Текст книги "Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики"

Часть II. Яблоки и луны

Самая высокая вершина мира

Вулкан Чимборасо, расположенный в самом сердце эквадорской Сьерры, вздымается массивной и одинокой фигурой. Прошло почти пятнадцать веков с тех пор, как вулкан извергался, и потоки бурлящей лавы уступили ледяному спокойствию вечных снегов. Тем не менее вулкан не потерял своего авторитета. Немного в стороне от западных Кордильер тяжелый и бугристый конус его вершины вырисовывается на горизонте Андского нагорья, нависая над страной с высоты 6263 метра. Чимборасо – высочайшая точка Эквадора. Альпинисты со всего мира принимают его вызов, викуньи невозмутимо пасутся на его склонах, а государство сделало его одним из своих символов, изобразив вулкан на гербе и флаге.

Тем не менее, несмотря на все достоинства Чимборасо, по праву вдохновляющие как поэтов, так и топографов, его слава, похоже, вышла за границы разумного. Некоторые гиды этого региона безоговорочно утверждают, что его вершина – самая высокая в мире. Да, да, в мире. Любой, кто знает со школьной скамьи, что вершина горы Эверест достигает высоты 8848 метров, легко может опровергнуть такую ложь. Эквадорскому вулкану недостает более двух километров, чтобы конкурировать с непальским гигантом. Обман слишком очевиден, чтобы быть правдоподобным, так что возникает вопрос: как кому-то в голову могло прийти, что мы на это поведемся?!

Но, как это часто бывает, реальность гораздо богаче и изобретательнее любых справочников. У реального больше воображения, чем у нас, и вот нам снова приходится пересматривать свои представления о ней.

Оказывается, Земля не совсем круглая. Она слегка сплющена на полюсах и раздута на экваторе. И хотя Эверест самая высокая гора над уровнем моря, эта вершина расположена на широте, настолько удаленной от экватора, что уровень моря оказывается в целом ниже, чем в Эквадоре. Если измерить высоту Эвереста от центра Земли, то она составляет 6382,6 м, а Чимборасо – 6384,4 км. Чимборасо на 2 метра выше Эвереста!

Короче говоря, вопрос о самой высокой точке мира не так уж очевиден. Вне контекста задавать его неверно, а получить однозначный и четкий ответ невозможно. Чтобы ответить на него, необходимо определить, как измерить высоту, и, следовательно, сделать непростой выбор. Например, бывают ситуации, когда не учитываются ни уровень моря, ни центр Земли, а высота определяется относительно окружающего рельефа с учетом возможных погруженных в почву частей. В этом случае пальму первенства получат не Эверест и Чимборасо, а Мауна-Кеа, гавайский вулкан, вершина которого находится на высоте 4207 метров над уровнем моря, но на высоте 10 210 метров над дном Тихого океана.

Если бы рыбы были географами, возможно, они предпочли бы именно это определение. Для них не имело бы смысла помещать ноль на поверхность океана, внутри которого они живут. Не стоит ли измерить высоту с поверхности атмосферы, которая находится на расстоянии нескольких километров над нашими головами? Это могло бы стать уже четвертым определением высоты, который объективно ничем не хуже остальных трех.

Такое соревнование высот напоминает противостояние сложения и умножения. За прошедшие столетия многие ученые стремились во всех областях сделать свой выбор. Выбор, который позволит измерять, классифицировать, изучать и который обладает способностью сглаживать некоторые шероховатости реальности, чтобы выделить ее основные черты. Но этот выбор сопряжен с опасностью: он дает нам иллюзию понимания, которая может быть чрезмерной и опасной, если мы слишком сильно к ней привяжемся. Эти ориентиры полезны для продвижения вперед, но вы также должны уметь от них оказаться, чтобы двигаться дальше.

В своих астрономических исследованиях планетологам иногда требуется определить высоты на других планетах, помимо нашей Земли. Таким образом, можно услышать, как они утверждают, что самая высокая вершина Солнечной системы находится на Марсе: это гора Олимп, вулкан, который достигает высоты 21 229 метров. Рядом с ним наши земные горы кажутся небольшими холмами.

