Текст книги "Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики"

О пользе зонтиков

Я помню безобидную фразу, сказанную моей подругой-математиком, с которой я регулярно работал несколько лет назад. Когда мы собирались расходиться, мы решили встретиться снова через две недели, в тот же день и в то же время. Когда она достала свой ежедневник, чтобы записать встречу, я услышал, как она что-то пробормотала, больше для себя, чем для меня:

«Сейчас 20 апреля, через четырнадцать дней будет 34-го число, а значит 34–30 – 4 мая».

Это вызвало у меня улыбку, и я долго вспоминал об этом в метро на обратном пути. Она придумала 34 апреля, которого не существует. Такой образ мышления одновременно такой естественный и такой симптоматичный для человека, который занимается математикой! В тот же вечер я наугад задал вопрос нескольким друзьям-математикам: «Какое будет число через четырнадцать дней?» и обнаружил, что все они рассуждают по-разному. Через десять дней, говорили они, будет 30 апреля, значит через одиннадцать дней будет 1 мая, а через четырнадцать – 4. Смена апреля на май нарушила правила арифметики, сделав 1 преемником 30, и, по-видимому, вынудив их шагнуть за пределы математики, чтобы сменить месяцы. Поскольку естественный рост чисел был прерван, надо было прервать и естественный ход мышления. И, должен признаться, вероятно, именно так я бы рассуждал сам, если бы мне задали этот вопрос.

Мою подругу, напротив, эти преграды не остановили. Судя по ее словам, ей ни горячо, ни холодно от конца месяца. Раз 20+14=34, встреча будет назначена на 34 апреля. А 34 апреля равняется 4 мая, вот и все. Она придумала день, которого не существует, чтобы не нарушать течение своих мыслей. И это абсолютно ей не помешало прийти к правильному решению!

Это еще одно удивительное достоинство математики: можно просто думать о вещах, которых не существует. По правде говоря, в этом сама суть математики – думать о том, чего не существует. То есть об абстрактном.

Числа, очевидно, являются одним из самых ярких примеров этого достоинства. Как только мы отрываем их от реальности, которую они моделируют, они становятся чисто абстрактными понятиями. Идеей, воображаемыми объектами, которые мы используем в качестве посредников мышления. И иногда изобретать новые числа для решения новых задач так же удобно, как придумать 34 апреля в контексте календаря.

Вот как, например, возникли отрицательные числа. Не бывает расстояния «минус 11 км». По логике вещей расстояние должно быть представлено положительным числом. Тем не менее при измерении высоты точек земного шара относительно уровня моря очень удобно считать, что бездны, находящиеся ниже этого уровня, имеют отрицательную высоту. Таким образом, высота Марианской впадины, самого глубокого места на земле, составляет –11 км[20]20
  Я не настаиваю, но вы заметили, что –11 начинается с 1?


[Закрыть]. Отрицательная высота – 34 апреля для географов.

Заниматься математикой – значит изобретать идеальные миры, в которых наш разум сможет свободно перемещаться, не обращая внимания на препятствия реального мира. Этот подход, хотя и гораздо более глобальный, очень похож на тот, с помощью которого Непер переходил в мир сложения, чтобы упростить умножение. Когда вы сталкиваетесь с научной проблемой, очень действенным способом ее решить часто является следующее.

1. Придумайте математический мир и смоделируйте в нем интересующую вас проблему.

2. Решите эту проблему в этом мире.

3. Перенесите полученный результат обратно в реальный мир.

Этот универсальный метод, например, используется астрономами для понимания курса планет или прогнозирования затмений.

Такой способ решения проблем называется принципом зонтика. Если вы хотите добраться из одного места в другое в дождливую погоду и при этом не намокнуть, выполните следующие действия.

1. Откройте зонтик.

2. Дойдите до нужного вам места.

3. Закройте зонтик.

Шаги 1 и 3 противоположны друг другу, так что в конце процесса вы окажетесь в том же состоянии, что и в начале, за исключением того, что вы смогли достичь желаемой цели в конкретном мире, доступ в который вам открыл зонтик. Зонтик отрицательных чисел дает географам возможность удобно измерять высоты. Зонтик логарифмов позволяет астрономам, заваленным умножениями, проводить свои вычисления с помощью сложения. И в более общем плане зонтик абстракции открывает для всех ученых возможность войти в мир математики.

