Текст книги "Базы данных: конспект лекций"

2. Домены и атрибуты

Домены и атрибуты – базовые понятия в теории создания баз данных и управления ими. Поясним, что же это такое.

Формально, домен атрибута (обозначается dom(a)), где а – некий атрибут, определяется как множество допустимых значений одного и того же типа соответствующего атрибута а. Этот тип должен быть простым, т. е:

dom(a) ⊆ {x | type(x) = type(a)};

Атрибут (обозначается а), в свою очередь, определяется как упорядоченная пара, состоящая из имени атрибута name(a) и домена атрибута dom(a), т. е.:

a = (name(a): dom(a));

В этом определении вместо привычного знака «,» (как в стандартных определениях упорядоченных пар) используется «:». Это делается для того, чтобы подчеркнуть ассоциацию домена атрибута и типа данных атрибута.

Приведем несколько примеров различных атрибутов:

а₁ = (Курс: {1, 2, 3, 4, 5});

а₂ = (МассаКг: {x | type(x) = real, x 0});

а₃ = (ДлинаСм: {x | type(x) = real, x 0});

Заметим, что у атрибутов а₂ и а₃ домены формально совпадают. Но семантическое значение этих атрибутов различно, ведь сравнивать значения массы и длины бессмысленно. Поэтому домен атрибута ассоциируется не только с типом допустимых значений, но и семантическим значением.

В табличной форме представления отношений атрибут отображается как заголовок столбца таблицы, и при этом домен атрибута не указывается, но подразумевается. Это выглядит следующим образом:

Нетрудно заметить, что здесь каждый из заголовков a₁, a₂, a₃ столбцов таблицы, представляющей какое-то отношение, является отдельным атрибутом.

3. Схемы отношений. Именованные значения кортежей

В теории и практике СУБД понятия схемы отношения и именованного значения кортежа на атрибуте являются базовыми. Приведем их.

Схема отношения (обозначается S) определяется как конечное множество атрибутов с уникальными именами, т. е.:

S = {a | a ∈ S};

В каждой таблице, представляющей отношение, все заголовки столбцов (все атрибуты) объединяются в схему этого отношения.

Количество атрибутов в схеме отношений определяет степень этого отношения и обозначается как мощность множества: |S|.

Схема отношений может ассоциироваться с именем схемы отношений.

В табличной форме представления отношений, как нетрудно заметить, схема отношения – это не что иное, как строка заголовков столбцов.

S = {a₁, a₂, a₃, a₄} – схема отношений этой таблицы.

Имя отношения изображается как схематический заголовок таблицы.

В текстовой же форме представления схема отношений может быть представлена как именованный список имен атрибутов, например:

Студенты (№ зачетной книжки, Фамилия, Имя, Отчество, Дата рождения).

Здесь, как и в табличной форме представления, домены атрибутов не указываются, но подразумеваются.

Из определения следует, что схема отношения может быть и пустой (S = ∅). Правда, возможно это только в теории, так как на практике система управления базами данных никогда не допустит создания пустой схемы отношения.

Именованное значение кортежа на атрибуте (обозначается t(a))определяется по аналогии с атрибутом как упорядоченная пара, состоящая из имени атрибута и значения атрибута, т. е.:

t(a) = (name(a) : x), x ∈ dom(a);

Видим, что значение атрибута берется из домена атрибута.

В табличной форме представления отношения каждое именованное значение кортежа на атрибуте – это соответствующая ячейка таблицы:

Здесь t(a₁), t(a₂), t(a₃) – именованные значения кортежа t на атрибутах а₁, а₂, а₃.

Простейшие примеры именованных значений кортежей на атрибутах:

(Курс: 5), (Балл: 5);

Здесь соответственно Курс и Балл – имена двух атрибутов, а 5 – это одно из их значений, взятое из их доменов. Разумеется, хоть эти значения в обоих случаях равны друг другу, семантически они различны, так как множества этих значений в обоих случаях отличаются друг от друга.

4. Кортежи. Типы кортежей

Понятие кортежа в системах управления базами данных может быть интуитивно найдено уже из предыдущего пункта, когда мы говорили об именованном значении кортежа на различных атрибутах. Итак, кортеж (обозначается t, от англ. tuple – «кортеж») со схемой отношения S определяется как множество именованных значений этого кортежа на всех атрибутах, входящих в данную схему отношений S. Другими словами, атрибуты берутся из области определения кортежа, def(t), т. е.:

t ≡ t(S) = {t(a) | a ∈ def(t) ⊆ S;.