Однако эта информация настораживает. Относительно какого уровня была установлена высота горы Олимп? Относительно центра планеты? Если так, никогда бы марсианский вулкан не занял первое место, поскольку планета Марс значительно меньше Земли. Относительно уровня моря? Но какого моря? На Марсе их нет… Тогда, возможно, относительно окружающего рельефа? Такой вариант кажется возможным, но рельефы Красной планеты сильно изрезаны: то холм, то овраг, затем гребень или горный хребет, поэтому любое определение высоты там будет непростым делом, а результат – достаточно произвольным.

Загляните на несколько мгновений в голову планетолога и задайте себе такой вопрос: как максимально объективно определить высоту на Марсе?

Ответ далек от очевидного, и соглашение, к которому пришли астрономы, требует некоторых знаний в области естественных наук. Возможно, вы знаете, что на Земле чем выше, тем более разреженным становится воздух. На вершине высокой горы дышится хуже, чем на уровне моря. Кроме того, можно измерить атмосферное давление с помощью барометра, что позволит разделить атмосферу на слои. Таким образом, на уровне моря среднее давление составляет 1013 гектопаскалей[12]12
  Гектопаскаль (гПа) – это единица измерения давления, точно так же, как километрами измеряют расстояния или часами – время.


[Закрыть], на высоте 2000 метров – всего 795 гПа и падает до 356 гПа на высоте 8000 метров.

Используя это свойство, мы можем определить точку отсчета высоты по давлению, и именно это ученые сделали на Марсе. Нулевой уровень высоты там был определен как уровень, при котором атмосферное давление составляет 6,1 гПа. Очевидно, что это намного меньше, чем на Земле, поскольку атмосфера Марса намного менее плотная. Если бы на Земле приняли такой же способ отсчета с той же точкой его начала, она оказалась бы в 35 км над нашими головами! Это примерно в три раза выше, чем высота полета дальнемагистральных самолетов над вершинами Чимборасо, Эвереста и Мауна-Кеа. В конце концов, почему бы и нет? Строго говоря, мы же можем сказать, что живем внутри Земли, а не на ее поверхности? То есть мы живем в атмосфере точно так же, как рыбы живут в море, а черви – в почве.

Но и это определение произвольно, потому что атмосфера не имеет четко очерченных границ. Давление постепенно уменьшается с высотой, переходя в межзвездное пространство. Геокорона, крайняя наблюдаемая граница нашей атмосферы, простирается до 630 000 км, то есть почти в два раза дальше, чем расстояние от нас до Луны. Значит, наш спутник тоже находится «внутри» Земли? Это слишком несерьезно. Никто никогда не использовал это определение. Тем не менее оно объективно ни лучше, ни хуже других. Конечно, менее практичное в использовании. Но не менее справедливое.

Чтобы окончательно расстаться с надеждой на универсальный способ определения высоты, подумайте о небесных телах не сферической формы, таких как комета Чури, астероид Рюгу или транснептуновое тело Ультима Туле.

Космические зонды посетили эти три объекта в 2014, 2018 и 2019 годах. На первые два роботы даже высаживались, чтобы провести эксперименты. Инженерам, работавшим в этих миссиях, надо было вычислить, как далеко от поверхности этих небесных тел находились их зонды при сближении, чтобы те не врезались в поверхность. Другими словами, им требовалось определить высоту. Чудо-метода для этого нет: у этих тел нет ни морей, ни центра, ни атмосферы. Из-за их необычной формы необходимо выработать специальный подход для каждого конкретного случая.

Высота – лишь один из многих примеров, и в таких ситуациях любая попытка описать реальность может показаться безнадежно сложной. Как сделать правильный выбор в нужное время? Какие критерии учитывать и почему? Насколько мы можем удовлетвориться неполным или субъективным определением и когда нам следует от него отказаться? За что зацепиться, когда все кажется относительным? Как заниматься наукой, когда мир, как вода, утекает сквозь пальцы всякий раз, когда мы пытаемся его схватить?