В нашем дальнейшем путешествии мы еще не раз воспользуемся зонтиком. Зонтик – это изменение точки зрения, смещение, это искусство сделать шаг в сторону, чтобы взглянуть на мир под другим углом, более подходящим и эффективным.

Продвижение вперед не всегда требует долгих и утомительных усилий. Для продвижения вперед прежде всего требуется найти правильный способ решения поставленных задач. Самые сложные ситуации могут внезапно показаться по-детски простыми, если посмотреть на них с правильной стороны. И именно в умении открыть нужный зонт в нужное время в полной мере проявляется гений великих ученых.

В XVIII веке эксцентричный писатель и путешественник Джонас Хенвей первым в Лондоне воспользовался зонтиком. Настоящим. От дождя. Это вызвало много насмешек, а также откровенную враждебность столичных извозчиков, чьи кэбы были единственным средством добраться до места сухим в дождливую погоду. Ничуть не пугаясь осуждения, Хенвей продолжал с гордостью пользоваться своим аксессуаром более тридцати лет, все чаще замечая, как его товарищи перенимают его привычку. Через несколько месяцев после его смерти в стране начали успешно продавать первые зонты.

Не стоит бояться трудностей – такова мудрость зонтиков. Давайте будем свободны от страхов, глупостей или предрассудков. Как только человек соглашается открыть над своей головой зонтик абстракции и войти в мир математики, он больше ничем не обязан реальному. Не нужно обременять себя излишними ограничениями или стереотипами. Хотите 34 апреля? Пожалуйста! Вам нужны отрицательные числа? Берите! Хотите бесконечности? Вот она![21]21
  Скоро мы с ней встретимся.


[Закрыть] Зачем лишать себя всех этих идей, если они не вредят организации вашего мышления или даже способствуют ему? Вы свободны!

Настолько свободны, что может закружиться голова. У математики есть нечто общее с пирожными: зачастую нелегко сделать выбор, ведь так много вариантов. Умение ориентироваться в математическом мире – это навык, требующий практики и интуиции.

Чтобы его развить, математики разработали множество навигационных инструментов, среди которых есть два компаса. Первый называется полезностью, а второй – элегантностью. Полезность приводит нас к созданию абстрактных миров, максимально приближенных к реальности, чтобы проведенные там исследования можно было бы легко перевести в знания о нашей Вселенной. Элегантность же предлагает нам полностью забыть реальный мир, с головой окунувшись в мир абстракций. Там можно сделать так много прекрасного – и чем бесполезнее это, тем оно прекраснее.

Каждый может использовать эти два компаса по своему усмотрению. Некоторые предпочитают один другому. Остальные же попеременно пользуются то тем, то этим и постоянно ищут идеальный баланс между двумя указанными ими направлениями. Но мир полон тайн, и нередко можно увидеть, как совершенно разные тропы приводят исследователей в одни и те же места. Осознание того, что природа любит работать в соответствии с изящной математикой, ошеломляет и сбивает с толку.

Все всегда падает

Посетив деревушку Вулсторп, расположенную в графстве Линкольншир, в самом сердце английской глубинки, вы погружаетесь в ее обыденную – но одновременно и пронзительную – утренней туманной дымки. Несколько десятков жилых домов с практичными садиками беспорядочно разбросаны по округе. Насколько хватает взгляда, поселение опоясывают поля, пересекаемые автомагистралью А1, равнодушно следующей из Лондона в Эдинбург. Отдаленный гул моторов смешивается с пением птиц. В Вулсторпе мало автомобилей, за исключением машин местных жителей, едущих на работу, и машин посетителей особняка, расположенного по дороге в Колстерворт.

К юго-западу от жилых домов высится старейший особняк деревни, построенный в XVII веке, который ежегодно привлекает несколько тысяч посетителей, пустившихся в интригующее паломничество. Особняк Вулсторпа не очень большой. Одноэтажное здание в форме перевернутой буквы F, сложенное из серого, немного охристого камня, с мансардой и двадцатью маленькими окнами на фасаде. К нему можно добраться от Уотер-Лейн по короткой грунтовой дороге, окаймленной широкими, неровно подстриженными газонами, на которых растут несколько английских деревьев и кустов.

