислений.

Основные обозначения в рамках этой книги:

N – число года (2023, 2024, 2025…)

a – цифра десятков числа года

(в текущем десятилетии это «2»)

b – цифра единиц числа года (в 2023 году это «3»)

(10a + b) – двузначное число, образованное двумя последними цифрами числа года (в 2023 году это «23»)

m/n – дробь с числителем m и знаменателем n

n! – факториал натурального числа (произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n)

Если у читателей будут возникать замечания (о найденных опечатках или – о ужас! – ошибках), то прислать их можно по ссылке: https://vk.me/metodikamatematiki312

Часть I.
ЗАДАЧИ
СО СТАНДАРТНЫМ УСЛОВИЕМ
И
УНИВЕРСАЛЬНЫМ
СПОСОБОМ РЕШЕНИЯ

Числовые выражения

Найдите значение предложенных числовых выражений

1. N ² – (N – 1) ².

Например, 2023² – 2022².

2. (100010001 × N) × (N – 1) – (100010001 × (N – 1)) × N.

Например, 202320232023 ∙ 2022 – 202220222022 ∙ 2023.

3. N ^{lg (N – 1)} – (N – 1)^lg N.

Например, 2023^lg 2022 – 2022^lg 2023.

4. log_N log_N N.

Например, log₂₀₂₃log₂₀₂₃2023.

Найдите сумму чисел

5. 1 +2 +3 + … + N.

Например, 1 +2 +3 + … +2023.

6. N + (N – 1) + … +2 +1.

Например, 2023 +2022 + … +2 +1.

7. 1 +2x +3x² + … + Nx^{N – 1} для x = 2.

Например, 1 +2 ∙ 2 +3 ∙ 2² + … +2023 ∙ 2²⁰²².

8. 2 ∙ 2⁰ +3 ∙ 2¹ +4 ∙ 2² +5 ∙ 2³ + … + N ∙ 2^N —2 + (N +1) ∙ 2^N – 1.

Например, 2 ∙ 2⁰ +3 ∙ 2¹ +4 ∙ 2² +5 ∙ 2³ + … +2024 ∙ 2²⁰²².

9. 1² ∙3¹ +2² ∙ 3² +3² ∙ 3³ +4² ∙ 3⁴ + … + N² ∙ 3^N.

Например, 1² ∙3¹ +2² ∙ 3² +3² ∙ 3³ +4² ∙ 3⁴ + … +2023² ∙ 3²⁰²³.

10. 1∙1! +2∙2! +3∙3! + … + N ∙ N!.

Например, 1 ∙ 1! +2 ∙ 2! +3 ∙ 3! + … +2022 ∙ 2022!.

Разные задания на вычисление

11. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна N (например, 2023). Найдите уменьшаемое.

12. Среднее арифметическое (N – 1) чисел равно (N – 2), а среднее арифметическое других N чисел равно (N – 1). Найдите среднее арифметическое всех чисел.

Например, среднее арифметическое двух тысяч двадцати двух чисел равно 2021, а среднее арифметическое других двух тысяч двадцати трёх чисел равно 2022. Найдите среднее арифметическое всех чисел.

13. Известно, что p <1 и (1 + p) (1 + p²) (1 + p⁴) … = N.

Например, (1 + p) (1 + p²) (1 + p⁴) (1 + p⁸) … = 2023.

Найдите p.

14. Дана числовая последовательность, для которой известно, что x₁ = x₂ = 2, x₃ = 8 и для любого натурального n выполняется x_n+3 + x_n+1 = 2x_n+2 +2x_n. Найдите x_N (x₂₀₂₃).

15. Вычислите число p, если

 
log₂3 ∙ log₃4 ∙ … ∙ log_p (p +1) = N.
 

Например, log₂3 ∙ log₃4 ∙ … ∙ log_p (p +1) = 2023.

16. Какой коэффициент будет стоять при степени x^N—1, в многочлене (1 + x) ^N?

Например, определить коэффициент при x²⁰²² в выражении (1 + x) ²⁰²³.

17. На плоскости даны N (2023) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых, проходящих через эти точки, можно построить?

18. Сколько диагоналей имеет выпуклый N-угольник (например, 2023-угольник)?

19. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) две ладьи так, чтобы они не угрожали друг другу?

20. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) ладьи в количестве N (2023) штук так, чтобы они не угрожали друг другу?

