Текст книги "Инженерная графика"

Чердинцева О. И., Шевченко О. Н., Васильева М. А.
Инженерная графика

Введение

Современная организация производства и техника нового поколения требуют глубоких и разносторонних знаний, высокой производственной квалификации специалиста.

В учебных заведениях изучение черчения, как раздела дисциплины «Инженерная графика», дает возможность приобрести знания и навыки, необходимые для практической деятельности. Без знания черчения невозможна успешная деятельность по техническим специальностям. Чертеж называют «языком техники», он является международным средством передачи информации.

В пособии в простой и доступной форме, рассмотрены вопросы построения и чтения чертежей. Пособие содержит краткое изложение теории, упражнения по оформлению чертежей, геометрическим построениям, выполнение чертежей в системе аксонометрических проекций. В учебном пособии условные обозначения даны со ссылками на источники последних лет издания и стандарты последних редакций.

Пособие может быть использовано для студентов всех форм обучения инженерно-технических и инженерно-технологических специальностей.

Цель заданий. Знание простейших геометрических построений и приобретение навыков черчения.

Содержание заданий :

1. Построить лекальные кривые, согласно заданию своего варианта. Выполнить сопряжения.

2. По чертежу детали построить ее аксонометрическое изображение.

Оформление заданий. Практические задания выполнить на формате А3, применяя чертежные инструменты.

Навыки работы студенты реализуют на последующих этапах обучения при выполнении курсовых и дипломных проектов и в последующей производственной деятельности.

1 Применение геометрических построений

Выполнение геометрических построений

Чтобы построить какой-либо чертеж или выполнить плоскостную разметку заготовки детали перед ее обработкой, необходимо осуществить ряд графических операций – геометрических построений.

На рисунке 1 изображена плоская деталь – пластина. Чтобы начертить ее чертеж или разметить на стальной полосе контур для последующего изготовления, нужно проделать на плоскости построения, основные из которых пронумерованы цифрами, записанными на стрелках-указателях. Цифрой 1 – указано построение взаимно перпендикулярных линий, которое надо выполнить в нескольких местах, цифрой 2 – проведение параллельных линий, цифрой 3 – сопряжение этих параллельных линий дугой определенного радиуса, цифрой 4 – сопряжение дуги и прямой дугой заданного радиуса, который в данном случае равен 10 мм, цифрой 5 – сопряжение двух дуг дугой определенного радиуса.

Рисунок 1 – Чертеж пластины, на котором отмечены геометрические построения, используемые при его выполнении

В результате выполнения этих и других геометрических построений будет вычерчен контур детали.

Геометрическим построением называют способ решения задачи, при котором ответ получают графическим путем без каких-либо вычислений. Построения выполняют чертежными (или разметочными) инструментами максимально аккуратно, ибо от этого зависит точность решения.

Линии, заданные условиями задачи, а также построения выполняют сплошными тонкими, а результаты построения – сплошными основными.

Приступая к выполнению чертежа или разметке, нужно вначале определить, какие из геометрических построений необходимо применить в данном случае, т. е. провести анализ графического состава изображения.

Анализом графического состава изображения называют процесс расчленения выполнения чертежа на отдельные графические операции.

Выявление операций, необходимых для построения чертежа, облегчает выбор способа его выполнения. Если нужно вычертить, например, пластину, изображенную на рисунке 1, то анализируя контур ее изображения, мы должны применить следующие геометрические построения: в пяти случаях провести взаимно перпендикулярные центровые линии (цифра 1 в кружке), в четырех случаях вычертить параллельные линии (цифра 2), вычертить две концентрические окружности (Ø 50мм и Ø 70мм), в шести случаях построить сопряжения двух параллельных прямых дугами заданного радиуса (цифра 3), а в четырех – сопряжения дуги и прямой дугой радиуса 10мм (цифра 4), в четырех случаях построить сопряжение двух дуг дугой радиуса 5мм (цифра 5 в кружке).

