Текст книги "Теоретическая механика. Часть 4. Динамика системы материальных точек и твердого тела с решениями задач"

М.И. Бармин

Динамика системы материальных точек и твердого тела (часть IV) с решениями задач

Конспект лекций ориентирован на объем курса до 102 часов для студентов

технологов различных специальностей.

Краткий конспект лекций по теоретической механике с включением примеров решения типовых задач по всем темам курса.

Составлен на базе анализа лекций курсов теоретической механике для ряда технологических вузов различных направлений. Является основой для освоения студентами инженерных дисциплин, таких как “Сопротивление материалов”, “Теория механизмов и машин”, “Детали машин”, “Подъемно – транспортные устройства и др. ”

Михаил Иванович Бармин родился в городе Ленинграде 15 января 1948 года. Окончил Ленинградский технологический институт (Технический университет) в 1973 году. Инженер химик-технолог (химия и технология высокомолекулярных соединений). Более 8 лет производственного опыта (органический синтез на полупромышленных установках по синтезу новых органических соединений). Закончил аспирантуру в срок в 1985 году. Кандидат химических наук (химия и технология гетероциклических соединений).Удостоин звания доцента в 1985 году.

Действительный член Нью-Йоркской академии наук (1995-1998 гг.), Соросовский доцент (2001, 2002), лауреат премии «Грант Санкт-Петербурга» (2002). С 1972 года занимается научной деятельностью. Автор более 180 научных и методических трудов (в том числе 3 монографий, 2 обзора , 22 изобретения), автор и соавтор 5-и технологий.

Автор сайта http://www.teachmi.ru/ – обучение химии на всем протяжении этого процесса от школы до аспирантуры. На сайте будут предложены авторские лекции и книги по химии, впоследствии по всем предметам 1,2 курса университета. Можно приобрести некоторые реактивы, купить лицензии на новые технологии в области химии. В настоящее время работает на кафедре теоретической и прикладной химии Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна в должности доцента.

Динамика системы материальных точек и твердого тела

ЛЕКЦИЯ 1

Понятие системы материальных точек; связи, налагаемые на систему (внешние и внутренние); степени свободы “S” различных механических систем.

Система материальных точек – это совокупность любого их числа (i=1:n, причем n), рассматриваемая в совместном движении.

Примером может служить любая звездная система, например, солнечная. Материальные точки (М.Т.) , т. е. точки, масса “m” которых известна, включаемые в механическую систему (М.С.) могут быть связаны между собою различными связями внутри М.С. Такие связи называют внутренними связями.

В случае, когда М.С. имеет только внутренние связи, ее движение в пространстве ничем не ограничено и такая система называется свободной. В части II – кинематике рассматривается вопрос о числе степеней свободы свободной неизменяемой системы с (“i =1-n”) неограниченным числом “n” материальных точек. Там, базируясь на выражении S=3n-K, где “К” – число внутренних связей, мы приходили к выводу, что свободное абсолютно твердое тело (Т.Т.) имеет S = 6 степеней свободы и для описания его механического перемещения в пространстве нужно соответственно б кинематических уравнений движения. Задачей динамики твердого тела будет вывести эти уравнения, базируясь на дифференциальных уравнениях движения и интегрируя их. Связи, налагаемые на М.С. могут быть как стационарными (неизменяемыми), так и односторонними. Например (Рис. 1.1.) в случае “А” точки системы связаны жестким невесомым стержнем постоянной длины “I”= const. В случае “В” они вязаны пружиной, которая может менять свою длину “I” под действием внешних сил “Fe”, действующих на систему, и эта система геометрически изменяемая, а связь неудерживающая.

Односторонние связи (нить, например) препятствуют движению М.Т. в одном каком—то направлении (Рис. 1.1, В)

Различают связи геометрические (голономные), которые ограничивают движение М.Т. системы в пространстве, не влияя на их скорость “

V

i” и

дифференциальны

е(неголономные), которые, помимо ограничений в перемещении точек М.С., влияют еще и на их скорость.