Сегодня особняк превратился в музей, но главная достопримечательность находится не в его стенах. В западном саду внимание посетителей приковывает к себе старая яблоня с сероватой корой, вся искривленная под гнетом возраста. Именно ради нее сюда и приезжают. Именно с ней делают фотографии, которые в тот же вечер рассылают по друзьям: «Угадай, что я сегодня видел!» Это дерево в особняке Вулсторп – то же, что и Джоконда в Лувре. Мы смотрим на него недоверчиво, почти удивляясь тому, что оно настоящее, при этом все же восхищаясь этим стариком. И мы с усмешкой повторяем легенду о яблоке, которое более трех веков назад положило начало одной из самых замечательных идей в истории науки.

Исаак Ньютон родился в особняке Вулсторп в рождественскую ночь 1642 года. И однажды, когда он задумчиво пил чай в саду, упало яблоко.

Почему все падает? Такой простой, но такой всеобъемлющий вопрос. Нет более глубокого явления в мире, чем гравитация. И эта глубина тем более волнительна, что она связана с чем-то настолько знакомым и повседневным, что трудно поверить, что она может быть сложной.

С первых лет нашей жизни мы все играли с гравитацией, привыкая к ее принципам. Малыши проводят много опытов, бросая предметы на пол и падая сами. Познакомьте новорожденного ребенка с одним волшебным фокусом, связанным с парением, показав ему воздушные шары с гелием, и вы увидите, как он широко раскроет глаза, осознавая, что происходит что-то необычное.

Первое удивление гравитацией случается в тот день, когда в детстве вы узнаете, что Земля круглая. От этого открытия голова идет кругом, ведь оно ставит под сомнение наше внутреннее представление о верхе и низе. Если Земля круглая, почему люди, находящиеся по другую ее сторону, не падают в пустоту? Разрешая этот парадокс, гравитация впервые заставляет нас изменить свою точку зрения. Низ – это не фиксированная точка в пространстве, низ – направление к центральной точке нашей планеты. Люди, живущие в другой части мира, живут не так, как мы, но все же, как и для нас, верх для них верх, а низ – низ!

Это объяснение вполне удовлетворительно, и у нас может возникнуть соблазн остановиться на нем. Но, как всегда в науке, после одного ответа возникает десять новых вопросов, и у этой игры по сути нет конца. Итак, хорошо, мы знаем, что низ находится в центре Земли, но как он там оказался?

Например, естественно задаться вопросом, низ ли сотворил Землю или Земля сотворила низ? Иными словами, образовалась ли здесь Земля потому, что там изначально находился низ? Или это присутствие Земли привело к тому, что низ оказался в ее центре? Давайте проведем мысленный эксперимент. Если можно было бы с помощью гигантской ракеты переместить Землю в пространстве, остался бы низ неподвижно висеть в прежней точке в вакууме или же последовал бы за планетой? И упадут ли люди, находящиеся на ее поверхности, в межзвездную пустоту или так и останутся «приклеенными» к поверхности?

До XVII века этот вопрос вызывал жаркие дискуссии в научных кругах. В 1609 году астроном Иоганн Кеплер опубликовал новаторский труд под названием Astronomia Nova («Новая астрономия»), в которой он явно поддержал вторую гипотезу. Для него именно Земля создает гравитацию, именно благодаря материи, из которой она состоит, она притягивает нас к своему центру.

Кеплер пошел еще дальше, утверждая, что эта способность притягивать вещи свойственна не только Земле. Согласно Кеплеру, это общее свойство материи. Таким образом, он пишет, что если бы можно было отключить гравитацию Земли, то моря и океаны поднялись бы в небо, пока не упали бы на поверхность Луны. Он также утверждает, что эта способность притягивать не ограничена планетами и другими небесными телами, но что если бы два небольших объекта оказались на безграничных просторах Вселенной, вдали от влияния крупных небесных тел, то они медленно падали бы друг на друга.