Все эти вопросы одновременно и стимулируют, и пугают. Понимание реальности происходит поэтапно. Сначала возникает интуитивное, неясное ощущение. Некоторые горы выше, чем другие. Затем интуитивное озарение необходимо подтвердить с помощью измерений и определений. Измерим высоту в метрах от уровня моря. Эти определения сопровождают нас некоторое время, помогая двигаться вперед. Они направляют нас в наших размышлениях. Причем так хорошо, что доводят до такой степени, что становится ясно: мы зашли в тупик и нам придется расстаться. И вот тогда наступает самый щекотливый момент. Самый неудобный, но и самый опьяняющий. Расставание. Момент, когда все настолько ясно, что становится размытым; когда мы достаточно хорошо понимаем, что понимаем недостаточно. Как красивая фотография, на которую мы смотрим слишком внимательно и которая в итоге расплывается в глазах.

Как только мы достаточно изучим проблему определения высоты, становится понятно, что к истинному познанию реальности этот вопрос имеет такое же отношение, как пена к океану. В конечном счете невозможность объективно назвать высочайшую вершину Земли не имеет значения. Это не более чем приманка, тень[13]13
  Здесь автор предлагает очень красивую математическую игру слов: тень – вполне легитимный термин начертательной геометрии, близкий к понятию «проекция». – Прим. ред.


[Закрыть]. Теперь нас интересуют другие загадки. Почему разные определения высоты не совпадают? Почему Земля не круглая? И почему так должно быть? Эта форма – чистая случайность или таков закон природы? Что в таком случае верх и низ? Как ответить на все эти вопросы, которые так просты на первый взгляд, но так неоднозначны, захоти мы на них остановиться?

Точно так же, как аномалия в супермаркетах навела нас на след закона Бенфорда, несоответствие высот – это всего лишь деталь, призванная привлечь наше внимание. Реальная проблема намного глубже. Вперед, вперед! Нас ожидает столько прекрасного.

Что такое числа?

Вскоре мы снова пройдем по склонам Чимборасо, но давайте ненадолго покинем эту вершину, чтобы изучить пути, которые проложили для нас ученые древности. Задолго до нас у них тоже были свои сомнения и заблуждения. Иногда эти сомнения на века загоняли их в тупик, пока кто-нибудь, наконец, не находил выход, обозначая и расчищая новые тропы.

Математика издавна предоставляла нашим предкам настоящий арсенал для познания мира. И одним из наиболее важных инструментов в этом наборе является концепция числа. С его помощью мы рассчитываем, измеряем или вычисляем, и любая наука, надеющаяся на светлое будущее, должна стать его союзником.

Конечно, вы уже знаете, что такое числа. Вы сталкиваетесь с ними каждый день, они до такой степени заполонили нашу жизнь, что иногда мы просто не осознаем, что они здесь. Когда смотрим на время, платим в супермаркете, проверяем одометр автомобиля или измеряем высоту горы. Внизу этой страницы… они – повсюду! Тем не менее числа в том виде, в каком их представляют математики, совершенно иного толка, чем те, которые мы используем в повседневной жизни, и нам не помешает остановиться на этом безобидном вопросе: что же такое числа на самом деле?

Если мы задаем этот вопрос с чисто грамматической точки зрения, то в большинстве языков, включая французский, числа в основном выполняют функцию определения[14]14
  В русском языке числительное может выполнять самые разнообразные функции в предложении. Оно может выступать в качестве подлежащего (или его части), сказуемого, обстоятельства и определения. – Прим. ред.


[Закрыть]. То есть они просто указывают на признак существительного, называя его количество точно так же, как прилагательные могут указывать на цвет, форму или любую другую характеристику. Их можно посчитать. Они должны указывать на конкретное количество чего-либо. Если я, например, скажу вам, что в этом предложении семьдесят четыре гласных и сто три согласных[15]15
  Что совершенно верно.


[Закрыть], то числительные «семьдесят четыре» и «сто три» предназначены для уточнения признака существительных «гласных» и «согласных». Они обретают свой смысл только через имена, к которым они относятся.

