Текст книги "Академик Эрдниев. Сын Великой Степи"

Арслан Батырович, внук Пюрви Мучкаевича, подчеркивает, что «технология УДЕ – самобытное, конкурентоспособное открытие, являющееся приложением закономерностей условного рефлекса И. П. Павлова и обратной связи П. К. Анохина к практике массовой школы. В настоящее время технология УДЕ должна быть востребована как никогда».

Однако стоит еще раз подчеркнуть, что научный путь Пюрви Эрдниева был далеко не гладок. Титанический труд, беспокойные поиски истины, попытки достучаться до чиновников разного ранга – вехи этого пути. Научная деятельность калмыцкого ученого стала в какой-то мере олицетворением знаменитой фразы античных времен: «Платон мне друг, но истина дороже». Именно ее – истину – на протяжении многих лет жизни искал Пюрвя Мучкаевич, а когда нашел, всеми силами боролся за нее. Эрдниеву приходилось спорить со многими учителями и учеными, редакциями многочисленных журналов и газет. А однажды, отстаивая свои взгляды, он поссорился чуть ли не со всей лабораторией математики НИИ содержания, методов и технологий образования РАО! Пюрвя Эрдниев не робел перед авторитетами и всегда находил весомые аргументы, чтобы доказать то, что очевидно для него. При этом он редко проявлял эмоции, был сдержан и непоколебим, как настоящий буддист. Нет никаких сомнений, что он был знаком с изречением Будды: «Пусть человек победит гнев любовью, пусть он победит зло добром, пусть он победит жадность щедростью, а ложь – правдой».

Академик А. М. Цирульников, собирая материал для своей книги «Страна между двумя берегами», встретился в Элисте с Пюрвей Мучкаевичем, который на тот момент был уже в весьма преклонном возрасте.

«Хотя ему девяносто два года и он инвалид войны, недавно еще ходил, без ноги, читать лекции в университете. Лицо без единой морщины, гладкое, улыбающееся.

– Вы в начальной школе работали? – спрашивает меня.

– Нет.

– Жалко… Повозишься с ними, семилетними, восьмилетними, – поймешь…

Я спросил, как ему удается так хорошо выглядеть в его возрасте.

– Основное тут, – показывает он рукой на голову».

Вклад знаменитого академика в дидактику огромен. Пюрвя Эрдниев вместе со своим коллективом сделали важнейшее научное открытие: они обнаружили ранее неизвестные ресурсы работы мозга учеников. Многочисленные труды ученого стали мощным толчком к дальнейшему развитию и изучению преподавания математики. Работы и статьи академика Эрдниева сегодня переведены на многие языки. Защищено несколько десятков кандидатских и докторских диссертаций по различным аспектам уникальной технологии УДЕ. Ученый одним из первых сделал важный акцент на критерии времени не только при изучении глобальных проблем педагогики, но и решении микродидактических вопросов.

В 1965 году в журнале «Советская педагогика» доктор педагогических наук, профессор Пензенского госпединститута А. К. Артемов в рецензии на книгу профессора Эрдниева «Методика упражнений по арифметике и алгебре» пишет:

«Самым главным с точки зрения новизны является разработка автором методики изучения многих взаимосвязанных разделов школьной математики, и не изолированно, как это делают в настоящее время, а одновременно с широким использованием метода противопоставления. Книга посвящена актуальным вопросам методики математики, ее теоретические положения могут послужить основой для дальнейших исследований по методике математики».

Забегая немного вперед, отметим, что метод противопоставления и совмещенного изучения понятий вошел в программы и учебники не только математики.

Учитель учителей, педагог-мыслитель, феномен в педагогике, Колумб дидактики, методист-новатор – как только ни называли Пюрвю Мучкаевича Эрдниева. Все эти определения верны, но недостаточны, потому его личность многогранна и выходит за рамки профессии. Защитник Отечества? Да. Хороший товарищ? Конечно же! Любящий муж, прекрасный отец, заботливый и добрый дедушка? Ну а как же! Он – Человек, вот именно так, с большой буквы. Благодаря своим личностным качествам Пюрвя Мучкаевич вдохновлял и наставлял людей, находящихся рядом, втягивал их в свою орбиту.

