Текст книги "Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики"

13. Одинокий джентльмен

Обедневший джентльмен вынужден был рассчитать камердинера и теперь своим туалетом занимается сам. В его гардеробной (а он даже не знает, как включить там свет) лежат восемь пар носков двух цветов – черного и синего. Сколько носков ему следует взять, чтобы он мог составить из них хотя бы одну пару?

Варианты ответов

1. Два.

2. Три.

3. Восемь.

Правильный ответ: 2

Два носка – это уже пара, так что если вы ответили «два», то не слишком ошиблись: из них и правда можно составить пару носков, пусть и разноцветных. Но джентльмену не пристало ходить в разноцветных носках, это же не хипстер, так что, конечно же, речь шла о паре носков одного цвета. Если он возьмет два, то с вероятностью 50 % они окажутся разноцветные (первый синий, второй черный, или наоборот). Но, добавив третий носок, он гарантированно составит пару – синюю или же черную.

14. Что за медведь?

Медведь выполз на свет, потянулся и пошел на прогулку. Пройдя полкилометра строго на юг, он повернул на восток, прошел еще метров 300, завернул на север и еще через полкилометра с удивлением обнаружил себя в исходной точке. Что за дела? – подумал он, мы же зададимся другим вопросом: что это был за медведь?

Варианты ответов

1. Белый.

2. Бурый.

3. Панда.

Правильный ответ: 1

Там, где вы сейчас находитесь, пройдя 500 м на юг, потом 300 на восток, а потом еще 500 на север, вы никогда не окажетесь в исходном месте. Если только вы не на полюсе, причем на полюсе Северном – на Южном полюсе на юг идти нельзя, вы, как говорится, уже пришли. Оттуда все пути – только на север. Так что вопрос наш на самом деле совсем прост: «Какого цвета медведи на Северном полюсе?» – ответит и ребенок.

15. Про сугробы

Прогуливаясь в зимнем парке, Виктор Степанович обратил внимание, что сугробы вдоль парковых дорожек имеют неодинаковую высоту: в закрытых углах (в углах закрытых площадок) они низкие, а в открытых (например, на перпендикулярных перекрестках), напротив, высокие. Перебирая возможные причины этого явления, Виктор Степанович выделил три. А какую выберете вы?

Варианты ответов

1. Так высотой сугробов распоряжается ветер, надувает снег в открытые углы и сдувает из закрытых.

2. Дворники специально делают сугробы повыше в открытых углах – чтобы ветру было труднее сдувать снег обратно на убранную территорию.

3. Если убирать снег лопатами, всегда будет получаться именно так.

Правильный ответ: 3

Снег лопатами убирают всегда по одной и той же схеме: сгребают с убираемой территории к ее границе, перпендикулярно этой границе, а после перекидывают через нее. Попробуйте какой-нибудь другой способ, и вы быстро утомитесь, так как вам придется перетаскивать снег на бóльшие расстояния, т. е. делать больше работы, причем совершенно лишней. Приняв этот факт, совсем просто объяснить «сугробное неравенство»: в открытые углы снег сгребается сразу с двух направлений (например, на перекрестке – сразу с двух пересекающихся дорожек), в закрытый же угол его не бросают вовсе.

16. О великом скрипаче

В последнее время оживились споры: был ли Никколо Паганини действительно самым искусным скрипачом среди всех живущих и живших? Обсудим это и мы.

Варианты ответов

1. Да, был, это ж Паганини!

2. Определенно нет.

3. Возможно, но как это определить?

Правильный ответ: 3

Для того чтобы выяснить, был ли Паганини самым лучшим скрипачом из всех живущих или когда-либо живших, нужно их просто взять и сравнить. И тут резонно задаться вопросом: как это сделать? Никаких записей Паганини по понятным причинам не оставил (его годы жизни – 1782–1840 гг., а фонограф был изобретен Томасом Эдисоном только в 1877-м). Все, что мы знаем о Паганини, оставлено нам в свидетельствах современников – что позволяет весьма ограниченно судить о способностях музыканта (буквально по анекдоту «Карузо, Карузо… Мне тут Рабинович напел!»). Так что одно мы можем утверждать определенно: Паганини, бесспорно, был великим музыкантом, но полагать, что он был самым лучшим скрипачом из всех, – для этого у нас нет и в принципе не может быть достаточных данных.

17. По какой полосе?

Вы приближаетесь к пункту взимания платы на платной автостраде. Пункт организован традиционно: по правой полосе могут двигаться любые машины – легковые, грузовики, автобусы, по всем прочим только легковые. В какой ряд следует встать?