Так, например, гладкая поверхность (без трения) является для тела геометрической связью, а шероховатая (с трением) – дифференциальной (Р.

S

. – в ч.

I

, статике, эти связи назывались соответственно идеальными и связями с трением).

Связи, наложенные на М.С. могут быть внешними, действующими извне на М.С. и внутренними, связывающими М.Т. внутри системы (Рис. 1.2.А)

Если на систему наложены внешние связи, то она считается несвободной и число ее степеней свободы S<6.

Силы, действующие на М.С. могут быть как внешними () так и – внутренними силами взаимодействия между точками внутри системы () (Рис. 1.2.),

По аксиоме динамики, изложенной в ч. III конспекта, всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.Согласно этой аксиоме(Рис.1.2,в) силы = – и + Распространяя это на любое число “n” точек М.С. приходим к выводу, что главный вектор внутренних сил любой М.С. равен нулю, т.е.:

(1.1)

Этим важным свойством внутренних сил мы будем пользоваться очень часто в дальнейшем.

Точки М.С. в их движении под действием как внешних, так и внутренних сил совершают эти перемещения в зависимости от вида внешних и внутренних связей, на них наложенных. Число таких возможных (виртуальных) перемещений всегда равно числу “S” степеней свободы рассматриваемой механической системы.

Виртуальные перемещения точек М.С. можно взять бесконечно малыми и оценивать их соотношения исходя из того, что, например, хорда, стягивающая дугу реальной криволинейной траектории точки, может быть приравнена по длине к длине этой дуги.

Здесь важны не величины виртуальных перемещений точек М.С., а их соотношения.

1.2. Принцип возможных перемещений.

Формулировка. Для того, чтобы механическая система материальных точек находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех внешних сил, действующих на М.С. была бы не больше нуля на любых возможных (виртуальных) перемещениях “S” этой системы, т.е.

(1.2)

Допустим, М.С. является твердым телом, находящимся в равновесии ( и одинаковы). Тогда, согласно теореме об изменении кинетической энергии, имеем, дав телу элементарно малое возможное перемещение “” какой—либо внешней силой “”

, но и

Если тело поместить на плоскость с трением (), то при перемещении тела по этой плоскости

Объединив эти соображения, имеем (1.3)

В выражении 1.3. принципа возможных перемещений (П.В.П.) S=1S—число степеней свободы системы, равное числу возможных (виртуальных) её перемещений, допускаемых наложенными на М.C. связями.

Пример на П.В.П.: Балка АВ находится в равновесии под действием сил и . Плечи сил”а” и “ b” известны. Каково должно быть соотношение сили , т. е. Р = F(Q)=? (Рис. 1.3).

Система имеет S=1, описываемое углом “” поворота вокруг оси “O”. Считая, ввиду их малости ““= и ,

Определим

Отсюда . Это ответ.

Применим П.В.П. К задачам статики. Там тело изначально находится в равновесии, т.е. заведомо.

Пример:

Определить реакцию балки АБ при следующих

данных: Р, а,

b

. (Рис.1.4.

)

Данная М.С. имеет S=1 и угол и есть виртуальное перемещение балки АВ. При этом перемещение точек приложения сил и будут соответственно

и . Тогда отсюда ; это и ответ.

Р.S.: Решая задачу методами статики, имеем: т.е. .

Так что задачи статики можно решать и П.В.П.

1.3. Принцип Даламбера и общее уравнение динамики механической системы и твердого тела.

Формулировка принципа Даламбера:

Если к каждой точке механической системы с двухсторонними связями помимо сил, на них действующих, приложить еще и силу инерции (), то все силы, действующие на все точки М.С. будут взаимно уравновешенны и к такой, уже уравновешенной системе сил, можно применить все законы статики, а также и П.В.П.

При этом .