Острый ум, твердость характера, непоколебимость и напористость, но самое главное – любовь к математике помогли ему внедрить собственную уникальную методику, преодолев все препоны, и стать академиком с мировой известностью.

Возвращение на родину. Калмыцкий государственный университет

В наше время нет вопроса более грозного и более великого, чем вопрос о народном образовании.

Владимир Вернадский

Приехав в 1964 году из Ставрополя в Элисту, Пюрвя Мучкаевич Эрдниев продолжил педагогическую и научную деятельность в Калмыцком государственном пединституте. В этом же году ученого награждают орденом «Знак Почета». Спустя несколько лет, в 1970-м, пединститут был преобразован в Калмыцкий государственный университет, и в первый же год Калм ГУ открыл свои двери для пяти тысяч студентов.

В стенах КалмГУ прошли самые плодотворные научные годы Пюрви Эрдниева. До 2007 года он возглавлял кафедру алгебры, геометрии и методики преподавания математики, а потом перешел на должность профессора кафедры математики и информационных технологий. В университете он проработал до последних своих дней, а прожил он 97 лет.

Среди преподавателей университета были такие известные ученые, как Б. Б. Бадмаев, У. Э. Эрдниев, М. П. Иванов, Д. А. Павлов, А. Ш. Кичиков, М. Б. Нармаев.

О Морхаджи Бамбаевиче Нармаеве стоит отдельно сказать несколько слов. Писатель, поэт, драматург, ученый, как и Пюрвя Эрдниев, он прошел войну. У них были разные научные интересы: Нармаев – доктор сельскохозяйственных наук, и в КалмГУ он возглавлял кафедру разведения и частной зоотехнии. Но человеческие интересы у них были общие. Оба были хорошо знакомы с генералом Окой Ивановичем Городовиковым, возглавлявшим Инициативную группу восстановления автономии Калмыкии, и принимали участие в этом благородном деле. (КалмГУ носит имя другого боевого генерала – Басана Бадьминовича Городовикова, племянника Оки Ивановича). В близком кругу Пюрви Мучкаевича были академик РАО, основатель этнопедагогики Геннадий Никандрович Волков, лингвист Валентин Иванович Рассадин, ученый-агроном Юрий Михайлович Маслов, доктор педагогических наук, профессор Очир Джогаевна Мукаева. Также он дружил со знаменитым калмыцким поэтом Михаилом Ванькаевичем Хониновым.

Развитие концепции уникальной технологии УДЕ происходило именно в КалмГУ, где для этого была создана специальная научная лаборатория.

К идее укрупнения дидактических единиц П. М. Эрдниев подошел еще в начале 1950-х годов, когда работал учителем в школе. С 1964 года учителя математики, узнавшие о методике УДЕ, стали внедрять ее в преподавание. Усилиями энтузиастов (и в первую очередь самого Эрдниева) методика стала объектом внимания ученых.

Проблема подготовки учителей для Пюрви Эрдниева была очень важна. Он говорил: «Смотришь на иного молодого учителя – и создается впечатление, что у него нет высшего образования. Диплом есть, а образования нет». Пытаясь преодолеть этот недостаток, ученый уделял большое внимание методике преподавания в вузах, разрабатывал специальные программы, ориентированные на повышение общего уровня будущих педагогов.

Разумеется, он хорошо знал реалии своей республики. Из-за демографических провалов в школах Калмыкии учеников было мало, и найти работу на полную ставку удавалось далеко не всем учителям-предметникам. Эрдниев предложил элегантное решение: педагогические вузы должны выпускать преподавателей, которые могли бы вести смежные предметы.