Варианты ответов

1. В правый, поближе к дальнобойщикам!

2. Только не в правый! Держитесь левее!

3. Совершенно неважно – время ожидания в очереди в каждом ряду примерно одинаково.

Правильный ответ: 1

Очереди в подобных местах имеют некоторую способность к саморегуляции – в том смысле, что каждый стремится встать в ряд наименьшей длины. В результате длины всех рядов и правда примерно одинаковы – но не время ожидания! Дело в том, что время ожидания определяется средним временем прохождения поста одной машиной (открыть окно, передать купюру, взять сдачу и чек, проехать), помноженным на число машин в очереди. Если длина очереди из легковых и грузовых машин одна и та же, то машин в «грузовой» очереди окажется в три-четыре раза меньше, чем в «легковой», – грузовики, особенно фуры, в несколько раз длиннее легковушек. Значит, эту очередь удастся преодолеть гораздо быстрее!

18. Спидометр-лгун

Многие автомобилисты в курсе, что спидометры в машинах дают неверные показания – они всегда завышают показатели скорости (показывают бóльшую, чем в действительности), опытные водители даже знают, на сколько – «на 10 км/ч», говорят они с большой убежденностью. Неужели в XXI веке так и не смогли настроить точно такой простой прибор, как спидометр?

Варианты ответов

1. Смогли. Прокатитесь с превышением мимо любого поста ГАИ и обсудите с инспектором эти 10 км/ч.

2. Особенности измерения не позволяют мерить скорость точно.

3. Это намеренная ошибка – госорганы обязывают производителей делать такие спидометры, чтобы реальная скорость была меньше и, значит, езда – безопаснее.

Правильный ответ: 2

Во-первых, спидометры и правда «завышают». И чтобы в этом убедиться, включите во время движения на смартфоне, например, «Яндекс. Карты» (определяют скорость по GPS) и сравните данные с показаниями спидометра. Во-вторых, задача решается элементарно, если ответить: а как вообще спидометры замеряют скорость? Очевидно, меряется угловая скорость вращения колес (ν, число оборотов колеса в единицу времени), а из нее вычисляется линейная (v) – они связаны простым соотношением v = 2πνR, где R – радиус колеса. Все хорошо, если мы точно знаем этот радиус, – но это не так, можно надеть низко– или высокопрофильную резину, можно с резиной поменять и диски. В конце концов, он зависит даже от давления в шинах! Так что ошибка в измерении скорости таким методом неустранима. А почему именно завышают (могли бы ведь и занижать)? Видимо, так производители страхуются от претензий водителей: если на спидометре 100 км/ч, а на радаре гаишника 95 км/ч, то это ваша проблема; если же на радаре 105 км/ч, то это проблема автозавода – вы сможете предъявить ему претензии на некорректную работу прибора. Что еще важно отметить: почему эта задача вошла в «Озадачник. Логику», а не в «Физику»? Просто все эти умозаключения автор сделал, не прибегая вообще ни к каким источникам, – так что это чисто логическое решение, вследствие чего, возможно, неправильное.

19. Удачная отговорка

– Что-то редко ты стал у меня бывать, Павлик, – сказала Алевтина Сергеевна сыну, навестившему ее впервые за две недели. – Почему так?

– Мама, ну что ты! У меня есть только ты и Даша, каждый день после работы я спускаюсь на платформу и сажусь в тот поезд, который раньше подойдет – в твою или ее сторону. По идее, я должен бывать у вас поровну, сам не понимаю, почему поезд к ней попадается чаще…

А серьезно, почему?

Варианты ответов

1. Поезда в направлении к Даше идут чаще, чем к Алевтине Сергеевне.

2. Возможно, это как-то связано с расписанием поездов.

3. Павел просто не хочет признаться маме, что у Даши бывать ему нравится больше.

Правильный ответ: 2

Первый вариант ответа (про то, что к Даше идет больше поездов, чем к маме Павла) стоит отмести хотя бы потому, что он противоречит закону сохранения поездов: судите сами, рано или поздно все поезда скопятся в депо на конечной по Дашиному направлению, и, чтобы эта версия работала в течение продолжительного времени, где-то в стороне Алевтины Сергеевны новые поезда должны рождаться, а в Дашиной «лишние» поезда – исчезать. (Справедливости ради – противоречие снимается, если предположить, что линия метро – кольцевая, но мы этот исключительный случай не рассматриваем.) Проще предположить, что при одном и том же среднем интервале (скажем, 10 минут) поезда в Дашином направлении приходят, для примера, в 17:00, 17:10, 17:20…, а в мамином – в 17:02, 17:12, 17:22. Тогда вероятность попасть к маме у Павла – только 20 % (нужно прийти на платформу в двухминутный интервал с 17:00 до 17:02 и т. п.), а к Даше – 80 % (отрезок от 17:02 до 17:10). Выходит, ничего удивительного, что у Даши Павел гостит чаще.