Для выполнения этих построений целесообразно выбирать рациональный способ выполнения чертежа. Выбор рационального способа решения задачи сокращает время, затрачиваемое на работу. Например, при построении равностороннего треугольника, вписанного в окружность, более рационален способ, при котором построение выполняют рейсшиной и угольником с углом 60° без предварительного определения вершин треугольника (см. рисунок 2а,б).

Менее рационален способ решения той же задачи с помощью циркуля и рейсшины с предварительным определением вершин треугольника (см. рисунок 2, в).

2 Деление окружности на равные части

Деление окружности на три равные части. Устанавливают угольник с углами 30 и 60° большим катетом параллельно одной из центровых линий. Вдоль гипотенузы из точки 1 (первое деление) проводят хорду (рисунок 2,а), получая второе деление – точку 2. Перевернув угольник и проведя вторую хорду, получают третье деление – точку 3 (рисунок 2,б). Соединив точки 2 и 3 и 3 и 1 прямыми линиями, получают равносторонний треугольник.

Рисунок 2 – Деление окружности на три равные части: а, б – с помощью угольника, в – с помощью циркуля

Ту же задачу можно решить с помощью циркуля. Поставив опорную ножку циркуля в нижний или верхний конец диаметра (рисунок 2, в), описывают дугу, радиус которой равен радиусу окружности. Получают первое и второе деления. Третье деление находится на противоположном конце диаметра.

Деление окружности на шесть равных частей. Раствор циркуля устанавливают равным радиусу R окружности. Из концов одного из диаметров окружности (из точек 1, 4) описывают дуги (рисунок 3 а, б). Точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 делят окружность на шесть равных частей. Соединив их прямыми линиями, получают правильный шестиугольник (рисунок 3, б).

Рисунок 3 – Деление окружности на шесть равных частей с помощью циркуля

Ту же задачу можно выполнить с помощью линейки и угольника с углами 30 и 60° (рисунок 4). Гипотенуза угольника при этом должна проходить через центр окружности.

Рисунок 4 – Деление окружности на шесть равных частей с помощью угольника

Деление окружности на восемь равных частей. Точки 1, 3, 5, 7 лежат на пересечении центровых линий с окружностью (рисунок 5). Еще четыре точки находят с помощью угольника с углами 45°. При получении точек 2, 4, 6, 8 гипотенуза угольника проходит через центр окружности.

Рисунок 5 – Деление окружности на восемь равных частей с помощью угольника

Деление окружности на любое число равных частей. Для деления окружности на любое число равных частей пользуются коэффициентами, приведенными в таблице 1.

Длину l хорды, которую откладывают на заданной окружности, определяют по формуле:

l = dk , (1)

где l – длина хорды;

d – диаметр заданной окружности;

k – коэффициент, определяемый по таблице 1.

Чтобы разделить окружность заданного диаметра 90 мм, например, на 14 частей, поступают следующим образом.

Таблица 1 – Коэффициенты для деления окружности

В первой графе таблицы 1 находят число делений n, т.е. 14. Из второй графы выписывают коэффициент k, соответствующий числу делений n. В данном случае он равен 0,22252. Диаметр заданной окружности умножают на коэффициент и получают длину хорды:

l = dk = 90 • 0,22252 ≈ 0,22 мм

Полученную длину хорды откладывают циркулем-измерителем 14 раз на заданной окружности.

Нахождение центра дуги и определение величины радиуса. Задана дуга окружности, центр и радиус которой неизвестны.

Для их определения нужно провести две непараллельные хорды (рисунок 6,а) и восставить перпендикуляры к серединам хорд (рисунок 6,б). Центр О дуги находится на пересечении этих перпендикуляров.

Рисунок 6 – Определение центра дуги

Контрольные вопросы

1. Что называют анализом графического состава изображений?

2. Для чего нужен анализ графического состава изображения?

3. Какими линиями выполняют вспомогательные построения?

Упражнение 1. С помощью линейки и угольника постройте углы 30, 60, 120, 75, 15 и 105°.