Также Пюрве Мучкаевичу не давала покоя проблема сохранения родного языка. В 1959–1962 годах он сам переводил на родной язык учебники арифметики А. С. Пчёлко. Позже выйдут учебники по математике для начальных классов с синхронными текстами на двух языках: русском и калмыцком. В 1991 году вместе с племянницей Марией Очуровой Пюрвя Эрдниев выпустит двуязычный учебник математики по методике УДЕ для детского сада. А в 1994 году появится двуязычный

учебник математики по методике УДЕ для 1-4-х классов начальной школы, изданный в соавторстве с Александрой Цереновой.

В «Очерках по методике преподавания математики в средней школе» (1968) Эрдниев развивает мысль о том, что успех в процессе обучения зависит от комплексного использования учителем различных методов преподавания. Предпочтение какой-то одной методики, по мнению ученого, не даст значительных результатов.

Изучая многочисленные труды психофизиологов по асимметрии мозга, Пюрвя Эрдниев пришел к выводу, что ограничиваться только педагогическими технологиями непродуктивно – необходимо обратить внимание и на психологические методики, чтобы быстрее достигать хороших результатов.

«Больше знаний за меньшее время» – главный педагогический девиз второй половины XX века. Педагогика остро нуждалась в обновлении учебно-воспитательного процесса. Задача учителя нового поколения – не просто механически передавать знания, а организовывать процесс обучения таким способом, чтобы дети могли самостоятельно находить подходы к решению конкретных задач.

Доктор педагогический наук А. В. Ефремов в своей книге «Феномен академика Эрдниева» пишет о четкой позиции Пюрви Мучкаевича, которая не менялась на протяжении всей его педагогической деятельности:

«П. М. Эрдниев считает, что учитель, если он ставит перед собой задачу развития познавательной деятельности и творческих способностей учащихся, должен организовывать учебный процесс так, чтобы решение каждой задачи для учеников стало значительным событием, чтобы при решении любой задачи он сам проявлял творческий подход в выборе методов и способов решения…»

Однако все эти идеи, казалось бы, неоспоримые, надо было пробивать, а для этого создавать новые методики обучения на базе конкретного предмета. Если эксперимент окажется успешным, методику можно распространять на другие дисциплины. П. М. Эрдниев прекрасно осознавал, что любая идея включает в себя два аспекта: теоретический и практический. Когда теория доказывается практикой, идея может развиться до системы. Так бывает во всех науках, и педагогика не исключение.

Методика укрупнения дидактических единиц, разработанная Эрдниевым, и стала тем самым открытием, которое определило новый виток развития дидактики. Технология УДЕ сразу же проявила себя как самоценная методическая система, обеспечивающая единство противоположностей в познании и актуализации резервных механизмов мозга. В Большой советской энциклопедии технология УДЕ названа «одной из перспективных направлений современной педагогики». Однако мало было создать новую уникальную технологию – необходимо было выпустить соответствующую обучающую литературу. Пюрвя Мучкаевич понимал: нужны новые учебники по математике с первого по одиннадцатый класс, и благодаря его труду, настойчивости и терпению они появились на свет.

Говоря о научной деятельности академика Эрдниева, нельзя оставить без внимания тот факт, что он был блестящим организатором. С 1967 по 1996 год Эрдниев подготовил и провел семь всесоюзных и международных научно-практических конференций по проблемам и вопросам, касающимся УДЕ. В Элисте также проходили и региональные конференции. На VII Международной конференции, приуроченной к 75-летию академика Эрдниева, технологию УДЕ назвали явлением в научнопрактической педагогике. Такие конференции проводятся и сегодня. Многие образовательные учреждения России стали переходить на альтернативные учебники Эрдниева по математике для 1-8-х классов, а в Калмыкии популярен двуязычный учебник математики для 1—4-х классов.

В 1972 году Пюрвя Эрдниев становится доктором педагогических наук. В это же время он удостаивается звания Заслуженного деятеля науки Калмыцкой СССР, а в журнале «Новый мир» выходит статья «Человек и время». В статье Мариэтта Шагинян, поэтесса и прозаик, Герой Социалистического Труда, член-корреспондент АН Армянской ССР, называет Пюрвю Эрдниева талантливым педагогом, уникальная технология которого сыграла важную роль не только в педагогике, но и психологии.