20. Парадокс Протагора

Протагор был уважаемым юристом в Древней Греции, и как-то он взял в ученики способного, но небогатого юношу, которого он обучал «в кредит»: они условились, что как только ученик выиграет свой первый судебный процесс, то часть гонорара отдаст учителю. Однако юноша решил бросить занятия. Тогда сам Протагор подал иск против ученика, потребовав уплаты обещанной суммы. Удалось ли ему взыскать плату за обучение?

Варианты ответов

1. Нет, ведь у ответчика железная аргументация: «Если я выиграю процесс, то по определению я не должен платить; если же проиграю, то тоже не должен платить, так как условием оплаты за обучение является выигранный мной процесс».

2. Да, ведь у истца железная аргументация: «Если я выиграю процесс, то по определению ученик должен будет заплатить; если же я проиграю, значит, он выиграет – и должен будет заплатить мне по нашему договору».

3. Спор неразрешим в рамках данного судебного процесса.

Правильный ответ: 3

Замечательным свойством парадокса Протагора оказывается то, что он и правда неразрешим. Вот уж парадокс так парадокс! Действительно, непогрешимыми оказываются как логика Протагора, так и логика его ученика, при этом их рассуждения приводят к выводам совершенно противоположным. Один из способов разрешения противоречия заключается в рассмотрении не одного, а двух судебных процессов. Положим, в первом Протагор проиграл: суд посчитал, что ученик еще не выиграл ни одного процесса, значит, условие уплаты денег за обучение не возникло. Но после вынесения судебного решения оно уже как раз возникло, и Протагор может спокойно подать второй иск, который он гарантированно выиграет, там уже никаких парадоксов. Для равновесия автор предлагает еще один способ, благодаря которому в выигрыше всегда будет ученик: ему просто следует не самому защищать себя, а нанять адвоката, тогда Протагору никогда никаких денег с него не стребовать.

21. Где доллар?

Трое друзей селятся в гостиницу, номер стоит $27, они скидываются по $9, расплачиваются и идут заселяться. Портье проверяет компьютер и выясняет, что гости бронировали номер через booking.com, а значит, им полагается скидка в $5. Он спешит к ним – вернуть лишнее, по дороге соображает, что $5 на троих не делится, и решает дать каждому по доллару, а $2 оставить себе. Таким образом каждый турист получает обратно по доллару, и номер им в итоге обходится в $8 × 3 = $24, еще $2 забрал портье, в сумме это дает $26, а было же $27! Как это следует понимать?!

Варианты ответов

1. $2 следует не прибавлять, а вычитать.

2. Так вообще считать нельзя, потому что внесенная гостями сумма оказывается учтена дважды.

3. Портье должен был отдать по $2 каждому гостю и оставить себе $1, тогда все сходится – $3 × 2 – $ = $5.

Правильный ответ: 1

Задача замечательна тем, что неизменно ставит в ступор всех, включая людей, когда-то благополучно ее решивших и даже помнящих, что «решение там какое-то очень простое». Итак, что мы складываем? Деньги, фактически уплаченные гостями ($8 × 3 = $24), с деньгами, присвоенными портье ($2), и что рассчитываем получить? Ведь эти $2 уже включены в сумму, которую уплатили гости! В этой сумме все: и деньги, полученные гостиницей, и «гонорар» портье. Поэтому если мы хотим получить что-то осмысленное, то из $24 можем вычесть «гонорар» – получим честную цену за номер со скидкой ($22), или прибавить $3 – тогда получается цена за номер без скидки ($27). Наша же сумма ($24 + $2) – это бессмысленная величина «стоимость номера со скидкой плюс двойной гонорар портье», и с чего вдруг она должна совпадать с первоначальной стоимостью номера – решительно непонятно.

22. Кто есть кто?

Известный тип логических задач под условным названием «Про лжецов и молодцов»: лжецы всегда врут (без этого просто не могут), молодцы всегда говорят правду (ложь им омерзительна). Стоят двое, первый произносит фразу «По крайней мере один из нас лжец». Кто же лжец, а кто молодец?