Сравнение чисел

Сравните предложенные числа

21. (10000N + (N – 1)) × (10000N + (N +1)) и (10001N) ².

Например, 20232022 ∙ 20232024 и 20232023².

22. N ^N +1 и (N +1) ^N.

Например, 2023²⁰²⁴ и 2024²⁰²³.

23. N ^N и (N +1) ^N – 1.

Например, 2023²⁰²³ и 2024²⁰²².

24. N ^N и (N – 1) ^N +1.

Например, 2023²⁰²³ и 2022²⁰²⁴.

25. ((N – 1) ^{N – 1} + N ^N) и ((N – 1) ^N + N ^N – 1).

Например, (2022²⁰²² +2023²⁰²³) и (2022²⁰²³ +2023²⁰²²).

26. (N ^N +1 + (N +1) ^N) и (N ^N + (N +1) ^N +1).

Например, (2023²⁰²⁴ +2024²⁰²³) и (2023²⁰²³ +2024²⁰²⁴).

27. ((N – 1) ^{N – 1} × N ^N) и ((N – 1) ^N × N ^N – 1).

Например, (2022²⁰²² ∙ 2023²⁰²³) и (2022²⁰²³ ∙ 2023²⁰²²).

28. (N!) ² и (N ²)!. Например, (2023!) ² и (2023²)!.

29. 2lg (N + (N +1)) и lgN + lg (N +1).

Например, 2lg (2023 +2024) и (lg2023 + lg2024).

30. log_{N – 1}N ² и log_N +1 (N ² – 1).

Например, log ₂₀₂₂2023² и log₂₀₂₄ (2023² – 1).

Уравнения

31—42. Решить квадратные уравнения, коэффициенты которых являются «удобными» комбинациями чисел ± 1; ± (N – 1); ± N, то есть, чтобы либо сумма коэффициентов была равна нулю, либо сумма первого и третьего была равна второму.

Например,

31) 2023x² – 2022x – 1 = 0;

32) 2023x² +2022x – 1 = 0;

33) 2023x² + x – 2022 = 0;

34) 2023x² – x – 2022 = 0;

35) 2022x² – 2023x +1 = 0;

36) 2022x² +2023x +1 = 0;

37) 2022x² + x – 2023 = 0;

38) 2022x² – x – 2023 = 0;

39) x² – 2023x +2022 = 0;

40) x² +2023x +2022 = 0;

41) x² – 2022x – 2023 = 0;

42) x² +2022x – 2023 = 0.

Решите уравнения

43. (x + N – 1) ² + (x + N) ² + (x + N +1) ² = 2.

Например, (x +2022) ² + (x +2023) ² + (x +2024) ² = 2.

44. (x + N – 1) ² + (x + N) ² + (x + N +1) ² = 3.

Например, (x +2022) ² + (x +2023) ² + (x +2024) ² = 3.

45. (x + N – 1) ² + (x + N) ² + (x + N +1) ² = 4.

Например, (x +2022) ² + (x +2023) ² + (x +2024) ² = 4.

46. (x + N – 1) ² + (x + N) ³ + (x + N +1) ² = 2.

Например, (x +2022) ² + (x +2023) ³ + (x +2024) ² = 2.

47. (x + N – 1) ² + (x + N) ³ + (x + N +1) ² = 5.

Например, (x +2022) ² + (x +2023) ³ + (x +2024) ² = 5.

48. (x + N – 1) ² + (x + N) ³ + (x + N +1) ⁴ = 2.

Например, (x +2022) ² + (x +2023) ³ + (x +2024) ⁴ = 2.

49. (x² + x +1) + (x² +2x +3) + … + (x² + Nx + (2N – 1)) = 3N.

Например, (x² + x +1) + … + (x² +2023x +2022) = 6069.

50. N ^x + N ^2x = N ^3x.

Например, 2023 ^x +2023 ^2x = 2023 ^3x.

Задачи на доказательство

51. Докажите, что среди любых N натуральных чисел найдутся два, разность которых будет кратна (N – 1).

Например, что среди любых 2023 чисел есть два числа, разность которых кратна 2022.

52. Докажите, что среди любых N (2023) натуральных чисел, не кратных N (2023), найдётся два числа, разность которых будет кратна N (2023).

53. Докажите, что число

 
N ⁴ – 20N ² +4 (например, 2023⁴ – 20 ∙ 2023² +4)
 

не является простым.

54. Докажите, что выражение

 
(N – 1) ² + (N – 1) ² ∙ N ² + N ²
 

является точным квадратом.