Упражнение 2. Разделите отрезок прямой на четыре равные части; на восемь равных частей; на 12 равных частей.

Упражнение 3. Разделите тупой угол на четыре равные части.

Упражнение 4. Разделите прямой угол на три равные части с помощью циркуля и линейки. Постройте угол 30°. Разделите окружность на три равные части.

Упражнение 5. С помощью угольника и линейки разделите окружность на шесть равных частей (на 12). То же самое сделайте с помощью циркуля.

Упражнение 6. Разделите окружность на восемь равных частей наиболее рациональным способом.

Упражнение 7. Подсчитайте, чему равна длина хорды при делении окружности диаметра 100 мм на пять равных частей; окружности диаметра 120 мм на 14 равных частей; окружности диаметра 200 мм на 11 равных частей.

Упражнение 8. Вычертите чертеж угольника (рисунок 7).

Упражнение 9. Выполните один из чертежей прокладок, приведенных на рисунке 8 а, б, в, г, д, е.

Рисунок 7 – Задание для упражнений

Рисунок 8 – Задания для упражнений

3 Сопряжения

При выполнении машиностроительных чертежей, а также при разметке заготовок деталей на производстве часто приходится плавно соединять прямые линии с дугами окружностей или дугу окружности с дугами других окружностей, т. е. выполнять сопряжение.

Сопряжением называют плавный переход отрезка прямой в дугу окружности или дуги одного радиуса в дугу другого радиуса.

Для построения сопряжений необходимо знать величину радиуса сопряжения, определить центры, из которых проводят дуги, т.е. центры сопряжений (рисунок 9). Затем нужно найти точки, в которых одна линия переходит в другую, т.е. точки сопряжений. При построении чертежа сопрягающиеся линии нужно доводить точно до этих точек.

Рисунок 9 – Элементы сопряжений

Точка сопряжения дуги окружности и прямой лежит на перпендикуляре, опущенном из центра дуги на сопрягаемую прямую (рисунок 10,а), или на линии, соединяющей центры сопрягаемых дуг (рисунок 10б). Следовательно, для построения любого сопряжения дугой заданного радиуса нужно найти центр сопряжения и точку (точки) сопряжения.

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса. Даны пересекающиеся под прямым, острым и тупым углами прямые линии (рисунок 11а). Нужно построить сопряжения этих прямых дугой заданного радиуса R.

Рисунок 10 – Определение точки сопряжения

Для всех трех случаев можно применять следующее построение.

Находят точку О – центр сопряжения, который должен лежать на расстоянии R от сторон угла, т. е. в точке пересечения прямых, проходящих параллельно сторонам угла на расстоянии R от них (рисунок 11б).

1. Для проведения прямых, параллельных сторонам угла, из произвольных точек, взятых на прямых, раствором циркуля, равным R, делают засечки и к ним проводят касательные (рисунок 11б).

2. Находят точки сопряжений (рисунок 11в). Для этого из точки 0 опускают перпендикуляры на заданные прямые.

3. Из точки 0, как из центра, описывают дугу заданного радиуса R между точками сопряжений (рисунок 11в).

Рисунок 11 – Построение сопряжения двух пересекающихся прямых

Сопряжение трёх пересекающихся прямых. Положение центра сопрягаемой окружности определяется точкой пересечения биссектрис углов. Радиус окружности (дуги сопряжения) равен длине перпендикуляра, опущенного из центра 0 на любую из заданных прямых (рисунок 12).

Рисунок 12 – Сопряжение трёх пресекающихся прямых

Сопряжение двух параллельных прямых. Заданы две параллельные прямые и на одной из них точка сопряжения М (рисунок 13а). Требуется построить сопряжение.

Построение выполняют следующим образом:

1) находят центр сопряжения и радиус дуги (рисунок 13б). Для этого из точки М восставляют перпендикуляр до пересечения с прямой в точке N.

