Текст книги "Репетитор по математике. Тригонометрия"

Репетитор по математике. Тригонометрия
М. Фартушняк

Дизайнер обложки М. Фартушняк

© М. Фартушняк, 2023

© М. Фартушняк, дизайн обложки, 2023

ISBN 978-5-0060-9322-5

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Введение или как работать с этой книгой

«Репетитор по математике. Тригонометрия» -это третья книга серии. Первую и вторую книгу «Репетитор по математике. Арифметика» и «Репетитор по математике. Алгебра» вы можете скачать в электронном виде практически из любого книжного магазина в Интернете.

1. Почему репетитор? Название возникло сразу. Не потому, что подобных названий почти нет. Судите сами, это ведь не учебник, где весь учебный материал подаётся от более простого к сложному. В учебнике существует тенденция перескакивания с одной темы на другую, а потом возвращение к уже более сложным заданиям. В репетиторе такого нет. Если вы начали изучать какую-то тему, то изучаете её от начала и до конца. Кроме этого, в репетиторе теоретический материал подан в самом необходимом, минимальном объёме без каких-либо доказательств и выведения формул. Это также и не справочник, где существует множество формул, определений, таблиц, где много теоретического материала, но почти нет практического применения теоретических знаний. Цель же репетитора – обучение практическим навыкам решения разнообразных математических задач. Наиболее похож репетитор на практикум, там тоже большое внимание уделяется практическим занятиям, но в отличие от практикума, где почти нет теоретического материала, в репетиторе он присутствует. Кроме этого, в данном учебном пособии есть тестовые задания, которые, как правило, отсутствуют в учебниках, справочниках, практикумах.

2. Кому прежде всего будет полезна эта книга? Репетитор ориентирован на основные задания, которые могут встретиться на выпускных экзаменах за курс средней школы и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Поэтому данное пособие прежде всего станет незаменимым помощником именно для данных категорий учащихся. Он также может быть применим и учителями выпускных классов средней школы, а также тем, кто хочет повысить свою математическую грамотность и научиться решать типовые математические задачи. Автор отдаёт себе отчёт в том, что никакое учебное пособие не заменит реального живого репетитора, который сможет подкорректировать и направить свои усилия на те разделы математики, в которых ученик разбирается не совсем хорошо. Увы, книга лишена такой возможности. Она может служить только дополнением к занятиям с реальным репетитором. Однако репетитор стоит немалых денег и не у всех есть возможность его нанять. Поэтому данное учебное пособие является хоть и неполной, но альтернативой. Ещё будучи учителем в школе, автор обратил внимание, что овладеть основными математическими навыками может практически любой человек. Есть только небольшой процент людей, которые не могут этого сделать по разным объективным причинам. Остальные не знают математику и не умеют решать математические задачи, потому что, или не хотят, или не хватает времени, или просто в жизни это может не пригодится, или лень заниматься каждый день. Таким людям я не рекомендую открывать репетитор. Вы не добьётесь желаемого результата и будете винить во всём автора. А для тех, кто решил серьёзно заняться изучением математики – добро пожаловать на страницы этого пособия. Если хотя бы половине этих людей репетитор поможет, автор будет считать, что его труд не был напрасным.

3. Чем же репетитор отличается от других учебных пособий? Прежде всего простотой подачи материала. Автор общается с обучаемым и указывает на характерные ошибки, которые могут встретиться при решении задач. В репетиторе показано решение типовых задач, а также задач повышенной трудности. Каждая задача или пример решается досконально с пояснениями, что позволяет усвоить базовые навыки даже людям, которые считали, что математика не для них.

4. О структуре данной книги. Вся книга поделена на 14 тем. В каждой теме есть необходимый минимум теоретического материала, примеры решения задач. В конце каждой темы даются один или несколько тестовых заданий (кроме тем 9 и 14) и задачи для самостоятельного решения.

Поговорим отдельно о каждой из этих составляющих.

Теоретический материал. Как было уже сказано ранее, это тот необходимый минимум, без которого невозможно обойтись при решении заданий. Если формула выведена крупным шрифтом – её необходимо запомнить. Тоже самое касается формулировок и прочих элементов теории. Таких обязательных элементов для запоминания в книге немного. Обучение построено по американской системе, где от учащегося не требуется зазубривание теоретического материала, а предпочтение отдаётся только навыкам его применения на практике. Поэтому, при самостоятельном решении задач автор разрешает пользоваться формулами. Запоминание формул произойдёт автоматически при практическом их применении. В конце книги собран и изложен в кратком виде весь теоретический материал. Им вы можете пользоваться при решении задач. Это не значит, что теоретический материал можно совсем не изучать или изучить бегло. Как я уже сказал, в конце каждой темы есть тестовые задания и без базовых знаний теоретического материала, вы вряд ли сможете их пройти.

