Текст книги "Уникальная формула и алгоритм в квантовых вычислениях. Открытие новой парадигмы"

Определение операции сложения по модулю 2

Определение операции сложения по модулю 2 в формуле $mathcal {F} (boldsymbol {x}, boldsymbol {theta}) $:

Операция сложения по модулю 2 $ (boldsymbol {x} + boldsymbol {p}) bmod 2$ выполняется побитово для каждого бита входного вектора $boldsymbol {x} $ и соответствующего ему бита вектора $boldsymbol {p} $. Результат этой операции используется для изменения состояния каждого кубита в системе.

Входные данные $boldsymbol {x} $ представлены в виде битовой последовательности, где каждый бит принимает значение 0 или 1. Вектор $boldsymbol {p} $ также представляет собой битовую последовательность той же длины.

Операция сложения по модулю 2 выполняется следующим образом:

– Если соответствующие биты векторов $boldsymbol {x} $ и $boldsymbol {p} $ имеют одно и то же значение (ноль или единицу), то результатом сложения будет ноль.

– Если соответствующие биты имеют разные значения, то результатом будет единица.

Операция сложения по модулю 2 $ (boldsymbol {x} + boldsymbol {p}) bmod 2$ «складывает» каждый бит входного вектора $boldsymbol {x} $ с соответствующим битом вектора $boldsymbol {p} $ и возвращает результат в виде нового вектора. Результат этой операции используется для изменения состояния каждого кубита в системе перед повторным применением оператора Адамара.

Операция сложения по модулю 2 ($bmod 2$) для битовой последовательности

Операция сложения по модулю 2 ($bmod 2$) для битовой последовательности является операцией, где биты двух последовательностей складываются побитово и результат возвращается в виде новой последовательности.

Для каждого бита входной битовой последовательности, выполняется сложение с соответствующим битом другой битовой последовательности. Результатом сложения будет бит, который будет равен 0, если сумма битов равна четному числу, и 1, если сумма битов равна нечетному числу.

Например, для двух битовых последовательностей $boldsymbol {x} $ и $boldsymbol {p} $ длины $n$, операция сложения по модулю 2 выполняется следующим образом:

$ (boldsymbol {x} + boldsymbol {p}) bmod 2 = (x_1 + p_1) bmod 2, (x_2 + p_2) bmod 2, …, (x_n + p_n) bmod 2$.

Каждый бит результирующей последовательности $ (boldsymbol {x} + boldsymbol {p}) bmod 2$ будет равен 0 или 1 в зависимости от суммы соответствующих битов входных последовательностей $boldsymbol {x} $ и $boldsymbol {p} $.

Описание операции $mathcal {F} (boldsymbol {x}, boldsymbol {theta}) $

Применение оператора Адамара ($H^ {n} $)

Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется ко всем кубитам в системе и выполняет следующие действия:

1. Каждый кубит приводится в состояние суперпозиции, где вероятности нахождения в состоянии $|0rangle$ и $|1rangle$ равны.

2. Для получения произведения оператор Адамара применяется к каждому кубиту в системе.

Оператор Адамара $H^ {n} $ может быть записан следующим образом:

$$H^ {n} = frac {1} {sqrt {2^ {n}}} sum_ {boldsymbol {y}} (-1) ^ {boldsymbol {x} cdot boldsymbol {y}} |boldsymbol {y} rangle,$$

где:

– $boldsymbol {y} $ – битовые строки длины $n$,

– $boldsymbol {x} cdot boldsymbol {y} $ – скалярное произведение битовых строк $boldsymbol {x} $ и $boldsymbol {y} $,

– $|boldsymbol {y} rangle$ – состояние кубитов, соответствующее битовой строке $boldsymbol {y} $.

Применение оператора Адамара $H^ {n} $ в формуле $mathcal {F} (boldsymbol {x}, boldsymbol {theta}) $ приводит каждый кубит в суперпозицию состояний $|0rangle$ и $|1rangle$, равновероятных состояний. Это означает, что каждый кубит имеет вероятности $1/2$ быть измеренным в состоянии $|0rangle$ и $|1rangle$.

Применение оператора Адамара является ключевым шагом в формуле $mathcal {F} (boldsymbol {x}, boldsymbol {theta}) $, поскольку он подготавливает систему кубитов в равновероятное суперпозиционное состояние, подготавливая её для последующей операции сложения по модулю 2 и повторного применения оператора Адамара.

Описание действия оператора Адамара на каждый кубит системы

Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется к каждому кубиту в системе и выполняет следующие действия:

1. Каждый кубит приводится в суперпозицию состояний $|0rangle$ и $|1rangle$.

2. Применяется оператор Адамара к каждому кубиту в системе.

После применения оператора Адамара к каждому кубиту, каждый кубит находится в равновероятной суперпозиции состояний $|0rangle$ и $|1rangle$. Это означает, что вероятности нахождения каждого кубита в состоянии $|0rangle$ и $|1rangle$ равны $1/2$.