Отрезок прямой MN делят пополам;

2) из точки О – центра сопряжения радиусом OM = ON описывают дугу от точек сопряжения М и N (рисунок 13 в).

Упражнение. Выполните чертеж шаблона (рисунок 14), применив правила построения сопряжений. Линии построений не стирайте. Нанесите размеры и обозначения шероховатости поверхностей, имея в виду, что внутренние поверхности шаблона должны иметь шероховатости Ra 0,80, а остальные Rг 12,5. Масштаб 1:1. Заполните основную надпись (материал – сталь 45 по ГОСТ 1050-88).

Рисунок 13 – Построение сопряжения двух параллельных прямых

Рисунок 14 – Задание для упражнений

Сопряжение дуги окружности и прямой линии дугой заданного радиуса.

Внешнее касание (рисунок 15а). Центр 01 дуги сопряжения находится на пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R1, и дуги радиуса R + R1 из центра 0. Точки сопряжения K и M находятся соответственно в основании перпендикуляра 01K и на пересечении прямой 001 с основной окружностью.

Внутреннее касание (рисунок 15б). Центр 01 дуги сопряжения находится на пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R, и дуги радиуса R − R1 из центра 0. Точки сопряжения – соответственно в основании перпендикуляра 01 K и на пересечении продолжения луча 001 с основной окружностью.

Рисунок 15 – Сопряжение дуги окружности и прямой линии дугой заданного радиуса: а – внешнее касание, б – внутреннее касание.

Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения проходит через заданную точку А на окружности (рисунок 16).

Центр дуги сопряжения определяется точкой пересечения луча OA, проведённого через точку сопряжения А и центр O заданной окружности, и биссектрисы угла ABK, образованного касательной AB в точке сопряжения и заданной прямой t. Радиус сопрягающей дуги равен расстоянию O₁A; O₁K⊥ t, где K – точка сопряжения на прямой t.

Рисунок 16 – Сопряжение окружности и прямой при заданной точке сопряжения на окружности: а – внешнее касание, б – внутреннее касание.

Построение окружности, проходящей через данную точку A и касаю щейся данной окружности м центром O в заданной точке B (рисунок 17, 18, 19). Центр O₁ дуги сопряжения определяется точкой пересечения луча, проведённого через центр O заданную точку сопряжения B, с перпендикуляром, восстановленным из середины хорды AB; O₁B – радиус искомой окружности.

Рисунок 17 – Сопряжение окружности в заданной точке B с окружностью, проходящей через заданную точку A: а – внешнее касание, б – внутреннее касание.

Рисунок 18 – Проведение касательной к окружности

Рисунок 19 – Сопряжение дуг окружностей

Проведение касательной к окружности. Даны окружность с центром О и точка А. Провести из точки А касательную к окружности.

1. Точку А соединяют прямой с заданным центром О окружности. Строят вспомогательную окружность диаметром, равным ОА (рисунок 20а). Для определения центра О1, делят отрезок ОА пополам.

2. Точки М и N являются точками пересечения вспомогательной окружности с заданной – искомые точки касания. Точку А соединяют прямыми с точками М или N (рисунок 20б). Прямая AM будет перпендикулярна прямой ОМ, так как угол АМО опирается на диаметр.

Рисунок 20 – Проведение касательной к окружности

Рисунок 21 – Проведение касательной к двум окружностям

Проведение прямой, касательной к двум окружностям. Даны две окружности радиусов R и R₁. Требуется построить прямую, касательную к ним.

Различают два случая касания: внешнее (рисунок 21б) и внутреннее (рисунок 21в).

При внешнем касании построение выполняют следующим образом:

1) из центра О проводят вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов заданных окружностей, т.е. R – R₁ (рисунок 21а). К этой окружности из центра O₁ проводят касательную прямую O1N;

2) радиус, проведенный из точки О в точку N, продолжают до пересечения в точке М с заданной окружностью радиуса R. Параллельно радиусу ОМ проводят радиус О₁Р меньшей окружности. Прямая, соединяющая точки сопряжений М и Р, – касательная к заданным окружностям (рисунок 21б).