Спроектировав на оси декартовой системы координат выражение 1.4, имеем:

(1.4).

Выражение 1.4. и есть общее уравнение динамики. Оно позволяет

находить ускорения “” точек механической системы.

Пример: Найти ускорение грузов Q и (Рис. 1.5) При следующих данных:

P, Q, причем

Система Р и

Q

имеет

S

=1, тог

l

а приложим к грузам их силы

инерции и

Здесь “a”– ускорение грузов. Дадим возможное перемещение

Тогда:

Отсюда имеем: Это ответ.

Рис 1.5

Известно, что . При Q=P имеем a=0 – равновесие системы.

ЛЕКЦИЯ №2

1.4. Центр масс механической системы и твердого тела и теорема о его движении.

Центр масс механической системы любого числа “n” материальных точек в произвольном его движении это точка (или место в пространстве внутри системы), для которой выполняется следующее векторное равенство: (1.5)

На рис. 1.6. изображен центр масс “C” произвольной М.С. Видно, что . Если произвести умножение на , а затем суммировать по “i=1n”, то имеем:

. Отсюда . (1.6)

Понять, почему для () С легко на примере системы 2х точек .

(Рис. 1.7), для которой () С будет посредине, т. е. и

Здесь векторная сумма

Если данная система симметрично разойдется, при этом центр масс “С” останется на месте. В этом несовершенство данного понятия, т.к. () С не отражает некоторых возможных (виртуальных) перемещений, опускаемых связями, наложенными на систему.

Спроектирован 1.6. на оси декартовой системы координат (Рис. 1.6) и учтя, что массе всей системы, имеем:

,, (1.7)

Это формулы определения координат центра масс “С”.

Если для вех точек “” системы ускорение свободного падения 9,81 м/, то умножая и деля на g выражения 1.7 получим координаты центра тяжести твердого тела весом Р=Mg, т.е.

; ; . (1.8)

Эти формулы выводились в ч. 1 – статике. В целом понятие центра масс более широкое, чем частное понятие центра тяжести. В ряде случаев координаты центра масс и центра тяжести не совпадают по положению.

В процессе движения М.С. меняются координаты () С. Установим закон их изменения с помощью теоремы о движении центра масс. Формулировка. Центр масс механической системы (и твердого тела) движется так, как двигалась бы материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы (М=) и к которой приложены все – внешние силы, действующие на все точки системы. Внутренние силы () не влияют на движение центра масс.

Доказательство. Берем за базу 2—закон Ньютона применяем его ко всем i=1/n точкам системы (). Учтем при этом, что ,

т.к. это свойство главного вектора внутренних сил. Имеем:

. Выясним, чему равна , учтя, что и по рис.1.6.

Имеем: , т.е. Тогда 1.9

Это и есть закон движения центра масс механической системы и Твердого тела. Видно, что только внешние силы влияют на его движение.

Часто М.С. получает движение как раз из—за наличия в ней внутренних сил , но эти внутренние силы вызывают внешние реактивные силы которые и влияют на движение центра масс “С”.

Это легко понять, анализируя процесс выстрела снарядом из ствола орудия. Система ствол—снаряд за счет внутренних сил давления пороховых газов получает движение вида: снаряд—направо, орудийный ствол– налево. Так возникает “отдача” при выстреле. Орудие контактирует с внешней средой и при откате его возникает реакция внешней связи которая входит в группу всех внешних сил, так что выражение 1.9. Можно

расширенно записать так:

1.10

В выражениях 1.10 имеем дифференциальные уравнения движения () С, интегрируя которые можно получить кинематические уравнения движения () С, т.е. x=x(t), y=y(t) и z=z(t).

1.5. Понятие о моментах инерции”I” механической системы и твердого тела. Более объемной характеристикой распределения масс “m” внутри механической системы и твердого тела любой формы является понятие о

моментах инерции”I”.