Она говорила: «У нас есть известный педагог-мыслитель Эрдниев из Элисты. Обучение по его методике сократило время обучения в школе чуть ли не вдвое. Но эффект его методики не только в этом: эта методика сделала шаг вперед и в работе детского мозга, научила его первому дыханию проблематики – чувству контрастов».

В 1981 году Пюрвя Эрдниев становится заслуженным деятелем науки РСФСР. А спустя пару лет, в 1983-м, получает бронзовую медаль ВДНХ СССР. На ВДНХ была развернута экспозиция, посвященная проблемам фундаментальных закономерностей мышления. Материал Эрдниева «Ускорение обучения посредством укрупнения дидактических единиц», как ни странно, был представлен не Министерством просвещения, а Министерством здравоохранения. Но на тот момент профессор Эрдниев уже выпустил учебники, основанные на работах выдающего физиолога И. П. Павлова (приложение к процессу обучения методом перемежающегося противопоставления контрастных раздражителей) и П. К. Анохина (теория функциональных систем), так что ничего удивительного в этом нет.

На выставке говорили о высоком уровне знаний учеников, которые обучались по методике УДЕ, а материалы наглядно демонстрировали, как на одном уроке можно решить прямую и обратную задачу и дифференциал и т. д. Потребовалось, однако, немало лет, чтобы методику признали на высоком уровне. Ученый, чье открытие позволяло значительно ускорить процесс усвоения знаний, был вынужден тратить силы и время, чтобы ходить по кабинетам чиновников, доказывая свои идеи. Его услышали, и в 1998 году Пюрвю Мучкаевича Эрдниева наградили премией Президента Российской Федерации за «создание новаторской и высокоэффективной технологии математического образования укрупнением дидактических единиц (УДЕ)». Ранее, в 1996 году, Эрдниеву присвоили звание Почетного гражданина Республики Калмыкия. В 1999 году Пюрвя Мучкаевич стал лауреатом Второго Российского открытого конкурса «Лучшие проекты по международному сотрудничеству в сфере образования», представив проект «Новаторская и высокоэффективная технология математического образования укрупнением дидактических единиц».

В 2002 году академик был награжден орденом Дружбы за заслуги перед Отечеством. А в 2014-м кавалер орденов Великой Отечественной войны I и II степеней получил звание «Герой Калмыкии» за выдающиеся достижения в области образования и науки и значительный вклад в процветание республики.

В честь выдающегося ученого учреждена премия Республики Калмыкия имени академика П. М. Эрдниева и нагрудная медаль, которая присваивается за развитие теории и методической системы УДЕ.

Результатами многолетней плодотворной педагогической деятельности профессора Эрдниева стали многочисленные публикации, монографии и учебные пособия, которые выходили в таких ведущих издательствах, как «Просвещение», «Столетие», «Русское слово». Он оставил большое наследие, которым будет пользоваться не одно поколение.

Сыновья академика – Батыр и Очир Эрдниевы – разработали для учителей начальной школы и преподавателей математики методическое руководство, в котором изложили принципы отцовской технологии. Династия Эрдниевых продолжается, с уходом Пюрви Мучкаевича Эрдниева нить не прервалась.

Установлено, что благодаря УДЕ экономится до 30 % учебного времени. Однако, чтобы добиться такой продуктивности, необходимо грамотно организовать учебный процесс.

Часть II
УДЕ. Суть методики и ее право на жизнь

Наука захватывает нас только тогда, когда, заинтересовавшись жизнью великих исследователей, мы начинаем следить за историей развития их открытий.

Джеймс Максвелл

Что же такое УДЕ?