При внутреннем касании построение проводят аналогично, но вспомогательную окружность проводят радиусом, равным сумме радиусов R+R₁ (рисунок 21в). Затем из центра О₁ проводят касательную к вспомогательной окружности (см. рисунок 20). Точку N соединяют дугой с центром О. Параллельно радиусу ON проводят радиус О₁Р меньшей окружности. Искомая касательная проходит через точки сопряжений М и Р.

Сопряжение дуги и прямой дугой заданного радиуса.

Выполнить сопряжение дуги окружности радиуса R и отрезка прямой дугой радиуса R₁.

1. Определяют центр сопряжения (рисунок 22а), который должен находиться на расстоянии R₁ от дуги и от прямой. Для чего проводят вспомогательную прямую линию, параллельно заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу сопрягающей дуги R₁ (рисунок 22а). Раствором циркуля, равным сумме заданных радиусов R+R₁, описывают из центра О дугу до пересечения с вспомогательной прямой. Полученная точка О₁ – центр сопряжения.

2. По общему правилу находят точки сопряжения (рисунок 22б): соединяют прямой линией центры сопрягаемых дуг О₁ и О и опускают из центра сопряжения О₁ перпендикуляр на заданную прямую.

3. Из центра сопряжения О1 между точками сопряжения М и N проводят дугу, радиус которой R₁ (рисунок 22б).

Рисунок 22 – Построение сопряжения окружности и прямой

Сопряжение двух дуг дугой заданного радиуса. Даны две дуги, радиусы которых R₁ и R₂. Построить сопряжение дугой, заданного радиуса.

Различают три случая касания: внешнее (рисунок 23а,б), внутреннее (рисунок 23в) и смешанное (см. рисунок 19). Во всех случаях центры сопряжений должны быть расположены от заданных дуг на расстоянии радиуса дуги сопряжения.

Рисунок 23 – Построение сопряжения двух дуг окружностей

Построение выполняют следующим образом:

Для внешнего касания:

1) из центров О₁ и О₂ раствором циркуля, равным сумме радиусов заданной и сопрягающей дуг, проводят вспомогательные дуги (рисунок 23, а); радиус дуги, проведенной из центра О₁, равен R₁+R₃; а радиус дуги, проведенной из центра О₂, равен R₂+R₃. На пересечении вспомогательных дуг расположен центр сопряжения – точка О₃;

2) соединив прямыми линиями точку О₁ с точкой О₃ и точку О₂ с точкой О₃, находят точки сопряжения М и N (рисунок 23, б);

3) из точки О3 раствором циркуля, равным R₃ между точками М и N описывают сопрягающую дугу.

Для внутреннего касания выполняют те же построения, но радиусы дуг берут равными разности радиусов заданной и сопрягающей дуг, т. е. R₄ – R₁ и R₄ – R₂. Точки сопряжения Р и К лежат на продолжении линий, соединяющих точку О₄ с точками О₁ и О₂ (рисунок 23, в).

Для смешанного (внешнего и внутреннего) касания (1-й случай):

1) раствором циркуля, равным сумме радиусов R₁ и R₃, из точки О₁, как из центра, проводят дугу (рисунок 24, а);

2) раствором циркуля, равным разности радиусов R₂ и R₃, из точки О₂ проводят вторую дугу, пересекающуюся с первой в точке О₃ (рисунок 24, б);

3) из точки О₁ проводят прямую линию до точки О₃, из второго центра (точка О₂) проводят прямую через точку О₃ до пересечения с дугой в точке М (рисунок 24, в).

Точка О₃ является центром сопряжения, точки М и N – точками сопряжения;

4) поставив ножку циркуля в точку О₃, радиусом R₃ проводят дугу между точками сопряжения М и N (рисунок 24, г).

Рисунок 24 – Построение сопряжения двух дуг окружностей при сочетании внешнего и внутреннего касания

Рисунок 25 – Построение сопряжения двух дуг окружностей при смешанном касании

Пример.