Некоторые редкие языки наделяют числа иным статусом. Так, в древнем языке маори величины воспринимались как глаголы, то есть как действия субъекта, а не как пассивные характеристики. Если бы французский язык строился по такому же принципу, Александр Дюма написал бы роман «Мушкетеры, которые троятся» (хотя на самом деле они четверятся, если считать д’Артаньяна), капитан Немо в романе Жюля Верна стал бы «Двадцать-тысячить лье под водой», в то время как я, в свою очередь, заверил бы вас, что в этой фразе буквы тристаодиннадцатерятся. Наше отношение к числу было бы радикально иным, если бы мы думали о каждой величине на языке, построенном таким образом.

Однако математики выбрали совсем другой подход. Для них числа не являются ни определениями, ни сказуемыми. Они – подлежащие. В математическом мире именно они занимают центральное место. Число – это не «число чего-то»; три – это не «три дня», или «три километра», или «три чего-нибудь еще»; три – это три, точка.

Месопотамские ученые первыми пошли по этому пути, отделив число от того, что оно обозначает. Для писцов, с которыми мы познакомились в Ниппуре, число двенадцать пишется одинаково, независимо от того, подсчитываем ли мы овец, коров или что-то еще. Так было не всегда. При самом возникновении письменности «двенадцать овец» писалось не так же, как «двенадцать коров». Этот первый этап абстракции ознаменовал поворотный момент в утверждении математики как самостоятельной дисциплины.

Второй этап наступил, когда ученые начали постепенно использовать эти числа, даже не требуя, чтобы они что-либо обозначали. Двенадцать может быть двенадцатью, не характеризуя количество чего-либо. Для того чтобы сделать этот едва уловимый шаг, потребовались тысячелетия развития и эволюции.

Даже сегодня большинство людей воспринимают числа только как количество. Если я скажу вам, что 3 + 5 = 8, вполне вероятно, что вы представите это равенство как утверждение, что «три чего-то», добавленное к «пяти чего-то», дает «восемь чего-то». Конечно, нет необходимости знать, чем является это «что-то», но нелегко принять, что этого «чего-то» может не быть вообще! Наше сознание продолжает интерпретировать числа как количество. Равенство 3 + 5 = 8 вполне можно рассматривать как простую истину математического мира, без необходимости связывать его с чем-либо физическим.

Такой подход одновременно утонченный и мощный, и именно в этой абстрактной свободе числа полностью реализуют свой потенциал. Давайте попытаемся свыкнуться с ними такими, какие они есть, и они раскроют способности, о которых писцы Ниппура даже не догадывались.

Чтобы побольше узнать о сфере применения чисел, полезно начать с нескольких конкретных примеров. Давайте поговорим о еде. Устрицы и спагетти имеют одну общую черту: они бывают разных размеров, и эти размеры обычно обозначаются по определенной шкале. Тем не менее между этими двумя шкалами есть одно существенное различие: обозначения на них значат прямо противоположные вещи. Чем меньше число, тем крупнее устрица и тем тоньше спагетти.

Эти обратные градации сбивают с толку. Даже откровенно раздражают, если вы, как и я, принципиальный сторонник упорядоченных понятий. Хотелось бы спросить у тех, кто придумал такую градацию, почему они просто не договорились между собой. Но задумайтесь на мгновение: какая из этих двух шкал кажется вам наиболее естественной? Если бы вы могли изменить одну из них, какую выбрали бы: устрицы или спагетти?

Любопытно, что разные люди отвечают на этот вопрос всегда одинаково по-разному[16]16
  В ходе неофициального опроса, проведенного в аккаунте автора в Твиттере в апреле 2019 года, из 5700 человек 63 % заявили, что считают градацию спагетти более естественной, 19 % посчитали таковой градацию устриц и 18 % не высказали свое мнение.


[Закрыть]. Эти две шкалы соответствуют двум состояниям мышления, ни одно из которых не может быть объективно лучше другого. Для спагетти номер напрямую связан с калибром. Если спагетти толще, то большее число для обозначения калибра представляется вполне логичным. Устрицы же классифицируются по первенству. На соревнованиях первое место лучше второго, даже если цифра один меньше двух. Таким образом, устрицы № 1 ценятся выше, чем устрицы № 2 и № 3, поскольку они крупнее.