В творческом процессе задействуются все моральные и духовные силы человека, от которых во многом зависит реализация поставленных целей. Об этом неоднократно говорил и писал в статьях, пособиях и монографиях Пюрвя Эрдниев. В своих исследованиях ученый пытался раскрыть конкретные принципы организации учебного материала и процесса обучения в целом. Максимально развить творческие способности учеников, их познавательную активность, подтолкнуть к самостоятельности в решении простых и сложных задач (не только математических) он считал важнейшей целевой установкой учителя.

Понятие задачи Эрдниев формулировал следующим образом:

«Задача – это информационная совокупность связей и зависимостей, выраженных словесно, графически или в математических формулах, составляющая определенную ситуацию, определяющую и побуждающую мыслительную деятельность субъекта на нахождение путем упорядоченных действий функционального выражения компонентов через известные».

Ключевая характеристика самобытной концепции УДЕ в духе современных научных понятий заключается в том, что «укрупнение дидактических единиц (УДЕ) – это методическая система самовозрастания знаний учащихся благодаря активизации подсознательных механизмов ускоренной переработки информации посредством сближения во времени и пространстве мозга взаимодействующих компонентов целостного представления».

Методическая система УДЕ представляет собой «самобытную, приоритетную и конкурентоспособную» технологию обучения. В самой методологии УДЕ акцентируется внимание на синхронном мышлении учеников, а также на основных когнитивных процессах. Отходит в сторону идея частных упражнений, рассчитанных на отдельное развитие сначала памяти, затем мышления и так далее.

Кстати, а почему технология? В педагогику этот термин ввел А. С. Макаренко, перевернувший подходы к воспитанию и обучению в советской школе. В незавершенной книге «Опыт методики работы детской трудовой колонии» (1932–1933) Макаренко писал: «У нас не было педагогической техники прежде всего потому, что сами слова "педагогическая техника" у нас никогда не произносилась и сама педагогическая техника никогда не наблюдалась и не исследовалась. И это произошло не потому, что о ней случайно забыли, а потому, что наша педагогическая философия вела свою работу по дорогам, необходимо проходящим мимо педагогической техники». Между тем технология преподавания необходима, потому что педагог должен знать, что и как делать. Недопустимо, чтобы теория жила отдельно от практики. «Методика воспитания не может быть сведена к теории, не может опереться на теорию как на нечто действительно существующее и надежное». Иными словами, педагогика вовсе не кабинетная наука, и технология как инструмент для достижения поставленных задач должна быть в арсенале каждого учителя.

На VII Международной конференции, которая проходила в 1996 году, было утверждено рабочее определение понятия УДЕ:

«Укрупнение дидактических единиц – это технология обучения, обеспечивающая самовозрастание знаний учащегося благодаря активизации у него подсознательных механизмов переработки информации посредством сближения во времени и пространстве мозга взаимодействующих компонентов доказательной логики и положительных эмоций».

Стоит отметить, что понятие «дидактическая единица» Пюрвя Эрдниев впервые использовал в 1978 году на страницах журнала «Вестник высшей школы». В настоящий момент в официальных документах Министерства просвещения и Министерства науки и высшего образования РФ это определение используется как рабочее.

Важно отметить, что одна из ключевых особенностей технологии УДЕ заключается в том, что ее применение возможно с первых ступеней обучения. В 2003 году, когда учитель-новатор О. А. Мартынова из Братска получала премию Республики Калмыкия за успехи в обучении детей по технологии УДЕ, один из журналистов задал ей прямой вопрос: «Сколько времени непрерывного обучения по методике обратных задач достаточно, чтобы у вашего первоклассника возник этот знаменитый "автоматизм УДЕ”, вооружающий ум на все последующие годы?» Ольга Александровна, не задумываясь, ответила: «Если учитель обучал непрерывно весь год в первом классе по методике обратных задач Анохина, то этого вполне достаточно, чтобы ученик прошагал с этим алгоритмом по ступеням науки математики все последующие годы». Улыбнувшись, Ольга Александровна добавила: «Достаточно занятий по УДЕ даже в течение одной первой четверти первого класса».