Действие оператора Адамара на каждый кубит является важной частью формулы $mathcal {F} (boldsymbol {x}, boldsymbol {theta}) $. Оно создает начальное состояние системы кубитов, обеспечивает равномерную вероятность состояний и подготавливает систему к последующим операциям сложения по модулю 2 и повторному применению оператора Адамара. Это позволяет формуле $mathcal {F} (boldsymbol {x}, boldsymbol {theta}) $ эффективно обрабатывать и изменять состояние каждого кубита на основе входных данных $boldsymbol {x} $ и набора параметров $boldsymbol {theta} $.

Действие оператора Адамара на каждый кубит является одним из ключевых шагов в квантовых алгоритмах. Оно позволяет использовать суперпозицию состояний кубитов и межкубитные взаимодействия для решения определенных задач, которые классические алгоритмы могут решать намного медленнее или вообще не могут решить. Благодаря этому действию оператора Адамара, формула $mathcal {F} (boldsymbol {x}, boldsymbol {theta}) $ может быть эффективно применена в различных квантовых алгоритмах, позволяя достигать значительного ускорения и расширения возможностей вычислений.

Выполнение операции сложения по модулю 2

Операция сложения по модулю 2, $ (boldsymbol {x} + boldsymbol {p}) bmod 2$, выполняется над битовыми последовательностями $boldsymbol {x} $ и $boldsymbol {p} $. Здесь $boldsymbol {x} $ – входная последовательность, а $boldsymbol {p} $ – заданная последовательность параметров. Операция сложения по модулю 2 выполняется над каждым битом входной последовательности $boldsymbol {x} $ и соответствующим битом вектора параметров $boldsymbol {p} $.

При выполнении операции сложения по модулю 2, каждый бит входной последовательности $boldsymbol {x} $ складывается (по модулю 2) с соответствующим битом вектора параметров $boldsymbol {p} $. Для двух битов $x$ и $p$, результат сложения будет определяться следующей таблицей:

|x|p|Result|

|-|-| – – – |

|0|0| 0 |

|0|1| 1 |

|1|0| 1 |

|1|1| 0 |

Сложении по модулю 2, результат каждого бита равен 0, если сумма соответствующих битов входной последовательности и вектора параметров четна, и равен 1 в противном случае.

Операция сложения по модулю 2 в формуле $mathcal {F} (boldsymbol {x}, boldsymbol {theta}) $ используется для изменения состояния каждого кубита в системе на основе входных данных $boldsymbol {x} $ и заданного набора параметров $boldsymbol {p} $. Это позволяет формуле $mathcal {F} (boldsymbol {x}, boldsymbol {theta}) $ эффективно обрабатывать информацию и выполнять специфические операции с битами входных данных.

Описание операции $ (boldsymbol {x} + boldsymbol {p}) bmod 2$

Операция $ (boldsymbol {x} + boldsymbol {p}) bmod 2$ представляет собой операцию сложения по модулю 2 между битовой последовательностью входных данных $boldsymbol {x} $ и заданным набором параметров $boldsymbol {p} $. В этой операции каждый бит входных данных $boldsymbol {x} $ складывается с соответствующим битом параметров $boldsymbol {p} $, а затем полученная сумма берется по модулю 2.

Для выполнения операции сложения по модулю 2 между двумя битами $x$ и $p$, используется таблица истинности следующего вида:

|x|p|Result|

|-|-|–|

|0|0|  0   |

|0|1|  1   |

|1|0|  1   |

|1|1|  0   |

Результат операции сложения по модулю 2 будет равен 0, если сумма соответствующих битов входных данных и параметров является четной (т.е., имеет четное количество единиц), и будет равен 1 в противном случае.

Например, для двух битовых последовательностей $boldsymbol {x} = [1, 0, 1, 1] $ и $boldsymbol {p} = [0, 1, 0, 1] $, результат операции $ (boldsymbol {x} + boldsymbol {p}) bmod 2$ будет равен $ [1, 1, 1, 0] $, так как $1+0=1$, $0+1=1$, $1+0=1$, $1+1=0$.

Операция $ (boldsymbol {x} + boldsymbol {p}) bmod 2$ в формуле $mathcal {F} (boldsymbol {x}, boldsymbol {theta}) $ позволяет изменять состояние каждого бита входных данных $boldsymbol {x} $ на основе соответствующего бита вектора параметров $boldsymbol {p} $. Это позволяет формуле $mathcal {F} (boldsymbol {x}, boldsymbol {theta}) $ эффективно преобразовывать информацию и выполнять определенные операции с битами входных данных для достижения нужных результатов.

Повторное применение оператора Адамара ($H^ {n} $)

Повторное применение оператора Адамара $H^ {n} $ осуществляется после выполнения операции сложения по модулю 2 $ (boldsymbol {x} + boldsymbol {p}) bmod 2$ в формуле $mathcal {F} (boldsymbol {x}, boldsymbol {theta}) $. После применения операции сложения по модулю 2, результат используется в качестве нового набора данных $boldsymbol {x} $ для повторного применения оператора Адамара.

Повторное применение оператора Адамара $H^ {n} $ к системе кубитов выполняется точно так же, как и первоначальное применение. Каждый кубит в системе подвергается операции Адамара, которая приводит его в суперпозицию состояний $|0rangle$ и $|1rangle$.