Важно, что одному имени атрибута обязательно должно соответствовать не более одного значения атрибута.

В табличной форме записи отношения кортежем будет любая строка таблицы, т. е.:

Здесь t₁(S) = {t(a₁), t(a₂), t(a₃), t(a₄)} и t₂(S) = {t(a₅), t(a₆), t(a₇), t(a₈)} – кортежи.

Кортежи в СУБД различаются по типам в зависимости от своей области определения. Кортежи называются:

1) частичными, если их область определения включается или совпадает со схемой отношения, т. е. def(t) ⊆ S.

Это общий случай в практике баз данных;

2) полными, в том случае если их область определения полностью совпадает, равна схеме отношения, т. е. def(t) = S;

3) неполными, если область определения полностью включается в схему отношений, т. е. def(t) ⊂ S;

4) нигде не определенными, если их область определения равна пустому множеству, т. е. def(t) = ∅.

Поясним на примере. Пусть у нас имеется отношение, заданное следующей таблицей.

Пусть здесь t₁ = {10, 20, 30}, t₂ = {10, 20, Null}, t₃ = {Null, Null, Null}. Тогда легко заметить, что кортеж t₁ – полный, так как его область определения def(t₁) = { a, b, c} = S.

Кортеж t₂ – неполный, def(t₂) = { a, b} ⊂ S. И, наконец, кортеж t₃ – нигде не определенный, так как его def(t3) = ∅.

Надо заметить, что нигде не определенный кортеж – это пустое множество, тем не менее ассоциируемое со схемой отношений. Иногда нигде не определенный кортеж обозначается: ∅(S). Как мы уже видели в приведенном примере, такой кортеж представляет собой строку таблицы, состоящую только из Null-значений.

Интересно, что сравнимыми, т. е. возможно равными, являются только кортежи с одной и той же схемой отношений. Поэтому, например, два нигде не определенных кортежа с различными схемами отношений не будут равными, как могло ожидаться. Они будут различными так же, как их схемы отношений.

5. Отношения. Типы отношений

И наконец дадим определение отношению, как некой вершине пирамиды, состоящей из всех предыдущих понятий. Итак, отношение (обозначается r, от англ. relation – «отношение») со схемой отношений S определяется как обязательно конечное множество кортежей, имеющих ту же схему отношения S. Таким образом:

r ≡ r(S) = {t(S) | t ∈r};

По аналогии со схемами отношений количество кортежей в отношении называют мощностью отношений и обозначают как мощность множества: |r|.

Отношения, как и кортежи, различаются по типам. Итак, отношения называются:

1) частичными, если для любого входящего в отношение кортежа выполняется следующее условие: [def(t) ⊆ S].

Это (как и с кортежами) общий случай;

2) полными, в том случае если ∀t ∈ r(S) выполняется: [def(t) = S];

3) неполными, если ∃t ∈ r(S) def(t) ⊂ S;

4) нигде не определенными, если ∀t ∈ r(S) [def(t) = ∅].

Обратим отдельное внимание на нигде не определенные отношения. В отличие от кортежей работа с такими отношениями включает в себя небольшую тонкость. Дело в том, что нигде не определенные отношения могут быть двух видов: они могут быть либо пустыми, либо могут содержать единственный нигде не определенный кортеж (такие отношения обозначаются {∅(S)}).

Сравнимыми (по аналогии с кортежами), т. е., возможно равными, являются лишь отношения с одной и той же схемой отношения. Поэтому отношения с различными схемами отношений являются различными.

В табличной форме представления, отношение – это тело таблицы, которому соответствует строка – заголовок столбцов, т. е. буквально – вся таблица, вместе с первой строкой, содержащей заголовки.

Лекция № 4. Реляционная алгебра. Унарные операции

Реляционная алгебра, как нетрудно догадаться, – это особая разновидность алгебры, в которой все операции производятся над реляционными моделями данных, т. е. над отношениями.

В табличных терминах отношение включает в себя строки, столбцы и строку – заголовок столбцов. Поэтому естественными унарными операциями являются операции выбора определенных строк или столбцов, а также смены заголовков столбцов – переименования атрибутов.