Например, что выражение 2022² +2022² ∙ 2023² +2023² – точный квадрат.

55. Докажите, что число

 
(N – 3) (N – 2) (N – 1) N +1
 

является точным квадратом.

Например, 2020 ∙ 2021 ∙ 2022 ∙ 2023 +1.

56. Докажите, что число

 
(N – 6) (N – 4) (N – 2) N +16
 

является точным квадратом.

Например, 2017 ∙ 2019 ∙ 2021 ∙ 2023 +16.

57. Докажите, что число

 
N ² + (N – 2) (N – 1) (N +1) (N +2)
 

является точным квадратом.

Например, 2023² +2021 ∙ 2022 ∙ 2024 ∙ 2025.

58. Докажите, что число

 
(N – 3) (N – 2) (N – 1) (N +1) (N +2) (N +3) +36
 

является точным квадратом.

Например, число

 
2020 ∙ 2021 ∙ 2022 ∙ 2024 ∙ 2025 ∙ 2026 +36.
 

59. Докажите, что уравнения

 
x² + Nkx + m = 0  и  x² + Nmx + k = 0 (k ≠ m)
 

имеют общий корень. Найдите этот корень.

Например, уравнения

 
x² +2023kx + m = 0  и  x² +2023mx + k = 0.
 

60. Даны три числа k, m, n. Ни одно из них не равно нулю. При этом числа k (m – n), m (n – k), n (k – m) в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.

Докажите, что арифметическую прогрессию будут образовывать также числа k (m^N – n^N), m (n^N – k^N), n (k^N – m^N).

Например, числа

 
k (m²⁰²³– n²⁰²³), m (n²⁰²³ – k²⁰²³), n (k²⁰²³– m²⁰²³).
 

Задачи на исследование

61. Какой цифрой оканчивается сумма 1 +2 +3 + … + N?

Например, 1 +2 +3 + … +2023.

62. Какой цифрой оканчивается произведение

 
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ N?
 

Например, 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 2023.

63. Сколькими нулями оканчивается число N! (2023!)?

64. Записаны все натуральные числа от 1 до N (2023) без пробелов. Сколько цифр содержит это многозначное число?

65. Дана последовательность: 123412341234… Какая цифра стоит на N-м (2023-м) месте?

66. Будет ли число N ^{N – 1} + N ^N +1 простым?

Например, число 2023²⁰²² +2023²⁰²⁴ простое или составное?

67. Существует ли число, у которого сумма цифр равна N (2023)? Если да, то будет ли оно единственным? Если нет, то найдите наименьшее. Будет ли количество таких чисел бесконечным? Если нет, то найдите наибольшее.

68. Существует ли число, в записи которого нет нулей и сумма цифр равна N (2023)? Если да, то будет ли оно единственным? Если нет, то найдите наименьшее. Будет ли количество таких чисел бесконечным? Если нет, то найдите наибольшее.

69. Записаны числа от 1 до N (2023). Затем каждое число заменяется суммой его цифр. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не останутся только однозначные числа.

Что за последовательность получится в итоге?

70. Будет ли разность числа N (2023) и суммы его цифр нацело делиться на 9?

71. Делится ли число 10^N +8 (например, 10²⁰²³ +8) на 9?

72. Дано N (2023) натуральных чисел. Среди этих чисел, по крайней мере, одно чётное. Сумма любых двух из этих чисел является чётной.

Сколько чётных чисел среди этих N (2023)?

73. Верно ли, что число вида N ⁵ +4N кратно 5?

Например, число 2023⁵ +4 ∙ 2023.

74. Сумма двух целых чисел x и y равна (N – 1). Может ли выполняться равенство 17x +13y = N? Например, x + y = 2022, может ли быть такое, что 17x +13y = 2023?

75. В ящике N (2023) белых шаров и N – 1 (2022) чёрных. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из ящика не глядя, чтобы было, как минимум, два шара одного цвета.

76. В ящике N (2023) белых шаров и N – 1 (2022) чёрных. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из ящика не глядя, чтобы было, как минимум, два шара белого цвета?

77. В ящике N (2023) белых шаров и N – 1 (2022) чёрных. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из ящика не глядя, чтобы было, как минимум, два шара чёрного цвета?

78. Из одинаковых полосок размером 1 × N (например, 1 × 2023) сложили прямоугольник. Верно ли, что длина хотя бы одной из его сторон делится на N (2023)?