Хорошенько подумав, можно прийти к выводу, что субъективная нумерация продуктов питания показывает обманчивость используемых чисел. Это ложные числа, они на самом деле не обязательно должны быть числами. Они лишь произвольно маркируют товар, вне всякой связи с его стоимостью или количеством. Например, с ними не имеет смысла проводить арифметические расчеты. Устрица № 2 и устрица № 3 не имеют ничего общего с устрицей № 5. Кстати, их размеры различаются в зависимости от вида: плоская устрица № 2 весит не столько же, сколько вогнутая устрица № 2; номерная маркировка спагетти также не стандартизирована: у различных брендов разные нормы.

По правде говоря, большей части чисел в нашей повседневной жизни вовсе не обязательно быть числами, чтобы играть свою роль. Многие из них – результат чисто субъективного выбора. Номера домов на одной улице, почтовые индексы, номера социального страхования, номера телефонов. Все эти числа с таким же успехом можно было бы заменить любыми буквами или символами. Мы могли бы жить в доме G с почтовым индексом URFKH и давать нашим друзьям наш TL вместо 06. Это абсолютно ничего не изменит в том, как мы используем эту информацию.

Можно даже пожалеть, что мы используем столь тонкую и мощную концепцию числа в таких тривиальных ситуациях. Однако существуют шкалы, где принята нецифровая калибровка. Музыкальные ноты можно было назвать 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, но мы называем их до, ре, ми, фа, соль, ля и си. В номерных знаках автомобилей используются как буквы, так и цифры. Размеры одежды часто обозначаются как S, M, L, XL, хотя их все чаще заменяют числа.

Тем не менее у цифровых нотаций есть одно достоинство: они подтверждают, что число не всегда должно обозначать количество. Эти числа не надо считать. Номера телефонов или номера социального страхования не являются «количеством чего-то». В основе идентичности числа лежит отсутствие этого ограничения.

Не менее интересна ситуация с температурой. В 1742 году шведский астроном Андерс Цельсий разработал термометр нового типа для своих метеорологических работ и добился такого успеха, что его именем назвали единицу измерения температуры. Даже сегодня большинство наших термометров имеют градуировку в градусах Цельсия.

Тем не менее есть загвоздка: шкала термометра по Цельсию использовалась в перевернутом виде. Для шведского ученого чем выше температура, тем холоднее объект! Согласно его температурной шкале, вода замерзала при 100° и кипела при 0°. Мы настолько привыкли смотреть на мир по-другому, что этот подход не только вызывает растерянность, но и кажется откровенно неправильным. Но только подумайте: можете ли вы привести хоть какой-нибудь аргумент, подтверждающий, что вернее полагать, что температура повышается при нагреве, а не при охлаждении?[17]17
  На первый взгляд, аргумент очевиден, если вспомнить физику: нагрев воды означает увеличение (т. е. повышение) скорости движения молекул, охлаждение – снижение (т. е. уменьшение) этой скорости. Однако направление отсчета действительно может быть произвольным, и тогда, с «переменой знака», а точнее – направления отсчета, повышение превращается в снижение. – Прим. ред.


[Закрыть] Но выбор одной шкалы или другой исключительно произволен, и мы должны отбросить наши предубеждения.

Но вернемся к вопросу температуры. Поскольку мы используем числа для ее измерения, вполне законно задать вопрос, могли бы мы делать это иначе? Могли бы мы использовать буквы или другую шкалу? В конце концов, если вы нальете из кастрюли воду при температуре 10 °C в кастрюлю с водой при температуре 20 °C, сложить два числа не получится – температура смеси никогда не будет равна 30 °C! Она составит примерно 15 °C. Так куда же делись 20 °C и 10 °C, которые у нас были отдельно перед смешиванием? Куда они исчезли, хотя мы просто слили всю воду в одну кастрюлю? Эти манипуляции, кажется, противоречат самой элементарной арифметике. Когда мы говорим о воде при температуре 20 °C, нет двадцати единиц, которые можно перечислить. Нельзя сказать, что это первый градус, второй и так далее до двадцатого. Очевидно, что градусы Цельсия нельзя сложить.