1. Унарная операция выборки

Первой унарной операцией, которую мы рассмотрим, является операция выборки – операция выбора строк из таблицы, представляющей отношение, по какому-либо принципу, т. е. выбор строк-кортежей, удовлетворяющих определенному условию или условиям.

Оператор выборки обозначается σ<P>, условие выборки – P<S>, т. е., оператор σ берется всегда с определенным условием на кортежи P, а само условие P записывается зависящим от схемы отношения S. С учетом всего этого сама операция выборки над схемой отношения S применительно к отношению r будет выглядеть следующим образом:

σ<P>r(S) ≡ σ<P>r = {t(S) |t ∈ r & P<S>t} = {t(S) |t ∈ r & IfNull(P<S>t, False};

Результатом этой операции будет новое отношение с той же схемой отношения S, состоящее из тех кортежей t(S) исходного отношения-операнда, которые удовлетворяют условию выборки P<S>t. Понятно, что для того, чтобы применить какое-то условие к кортежу, необходимо подставить значения атрибутов кортежа вместо имен атрибутов.

Чтобы лучше понять принцип работы этой операции, приведем пример. Пусть дана следующая схема отношения:

S: Сессия (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка).

Условие выборки возьмем такое:

P<S> = (Предмет = ‘Информатика’ and Оценка > 3).

Нам необходимо из исходного отношения-операнда выделить те кортежи, в которых содержится информация о студентах, сдавших предмет «Информатика» не ниже, чем на три балла.

Пусть также дан следующий кортеж из этого отношения:

t₀(S) ∈ r(S): {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Оценка: 5)};

Применяем наше условие выборки к кортежу t₀, получаем:

P<S>t₀ = (‘Базы данных’ = ‘Информатика’ and 5 > 3);

На данном конкретном кортеже условие выборки не выполняется.

А вообще результатом этой конкретной выборки

σ<Предмет = 'Информатика' and Оценка > 3 > Сессия

будет таблица «Сессия», в которой оставлены строки, удовлетворяющие условию выборки.

2. Унарная операция проекции

Еще одна стандартная унарная операция, которую мы изучим, – это операция проекции. Операция проекции – это операция выбора столбцов из таблицы, представляющей отношение, по какому-либо признаку. А именно машина выбирает те атрибуты (т. е. буквально те столбцы) исходного отношения-операнда, которые были указаны в проекции.

Оператор проекции обозначается [S'] или π<S'>. Здесь S' – подсхема исходной схемы отношения S, т. е. ее некоторые столбцы. Что это означает? Это означает, что у S’ атрибутов меньше, чем у S, потому что в S' остались только те из них, для которых выполнилось условие проекции. А в таблице, представляющей отношение r(S' ), строк столько же, сколько их у таблицы r(S), а столбцов – меньше, так как остались только соответствующие оставшимся атрибутам. Таким образом, оператор проекции π< S'> применительно к отношению r(S) дает в результате новое отношение с другой схемой отношения r(S' ), состоящее из проекций t(S) [S' ] кортежей исходного отношения. Как определяются эти проекции кортежей? Проекция любого кортежа t(S) исходного отношения r(S) на подсхему S' определяется следующей формулой:

t(S) [S’] = {t(a)|a ∈ def(t) ∩ S’}, S' ⊆S.

Важно заметить, что дубликаты кортежей из результата исключаются, т. е. в таблице, представляющей новое, результирующее отношение повторяющихся строк не будет.

С учетом всего вышесказанного, операция проекции в терминах систем управления базами данных будет выглядеть следующим образом:

π<S'>r(S) ≡ π<S’>r ≡ r(S) [S’] ≡ r [S' ] = {t(S) [S’] | t ∈ r };

Рассмотрим пример, иллюстрирующий принцип работы операции выборки.

Пусть дано отношение «Сессия» и схема этого отношения:

S: Сессия (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка);

Нас будут интересовать только два атрибута из этой схемы, а именно «№ зачетной книжки» и «Фамилия» студента, поэтому подсхема S' будет выглядеть следующим образом:

S' : (№ зачетной книжки, Фамилия).

Нужно исходное отношение r(S) спроецировать на подсхему S'.

Далее, пусть нам дан кортеж t₀(S) из исходного отношения:

t₀(S) ∈ r(S): {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Оценка: 5)};

Значит, проекция этого кортежа на данную подсхему S' будет выглядеть следующим образом:

t₀(S) S': {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’)};

Если говорить об операции проекции в терминах таблиц, то проекция Сессия [№ зачетной книжки, Фамилия] исходного отношения – это таблица Сессия, из которой вычеркнуты все столбцы, кроме двух: № зачетной книжки и Фамилия. Кроме того, все дублирующиеся строки также удалены.