Варианты ответов

1. Первый лжец, второй молодец.

2. Второй лжец, первый молодец.

3. Оба одновременно или лжецы, или молодцы, но вот кто именно – не установить.

Правильный ответ: 2

Вообще, автор находит эти задачки «про лжецов и молодцов» довольно занудными – многие из них, как и предложенная задача, решаются простым перебором вариантов. Предположим, что первый – лжец, но это невозможно, потому что тогда выходит, что лжец высказал истинное утверждение («По крайней мере один из нас лжец» – истинно, если один из них или оба разом – лжецы). Значит, это не лжец, а молодец, утверждение (как у всех молодцов) – истинное, из чего с необходимостью следует, что второй персонаж – лжец.

23. Наугад

На вопросы «Озадачника» многие отвечают наугад, не задумываясь: «Ой, вот это, кажется, подходит, выбираю вариант 1 (2, 3)». Если и вы так делаете, то нечего стесняться! Так поступают очень многие. В этом случае шансы выбрать правильный ответ – 1: 2, верно угадываете один раз из трех. Если бы ответ к текущей задаче вы подбирали наугад, то каковы были бы ваши шансы выбрать правильную версию? Внимание: в ответах четыре варианта, это все меняет!

Варианты ответов

1. 50 %.

2. 1: 2.

3. 25 %.

4. 1: 1.

Правильный ответ: 1, 4

У вас четыре варианта, любой из них вы выбираете с вероятностью 25 %, это шансы 1: 3. Но присмотритесь внимательно: версии № 1 и 4, а именно 50 % и «один к одному», – две формы записи одного и того же (неслучайно говорят даже «пятьдесят на пятьдесят»). То есть половина (два из четырех) вариантов указывают на то, что половина вариантов – правильные, значит, это и есть правильные ответы. А вы, наверное, выбрали вариант № 3?

24. Сколько заработал?

Иван продал автомобиль Кириллу за 1 млн руб. Кирилл поездил месяц, понял, что автомобиль ему не нравится, и предложил Ивану купить его обратно. Тот согласился – но уже за 800 000 руб. Через месяц Алексей предложил Ивану продать машину ему, и они сошлись на 900 000 руб. Встретившись как-то в баре втроем, приятели начали подтрунивать над Иваном:

– Представляешь, Леша, он заработал на мне 200 000! – сказал Кирилл.

– Ага, и на мне еще 100, 300 000 в сумме! И это на друзьях! Совесть есть, Вань?

Сколько же на самом деле выручил Иван?

Варианты ответов

1. 1,1 млн руб.

2. 1,2 млн руб.

3. 1,3 млн руб.

Правильный ответ: 1

Вообще-то на обратном выкупе машины у Кирилла Иван ничего не заработал, а наоборот, потратил 800 000 руб. В следующий раз он мог продать машину и дешевле (машины вообще имеют свойство со временем дешеветь), и тогда он бы только потерял. Ему повезло, что Алексей оказался не слишком практичным и не стал торговаться с другом. Так сколько Иван в итоге выручил? 1 млн руб. в первый раз и еще 100 000 руб. (900 000–800 000) во второй, всего 1,1 млн руб.

25. Кто хочет стать миллионером?

– Это шоу «Кто хочет стать миллионером?», и у нас вопрос на 1 миллион рублей! Как всегда, четыре варианта ответа – A, B, C и D. Вы готовы отвечать?

– Я бы хотел воспользоваться подсказкой…

– Отлично! Подсказка будет такой: я дам вам четыре совета, из которых только один будет правдивый. Слушайте внимательно. Первый: правильный ответ A или B. Второй: правильный ответ C или D. Третий: правильный ответ B. Четвертый: ответ D – неправильный. Итак, если в итоге вы сможете выбрать правильный вариант, то приз ваш!

Так какой же правильный ответ?

Варианты ответов

1. B.

2. C.

3. D.

Правильный ответ: 3

Как обычно, такие задачи решаются методом перебора. Но лучше сразу предположить, что правильный ответ – D, и вот почему: с вероятностью 3/4 любая из четырех подсказок – неправильная (так как мы знаем, что правильная только одна), смотрим на четвертую подсказку (как мы установили, скорее всего, ложную), там сказано «Ответ D – неправильный» – значит, он и есть правильный! А правдивым, таким образом, оказывается второй совет («Правильный вариант C или D»). То, что это единственно возможное решение, устанавливается также элементарно: предположим, что ответ не D, тогда четвертый совет правдив, а все остальные ложные. Но тогда из первой и второй подсказок следует, что правильным ответом не может быть ни A, ни B, ни C, ни D – т. е. правильного варианта нет вообще! Мы, конечно, живем в циничный век, но так жестко с игроками в телешоу пока все же не поступают.