Если условие существования центра масс ( ) не всегда отражает истинное положение точек “mi” системы (Рис. 1.7), то для “I” имеем: Здесь поэтому и чем больше ,тем больше I.

Различают плоскостные, осевые и полярные моменты инерции. Определим их для твердого тела в системе декартовых осей (рис.1.8).

Плоскостные J: ;

;

Осевые J определим исходя из того, что кратчайшее расстояние от точки “m” до оси “oy” (рис.1.8) определится по теореме Пифагора как “”

Тогда осевые J: ;

;

.

Учтя, что расстояние от М до полюса “O” есть большая диагональ параллелепипеда, т.е. , имеем Полярный .

Формулы перехода от одних М моментов инерции к другим:

если сложить все плоскостные J, то получим удвоенный полярный Jо, т.е.

Часто в инженерных дисциплинах в справочниках даются “J” одного вида, а при решении каких—то вопросов нужны “J” другого вида. Вот тогда формулы перехода и позволяют от одних “J” перейти к другим.

Теорема Гюйгенса о моментах инерции относительно параллельных осей.

Здесь по заданному “Jc=Joz” и расстоянию и расстоянию “a” между осью oz и

осью “nn”, параллельной оси oz (рис. 1.9) требуется определить Jnn-?

Центр масс “C” лежит на оси oz, так что и ось oz является С центральной осью, относительно которой , принимает минимальное значение; имеем: .

Тогда: или т.к.

Таким образом: 1.11

Формулировка теоремы Гюйгенса:

Момент инерции твердого тела относительно оси “nn”, параллельной центральной оси “сс” равен центральному моменту инерции Jcc плюс произведение массы тела на квадрат расстояния (а) между осями. Пример вычисления момента инерции.

Вычислить Jo стержня весом Р и длиной 1 при вращении вокруг оси

“О” проходящей через конец стержня. (Рис. 1.10)

а ;

где для выделенной на стержне прямоугольного сечения а b элементарной массы dm расстояние ее до оси вращения стержня равно “x”

Общая масса стержня , Тогда . Это ответ

Часто в технической литературе пользуются понятием радиуса инерции “i” Примем: , тогда: ( м; см ) Так, например, для имеем (м).

Лекция №3

1.6 Теорема об изменении кинетической энергии механической системы и твердого тела

Имея произвольную механическую систему, состоящую из “i=1n” материальных точек массами “” и движущихся под действием как внешних “”, так и внутренних “” сил со скоростями определим общую кинетическую энергию системы, как сумму энергии всех точек, входящих в систему, а именно: .

Далее применим к каждой точке М.С. теорему об изменении кинетической энергии материальной точки. При этом разделим все силы, на (внешние), действующие со стороны других систем, и внутренние силы “ взаимодействия между точками рассматриваемой системы. (Р.S. для отдельной М.Т. все силы —внешние).

Имеем

Просуммируем “i=1/n” данное выражение и, имея ввиду 1.12 и аналитические выражения работы равнодействующей силы, как алгебраической суммы работ, составляющих сил, получим: или 1.13

3десь”1” и ”2” соответственно исходное и последующее положения М.С. в пространстве.

Выражение 1.13 и есть теорема об изменении кинетической энергии М.С., формулируемая так:

“Изменение кинетической энергии механической системы при переходе ее из одного (1) положения в другое (2) равно алгебраической сумме работ как внешних, так и внутренних сил, действующих на М.С. на этом переходе”.

Возникает вопрос о Ведь по аксиоме о равенстве действия и противодействия внутренние силы не образовывают главного вектора, т.е. Так надо ли учитывать работу внутренних сил? Оказывается, что в

общем случае изменяемой М.С. это необходимо сделать. На рис. 1.11, изображена такая М.С..

К ней приложены внешние силы и в пружинке, соединяющей точки М.С., возникнут внутренние силы . Дадим М.С. возможное перемещение, одинаковое для обеих точек и подсчитаем .