Примеры решения задач. В репетиторе рассмотрены решения как базовых типовых задач, так и задач повышенной сложности. Многие задания взяты из конкурсных задач по математике, которые были предложены абитуриентам при поступлении в высшие учебные заведения в 70 – 80х годах прошлого столетия. Поверьте, если вы научитесь решать эти задачи, то любой экзамен вам будет по плечу. Часть заданий взята из экзаменационных задач за курс средней школы, часть из других источников. Автор уважает авторские права других, поэтому в конце книги дан список использованной литературы. Как было сказано выше, все примеры решения задач приведены с подробными пояснениями.

Тестовые задания. К каждой теме предложено один или несколько тестовых заданий, в зависимости от объёма теоретического материала. Каждое тестовое задание включает 12 вопросов с четырьмя вариантами ответов, один из которых является правильным. Оценивание тестовых заданий производится по 12-ти бальной системе. Чтобы не путаться, привожу перевод 12-ти бальной системы в 5-ти бальную.

12 баллов – оценка 5+

11 баллов – 5

10 баллов – 5-

9 баллов – 4+

8 баллов – 4

7 баллов – 4-

6 баллов – 3+

5 баллов – 3

4 балла – 3-

3 балла – 2+

2 балла – 2

1 балл – 2 —

Я надеюсь, что последние шесть строчек вам не понадобятся при оценивании тестовых заданий. Только все должно быть по-честному. Помните, если вы будете не объективны, то в первую очередь обманите сами себе.

Теперь, как оценивать тестовые задания. За каждое правильное тестовое задание начисляется 1 балл. По количеству набранных баллов и выставляется итоговая оценка по 12-ти бальной системе. Например, вы ответили правильно на 7 вопросов-это оценка 4-. При 11-ти верных ответах имеете оценку 5, а при 12-ти имеете максимум 5+.

Продолжительность тестирования – 25—30 минут. Выделите для тестирования отдельный день. Берите чистый лист бумаги и вперёд. Тесты – это не только интересно, но и познавательно. Желательно пройти все предложенные тесты (но не более двух за один день), в конце книги имеются ответы на тестовые задания для проверки. Не стоит в них заглядывать раньше времени.

Задачи для самостоятельного решения. Автор сознательно не выделял какими-то знаками задания повышенной сложности и считает, что такое приём способствует более спокойному решению задач без излишнего волнения и стресса. В процессе решения вы сами сможете понять, сложна для вас данная задача или нет. Притом сложность задачи – это субъективная оценка. Некоторые с лёгкостью могут решать подобные задачи, а вот более простые в нашем понимании могут вызвать затруднение. Если вы поняли, что можете приступать к решению задач, то не медлите. Каких-то ограничений по количеству решаемых задач в день нет. Когда поняли, что устали, то занятие можно прекратить, но хотя бы 30 – 40 минут в день вы должны уделять решению задач. Это не обязательно делать изо дня в день. Через какое-то время можно сделать себе 1– 2-х дневный перерыв. Но с отдыхом не затягивайте. Почувствовав, что немного отдохнули и есть свободное время, приступайте снова к решению задач. Автор рекомендует решить все задачи, которые есть в разделе для самостоятельного решения. Решив какую-то задачу, загляните в раздел «ответы» и, убедившись, что вы все решили правильно, продолжайте дальше. Если ваш ответ не совпадает с ответом в конце книги, рекомендуется ещё раз пройтись по своему решению и выявить ошибки. Если вы их не обнаружили, то загляните в раздел «Указания к решению задач». Он находится после раздела ответов. Прочитав указания к решению задач (они есть практически ко всем задачам), снова приступайте к решению сложной для вас задачи. К задачам для самостоятельного решения есть полные и подробные решения, которые находятся в соответствующем разделе. Но это последний раздел, в который вам следует заглянуть. Это в том случае, когда задача не решается без посторонней помощи. Не злоупотребляйте этим разделом, иначе вы так никогда и не научитесь решать математические задачи. Постарайтесь ограничиться только разделом «Указания к решению задач». Этого бывает достаточно, чтобы понять свою проблему и попытаться её искоренить.