26. Крупная премия

– Я собрал вас здесь, чтобы объявить о премии, – сказал руководитель троим своим подчиненным. – Здесь три конверта, в одном 10 000, в другом 20 000, в третьем 30 000 руб. Премию получит только тот, кто сообщит мне какую-то правдивую информацию, причем он получит случайный конверт, у вас нет способов повлиять на размер своей премии!

А вдруг все-таки есть? Что следует сказать, чтобы гарантированно получить 30 000 руб.?

Варианты ответов

1. «Я отказываюсь от жалких десятки и двадцатки, мне дадут 30 000!»

2. «Я не получу конверт ни с 10 000, ни с 20 000».

3. Способов повлиять на размер премии, и правда, нет.

Правильный ответ: 2

На первый взгляд и первый, и второй варианты ответа подходят. Они истинны в том, и только в том случае, если произнесший их получит конверт с 30 000 руб., – а премия дается тем, кто сделал истинное утверждение, значит, ему эти 30 000 вроде как полагаются. Но есть нюанс: первое утверждение становится истинным только после получения автором высказывания 30-тысячной премии, до этого момента оно ложно и премию можно не давать. А второе истинно в любом случае и становится ложным, только если размер премии не равен 30 000 руб., – но за ложное утверждение премий не дают, так что руководитель вынужден дать смекалистому подчиненному максимальную премию.

27. Без моста

– Эх, мать его за ногу… – увидев, что мост взорван, лейтенант в сердцах выругался. Роту ж необходимо переправить на тот берег! Тут он увидел у берега двоих мальчишек в маленькой лодчонке.

– Эй, парни! Плывите сюда! Нам нужна ваша лодка!

Но вот ведь незадача – в лодке помещается лишь один солдат, как только он сажает с собой еще кого-то, даже мальчонку, она проседает до бортов с риском утонуть. Как быть?

– Эх, дядя, – снисходительно говорит один из пацанов. – Решение же такое простое! Смотрите-ка…

Что же он предложил?

Варианты ответов

1. Одному из мальчишек нужно отправиться на тот берег.

2. Им вдвоем нужно отправиться на тот берег.

3. Командиру следует разместиться в лодке с вещами, солдаты же перейдут вплавь.

Правильный ответ: 2

Классическая задача на переправу, самая известная из этой серии – про волка, козу и капусту. Здесь все даже проще, чем с козой и капустой. Двое ребят отправляются на другой берег, затем один приводит лодку назад, в нее садится солдат, переправляется, второй мальчишка возвращает лодку. Таким образом в четыре захода (по два раза туда и обратно) переправляется один взрослый, при многократном употреблении указанного алгоритма – вся рота.

28. Двое в лодке

Три супружеские пары должны перебраться через реку, в их распоряжении одна небольшая лодка, которая вмещает лишь двоих. Все трое мужей крайне ревнивы, ни один из них не готов оставить свою жену с другими мужчинами ни при каких обстоятельствах (даже в присутствии их жен). Сумеют ли они переправиться через реку, и если да, то за сколько рейсов?

Варианты ответов

1. Это возможно, причем всего-то за шесть рейсов.

2. Это возможно, но придется попотеть – переберутся за 12 рейсов.

3. Ничего у них не выйдет.

Правильный ответ: 1

Решение у задачи есть, причем оно единственное. Обозначим мужчин как A, B и C, а их жен как a, b, c соответственно. Алгоритм такой: сначала едут a и b, потом a возвращается (это 1-й рейс) и увозит c; далее a возвращается (2-й), а уезжают мужчины B и C, и возвращается одна из супружеских пар (например, B и b; 3-й), B оставляет b с a и переправляет A, после чего уже все мужья остаются на новом берегу, а c возвращается сначала за a, потом за b (4–6-й). Удивительно, что это единственное возможное решение (если не брать не меняющие сути перестановки пар {A, a}, {B, b} и {C, c}), а также то, что рейсов при всей запутанности истории только 6 – всего на один больше, чем если бы это были неревнивые мужья. Но самое удивительное – если б пар было не три, а хотя бы на одну больше, у задачи вовсе не было бы решения!