Имеем т.к в нашем случае . Так что, несмотря на равенство и необходимо учитывать работу внутренних сил. Так, Например, в М.С. ствол орудия – снаряд движение снаряда, скажем вправо, и движение ствола влево за счет отдачи происходит за счет внутренних сил давления пороховых газов снаряда (Fi), которая тем больше, чем больше пороховой заряд.

Переходя к абсолютно твердому телу, как геометрически изменяемой М.С. с числом точек “mi” стремящимся к бесконечности (), следует т.к. тело не деформируется и, несмотря на наличие и т.д. до нет перемещения точек “mi” системы друг относительно друга. . Тогда для твердого тела имеем: 1.14

“Изменение кинетической энергии твердого тела при переходе из положения (1) в положение (2) равно алгебраической сумме работ Только внешних сил (), действующих на Т.Т. при этом переходе.”

Эта формулировка данной теоремы, но пока неясно, как определить кинетическую энергию твердого тела.

1.7. Определение кинетической энергии твердого тела в различных видах его движения.

Теорема Кёнига: “Кинетическая энергия механической системы и твердого тела равна сумме кинетической энергии в переносном движении вместе с центром масс (С) и

кинетической энергии в относительном движении по отношению к центру масс”.

Доказательство. На рис.1.12 имеет тело с центром масс ”С”, движение С описывается (). Движение точки “mi”, тела описывается , причем

Тогда где относительная скорость точки “”, а переносная скорость центра масс “С”.

Тогда учтем, что (1.15)

Рассмотрим последнее слагаемое, учтя что тогда имеем: , где общая масса М.С. или твердого тела. Далее, базируясь на 1.16, определим кинетическую энергию твердого тела в различных кинематических видах его движения. Этих видов 5 (вспомните кинематику твердого тела); мы же рассмотрим ввиду сжатости курса —3. Поступательное движение, вращение вокруг неподвижной оси и плоскопараллельное движение твердого тела.

Поступательное движение Т.Т.

По определению все точки тела имеют одинаковую скорость и тогда из общего выражения теории Кёнига остается первое слагаемое, т.к. .

Итак: .

Вращение Т.Т. вокруг неподвижной оси.

На рисунке 1.13 вокруг оси “OZ” с угловой скоростью “” вращается тело ”A”. Скорость произвольной точки “mi” равна и кинетическая энергия такой точки .

Тогда, имея ввиду, что , получим: , где момент инерции тела М относительно оси вращения “

OZ

”. Окончательно:

(1.18).

Плоскопараллельное движение твердого тела.

Кинематически оно является сложным, состоящим из происходящего в одной плоскости

переносного поступательного (вместе с центром масс “С”) и относительного

вращательного вокруг центральной оси “СС” перпендикулярной плоскости движения.

Тогда работают оба слагаемых теоремы Кёнига и имеем:

(1.19)

Иногда, вспомнив о мгновенной оси вращения “PP” используют то соображение, что плоское движение в данное мгновение есть чисто вращательное вокруг мгновенной оси, тогда можно, ориентируясь на 1.18 получить равноценную с 1.19 формулу:

(1.20)

Докажем их равноценность на примере. Пусть колесо радиуса “R” катится по прямолинейному рельсу без проскальзывания и скорость центра тяжести равна Vc (рис. 1.14).

Тогда по 1.19 имеем: т.к. (см. рис. 1).

(Рис 1.14)

Учтем, что по теореме Гюйгенса ; из 1.20 имеем: . Равенство обеих формул 1.20 и 1.19 очевидно.

2. 1.8. Работа силы, вращающей тело вокруг неподвижной оси, работа момента и понятие о мощности.

На рис. 1.15 к телу в произвольной точке “А”, не лежащей на оси вращения приложена сила “” линия действия которой произвольна. Тело при этом повернется на угол””, а точка “А” продет дугу . Возьмем за исходное . Имеем:

Тогда: или

.

