Текст книги "Математические основы живописи и архитектуры"

Т. П. Пушкарёва
Математические основы живописи и архитектуры

Введение

Согласно современным взглядам математика и изобразительное искусство – очень удаленные друг от друга дисциплины, поскольку первая из них – аналитическая, вторая – эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в современном искусстве, однако у большинства художников она находится в центре внимания.

Своеобразным «скелетом живописи», ее конструктивной основой является рисунок. Он играет важнейшую роль в определении очертаний предметов, их форм, объемов и взаимного расположения в пространстве, т.е. именно в нем заложены геометрические законы живописи.

Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов математики, заключается в неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. По своей сущности геометрия – это пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод.

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика – привилегия математики.

Еще одним фундаментальным понятием математики, которое имеет прямое отношение к природе и искусству, является симметрия.

Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяло достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий.

Бордюры в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты в прикладном искусстве – все это примеры использования симметрии.

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и золотым сечением.

Как следствие многочисленных применений золотого сечения в геометрии и искусстве в эпоху Возрождения появилась книга «Божественная пропорция», а сам термин был введен Леонардо да Винчи в XV веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творений Фидия, Тициана, Рафаэля и других.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой пропорции.

Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современного искусства и искусства древних времен.

§ 1. Математическое изобразительное искусство

В математическом изобразительном искусстве наиболее часто используют многогранники, тесселяции, ленты Мебиуса, невозможные фигуры, фракталы и искаженные перспективы. Отдельные работы могут включать в себя одновременно несколько перечисленных фигур и объектов.

Многогранник – это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона, или Платоновы тела (рис. 1).

Рис. 1. Платоновы тела: а – тетраэдр; б – куб; в – октаэдр; г – икосаэдр; д – додекаэдр

Существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника и у которых все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда (рис. 2).

Рис. 2. Архимедовы тела: а – усеченный тетраэдр; б – кубооктаэдр; в – усеченный куб; г – усеченный икосаэдр; д – усеченный додекаэдр; е – усеченный кубооктаэдр; ж – усеченный октаэдр; з – усеченный икосододекаэдр; и – ромбокубооктаэдр; к – дважды усеченный куб (курносый куб); л – икосододекаэдр; м – ромбоикосододекаэдр; н – дважды усеченный додекаэдр (курносый додекаэдр)

Кроме этого, существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников. Антипризма – полуправильный многогранник, у которого две параллельные грани (основания) – равные между собой правильные n-угольники, а остальные 2n граней (боковые грани) – правильные треугольники (рис. 3).

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют звездчатые многогранники. Правильные звездчатые многогранники получаются из правильных многогранников путем продолжения их граней и ребер. Их всего четыре, и называются они телами Кеплера – Пуансо (рис. 4).

Рис. 3. Антипризмы

Рис. 4. Тела Кеплера–Пуансо

Тесселяции, известные также как покрытие плоскости плитками (tiling), являются коллекциями фигур, которые покрывают всю математическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и пробелов. Правильные тесселяции состоят из фигур в виде правильных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют одинаковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодных для использования в правильных тесселяциях. Это правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник (рис. 5).

Рис. 5. Правильные тесселяции

Полуправильными тесселяциями называют такие тесселяции, в которых использованы правильные многоугольники двух или трех типов и все вершины одинаковы (рис. 6).

Рис. 6. Полуправильные тесселяции

Существует всего 8 полуправильных тесселяций. Вместе три правильных тесселяции и восемь полуправильных носят название Архимедовых.

Рис. 7. Невозможные фигуры

Рис. 8. Ленты Мебиуса

Невозможные фигуры – это фигуры, изображенные в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве (рис. 7).

Лента Мебиуса – это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, если перекрутить один из концов полоски, а затем склеить оба конца друг с другом (рис. 8).

Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область – анаморфное искусство. Слово анаморфный (anamorthic) состоит из двух греческих слов «ana» (снова) и «morthe» (форма). К анаморфным относятся изображения, настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение «формируется снова» в узнаваемую картину.

Рис. 9. Фракталы

Фрактал – это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей (рис. 9).

Вопросы для самоконтроля

1. Какие фигуры и объекты наиболее часто используются в математическом изобразительном искусстве?

2. Что такое многогранник?

3. Какие многогранники относятся к Платоновым телам?

4. Что такое тело Архимеда?

5. Какие многогранники называют призмами и антипризмами?

6. Какие многогранники называют телами Кеплера – Пуансо?

7. Что такое тесселяции?

8. Какие тесселяции называют правильными и полуправильными?

9. Какая фигура называется невозможной?

10. Что представляет собой лента Мебиуса?

11. Какие изображения называют анаморфными?

12. Что такое фрактал?

§ 2. Аксонометрия

Аксонометрия – метод проектирования взаимно параллельными лучами, наклонными к плоскости проекций. Термин аксонометрия представляет сочетание двух греческих слов – «ось» и «мерить». Название точно определяет процесс построения аксонометрических изображений, основанный на воспроизведении размеров проектируемого предмета по направлениям трех осей – длины, ширины и высоты.