79. На окружности расположены N (2022) белых точек и 1 красная. Рассматриваются многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше с красной вершиной или без неё?

80. Можно ли доску размерами 2^N × 2^N без одной угловой клетки разбить на фигуры в виде уголка из трёх таких клеток? Например, доска размером 2²⁰²³ × 2²⁰²³.

Задачи на построение
или восстановление объекта

81. Исправьте некоторые минусы на плюсы, чтобы получилось верное равенство:

 
(N – 1) – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 = N.
 

Например,

2022 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 = 2023.

82. Исправьте некоторые минусы на плюсы, чтобы получилось верное равенство:

 
N – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 = (N – 1).
 

Например,

2023 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 = 2022.

Попробуйте найти несколько вариантов решения.

83—90. Даны пять чисел, записанных друг за другом.

Сумма любых двух соседних чисел равна а) ± (N – 1); б) ±N.

Суммы трёх первых и трёх последних чисел равны

а) ±N; б) ± (N – 1).

Найдите эти числа.

Найдите сумму этих пяти чисел.

Например:

83) Сумма любых двух соседних чисел равна 2022. Суммы трёх первых и трёх последних чисел равны 2023.

84) Сумма любых двух соседних чисел равна —2022. Суммы трёх первых и трёх последних чисел равны 2023.

85) Сумма любых двух соседних чисел равна 2022. Суммы трёх первых и трёх последних чисел равны —2023.

86) Сумма любых двух соседних чисел равна —2022. Суммы трёх первых и трёх последних чисел равны —2023.

87) Сумма любых двух соседних чисел равна 2023. Суммы трёх первых и трёх последних чисел равны 2022.

88) Сумма любых двух соседних чисел равна —2023. Суммы трёх первых и трёх последних чисел равны 2022.

89) Сумма любых двух соседних чисел равна 2023. Суммы трёх первых и трёх последних чисел равны —2022.

90) Сумма любых двух соседних чисел равна —2023. Суммы трёх первых и трёх последних чисел равны —2022.

91. Найдите какое-нибудь натуральное число кратное N (2023), сумма цифр которого также кратна N (2023).

92‒96. Найдите наименьшее натуральное число n, при котором числа

92) 20n + (10a + b) (например, 20n +23),

93) (200 + a) n + b (202n +3),

94) 20n² + an + b (20n² +2n +3),

95) 20n² + (10a + b)n (20n² +23n),

96) 20n² + (10a + b) (20n² +23)

кратны N (2023).

97. Компьютер умножает число на 2, затем из этого результата вычитает N (2023). Затем повторяет эту комбинацию N (2023) раз. Придумайте число, которое не изменится в результате стольких повторений.

98. Расставьте числа в клетки так, чтобы сумма чисел в любых четырёх подряд идущих клетках была одной и той же:

99—100. Из числа 12345678910111213…20202021…20ab вычеркните десять (сто, тысячу) цифр так, чтобы оставшееся число было наименьшим/наибольшим.

Например, из числа 12345678910111213…20222023 вычеркните десять цифр так, чтобы оставшееся число было

99) наименьшим;

100) наибольшим.

Комментарии, Решения
Ответы

В большинстве случаев решение задач будем приводить в общем виде, а ответ давать для N = 2023.

1. N ² – (N – 1) ² = (N — N +1) (N + N – 1) =

= 1 ∙ (2N – 1) = 2N – 1.

Ответ: 4045.

2. 100010001 × N × (N – 1) – 100010001 × (N – 1) × N = 0.

Ответ: 0.

3. Воспользуемся свойством логарифмов p^lgs = s^lgp. Очевидно, что разность равна нулю.

Ответ: 0.

4. log_N log_N N = log_N 1 = 0.

Ответ: 0.

5. Это традиционная задача при изучении арифметической прогрессии: необходимо найти сумму первых N членов этой последовательности, если первый её член 1 и разность тоже 1. Применяем формулу и получаем результат.

Ответ: 2047276.

6. Задача один в один совпадает с предыдущей, просто подача другая.

7. О! У этой задачи есть одно решение не столь трудное, сколько оригинальное. К сожалению, не из области элементарной математики, но в рамках школьной.

Если внимательно приглядеться к структуре слагаемых, то сложно не заметить формулу производной степенной функции. Поэтому призовём её в помощь.