Может быть, читая эту книгу в XXI веке, вы уже знаете, что Кеплер оказался прав? Да, именно Земля создает свою гравитацию, как и любой объект. Но не следует забывать, что в XVII веке все это было чистой воды рассуждениями. Блестящими, но все же рассуждениями. Чтобы утверждение стало научным, его надо выразить в точных, поддающихся проверке и, по возможности, математических терминах. Однако невозможно было ни отключить гравитацию Земли, ни отправить два небольших объекта в межзвездный вакуум. Идеи Кеплера были необычайно дальновидными, но они не были полными. Требовалось создать великую теорию, строгую и поддающуюся проверке, чтобы подтвердить их.

Именно тогда в саду Вулсторпа упало яблоко.

В 1687 году Исаак Ньютон опубликовал фундаментальную работу под названием Principia mathematica philosophiae naturalis («Математические начала натуральной философии»).

Эта книга, несомненно, является одной из самых влиятельных в истории науки и знаменует собой поворотный момент в понимании гравитации и, благодаря ей, Вселенной. Представленный в ней закон всемирного тяготения примечателен как своей необычайной общностью, так и мощью своего математического обоснования.

На самом деле неизвестно, какова доля правды и вымысла в легенде о яблоке, которое, упав, вдохновило Ньютона на великую идею «Математических начал». Эта идея частично повторяет мысли Кеплера, доведя их до конца, выражаясь абсолютно универсальным принципом, который можно сформулировать следующим образом: все всегда падает! Любые два объекта во Вселенной, чем бы они ни были и где бы они ни находились, постоянно притягиваются друг к другу и имеют тенденцию сталкиваться друг с другом, если их ничто не удерживает.

С помощью этого простого закона Ньютон сможет объяснить совершенно разные явления, понять которые вдруг оказалось так просто. Конечно, всемирное тяготение объясняет, почему яблоки падают на Землю, – она их притягивает. Оно также объясняет явление приливов, как и предполагал Кеплер. Океаны поднимаются и опускаются каждый день потому, что их притягивает Луна, и, хотя притяжение нашего спутника недостаточно велико, чтобы притянуть к себе воды Земли, его достаточно, чтобы поднять их на несколько метров. Компактность планет Ньютон также объяснял воздействием гравитации. Если материя, из которой сделана Земля, не рассеивается в космосе, как горсть песка на ветру, то это потому, что гравитация удерживает ее.

Но самым большим достижением Ньютона, несомненно, остается то, что он с помощью своего простого закона тяготения смог объяснить движения Луны и планет.

В предыдущие века между земными и небесными явлениями всегда проводилось различие. Считалось, что в космосе действуют иные законы физики. Ученые думали, что падающие яблоки и вращающиеся планеты не подчиняются одному принципу. Доказательством тому служило то, что яблоки не вращались, а планеты не падали! Но закон Ньютона вызвал настоящую революцию, утверждая обратное. По его мнению, все вращающиеся небесные тела только и делают, что постоянно падают.

Возьмем, к примеру, Луну. Ньютон утверждает, что ее тянет к Земле и она падает на нее. Но есть одна тонкость: диаметр Земли составляет всего 13 000 км, а Луна движется очень быстро, поэтому она все время «промахивается» и падает как бы рядом с планетой! Продолжая свое падение, Луна, не замедляясь, бесконечно повторяет одно и то же движение к Земле, которая постоянно ускользает от нее. Для Ньютона то, что мы называем орбитой, не что иное, как постоянное падение «мимо цели».

Это постоянное падение стало возможным благодаря тому, что центр тяжести находится в центре Земли. Представьте, что вы бросили яблоко с настолько сверхчеловеческой силой, что оно улетело за горизонт. Если бы центр тяжести, тот самый низ, не сменил бы направление его движения, яблоко просто улетело бы «за Землю» и бесконечно падало бы в межзвездную пустоту. Но поскольку центр тяжести, относительно которого падает яблоко, находится в центре нашей планеты, он начинает это яблоко вращать. Таким образом, фрукт продолжает свое падение на Землю, которая будет постоянно ускользать от него в бесконечном движении. Вы вывели яблоко на орбиту.

Кстати, надо заметить, что даже яблоки, брошенные с нормальной силой, вращаются – точнее, обращаются вокруг Земли. Мы этого не видим только потому, что они падают, прежде чем у них появится возможность выйти на орбиту. Но если бы Земля была сжата к своему центру настолько, чтобы ее рельеф не препятствовал полету яблока, то оно двигалось бы по эллиптической траектории, совершенно схожей с траекторией комет в Солнечной системе.