Дано: 1) две сопрягаемые дуги окружностей радиусов R₁ и R₂ (рисунок 25);

2) расстояние между центрами О₁ и О₂ этих двух дуг;

3) радиус R₃ сопрягающей дуги;

Требуется: 1) определить положение центра О₃ сопрягающей дуги;

2) найти на сопрягаемых дугах точки сопряжения;

3) провести дугу сопряжения.

Последовательность построения. Откладывают заданные расстояния между центрами О₁ и О₂. Из центра О₁ проводят вспомогательную дугу радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги радиуса R₁ и сопрягающей дуги радиуса R₃, а из центра О₂ проводят вторую вспомогательную дугу радиусом, равным разности радиусов R₃ и R₂, до пересечения с первой вспомогательной дугой в точке О₃, которая будет искомым центром сопрягающей дуги (рисунок 25).

Точки сопряжения находят по общему правилу, соединяя прямыми центры дуг О₃ и О₁ О₃ и О2. На пересечении этих прямых с дугами соответствующих окружностей находят точки М и N.

4 Лекальные кривые. Построение закономерных лекальных кривых, нормалей и касательных к ним

В технике встречаются детали, поверхности которых ограничены плоскими кривыми: эллипсом, эвольвентой, окружностью, спиралью Архимеда и др. Такие кривые линии нельзя вычертить циркулем. Их строят по точкам, которые соединяют плавными линиями с помощью лекал. Отсюда название – лекальные кривые.

Эвольвентой окружности называется кривая, описываемая точкой прямой, катящейся без скольжения по неподвижной окружности.

Эвольвента окружности приведена на рисунке 26. Каждая точка прямой, если ее катить без скольжения по окружности, описывает эвольвенту.

Построение эвольвенты окружности и касательной в произвольной ее точке.

Делим окружность заданного радиуса r на некоторое число равных частей, например, на 12. Через точки деления проводим касательные. На касательной, проведенной через точку 12, которая является начальной точкой О эвольвенты, откладываем отрезок, равный 2π×r. Отрезок ОА делят соответственно числу делений окружности на 12 частей. Отложив на касательных к окружности от точек 1, 2, 3… отрезки, равные 01′, 02′, 03′…, получают соответственно точки К₁, К₂, К₃… принадлежащие эвольвенте.

Рисунок 26 – Эвольвента окружности

Нормаль ТК эвольвенты в её точке К представляет собой касательную к окружности в её точке Т. Прямая К, перпендикулярная к нормали ТК является касательной к эвольвенте.

Рабочие поверхности зубьев большинства зубчатых колес имеют эвольвентное зацепление (рисунок 27).

Рисунок 27 – Зубья эвольвентного профиля

Спираль Архимеда изображена на рисунке 28. Это плоская кривая, которую описывает точка, равномерно движущаяся от центра О по вращающемуся радиусу.

Рисунок 28 – Спираль Архимеда

Построение спирали Архимеда.

Если точка К, начав движение из неподвижной точки (полюса) О, равномерно движется вдоль луча ОХ, который одновременно равномерно вращается вокруг полюса, то она опишет кривую, называемую спиралью Архимеда. Расстояние ОА, на которое перемещается точка К вдоль луча ОХ при повороте на 360˚, называется шагом спирали. Спираль Архимеда строится графически в соответствии с рисунком 28. Радиусом ОА проводят окружность, окружность и шаг ОА делят на одинаковое количество равных частей. Пересечения концентрических окружностей, проведенных радиусами 01, 02… с лучами 0I, 0II, … определят точки К₁, К₂… спирали Архимеда.

Построение нормали и касательной к спирали Архимеда

Предварительно строят делительную окружность радиуса с центром в полюсе О. Из полюса О в заданную на спирали точку К′ проводят радиус-вектор ОК′, затем также из полюса проводят перпендикуляр ОТ к радиусвектору ОК′ до пересечения с делительной окружностью в точке Т. Прямая ТК′ является нормалью П′ к спирали Архимеда. Прямая, перпендикулярная к нормали – касательной к спирали Архимеда.