Итак, рассмотрим функцию F (x) = x + x² + x³ + … + x^N, производная которой, очевидно, равна

f (x) = 1 +2x +3x² + … + Nx ^N – 1.

Но F (x) – сумма первых N членов геометрической прогрессии с первым членом x и знаменателем тоже x. То есть можно применить известную формулу. После чего дифференцируем получившуюся дробь (к сожалению, особенности набора текста ограничивают возможность подробных выкладок). Итоговую формулу можете найти в приложении.

А теперь для x = 2 получаем, что f (2) = 2^N (N – 1) +1.

Есть ещё один вариант решения.

Приведём его для конкретного значения x.

Если сразу подставить вместо x число 2, то сумма принимает вид: 1 +2 ∙ 2¹ +3 ∙ 2² +4 ∙ 2³ + … + N ∙ 2^N – 1.

Во-первых, обозначим искомую сумму за Х и удвоим её:

2Х = 2¹ +2 ∙ 2² +3 ∙ 2³ +4 ∙ 2⁴ + … + N ∙ 2^N.

Далее, рассмотрим сумму геометрической прогрессии

G = 1+2 +2² +2³ +2⁴ + … +2^N.

Теперь сложим эти две суммы:

2Х = 2¹ +2 ∙ 2² +3 ∙ 2³ +4 ∙ 2⁴ + … + (N – 1) ∙ 2^{N – 1} + N ∙ 2^N

G = 1+2¹ +2² +2³ +2⁴ + … +2^N.

^{_____________________________________________________________}

2Х + G = 1 +2 ∙ 2¹ +3 ∙ 2² +… + N ∙ 2^{N – 1} + (N +1) ∙ 2^N.

Иначе говоря, 2Х + G = X + (N +1) ∙ 2^N. Далее всё понятно:

Х + G = (N +1) ∙ 2 ^N

Х = (N +1) ∙ 2 ^N – G.

Зная формулу суммы первых членов геометрической прогрессии, находим искомую сумму: Х = 2^N (N – 1) +1.

Второй вариант решения можно реализовать и в общем виде, а не только для x = 2, результат, как вы понимаете, будет аналогичным. Можете сделать это самостоятельно, так сказать, в качестве упражнения. Вы ведь догадались, на какой множитель надо умножать искомую сумму?

Ответ: 2²⁰²³ ∙ 2022 +1.

8. При решении этой задачи применим приём, похожий на тот, который мы использовали в предыдущей задаче (второй способ решения).

Итак, обозначим искомую сумму за 2Х и получим Х, из которой вычтем G = 1+2 +2² +2³ +2⁴ + … +2^{N – 2} :

Х = 1 +3 ∙ 2⁰ +4 ∙ 2¹ +5 ∙ 2² +6 ∙ 2³ + … (N +1) ∙ 2^N — 2

G = 2⁰ +2¹ +2² +2³ +2⁴ + … +2^N – 2

^{_____________________________________________________________}

X – G = 1 +2 ∙ 2⁰ +3 ∙ 2¹ +4 ∙ 2⁴ + … + N ∙ 2^N — 2.

То есть, X – G = 1 +2Х – (N +1) ∙ 2^{N – 1.}. Откуда получаем, что X = N ∙ 2^{N – 1}. А тогда искомая сумма равна N ∙ 2^N.

Ответ: 2023 ∙ 2²⁰²³.

9. Для решения этой задачи скомбинируем оба способа, о которых мы говорили в задаче 7.

Сначала вычтем:

Х = 1² ∙3¹ +2² ∙ 3² +3² ∙ 3³ +4² ∙ 3⁴ + … + (N – 1) ² ∙ 3^{N – 1} + N ² ∙ 3^N

3Х = 1² ∙3² +2² ∙ 3³ +3² ∙ 3⁴ +4² ∙ 3⁵ + … + (N – 1) ² ∙ 3^N + N ² ∙ 3^N +1

^{_____________________________________________________________}

– 2Х =

= 1² ∙3¹ + (2² – 1²) ∙ 3² + … + (N ² – (N – 1) ²) ∙ 3^N – N ² ∙ 3^N +1

– 2Х = 3 +3 ∙ 3² +5 ∙ 3³ + … + (2N – 1) ∙ 3^N – N ² ∙ 3^N +1

Затем уже из получившегося равенства вычтем сумму G₁ = 3⁰ +3¹ +3² +3³ +3⁴ + … +3^N :