По сути, учительница подтвердила действие биологического закона, о котором часто говорил в своих трудах академик Эрдниев. Речь идет о законе импринтинга (феномен первой встречи), открытом лауреатом Нобелевской премии Конрадом Лоренцом.

В начале нулевых в научном обосновании технологии УДЕ появились новые термины: «биодидактика» и «нанобиодидактика». П. М. Эрдниев и Б. П. Эрдниев в своей статье «От дидактики к нанобиодидактике» (2003) поясняют:

«Частица "нано” – это как бы сигнал о выгодах построения на небольшом промежутке времени пары операций, правил, теорем ради достижения "целостного знания”. Логическим прототипом для предлагаемого нами познавательного приема служит пример терминологического уточнения академиком Скулачевым понятия "геоценоз” новоязом "биогеоценоз”. Частица "нано” уточняет фактор "био”: в дидактике нельзя упускать возможностей сближения во времени членов "информационной пары”, реализуемой в процессе противопоставления”».

Система УДЕ – один из возможных вариантов оптимизации процесса обучения. Интенсивные теоретические исследования умственной работы в психологической науке давали свои плоды, однако многие из них не были внедрены в массовую педагогическую практику.

Доктор педагогических наук А. В. Ефремов в одной из своих статей писал: «Многолетние наблюдения и опыт работы в школе позволяют нам сказать о том, что теория оптимизации процесса обучения совершенствуется, что академик Эрдниев П. М. успешно продолжает дело академика Бабанского Ю. К.», который рассматривал оптимизацию как научно обоснованный выбор учебного процесса.

Эрдниев не раз отмечал, что «первые шаги – это очень важно», а делаются они в начальных классах, даже раньше. Вот почему технологию УДЕ следует применять уже на первых уроках математики. Ученый часто приводил в пример Японию, где воспитателям детских садов платят больше, чем профессорам, потому что именно в этом возрасте и можно вложить в головы детей «алгоритмы успешного освоения действительности».

На вопрос, как начиналась методика УДЕ, Пюрвя Эрдниев всегда отвечал: с лекции Петра Анохина, где тот рассказывал об обратных задачах в широком смысле. При этом калмыцкий ученый отмечал, что настоящее «новаторство в дидактике стало возможным благодаря непосредственной опоре на опытные открытия в биологии, напрямую от биологии к дидактике (в обход, если хотите, поверхностных психологических обобщений)». В этой связи, по мнению Эрдниева, важную роль сыграл факт открытия асимметрии мозга (левое полушарие перерабатывает «числовую» информацию, правое, как правило, образную).

Немаловажным научным открытием, повлекшим за собой цепочку других открытий, стал следующий вывод: овладение смыслом сложной информации совершается в мозолистом теле мозга, которое находится между полушариями мозга. Отсюда формулируется дидактический вывод о преимуществах интегрированной подачи знаний (к примеру, алгебры и геометрии) в учебном процессе.

За проявление эмоций отвечает правое полушарие, можно ли это использовать в обучении математики? Можно! Важными носителями информации в учебниках Эрдниева являются слово, рисунки (фигуры), числа и знаки (символы), модель (предмет). В учебниках, разработанных по системе УДЕ, предлагаются упражнения, нацеленные на «усиление правополушарных (образных) компонентов знаний», так как именно образность является одной из важнейших составляющих творческого процесса. Пюрвя Эрдниев был убежден, что для распространения технологии УДЕ на другие дисциплины необходимо делать акцент именно на таких – «образных» упражнениях.

В одной из книг академика – «Обучение математике в начальных классах» – есть прекрасный пример, доказывающий это суждение. В учебнике предлагается сравнить решение прямой и обратной задачи.

Прямая задача: куплено пять тетрадей по 20 рублей, блокнот стоит на 40 рублей дешевле тетрадей.

Вопрос: сколько стоит блокнот?

Решение: 20 × 5 – 40 = 60

Обратная задача: блокнот стоит 60 рублей, это на 40 рублей дешевле, чем 5 тетрадей.