Если позволите, я предлагаю вам на несколько минут прервать чтение, чтобы насладиться этой головокружительной идеей. Луна падает, как яблоки, а яблоки вращаются, как Луна. Вы понимаете? Луна падает, как яблоки, а яблоки вращаются, как Луна! Какая радость, я это понимаю! Это будоражит и пьянит!

То, что мир так работает, – это чудо. То, что мы это поняли, – это чудо. И хотя подобная гордыня зачастую неуместна, но гордиться принадлежностью к виду, достигшему такого уровня понимания мира, я считаю законным. Homo sapiens, поднимем голову, мы поняли гравитацию!

Конечно, тот же закон применим ко всем небесным телам. Все, что вращается, падает. Спутники падают на планеты. Планеты падают на Солнце. И уже после Ньютона астрономы обнаружат, что все звезды, которые мы видим на небе, просто падают друг на друга в спиральном движении, образующем нашу галактику: Млечный Путь.

Какая элегантность и какая сила объединены в этом простом и глубоком законе. Все всегда падает, и этим все объясняется.

Успехи гравитации

Жаль, что приходится возвращаться на Землю после такого ликования, но, возможно, мы немного поторопились.

Все эти соображения о падающих лунах и вращающихся яблоках так приятны для ума, что нам следует остерегаться слишком сильно уверовать в них. Подлинно научная теория должна быть точной и проверяемой. Сказать «все, что вращается, падает» – красиво, но слишком расплывчато. Конечно, Ньютон это прекрасно понимал и не бросал слова на ветер. Ученый разработал полное математическое описание гравитации, чтобы количественно оценить описываемые им явления и сопоставить их с реальностью.

В «Математических началах» английский ученый пишет, что гравитационная сила зависит от двух факторов: массы предметов и их расстояния. Если у вас есть эти данные, вы можете рассчитать силу по математической формуле[22]22
  Эта формула одна из наиболее известных в науке: F = G × m₁ × m₂ /d². То есть сила F рассчитывается путем умножения постоянной гравитации G (которая составляет около 0,00000000007) на массы двух притягивающих друг друга тел (в килограммах) и деления на квадрат их расстояния (в метрах).


[Закрыть]. Чем массивнее и ближе тела, тем с большей силой они взаимодействуют. Чем они дальше и легче, тем слабее эта сила. Несколько столетий спустя научное сообщество воздаст должное английскому ученому, назвав его именем единицу измерения силы. На поверхности Земли планета притягивает объекты с силой около 10 ньютонов на килограмм. Таким образом, если вы весите 60 кг, наша планета притягивает вас с силой 600 ньютонов. На Луне эта сила в шесть раз меньше; если у вас возникнет желание отправиться туда на экскурсию, она будет притягивать вас с силой около 100 ньютонов.

После того как вы узнаете, какие силы применяются к телу, еще предстоит выяснить, какое влияние эти силы оказывают на его скорость и положение в пространстве[23]23
  Строго говоря, необходимо также определить точки приложения этих сил, иначе расчет может быть некорректным. – Прим. ред.


[Закрыть]. Как конкретно рассчитать траекторию? Чтобы ответить на этот вопрос, Ньютону снова пришлось применить всю изобретательность, на которую он был способен.

Перечислять все гениальные идеи, реализованные в «Математических началах» долго и утомительно. Ньютон изобретает там новую и изящную математику, рядом с которой 34 апреля и отрицательные числа – не более чем тренировочные упражнения. Одним из его самых выдающихся достижений стала концепция скорости. На этом следует ненадолго остановиться.

Давайте приведем пример. На приборной панели любого автомобиля есть спидометр. Когда вы не движетесь, он показывает 0 км/ч, и чем быстрее вы едете, тем больше отображаемое число. Но что произойдет, когда вы переключитесь на задний ход? К сожалению, ничего не изменится. На большинстве автомобилей спидометр не делает различий между движением вперед и назад. Но подумайте: вам не было бы приятно, если бы включении заднего хода спидометр показывал отрицательное число? Теперь вы едете со скоростью –10 км/ч.