– 2Х = 3 +3 ∙ 3² +5 ∙ 3³ + … + (2N – 1) ∙ 3^N – N ² ∙ 3^N +1

G₁ = 3¹ +3² +3³ +3⁴ + … +3^N

^{_____________________________________________________________}

– 2Х – G₁ = 0 +2 ∙ 3² +4 ∙ 3³ + … + (2N – 2) ∙ 3^N – N ² ∙ 3^N +1

– 2Х – G₁ + N ² ∙ 3^N +1 = 2 ∙ (1 ∙ 3² +2 ∙ 3³ + … + (N – 1) ∙ 3^N)

Прибавим теперь выражение

4G₂ = 4 (3² +3³ +3⁴ + … +3^N) =

= 2 (2 ∙ 3² +2 ∙ 3³ +2 ∙ 3⁴ + … +2 ∙ 3^N):

– 2Х – G₁ + N ² ∙ 3^N +1 = 2 ∙ (1 ∙ 3² +2 ∙ 3³ + … + (N – 1) ∙ 3^N)

4G₂ = 2 (2 ∙ 3² +2 ∙ 3³ +2 ∙ 3⁴ + … +2 ∙ 3^N)

^{_____________________________________________________________}

– 2Х – G₁ + N ² ∙ 3^N +1 +4G₂ = 2 (3 ∙ 3² +4 ∙ 3³ + … + (N +1) ∙ 3^N)

Выражение в скобках это практически наша функция из задачи 7 для x = 3 (не хватает только первых двух слагаемых), G₁ и G₂ – суммы геометрических прогрессий.

Воспользуемся готовой формулой для f (3) (см. приложение), преобразуем равенство и получаем ответ:

X = 1,5 (3^N (N ² – N +1) – 1).

Ответ: 1,5 ∙ (3²⁰²³ ∙ (2023² – 2022) – 1).

10. 1 ∙ 1! +2 ∙ 2! +3 ∙ 3! + … + N ∙ N! =

= (2 – 1) ∙ 1! + (3 – 1) ∙ 2! + (4 – 1) ∙ 3! + … + (N +1 – 1) ∙ N! =

= 2! – 1! +3! – 2! +4! – 3! + … + (N +1)! – N! = (N +1)! – 1! =

= (N +1)! – 1.

Ответ: 2024! – 1.

11. Обозначим уменьшаемое, вычитаемое и разность соответственно x, y, z, то есть x – y = z.

Тогда x + y + z = N ⇒ x + y + x – y = N ⇒ 2x = N ⇒ x = 0,5N.

Ответ: 2011,5.

12. Эту задачу решить просто, достаточно помнить, что сумма чисел – это среднее арифметическое этих чисел умноженное на их количество.

То есть сумма всех чисел (N – 1) (N – 2) + N (N – 1), а их общее количество 2N – 1.

Тогда искомое среднее арифметическое всех чисел:

2 (N – 1) ²/ (2N – 1).

Ответ: смешанное дробное число, целая часть которого равна 2021, а дробная часть 2022/4045.

13. Это достаточно распространённая задача, которая время от времени варьируется в разных источниках (олимпиадных задачах, сборниках задач для внеучебной работы и др.). Умножим обе части данного равенства на (1 – p), тогда вся левая часть преобразуется следующим образом:

(1 – p) (1 + p) (1 + p²) (1 + p⁴) … = (1 – p²) (1 + p²) (1 + p⁴) … =

= (1 – p⁴) (1 + p⁴) … = (1 – p^2k),

где 2k → +∞, а значит p^2k → 0 (т.к. p <1 по условию),

тогда (1 – p^2k) → 1.

То есть 1 = N (1 – p), далее просто выражаем p.

Ответ: 2022/2023.

14. Найдём несколько первых – скажем, десять – членов этой прогрессии x_n+3 = 2 (x_n+2 + x_n) – x_n+1 :

x₄ = 2 ∙ (x₃ + x₁) – x₂ = 18 = 2⁴ +2

x₅ = 2 ∙ (x₄ + x₂) – x₃ = 32 = 2⁵

x₆ = 2 ∙ (x₅ + x₃) – x₄ = 62 = 2⁶ – 2

x₇ = 2 ∙ (x₆ + x₄) – x₅ = 128 = 2⁷

x₈ = 2 ∙ (x₇ + x₅) – x₆ = 258 = 2⁸ +2

x₉ = 2 ∙ (x₈ + x₆) – x₇ = 512 = 2⁹

x₁₀ = 2 ∙ (x₉ + x₇) – x₈ = 1022 = 2¹⁰ – 2

Закономерность, думаю, ясна. Если номер члена нечётный, то значение x_n = 2ⁿ. Если номер кратен 4, то x_k = 2^k +2. Остальные члены равны 2^m – 2.