Вопрос: сколько стоит одна тетрадь?

Решение: (60 + 40): 5 = 20

Основополагающим моментом здесь является то, что «порождение обратной задачи из прямой находит свое объяснение на базе физиологической теории функциональных систем».

Будучи президентом международного центра профилактики стресса, академик Российской академии медицинских наук, профессор К. В. Судаков писал: «…По своей архитектуре каждая функциональная система представляет циклическую замкнутую саморегулирующуюся организацию. Центральным пунктом этой организации является тот или иной полезный приспособительный результат. <.> [Акцептор] избирательно объединяет нервные элементы, расположенные на различных уровнях мозга».

Решая задачу по учебнику УДЕ, ученик проговаривает полноценный рассказ, формулируя условия задачи, вопрос и решение.

«Моментом, вызывающим улыбку на лице ученика, оказывается замыкание цепи суждений, а точнее говоря, получение "загадочного" числа 20 как ответа "обратной задачи"! Так срабатывает акцептор результата действий».

В контексте технологии УДЕ для развития аналитического мышления, самостоятельности и творческих способностей ученика важно:

1) решить задачу,

2) составить и решить обратную задачу,

3) составить по аналогии новую задачу и решить ее.

Отвлечемся от математики: после решения некой проблемы необходимо переиначить уже знакомый сюжет в обратную проблему. Именно таким способом, по мнению академика и его единомышленников, можно сформировать глубокие знания по конкретному предмету.

Кроме того, при обучении по технологии УДЕ с помощью создания обратных задач любое число, знак, фигура дольше закрепляются в краткосрочной памяти, что немаловажно.

Исследования, проведенные ученым Эрдниевым, а также многолетний опыт позволили ему создать методическую систему, которая давала учителю возможность организовывать учебную деятельность учеников, а ученикам – получать знания по всему курсу математики. Краеугольным камнем такой методики является изучение математики с опорой на «сквозные», ключевые вопросы, которых достаточно и в алгебре, и в геометрии.

А. В. Ефремов дает следующее определение «сквозным» вопросам:

«К сквозным вопросам следует отнести такие математические законы, определения и действия, которые развиваются содержательно при систематическом освоении

последующих тем или систематически используются при изучении как программного, так и дополнительного материала, на любых этапах и при всех формах обучения».

Пюрвя Мучкаевич проводил специальные наблюдения и исследования, в результате которых сделал важный вывод: изучение всех вопросов школьной программы по математике преобразовываются в успех в том случае, когда педагог в своей работе опирается на «сквозные» вопросы программы.

Так, например, к таким вопросам в алгебре относят:

– основное свойство дроби;

– пропорция и ее свойства;

– основное свойство корня;

– обратные функции;

– определение и свойства тригонометрических функций;

– показательная функция и ее свойства;

– формулы сокращенного умножения;

– формулы корней квадратного уравнения;

– решение неравенств;

– определения и свойства модуля;

– условие равенства нулю произведения двух функций:

F (x)*G (x) = 0

– определение производной и правила дифференцирования.

«Сквозные» вопросы в геометрии выглядят следующим образом:

– аксиомы и следствия к ним;

– признак параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей;

– признаки равенства и подобия треугольников;

– деление отрезка (угла) пополам. Свойство серединного перпендикуляра;

– теорема о трех перпендикулярах;

– теорема Пифагора;

– сумма внутренних углов треугольника;

– расстояние от точки до прямой (до плоскости);

– формулы площади треугольника;

– определение и свойства тригонометрических функций угла в треугольнике;

– формула объема тел вращения.

При этом стоит заметить, что для успешного освоения математики нужно акцентировать внимание не только на содержании предмета, но и методах обучения. Например, в алгебре универсальным методом является принцип (метод) математической индукции, метод интервалов, метод неопределенных коэффициентов и другие. В геометрии – анализ, синтез, осевая симметрия, параллельный перенос и прочие.