Как ни странно, это тот же принцип, на котором построено измерение высоты ниже уровня моря. Так что эта идея не должна вас слишком шокировать. Если вы едете со скоростью 30 км/ч (стало быть, вперед) в течение часа, а затем со скоростью –10 км/ч (задним ходом) еще час, вы проедете 20 км вперед. Сумма 30 и –10 составит 20, ведь так? Такой взгляд на вещи, безусловно, совершенно бесполезен для вождения, но может показаться очень интересным тем, кому нравятся математические вычисления.

Идея, что скорость движения в зависимости от его направления, может выражаться положительными и отрицательными величинами, вдохновила Ньютона, но это еще не все. В отличие от высот, обозначающих только расстояния вверх или вниз, скорость может быть направлена в любую сторону. Поэтому введения только отрицательных чисел здесь недостаточно – потребуется целое числовое пространство. Скорость движения на юг должна быть отрицательной относительно скорости движения на север, а скорость движения на запад отрицательна относительно скорости движения на восток и так далее.

Английский ученый решил смоделировать это с помощью математической концепции, которая прежде еще не использовалась в астрономии и которую сегодня мы называем вектором. Вектор – это своего рода число с компасом. Если вы сложите число, направленное на запад, с числом, направленным на юг, вы получите число, которое направлено на юго-запад. Абстрактно, да, но это работает! Благодаря этой и еще нескольким идеям, все работает очень даже хорошо. Ньютону удается кратко и изящно описать математику гравитации. Теперь он может рассчитать траектории яблок, Луны, планеты и всего, что подвержено гравитации.

Каким бы очаровательным ни был путь под дождем, все-таки наступает тот миг, когда нужно сложить зонтик. Закон Ньютона настолько прекрасен, что делать этого совсем не хочется. Несмотря на то что его закон создан так, чтобы напоминать наблюдаемую нами Вселенную, теория, представленная в «Математических началах», – это всего лишь воображаемый мир, построенный с нуля. В этом математическом мире яблоки падают, планеты вращаются, а океаны подвержены приливам и отливам. Эти совпадения обнадеживают, они говорят нам, что наша модель корректна. Но ее надо подкрепить. Перед нами третий, возможно, самый опасный шаг: возвращение к реальности.

В прошлом многие великие умы придумывали очень элегантные теории, которые оказывались неточными. Так, Кеплер, который, однако, обладал блестящей интуицией, не всегда мог правильно преобразовать ее в математику. В издании Mysterium Cosmographicum («Тайна мироздания»), опубликованном в 1596 году, он предположил, что расстояния от планет до Солнца соответствуют системе пяти платоновых тел[24]24
  Этими пятью телами являются тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Это единственные идеально правильные многогранники. Они ранее использовались Платоном для описания формы Вселенной, а также четырех элементов (воды, воздуха, огня и земли).


[Закрыть]. Красивая теория, но неверная. Несмотря на свои усилия, Кеплеру так и не удалось согласовать свою модель с астрономическими измерениями.

Реакция реальности может быть жестокой, к этому нужно быть готовым. Мир может сказать «нет». Теория должна описать явление не просто примерно, а как можно точнее. Луна совершает полный оборот вокруг Земли за двадцать семь дней. Если при выполнении расчетов ваша теория говорит, что она делает это за тридцать пять дней, теория ошибочна. Ее нужно переделать или, если это невозможно, отказаться от нее. Бесполезно торговаться, когда в ход идут опыты. Ваша теория может быть великолепной, полной сильных и убедительных аргументов, с множеством великолепных математических доказательств, но, если реальность говорит «нет», значит «нет».

В начале XVII века Галилей провел в Пизе серию экспериментов со свободным падением тел. В 1604 году они привели его к открытию закона равноускоренного движения. Брошенное тело набирает ускорение следующим образом: через одну секунду оно достигает скорости 10 метров в секунду; через две секунды оно разгоняется до 20 метров в секунду; через три секунды – до 30 метров в секунду и так далее, пока не упадет на землю. Это увеличение скорости на 10 м/с каждую секунду обычно обозначается как g и часто используется в качестве единицы измерения ускорения. Спортивный автомобиль, способный развивать скорость до 40 метров в секунду (то есть 144 км/ч), за одну секунду приобретает ускорение до 4 g.