Ответ: x₂₀₂₃ = 2²⁰²³.

15. По свойству логарифмов левая часть «сворачивается» в log₂ (p +1). Следовательно, p +1 = 2^N или p = 2^N – 1.

Ответ: p = 2²⁰²³ – 1.

16. Вспомним бином Ньютона и общий вид слагаемого полинома, в который раскладывается степень бинома.

При степени x^N коэффициент равен 1, а при степени x^N—1 коэффициент равен N.

Ответ: 2023.

17. Это классическая комбинаторная задача, решается с применением принципа умножения: N (N – 1): 2.

Ответ: 2045253.

18. Задача совсем уж известная. Для того чтобы посчитать количество диагоналей выпуклого многоугольника нужно количество вершин N умножить на число (N – 1), разделить на 2 и вычесть количество сторон N.

Ответ: 2043230.

19. Ещё одна почти традиционная комбинаторная задача на шахматной доске. Напомним, что ладья – это фигура, которая может двигаться по горизонтали и вертикали шахматной доски. То есть две ладьи будут «безопасны» друг для друга, если их вертикали и горизонтали не совпадают.

Первую ладью можно поставить на любую из N ² клеток.

Тогда для второй ладьи надо исключить клетки, находящиеся на вертикали и горизонтали, которые бьёт первая ладья. Это 2 (N – 1) и плюс ещё одна клетка, куда поставили первую ладью. Получается, что все остальные клетки подходят для второй ладьи. Посчитаем их: N ² – (2N – 1) = N ² – 2N +1 = (N – 1) ². Но при этом каждая ситуация учитывается дважды.

Тогда всего способов будет N ² ∙ (N – 1) ²: 2.

Ответ: 2023² ∙ 2022² : 2.

20. Рассуждаем аналогично предыдущей задаче:

(N ² ∙ (N – 1) ² ∙ (N – 2) ² ∙ … ∙ 2² ∙ 1): N!.

Ответ: 2023!.

21. Преобразуем первое число:

(10000N + (N – 1)) × (10000N + (N +1)) =

= ((10000N + N) – 1) × ((10000N + N) +1) =

= (10000N + N) ² – 1 = (10001N) ² – 1.

То есть, оно меньше, чем второе.

Ответ: 20232022 ∙ 20232024 <20232023².

22. Среди множества задач повышенной трудности аналогичная задача встречается даже в более привлекательном виде: что больше π^e или e^π?

Можно, конечно, исследовать частные ситуации и сделать вывод по индукции, но мы обоснуем решение (смотрите иллюстрацию).

Ответ: 2023²⁰²⁴> 2024²⁰²³.

23. Проверим для N = 1. Получим: 1¹ = 2⁰.

Для N = 2 выходит, что 2²> 3¹. Для N = 3: 3³> 4².

Допустим, что для N = k выполняется k^k> (k +1) ^k – 1.

Далее решение на иллюстрации:

Ответ: 2023²⁰²³> 2024²⁰²².

24. В этой задаче не всё так очевидно. Для N = 1, 2, 3, 4 выполняется N ^N> (N – 1) ^N +1 (проверьте!). А вот для N = 5 знак неравенства меняется! Поэтому применяем метод полной математической индукции с базой равной пяти. Далее:

Ответ: 2023²⁰²³ <2022²⁰²⁴.

25. Построим разность ((N – 1) ^N + N ^{N – 1}) – ((N – 1) ^{N – 1} + N ^N) и преобразуем её:

(N – 1) ^N + N ^{N – 1} – (N – 1) ^{N – 1} – N ^N =

= ((N – 1) ^N – (N – 1) ^{N – 1}) + (N ^{N – 1} – N ^N) =

= (N – 1) ^{N – 1} (N – 1 – 1) + N ^{N – 1} (1 – N) =

= (N – 1) ^{N – 1} (N – 2) – N ^{N – 1} (N – 1).

0 <N – 1 <N ⇒ 0 <(N – 1) ^{N – 1} <N ^{N – 1} и 0 <N – 2 <N – 1.