3. Унарная операция переименования

И последняя унарная операция, которую мы рассмотрим, – это операция переименования атрибутов. Если говорить об отношении как о таблице, то операция переименования нужна для того, чтобы поменять названия всех или некоторых столбцов.

Оператор переименования выглядит следующим образом: ρ<φ>, здесь φ — функция переименования.

Эта функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между именами атрибутов схем S и Ŝ, где соответственно S — схема исходного отношения, а Ŝ — схема отношения с переименованными атрибутами. Таким образом, оператор ρ<φ> в применении к отношению r(S) дает новое отношение со схемой Ŝ, состоящее из кортежей исходного отношения только с переименованными атрибутами.

Запишем операцию переименования атрибутов в терминах систем управления базами данных:

ρ<φ> r(S) ≡ ρ<φ>r = {ρ<φ> t(S)| t ∈ r};

Приведем пример использования этой операции:

Рассмотрим уже знакомое нам отношение Сессия, со схемой:

S: Сессия (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка);

Введем новую схему отношения Ŝ, с другими именами атрибутов, которые мы бы хотели видеть вместо имеющихся:

Ŝ : (№ ЗК, Фамилия, Предмет, Балл);

Например, заказчик базы данных захотел в вашем готовом отношении видеть другие названия. Чтобы воплотить в жизнь этот заказ, необходимо спроектировать следующую функцию переименования:

φ : (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка) → (№ ЗК, Фамилия, Предмет, Балл);

Фактически, требуется поменять имя только у двух атрибутов, поэтому законно будет записать следующую функцию переименования вместо имеющейся:

φ : (№ зачетной книжки, Оценка) → (№ ЗК, Балл);

Далее, пусть дан также уже знакомый нам кортеж принадлежащий отношению Сессия:

t₀(S) ∈ r(S): {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Оценка: 5)};

Применим оператор переименования к этому кортежу:

ρ<φ> t₀(S): {(№ ЗК: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Балл: 5)};

Итак, это один из кортежей нашего отношения, у которого переименовали атрибуты.

В табличных терминах отношение

ρ < № зачетной книжки, Оценка → «№ ЗК, Балл > Сессия —

это новая таблица, полученная из таблицы отношения «Сессия», переименованием указанных атрибутов.

4. Свойства унарных операций

У унарных операций, как и у любых других, есть определенные свойства. Рассмотрим наиболее важные из них.

Первым свойством унарных операций выборки, проекции и переименования является свойство, характеризующее соотношение мощностей отношений. (Напомним, что мощность – это количество кортежей в том или ином отношении.) Понятно, что здесь рассматривается соответственно отношение исходное и отношение, полученное в результате применения той или иной операции.

Заметим, что все свойства унарных операций следуют непосредственно из их определений, поэтому их можно легко объяснить и даже при желании вывести самостоятельно.

Итак:

1) соотношение мощностей:

а) для операции выборки: | σ<P>r |≤ |r|;

б) для операции проекции: | r[S'] | ≤ |r|;

в) для операции переименования: | ρ<φ>r | = |r|;

Итого, мы видим, что для двух операторов, а именно для оператора выборки и оператора проекции, мощность исходных отношений – операндов больше, чем мощность отношений, получаемых из исходных применением соответствующих операций. Это происходит потому, что при выборе, сопутствующему действию этих двух операций выборки и проекции, происходит исключение некоторых строк или столбцов, не удовлетворивших условиям выбора. В том случае, когда условиям удовлетворяют все строки или столбцы, уменьшения мощности (т. е. количества кортежей) не происходит, поэтому в формулах неравенство нестрогое.

В случае же операции переименования, мощность отношения не изменяется, за счет того, что при смене имен никакие кортежи из отношения не исключаются;

2) свойство идемпотентности:

а) для операции выборки: σ<P> σ<P>r = σ<P>;

б) для операции проекции: r [S’] [S’] = r [S'];

в) для операции переименования в общем случае свойство идемпотентности неприменимо.

Это свойство означает, что двойное последовательное применение одного и того же оператора к какому-либо отношению равносильно его однократному применению.