Еще одним доказательством этого является перевернутый термометр шведского ученого: если бы мы до сих пор пользовались его шкалой, в двух кастрюлях была бы вода при 80 °C и 90 °C, а температура смеси составила бы 85 °C. И эти измерения были бы не менее справедливыми, чем наши.

Однако, даже если эти числа ничего не значат, интересно то, что они все равно поддерживают математические отношения. Температура смеси двух равных объемов воды будет равна средней температуре. Среднее значение 10 и 20 равно 15. И, что примечательно, это среднее значение остается в силе при перевернутой шкале Цельсия: среднее значение 80 и 90 равно 85, а перевернутые 85 °C соответствуют 15 °C. Можно сказать, что среднее значение перевернутой шкалы равно перевернутому среднему значению.

Среднее значение остается инвариантным для каждой шкалы. Таким образом, оно прекрасно соотносится с различными единицами измерения температуры. Неважно, берете вы за основу перевернутую шкалу Цельсия, нашу текущую шкалу или же измеряете ее в градусах по Фаренгейту, как англосаксы, или в градусах Кельвина, как термодинамики, температура смеси всегда равна ее среднему значению.

Этот вывод имеет первостепенное значение. Он учит нас тому, что, хоть температура и не является количественным показателям, с ней можно и нужно уметь производить вычисления, что полностью оправдывает использование чисел для ее измерения. Числам не обязательно быть «количеством чего-то», и тем не менее они полностью заслуживают своего статуса математических объектов.

Сегодня числа, не обозначающие количества, вторглись в науку и стали незаменимыми в наших современных технологиях. Все данные, содержащиеся в наших компьютерах или смартфонах, цифровые, то есть записываются в виде чисел в память наших устройств. Для компьютера изображение – это число, музыка – это число, эта книга, которую вы сейчас читаете, прежде чем ее напечатали на бумаге, была числом, сохраненным на жестком диске моего компьютера. И пока я все еще ее пишу, с каждой буквой, которую я набираю на клавиатуре, это число меняется. На момент написания этих строк оно составляет около 10100000, то есть это число длиной в сто тысяч цифр[18]18
  Я не могу полностью написать здесь это число, потому что оно такое же длинное, как текст этой книги, а тогда потребуется удвоить количество страниц.


[Закрыть]. Когда книга будет закончена, в нем будет примерно в три раза больше цифр, то есть около 10300000.

В процессе оцифровки любой творческий подход сводится к одной простой задаче: найти число.

Конечно, наши технологические устройства делают все, чтобы скрыть от нас этот процесс[19]19
  В оригинале – действительно «максимально прозрачным». Но коннотации прямо противоположны тем, с чем связано понятие «максимальная прозрачность» в русском: как правило, это означает полную ясность, «транспарентность». Здесь же – все наоборот: прозрачность – это невидимость. – Прим. ред.


[Закрыть]. Мы его не видим, и все же он происходит. Представьте себе музыканта, который отдельно записывает различные партии, чтобы затем объединить их в одном треке. В своей программе микширования он просто наложит звук барабанов, баса и гитары друг на друга, но внутри его компьютера эти звуки станут числами, а их наложение – математической операцией. Конечным числом будет «среднее значение» звуков барабанов, баса и гитары.

Это же касается и редактирования изображений, монтажа видео, обработки текста или чего-либо еще, что вы можете делать на компьютере. Пока вы творите, ваш компьютер занимается математикой. И числа, которые он использует, ничего не обозначают, это не количество, это просто числа, которые могут интерпретироваться как текст, фотография или музыка в зависимости от контекста.

Великая сила математики заключается в том, чтобы уметь говорить об идеальных объектах без возвращения их к конкретному контексту, в котором они возникли. Давайте оставим позади утверждения о том, что надо знать, что обозначают числа, чтобы понять их внутренние свойства. Независимо от того, что они означают, и даже неважно, значат ли они хоть что-то, мы сможем их изучить.