Тогда по свойствам верных числовых неравенств

(N – 1) ^{N – 1} (N – 2) <N ^{N – 1} (N – 1) ⇒

(N – 1) ^{N – 1} (N – 2) – N ^{N – 1} (N – 1) <0.

По определению, если разность отрицательна, то вычитаемое больше уменьшаемого:

(N – 1) ^N + N ^{N – 1} <(N – 1) ^{N – 1} + N ^N.

Ответ: 2022²⁰²² +2023²⁰²³> 2022²⁰²³ +2023²⁰²².

26. Решение аналогичное предыдущему.

Ответ: 2023²⁰²⁴ +2024²⁰²³ <2023²⁰²³ +2024²⁰²⁴.

27. Решение смотрите на иллюстрации.

Ответ: 2022²⁰²² ∙ 2023²⁰²³> 2022²⁰²³ ∙ 2023²⁰²².

28. Преобразуем слегка наши выражения:

(N!) ² = (1 ∙ 2 ∙ … ∙ N) ∙ (1 ∙ 2 ∙ … ∙ N)

(N²)! = 1 ∙ 2 ∙ … ∙ N ∙ (N +1) … (2N) (2N +1) … N ²

(очевидно, что для N> 2 выполняется неравенство N ²> 2N, то есть множителей в (N ²)! больше).

Получаем, что первые N множители в сравниваемых произведениях равны, следующие N множители в первом произведении явно меньше, чем во втором. А, кроме того, во втором есть ещё несколько множителей больших единицы.

Второе число больше первого.

Ответ: (2023!) ² <(2023²)!.

29. Для сравнения данных числовых выражений достаточно сравнить многочлены (2N +1) ² и N (N +1):

4N ² +4N +1 – N ² – N = 3N ² +3N +1> 0

(дискриминант отрицательный), то есть

(2N +1) ²> N (N +1).

Значит и lg (N + (N +1)) ²> lgN + lg (N +1).

Ответ: 2lg (2023 +2024)> lg2023 + lg2024.

30. Здесь нам поможет сравнение с третьим числом.

Построим цепочки равносильных неравенств, учитывая, что N – 1 > 1

Очевидно, что

N> N – 1

log_{N – 1}N> log_{N – 1} (N – 1) = 1

2log_{N – 1}N> 2

log_{N – 1}N ²> 2

С другой стороны:

N – 1 <N +1

log_N +1 (N – 1) <log_N +1 (N +1)

log_N +1 (N – 1) <1

log_N +1 (N – 1) +1 <2

log_N +1 (N – 1) + log_N +1 (N +1) <2

log_N +1 (N ² – 1) <2

Получаем, что log_N +1 (N ² – 1) <2 <log_{N – 1}N ².

Ответ: log ₂₀₂₂2023²> log₂₀₂₄ (2023² – 1).

31—42. Напомним свойства квадратных уравнений:

– квадратное уравнение (на самом деле не только квадратное, а любое целое рациональное) имеет корнем число 1 тогда и только тогда, когда сумма его коэффициентов равна нулю;

– квадратное уравнение имеет своим корнем число —1 тогда и только тогда, когда сумма первого и третьего коэффициентов равна второму.

Применяя эти свойства, решить предложенные уравнения не составит труда.

31) Ответ: 1 и —1/2023.

32) Ответ: —1 и 1/2023.

33) Ответ: —1 и 2022/2023.

34) Ответ: 1 и —2022/2023.

35) Ответ: 1 и 1/2022.

36) Ответ: ‒1 и —1/2022.

37) Ответ: 1 и —2023/2022.

38) Ответ: —1 и 2023/2022.

39) Ответ: 1 и 2022.

40) Ответ: —1 и —2022.

41) Ответ: —1 и 2023.

42) Ответ: 1 и —2023.

43. Почему то хочется, чтобы слагаемые были целыми (видимо, чисто психологически). Поэтому легко подобрать корень: x = —N. Покажем, что других корней нет.

Если привести левую часть уравнения к каноническому виду квадратного трёхчлена, то можно найти точку экстремума, она оказывается равной как раз —N.

На промежутке (—∞; —N) квадратичная функция, заданная получившимся квадратным трёхчленом, монотонно убывает, а значит, принимает значения большие, чем в точке —N. Рассуждая аналогично для промежутка (—N; +∞) видим, что значение 2 возможно только для x = —N.

Задачу, конечно, можно решить простым раскрытием скобок и преобразованием к каноническому квадратному уравнению.