Радиус-вектор ОК′ пересекает спираль Архимеда и на втором витке в точке К′′. Нормалью П′′ к спирали в точке К′′ будет прямая ТК′′, прямая перпендикулярная к ней – касательной К′′.

Рисунок 29 – Детали токарного патрона, имеющие форму спирали Архимеда

По спирали Архимеда нарезают канавку, в которую входят выступы кулачков самоцентрирующего трехкулачкового патрона токарного станка (рисунок 29). При вращении конической шестерни, на обратной стороне которой нарезана спиральная канавка, кулачки сжимаются.

Циклоида

Циклоидой называется кривая К₀, К₁, К₂, … К₁₂, образованная точкой К₀ производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по направляющей прямой ОХ, рисунок 30.

Построение циклоиды

На направляющей прямой ОХ от начальной точки О циклоиды откладывают отрезок К₀ К₁₂, равный длине производящей окружности – 2π×r. Из центра 0′₀ производящей окружности в ее начальном положении проводят линию центров 0′₀0′₁₂ параллельно направляющей прямой. Производящую окружность, линию центров и направляющую прямую К₀ К₁₂ делят на одинаковое количество равных частей, например, на 12.

Рисунок 30 – Циклоида

Из точек 1, 2…11 деления производящей окружности проводят прямые параллельно производящей прямой. Пересечение этих прямых с соответствующими дугами производящей окружности, проведенных из центров 0′₁,0′₂,0′₃… определит точки К₁, К₂, … К₁₁ циклоиды.

Заданной на циклоиде точке К₈ соответствуют центр 0′₈ производящей окружности на линии центров и точка 8′ее касания с направляющей прямой. Для их графического нахождения из заданной точки К₈ радиусом r производящей окружности проводят дугу и в пересечении ее с линией центров отмечают точку 0′₈, из последней опускают перпендикуляр на направляющую прямую.

Прямая, проведенная из основания 8′перпендикуляра и заданную точку К8 является нормалью П к циклоиде, прямая, перпендикулярная к ней – является касательной К, она проходит через конец Т диаметра 8′T производящей окружности.

Эпициклоида

Эпициклоидой называется кривая К₀, К₁, К2, … К₁₂, образованная точкой К₀ производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по направляющему кругу радиуса R, касаясь его с выпуклой стороны, рисунок 31.

Рисунок 31 – Эпициклоида

Построение эпициклоиды

На дуге К₀ К₁₂ направляющего круга от начальной точки К₀ эпициклоида откладывают дугу с углом и длиной, равной длине производящей окружности – 2π×r. Из центра 0₀ производящей окружности радиусом R + r проводят линию центров 0₀, 0₁…0₁₂. Производящую окружность и направляющую дугу делят на одинаковое количество равных частей, например, на 12. Из центра 0 и через точки деления направляющей дуги проводят лучи и отмечают точки 0₀, 0₁…0₁₂ их пересечения с линией центров. Через точки 1, 2… 11 деления производящей окружности из центра 0 проводят концентрические дуги. Пересечение этих дуг с соответствующими дугами производящей окружности, проведенных из центров 0₁, 0₂…0₁₁, определит точки К₁, К₂, … К11 эпициклоиды.

Для построения нормали П и касательной k в заданной точке эпициклоиды (например, К₈) находят соответствующие ей центр 0₈ производящей окружности как точку пересечения дуги радиуса r с линией центров, точку 8′касания производящей окружности с направляющей дугой как точку пересечения с ней луча 00₈ и точку Т пересечения этого луча с производящей окружностью. Прямая, соединяющая точки 8′и К₈ является нормалью П к эпициклоиде, прямая, проходящая через точки К₈ и Т, перпендикулярна к нормали и является касательной к эпициклоиде.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы), лежащих в той же плоскости, рисунок 32.