Т.к. по статике Окончательно имеем: (1.21)

Если , то или . (1.22)

Выражение “1.22” —техническая формула оценки работы вращающего (+) или тормозного (—) момента, если он постоянен. Здесь “” – угловой путь тела.

Тогда мощность, потребная на вращение, будет (1.23)

Такое выражение () Мы получили ранее в разделе динамики материальной точки. Там .

Пример. Найти скорость грузов, изображенной на рис. 1.16 механической системы грузов P и Q (Р>О), если они начинают движение из состояния покоя (=0) и проходит путь ,

т.е.

–?.

Грузы P и Q движутся поступательно, тогда: . T1=0, т.к. V1=0

. и .

Тогда имеем: , откуда ответ.

P.S. Если дифференцировать выражение по времени, то можно найти ускорение грузов “”. .

1.9. (Продолжение лекции №3).

Количество движения механической системы и твердого тела. Теорема об изменении количества движения механической системы и твердого тела.

Количество движения механической системы из “n” материальных точек можно определить как векторную сумму векторов количеств движения всех точек входящих в систему, т.е. при “” неудобно пользоваться этим выражением. Преобразуем его следующим образом: т.е. , где масса всей системы.вектор скорости центра масс системы.

Итак: (1.24).

При движении системы М.Т. под действием внешних и внутренних сил К меняется. Установим, по какому закону происходит это изменение.

Теорема об изменении количества движения механической системы и твердого тела.

В разделе “Динамика материальной точки” такая теорема для М.Т. выглядела следующим образом: . Применим это выражение ко всем точкам системы, а затем векторно сложим, т.е. ,

где индексы “1” и “2” обозначают исходное и последующее положение системы, а и соответственно внешние и внутренние силы, действующие на все (I = 1n) точки системы. Имеем: , но по аксиоме динамики о равенстве действия и противодействия. и соответственно импульс всех внутренних сил. Окончательно: . (1.25).

Формулировка теоремы: изменение вектора количества движения механической системы и твердого тела при переходе ее (его) из положения “1” в положение “2” равно вектору импульса равнодействующей всех внешних сил, действующих на М.С. за время этого перехода.

При решении задач выражение 1.25 проектируют на оси координат

получают скалярные выражения т теоремы:

(1.26).

Условие сохранения постоянства вектора количества движения механической системы и твердого тела . Если , то и . Т.е. для обеспечения необходимо, чтоб вектор импульса равнодействующей всех внешних сил, действовавших на М.С. или твердое тело был равен “0”, т.е.=0. Проектируя это условие на оси декартовой системы координат, имеем: (1.27).

Выражения 1.27 используют при решении задач на эту теорему. Пример: механическая система состоит из снаряда весом Р1= 400 11 Н горизонтально ствола орудия весом Р2 =20000 Н. В момент вылета из ствола снаряд имеет скорость Vсн = 300 м/с. Определить скорость отката ствола орудия (Vор -? )

На рис. 1.17 изображена схема задачи. Спроектируем все вектора на оси “ОХ”:

т.е. , откуда: .

1.10. Теорема об изменении вектора момента количества движения (кинетического момента) механической системы и твердого тела и условия сохранения его постоянства.

Определим сначала, чему равен вектор кинетического момента состоящей из “i=1n” материальных точек, имея ввиду, что каждая из точек уже имеет свой кинетический момент относительно полюса “О” т.е.

Если векторно сложить все “” то получим общий кинетический момент М.С., также приложенный в полюсе “О” т.е. (1.28).

Имея в запасе аналогичную теорему из раздела “Динамика материальной точки”, т.е. , разовьем эти выражения и для “i=1n” , получим: , или получим следующее: . Так как внутренние силы () в механической системе и в твердом теле всегда взаимно уравновешены, то их главный вектор и главный момент, а также их проекции на оси координат равны нулю. Тогда (1.29).