Для операции переименования атрибутов отношения, вообще говоря, это свойство может быть применено, но обязательно со специальными оговорками и условиями.

Свойство идемпотентности очень часто используется для упрощения вида выражения и приведения его к более экономичному, актуальному виду.

И последнее свойство, которое мы рассмотрим, – это свойство монотонности. Интересно заметить, что при любых условиях все три оператора монотонны;

3) свойство монотонности:

а) для операции выборки: r₁ ⊆ r₂ ⇒ σ<P> r₁ ⇒ σ <P>r₂;

б) для операции проекции: r₁ ⊆ r₂ ⇒ r₁[S'] ⊆ r₂ [S'];

в) для операции переименования: r₁ ⊆ r₂ ⇒ ρ<φ>r₁ ⊆ ρ <φ>r₂;

Понятие монотонности в реляционной алгебре аналогично этому же понятию из алгебры обычной, общей. Поясним: если изначально отношения r₁ и r₂ были связаны между собой таким образом, что r ⊆ r₂, то и после применения любого их трех операторов выборки, проекции или переименования это соотношение сохранится.

Лекция № 5. Реляционная алгебра. Бинарные операции

1. Операции объединения, пересечения, разности

У любых операций есть свои правила применимости, которые необходимо соблюдать, чтобы выражения и действия не теряли смысла. Бинарные теоретико-множественные операции объединения, пересечений и разности могут быть применены только к двум отношениям обязательно с одной и той же схемой отношения. Результатом таких бинарных операций будут являться отношения, состоящие из кортежей, удовлетворяющих условиям операций, но с такой же схемой отношения, как и у операндов.

1. Результатом операции объединения двух отношений r₁(S) и r₂(S) будет новое отношение r₃(S), состоящее из тех кортежей отношений r₁(S) и r₂(S), которые принадлежат хотя бы одному из исходных отношений и с такой же схемой отношения.

Таким образом, пересечение двух отношений – это:

r₃(S) = r₁(S) ∪ r₂(S) = {t(S) | t ∈r₁ ∪t ∈r₂};

Для наглядности, приведем пример в терминах таблиц:

Пусть даны два отношения:

r₁(S):

r₂(S):

Мы видим, что схемы первого и второго отношений одинаковы, только имеют различной количество кортежей. Объединением этих двух отношений будет отношение r₃(S), которому будет соответствовать следующая таблица:

r3(S) = r₁(S) ∪ r₂(S):

Итак, схема отношения S не изменилась, только выросло количество кортежей.

2. Перейдем к рассмотрению следующей бинарной операции – операции пересечения двух отношений. Как мы знаем еще из школьной геометрии, в результирующее отношение войдут только те кортежи исходных отношений, которые присутствуют одновременно в обоих отношениях r₁(S) и r₂(S) (снова обращаем внимание на одинаковую схему отношения).

Операция пересечения двух отношений будет выглядеть следующим образом:

r₄(S) = r₁(S) ∩ r₂(S) = {t(S) | t ∈ r₁ & t ∈ r₂};

И снова рассмотрим действие этой операции над отношениями, представленными в виде таблиц:

r₁(S):

r₂(S):

Согласно определению операции пересечением отношений r₁(S) и r₂(S) будет новое отношение r₄(S), табличное представление которого будет выглядеть следующим образом:

r₄(S) = r₁(S) ∩ r₂(S):

Действительно, если посмотреть на кортежи первого и второго исходного отношений, общий среди них только один: {b, 2}. Он и стал единственным кортежем нового отношения r₄(S).

3. Операция разности двух отношений определяется аналогичным с предыдущими операциями образом. Отношения-операнды, так же, как и в предыдущих операциях, должны иметь одинаковые схемы отношения, тогда в результирующее отношение войдут все те кортежи первого отношения, которых нет во втором, т. е.:

r₅(S) = r₁(S) r₂(S) = {t(S) | t ∈ r₁ & t ∉ r₂};

Уже хорошо знакомые нам отношения r₁(S) и r₂(S), в табличном представлении выглядящие следующим образом:

r₁(S):

r₂(S):

Мы рассмотрим как операнды в операции пересечения двух отношений. Тогда, следуя данному определению, результирующее отношение r5(S) будет выглядеть следующим образом:

r₅(S) = r₁(S) r₂(S):

Рассмотренные бинарные операции являются базовыми, на них основываются другие операции, более сложные.