В конце книги, как я уже сказал, находится справочный раздел, ответы к тестовым заданиям, ответы к задачам для самостоятельного решения, указания к решению задач, решение задач. Кроме этого, там же находится список использованной литературы и оглавление. Структура книги максимально удобна для использования. А в начале книги предложены условные математические обозначения, которые будут встречаться в дальнейшем.

Автор будет благодарен за любые замечания и обнаруженные неточности и ошибки при написании этого пособия. А также будет рад любому мнению и практическим советам от учителей и преподавателей математики по улучшению данной книги.

Некоторые математические обозначения

Тригонометрия

Тригонометрия-один из самых сложных разделов алгебры. Сложность этому разделу придаёт огромное количество формул, большинство из которых нужно запомнить. На практике определение тригонометрических функций не вызывает существенных трудностей., а вот тождественные преобразования, и особенно,  решение тригонометрических уравнений, усваиваются довольно тяжело. Немного терпения и напористости и даже самые сложные вершины математики покоряются тем, кто не привык отступать.

Тема 1

Понятие угла. Радианная мера угла. Перевод градусной меры в радианную и наоборот

Введём обобщённое понятие угла, рассматриваемого

в тригонометрии.

Любой поворот подвижного вектора образует угол.

Подвижным вектором наз. вектор, начало которого т.О

(начало координат), а конец – точка, движущаяся по

окружности.

При повороте подвижного вектора может образоваться угол,

меньший развёрнутого и угол больший развёрнутого (рис. 1.1 и 1.2

соответственно).

Поворот подвижного вектора, при котором его конечное

положение совпало с начальным положением наз. полным

оборотом (рис. 1.3).

Поворот подвижного вектора может складываться из нескольких

полных оборотов и поворота, составляющего часть полного

оборота (рис. 1.4).

рис.1.1

рис.1.2

рис.1.3

рис.1.4

Принято считать углы, образованные поворотом подвижного вектора против часовой стрелки положительными, а углы, образованные поворотом подвижного вектора по часовой стрелке, отрицательными (рис. 1.5)

рис.1.5

Пусть подвижный вектор совершает, равный 1/360 части

полного оборота против часовой стрелки. В этом случае

говорят, что образован угол, градусная мера которого равна

одному градусу, или короче, угол в 1 градус (1°). Таким образом,

полный оборот против часовой стрелки равен 360°, полоборота

(развёрнутый угол) =180°, четверть оборота (прямой угол) = 90°.

Аналогично, если осуществляется поворот по часовой стрелке:

полный оборот = – 360°, развёрнутый угол = – 180°, прямой угол

= – 90°. Напомним, что 1 ’ (одна минута) равна 1/60 части градуса,

а 1 ’ ’ (одна секунда) равна 1/60 части минуты.

Величину любого угла а можно записать в виде:

Поэтому при к ≠ 0 угол с градусной мерой а можно получить, как

результат 2 поворотов: 1) в положительном направлении на угол с

градусной мерой а₀ и 2) на |к| полных оборотов в положительном

направление при к> 0 и в отрицательном направлении при к <0.

Например, 2000°= 200°+5·360°, поэтому угол в 2000° можно

получить как результат двух поворотов:1) в положительном

направлении на 200° и 2) в положительном направлении

на 5 полных оборотов.

– 2000°= 160°– 6· 360°, поэтому угол в – 2000° градусов можно

получить как результат 2 поворотов: 1) в положительном

направлении на 160° и 2) в отрицательном направлении

на 6 полных оборотов.

Наряду с градусной мерой угла в тригонометрии употребляется

другая мера называемая радианной. Углом в 1 радиан (1рад.)

называют центральный угол окружности радиуса R, опирающегося

на дугу длиной R (рис. 1.6). Величина этого угла не зависит

от радиуса окружности и от положения дуги MN на окружности.

 
1 рад. = 180°/π ≈ 57.2958°≈ 57°17 ’ 45ʺ
 

рис.1.6

Полный оборот содержит 2π рад., т.е. 2π рад. = 360°, тогда π рад = 180°, π/2 рад. = 90° и т. д.

Любой угол α в радианной мере можно записать в виде:

Поэтому при к ≠ 0 угол α можно получить как результат 2

поворотов: 1) в положительном направлении на угол и 2) на |к|

полных оборотов в положительном направлении при к> 0 и в

отрицательном направлении при к < 0.