Построение параболы

Исходными данными для графического построения параболы являются вершина А, ось АМ и хорда 0₀0′. Из точек А и 00 проводят взаимно перпендикулярные прямые до пересечения в точке L. отрезки 0₀L и AL делят на одинаковое число равных частей. Из точки А проводят лучи в точки деления 1, 2…4 на отрезке 0₀L, а из точек деления на отрезке AL, параллельные оси АМ параболы. В пересечении соответственных прямых получают точки параболы.

Для построения касательной к параболе в заданной точке, например, в точке К из нее проводят перпендикуляр KN на ось параболы АМ. На оси параболы от ее вершины откладывают отрезок АТ, равный отрезку AN. Прямая КТ является касательной k к параболе. Прямая П, перпендикулярная к касательной является нормалью.

Рисунок 32 – Парабола

Эллипс

Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂ – фокусов эллипса – есть величина постоянная, равная длине большой оси 20′В, рисунок 33.

На рисунке 33 показано построение части эллипса по его двум полуосям, равным 0′А = 25 мм и 0′В = 40 мм и касательной к нему в точке К.

Построение эллипса

Из центра 0′ эллипса проводят две дуги, радиусы которых равны полуосям 0′А и 0′В. Из этого же центра проводят пучок лучей до пересечения с дугами в точках 1, 2, 3, 4, 5… и 1′, 2′, 3′, 4′, 5′…Из точек 1, 2…проводят прямые, параллельные малой оси 0′А эллипса, из точек 1′, 2′…– прямые, параллельные большой полуоси 0′В эллипса. Пересечение соответствующих пар этих прямых определяют ряд точек, соединив которые плавной кривой, получают заданный эллипс. Нормалью П эллипса является биссектриса NK угла F₁K F₂, а касательной t – перпендикуляр к нормали. Фокусы F₁ и F₂ эллипса определяются пересечением дуги радиуса R = 0′В c центром в точке А с большой осью эллипса.

Размеры эллипса определяются величиной его большой АВ и малой CD осей (рисунок 33). Описывают две концентрические окружности. Диаметр большей равен длине эллипса (большой оси АВ), диаметр меньшей – ширине эллипса (малой оси CD). Делят большую окружность на равные части, например на 12. Точки деления соединяют прямыми, проходящими через центр окружностей. Из точек пересечения прямых с окружностями проводят линии, параллельные осям эллипса, как показано на рисунке. При взаимном пересечении этих линий получают точки, принадлежащие эллипсу, которые, соединив предварительно от руки тонкой плавной кривой, обводят с помощью лекала.

Рисунок 33 – Эллипс

Синусоида

Плоская кривая, графически изображающая изменение синуса в зависимости от изменения его угла (аргумента). На рисунке 34 изображена синусоида и принцип ее построения.

Построение синусоиды

Для построения синусоиды продолжают горизонтальную ось заданной окружности радиуса r и на этой оси, которую принимают за ось синусоиды, откладывают отрезок, равный длине окружности 2πr. Окружность и ось синусоиды делят на одинаковое количество равных частей, например, 12. Из точек деления окружности 0, 1…12 проводят прямые, параллельные оси синусоиды до пересечения соответствующими перпендикулярами, восставленными из точек 1, 2…11 оси синусоиды. Полученные точки пересечения принадлежат синусоиде, их соединяют плавной кривой.

Рисунок 34 – Синусоида

Чтобы построить касательную к синусоиде, например, в точке К на окружности находят точку К′, соответствующую точке К. Ее находят по линии связи КК′, параллельной оси синусоиды. В точке К′ проводят касательную К′0′ к окружности и на ней откладывают отрезок К′0′, равный длине дуги К′0 окружности, которая на оси синусоиды определяется отрезком d. Конец отрезка 0′ касательной К′0′ проецируют на ось Y в точку N. Прямая, проходящая через точки N и К является касательной k к синусоиде. Прямая n, перпендикулярная к касательной k является нормалью.