С помощью теории Ньютона теперь можно повторить эксперимент в Пизе, но по другую сторону математического мира. И чудо: все работает! Расчеты, представленные в «Математических началах», приводят к тому же результату. Каждую секунду скорость увеличивается на 10 м/с. Свободное падение, описанное Ньютоном, строго соответствует реальному свободному падению, обнаруженному Галилеем. Первая проверка пройдена.

Поскольку теория подтвердилась на Земле, нужно испытать ее и в космосе.

В «Новой астрономии» Кеплера описываются траектории движения планет. Он обнаружил одну удивительную вещь: вопреки всем представлениям его современников, орбиты планет были не круговыми, а эллиптическими. То есть они имели форму несколько вытянутых кругов. Эллипсы орбит, по которым обращаются планеты, не такие вытянутые, поэтому при недостаточно точных измерениях они еще могли сойти за окружности. Но у комет эллипсы очень вытянуты.

Теория Ньютона позволяет точно рассчитать форму траекторий планет. И угадайте, что мы находим: эллипсы! Даже лучше: эллипсы, которые фактически соответствуют наблюдениям как по форме, так и по скорости обращения. Например, чем дальше кометы от Солнца, тем быстрее они к нему движутся. Астрономы уже наблюдали это явление. Ньютон же, благодаря своим расчетам, обнаружил это на кончике своего пера.

Я настаиваю на важности осознания того, насколько точны оказались все предсказания Ньютона. Благодаря техническому прогрессу измерительных приборов и помощи недавно изобретенных Непером логарифмов астрономам XVII века удается обнаружить определенные небесные тела с точностью до одной угловой секунды. То есть погрешность в их расчетах составляла не более толщины волоса! И именно настолько точны все расчеты, приведенные в «Математических началах». Если Ньютон говорил, что в такой-то день и в такое-то время Марс будет находиться в такой-то точке на небе, астрономы наводили свои приборы в указанном направлении и находили там Красную планету без какой-либо ощутимой разницы между ее фактическим и теоретическим положением!

Вот что такое теория тяготения.

В 1781 году астроном Уильям Гершель заметил в небе неизвестное тело. Однако объект был слишком далеким и размытым, чтобы ученый смог самостоятельно определить, туманность это или комета. Затем он сообщил о своем открытии в различные астрономические сообщества, которые, в свою очередь, начали изучать это новое тело и его траекторию. Но расчеты не дали ответа. Объект не мог, согласно теории Ньютона, быть ни кометой, ни туманностью. Звездой это тоже не могло быть.

Затем астрономам пришла в голову еще одна идея: а вдруг это планета? На этот раз расчеты оказались верны. Объект двигался по эллиптической, почти круговой траектории вокруг Солнца. Вся астрономическая общественность переполошилась. Шесть известных до сих пор планет были видны невооруженным глазом и наблюдались всегда. И вот наука открыла новую, седьмую. Ее назвали Ураном.

Но история на этом не заканчивается. Телескопы всего мира направили на Уран, что позволило провести более точные измерения. Исследователи обнаружили, что, вопреки тому, что было объявлено ранее, траектория Урана не совсем соответствовала математическим моделям. Фактическая орбита немного отклонялась от теоретической. Разница была слишком незначительной, чтобы поставить под сомнение его статус планеты, но этого оказалось достаточно, чтобы начать беспокоиться. Что, если закон Ньютона не универсален? Что, если, как и в случае с предыдущими системами, его точность была только относительной и пришло время подвергнуть его сомнению?

Уран стал причиной множества дискуссий, но многие астрономы не решались отказаться от теории Ньютона. Появилась новая гипотеза: что, если измеренные отклонения вызваны влиянием другой планеты, до сих пор неизвестной, которая своей силой притяжения меняет траекторию Урана? В Парижской обсерватории астроном Урбен Леверье твердо верил в это и приступил к расчетам положения этой возможной планеты. Он представил результаты своей работы в Академию наук в августе 1846 года, но академики мало ими заинтересовались. Затем он решил отправить свои расчеты одному из своих знакомых в Германии, астроному Иоганну Галле из Берлинской обсерватории. Галле получил письмо от Леверье 23 сентября 1846 года. В тот же вечер он направил свой телескоп в указанном направлении. Через несколько минут после полуночи он открыл Нептун.

Вот что такое теория тяготения.