Рассмотрим решение некоторых задач.

рис.1.7

тестовые задания к теме 1
тест 1
тест 2
тест 3
тест 4
тест 5
задачи

рис. 1.8

Тема 2

Основные понятия о тригонометрических функциях. Знаки тригонометрических функций по четвертям. Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Определение: Ордината точки, полученной при повороте точки

P₀ = M (1,0) вокруг начала координат на угол α радиан, называется

синусом числа α (обозначается sinα), а абсцисса этой точки —

косинусом α (обозначается cosα) (рис.2.1)

Т.е. sin α = y cos α = x

Функции sinα и cosα определены на всей числовой прямой.

Областью значений каждой из этих функций является

отрезок [-1, 1].

рис.2.1

рис.2.2

рис.2.3

Тригонометрические функции для острых углов α можно

определить как отношение сторон прямоугольного

треугольника ABC с острым углом.

Таких отношений шесть (рис.2.4)

рис.2.4

Знаки тригонометрических функций по координатным

четвертям (рис.2.5)

рис.2.5

Значение тригонометрических функций основных углов (рис.2.6)

(В конце книги в разделе «Справочные материалы» представлена

более полная таблица значений тригонометрических функций для

некоторых углов).

Рассмотрим решение некоторых задач.

рис.2.6

тестовые задания
тест 1

рис. 2.7

тест 2
тест 3
тест 4
тест 5
задачи

Тема 3

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Выражение одних тригонометрических функций через другие

Все эти формулы выражают соотношения между

тригонометрическими функциями одного и того же угла. Зная эти

формулы, можно вычислить значения всех функций, зная значение

только одной функции. Все эти формулы можно свести в

таблицу. В ней показаны выражения одних тригонометрических

функций через другие.

Рассмотрим решение некоторых задач.

тестовые задания
тест 1
тест 2
задачи

тема 4

Формулы приведения

Формулы приведения дают возможность:

1) находить численные значения тригонометрических функций

углов, превышающих 90°.

2) совершать преобразования, упрощающие вид формул.

Все эти формулы верны для всяких углов α, хотя употребляются

преимущественно в тех случаях, когда α – острый угол. Все эти

формулы можно разделить на 4 группы:

Ⅰ группа: Эти формулы позволяют избавиться от рассмотрения

отрицательных углов.

sin (-α) = -sinα, cos (-α) = cosα, tg (-α) = -tgα, ctg (-α) = -ctgα.

Ⅱ группа: Эти формулы позволяют избавиться от рассмотрения

углов больших 360°(здесь k – целое положительное число).

Ⅲ группа:

Названия функций сохраняются. Знак в правой части берётся тот,

который будет иметь левая часть при остром угле α.

Ⅳ группа:

Название функции меняется, вместо каждой функции берётся её

кофункция. Правило знаков то же, что и в предыдущей группе.

Для того, чтобы запомнить формулы приведения, можно

использовать следующие правила:

1) любая тригонометрическая функция угла 90°·n + α

по абсолютной величине равна той же функции угла α, если число

n – чётное, и меняется на кофункцию, если число n – нечётное.

2) если функция угла 90°·n + α положительна, когда α – острый

угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то

различны.

Результаты данных выше формул приведения помещены

в таблицу, в которую добавлены графы для секанса и косеканса.

Рассмотрим примеры решения некоторых задач.

тестовые задания
тест 1
тест 2
тест 3
задачи

Тема 5

формулы сложения и вычитания

Формулы сложения и вычитания позволяют выразить cos (α±β), sin

(α±β), sec (α±β), cosec (α±β) через косинусы и синусы α и β, а также

tg (α±β) и ctg (α±β) через тангенсы и котангенсы α и β.

Формула косинуса суммы:

cos (α+β) = cosα·cosβ – sinα·sinβ.

Формула косинуса разности:

cos (α-β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ.

Формула синуса суммы:

sin (α+β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ.

Формула синуса разности:

sin (α-β) = sinα·cosβ – cosα·sinβ

Рассмотрим решение некоторых задач.

тестовые задания
тест 1
тест 2
задачи

тема 6

Формулы половинных, двойных и тройных углов, а также четвертных углов для sin и cos

 
Примеры решения задач.
 

тестовые задания
тест 1
тест 2
задачи

тема 7

Формулы суммы и разности

Рассмотрим решение некоторых задач.