Формулировка теоремы: первая производная по времени от вектора кинетического момента механической системы или твердого тела относительно неподвижного полюса (или оси) равна вектор—моменту всех внешних сил, действующих на М.С. относительно того же полюса или той же оси.

Спроектируем выражение 1.29 на оси координат и будем иметь формулы, пригодные для решения задач.

(1.30).

Другой вид данной теоремы: или тогда (1.31).

Здесь слева видно конкретное изменение вектора , а справа импульс главного момента внешних сил. Иногда в виде 1.31 удобнее решать задачу, спроектировав 1.31 на нужные оси.

Условия, при которых

Если , то и тогда т.е. когда уравновешены моменты всех внешних сил кинетический момент М.С. и твердого тела постоянен.

Это условие в проекциях выглядит так:

(1.32).

Пример: Определить кинетический момент вращающегося вокруг своей оси “О” сплошного однородного диска весом Р и радиусом R, если ось проходит через центр масс “C ” перпендикулярно плоскости чертежа и вращение происходит с угловой скоростью “”.

Выделим массу “ ” на расстоянии “” от оси “O”. Тогда скорость этой точки и количество движения Кинетический момент будет выглядеть так: .

Просуммируем это по всем точкам тела. Имеем:

Окончательно: . (1.33).

Если учесть данные конкретной задачи, то .

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Взяв выражение 1.33 за исходное, и учтя, что имеем , о0000000000000000000000000000000ткуда , или (1.34).

Это и есть дифференциальное уравнение вращения. Интегрируя его дважды, придем к кинематическому уравнению вращательного движения, т.е. Из 1.34 видно, что только моменты внешних сил влияют на закон его вращательного движения. Например, пусть тело вращается равнопеременно, т.е. , тогда , но т.е. . Если проинтегрировать , получим

Вторичное интегрирование с учетом того, что дает нам еще одну знакомую из кинематики формулу .

Видно, что для обеспечения нужно, чтобы , т.е. надо все время тратить энергию на этот вид вращения.

1.11. Физический маятник, уравнение малых колебаний физического маятника. Понятие о приведенной длине и методе малых качаний для определения моментов инерции тел сложной формы.

Физический маятник – тело с горизонтальной осью подвеса, не проходящий через центр тяжести “C”.

Если вспомнить курс физики, где говорилось о математическом маятнике и его малых колебаниях, то малые колебания физического маятника аналогичны колебаниям математического.

Малыми эти колебания называются т.к. начальная фаза отклонения центра тяжести от положения равновесия , где . Посмотрим, как ведет себя при таких углах сначала математический маятник. Точенный груз , подвешенный на нерастяжимой нити длинной “l” (рис. 1.19).

Применим теорему ; ; т.к., где ;, тогда . Здесь р – вес точечного груза, а Т – натяжение нити. . Тогда т.к. имеем , или , или при “”

(1.36).

Это дифференциальное уравнение малых колебаний математического маятника, происходящие с круговой частотой периодом (сек.)

(1.36).

Можно утверждать, что это свободные гармонические колебания.

Перейдем теперь к физическому маятнику (Рис. 1.2О)

Здесь “OC=a ” – расстояние от оси “OZ” подвеса до центра тяжести “C” тела, где и приложена сила тяжести .

Отклонив тело от вертикали на , когда можно принять (рад), предоставим ему самостоятельно колебаться.

Применим выражение , где , а ; . Тогда .

Или (1.37).

Это дифференциальное уравнение малых качаний физического маятника. Вывод очевиден– и эти колебания свободные гармонические, происходящие по закону:, где , а (1.38).

Если рассмотреть вопрос о математической модели с длиной нити l приведенное, когда эта модель колеблется с периодом , т.е. может реальную модель заменит, то величина .определится так: , или (м).Выражение дает возможность оценит тел сложной формы в лабораторных условиях, т.к. из этого выражения следует: ,

или (1.39).

Тело взвешивают (Р= mg), определяют положение центра тяжести “С” и расстояние до горизонтальной оси подвеса “а”. Затем тело отклоняют на малый угол от положения равновесия и с помощью секундомера измеряют период его колебаний . Затем все подставляют в формулу 1.39 и получают ответ. Это так называемый метод малых качаний. Его часто применяют, когда тело, которого необходимо подсчитат, для будущих прочностных и других инженерных расчетов, имеет нетрадиционное сложную геометрическую форму, что не позволяет решить вопрос аналитическим путем.

ЛЕКЦИЯ 4

1.12. Элементы аналитической механики применительно к механической системе и твердому телу

Приведенные выше теоремы динамики механической системы и твердого тела применимы к системам и телам лишь с одной степенью свободы, где S=1. Если же механическая система имеет S>1, то теоремы не решают задачи динамики М.С. и Т.Т. до конца. Сталкиваясь с таким обстоятельством ученые-механики отошли от канонов классической теоретической механики. Появился раздел – аналитическая механика, где с помощью понятия о возможных (виртуальных) перемещениях, обобщенных скоростях “V” и обобщенных силах выводились системы дифференциальных уравнений движения механических систем с S>1.

Таких уравнений должно быть столько, сколько степеней свободы “S” имеет рассматриваемая система или твердое тело, т.е. “” .

В начале раздела “Динамика механической системы” мы коснулись понятия о виртуальных перемещениях и с помощью принципа Даламбера вывели общее уравнение динамики для произвольной механической

системы с S>1, т.е. .

Здесь под следует понимать всю совокупность инерционных сил, которые в ряде случаев образовывают и моменты от сил инерции (М).

Так, например, у тела, вращающегося вокруг неподвижной ‚оси с угловым ускорением “” появляется такой момент (Рис.1.21) из—за наличия

””, т.е. . При этом образовывает момент относительно оси вращения “С”, проходящей через центр масс тела. Тогда Окончательно: (1.40).

Складывая центробежные силы инерции мы получаем главный вектор. Для симметричных тел с осью вращения, проходящей через центр масс “С” =0.

Тем не менее, решая задачу даже с одной степенью свободы (S=1) обязательно следует учитывать возникающие и . Приведем пример: Каково должно быть усилие “Q” приложенное к нити, обвивающей барабан весом “Р’ и радиусом “R”, чтобы он вращался с заданным “”. Данное тело имеет S=1. За возможное перемещение возьмем угол поворота барабана “”. Тогда его приращение будет “” При этом ()А приложения силы “Q” опустится на “” Тогда сумма элементарных работ .

Имеем .

Отсюда .

На базе общего уравнения динамики механической системы и твердого тела была выведена система уравнений Лагранжа 2-го рода которые здесь приводим без доказательства ввиду сжатости курса.

Общий вид уравнения Лагранжа 2– рода:

(1.41).

Здесь:

Тc – общая кинетическая энергия механической системы,

– обобщенная координата (i=1/s), соответствующая 1,2,3……S степени свободы системы,

– обобщенная скорость, как

Qi-обобщенная сила соответствующая той или иной обобщенной координате “qi” При этом для механической системы c S >1 степеней свободы составляется система уравнений Лангража (1.41) и их число равно “S”. Далее, решая систему из “S” уравнений, находим все ускорения всех точек (тел), входящих в рассматриваемую механическую систему.

Решим пример (рис.1.22) с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода. Система имеет S=1, тогда‚ q= барабана, барабана. Дав барабану поворот на , имеем . Отсюда обобщенная сила Q = (H.M.).

Студентам следует иметь ввиду, что “Q” не есть конкретная сила; это силовая характеристика. Ее размерность зависит от размерности обобщенной координаты “”.

Кинетическая энергия системы (рис.1.22)

, Тогда (см. уравнение Лагранжа – 1.41) ; ; .

Заполним уравнение Лагранжа: , откуда искомое . Т.е

То есть, такой же ответ, как и при решении этой задачи с помощью общего уравнения динамики механической системы.