тестовые задания
тест 1
задачи

тема 8

Формулы произведения. Формулы выражения sin, cos, tg через тангенс половинного аргумента

Примеры решения задач.

тестовые задания
тест 1
задачи

0тема 9

Тождественные преобразования тригонометрических выражений

При тождественных преобразованиях тригонометрических

выражений применяются формулы, перечисленные в предыдущих

темах. К тождественным преобразованиям относятся такие типы

задач: доказательство тождеств, упрощение выражений,

вычисление значения выражения и некоторые другие задачи. В

предыдущих темах мы частично рассматривали такие задачи,

поэтому здесь я дам вам всего два примера решения

нестандартных задач.

Обратите внимание, что к этой теме нет тестовых заданий. Не стоит терять время, приступайте сразу к решению задач.

задачи

тема 10

Свойства и график функций sinx и cosx

Свойства функции f (x) = sinx.

1. Область определения: R.

2. Множество значений: [-1, 1]

3. Функция нечетная.

4. Наименьший положительный период: 2π.

5. Точки пересечения графика с осью Ox: (πn,0)

6. Точки пересечения графика с осью Оy: (0,0)

7. f (x)> 0: (2πn, π+2πn).

8. f (x) <0: (-π +2πn, 2π).

9. Промежутки возрастания: [-π/2+2πn, π/2+2πn].

10. Промежутки убывания: [π/2+2πn, 3π/2+2πn].

11. Точки минимума: -π/2+2πn.

12. Минимумы функции: -1.

13. Точки максимума: π/2+2πn.

14. Максимумы функции: 1

Линия, являющаяся графиком функции y = sinx, называется

синусоидой (рис. 10.1).

рис. 10.1

Свойства функции f (x) = cosx.

1. Область определения: R.

2. Множество значений: [-1,1].

3. Функция чётная.

4. Наименьший положительный период: 2π.

5. Точки пересечения графика с осью Ох: (π/2+πn, 0).

6. Точки пересечения графика с осью Оу: (0,1).

7. f (x)> 0: (-π/2+2πn, π/2+2πn).

8. f (x) <0: (π/2+2πn, 3π/2+2πn).

9. Промежутки возрастания: [-π+2πn, 2πn].

10. Промежутки убывания: [2πn, π+2πn].

11. Точки минимума: π+2πn.

12 Минимумы функции: -1.

13 Точки максимума: 2πn.

14 Максимумы функции: 1.

Графиком функции y = cosx тоже является синусоида, она

получается из графика y = sinx смещением вдоль оси Ox влево

на отрезок π/2 (рис. 10.2).

рис. 10.2

Рассмотрим решение некоторых задач.

рис. 10.3

рис. 10.4

тестовые задания
тест 1
тест 2

рис. 10.5

задачи

тема 11

Свойства функций tgx и ctgx и их графики

Свойства функции f (x) = tgx.

1. Область определения: (-π/2+πn, π/2+πn).

2.Множество значений: R.

3. Функция нечётная.

4. Наименьший положительный период: π.

5. Точки пересечения графика с осью Ox: (πn,0)

6. Точки пересечения графика с осью Оу: (0,0)

7. f (x)> 0: (πn, π/2+πn).

8. f (x) <0: (-π/2+πn, πn).

9. Промежутки возрастания: (-π/2+πn, π/2+πn).

10. Промежутки убывания: нет.

11. Точки минимума: нет.

12. Минимумы функции: нет.

13. Точки максимума: нет.

14. Максимумы функции: нет.

Графиком функции является линия называемая тангенсоида

(рис. 11.1)

рис. 11.1

График функции y = tgx переходит в себя при параллельных

переносах вдоль оси Ox на расстоянии π.

Свойства функции f (x) = ctgx.

1. Область определения: (πn, π + πn).

2. Множество значений: R.

3. Функция нечётная.

4. Наименьший положительный период: π.

5. Точки пересечения графика с осью Ox: (π/2+πn, 0).

6. Точки пересечения графика с осью Оy: нет.

7. f (x)> 0: (πn, π/2+πn).

8. f (x) <0: (-π/2+πn, πn).

9. Промежутки возрастания: нет.

10. Промежутки убывания: (πn, π+πn).

11. Точки минимума: нет.

12. Минимумы функции: нет.

13. Точки максимума: нет.

14. Максимумы функции: нет.

рис. 11.2

График функции y = ctgx (рис. 11.2) переходит в себя при

параллельных переносах вдоль оси Ох на расстояние π.