К изображениям в аксонометрических проекциях в работах архитекторов, инженеров и художников предъявлялись различные требования, поэтому были созданы особые виды таких проекций для различных целей.

Общим для всех видов аксонометрических проекций является то, что за основу для изображения любого предмета принимают то или иное расположение осей ОХ, ОУ, OZ, по направлениям которых и отмеряют длину, ширину и высоту данного предмета.

Аксонометрические проекции принято называть изометрическими, или изометрией, если показатели искажения по всем осям равны. Если искажения равны только по двум осям, то проекции называются диметрическими, или диметрией. Аксонометрия называется триметрической, или триметрией, если все показатели искажения различны. На рис. 10 представлены виды аксонометрических проекций.

Рис. 10. Виды аксонометрии: а – изометрия; б – диметрия; в – триметрия

В каждом из этих видов проецирование может быть прямоугольным и косоугольным. Благодаря своей наглядности аксонометрия широко применяется в изданиях технической литературы и в научно-популярных книгах.

Рассмотрим виды аксонометрических проекций: изометрическую, диметрическую и горизонтальную.

При изометрическом проектировании оси расположены под равными углами друг к другу (120°) (рис. 11, а). Окружности (рис. 11, б), находящиеся в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, выполняются эллипсами, у которых направление малой оси совпадает с направлением оси, не входящей в плоскость, а большая ей перпендикулярна. Здесь малая ось определяется как 0,71 от диаметра окружности, большая ось равна 1,22 от диаметра окружности.

Такое расположение осей получается при прямоугольном проектировании предмета в том случае, когда все три его измерения одинаково наклонены к плоскости проекций. При таком проектировании размеры предмета по всем трем осям уменьшаются в одинаковой степени и обычно их изображают без изменения.

Рис. 11. Изометрическое проектирование: а – расположение осей координат; б – расположение окружностей

Диметрия подразделяется на прямоугольную и фронтальную (косоугольную).

Для прямоугольной диметрической проекции ось OZ вертикальна, другие две оси наклонены к горизонтали: OX – под углом в 7°, а ОУ – в 41° (рис. 12). При таком проектировании получают изображение, увеличенное в 1,06 раза по сравнению с натуральным.

Фронтальная диметрическая проекция характеризуется тем, что OZ вертикальна, ОХ горизонтальна, а ОУ направляется под углом в 135° к каждой из этих двух осей (рис. 13).

При диметрическом проектировании размеры изображаемого предмета обычно делают без искажения по осям ОХ и OZ, а по оси ОУ уменьшают вдвое. Диметрические изображения более близки к перспективным, чем другие виды аксонометрии.

Рис. 12. Расположение осей координат для диметрической проекции

Рис. 13. Расположение осей координат для фронтальной проекции

Рис. 14. Оси горизонтальной изометрии

Для горизонтальной симметрии угол наклона оси ОY = 30° при сохранении прямого угла между осями ОХ и ОZ (рис. 14).

Этот вид косоугольной изометрической проекции часто используется при решении вопросов пространственной композиции жилых районов и архитектурно-планировочной организации больших территорий (архитектурных ансамблей). Коэффициенты искажения по аксонометрическим осям равны (k = m = n = 1) и являются действительными.

Построение аксонометрических проекций

Обозначим через К некоторую плоскость, на которую пучком лучей проецируется объемная форма и система координат. Плоскость К называют картинной (рис. 15).

Оси Х′, Y′, Z′ получены проецированием натуральных осей координат X, Y, Z на плоскость К. Они получили название аксонометрических осей.

Рис. 15. Принцип получения аксонометрического изображения

Точка О′ – начало аксонометрических осей.

Точка А′ – аксонометрическое изображение точки А.

Точка А′₁ – вторичная проекция точки А.

Если направление проецирования перпендикулярно плоскости К (φ=90°), то получают аксонометрическую проекцию пространственной формы и систему координат прямоугольной аксонометрии.

Если угол φ ≠ 90°, то получают проекции косоугольной аксонометрии.

Коэффициенты искажения по аксонометрическим осям. В зависимости от взаимного расположения осей координат плоскости картины и направления проецирования отрезки, откладываемые на осях, например координаты XА, YА, ZА точки А, проецируются на плоскость К с различным искажением (рис.15). Проекции отрезков XА′, YА′, ZА′ могут быть больше или меньше их натуральной величины XА, YА, ZА или равняться ей.

При этом будут иметь место следующие равенства:

ХА′/ХА = k – коэффициент искажения по оси Х;

YА′/YА = m – коэффициент искажения по оси Y;

ZА′/ZА = n – коэффициент искажения по оси Z.

Величины k, m, n называются действительными коэффициентами искажения координат, так как они показывают, в каком отношении искажаются длины отрезков, параллельных осям координат. Коэффициенты искажения могут быть как равными единице, так и отличными от нее.

В практике построения аксонометрических изображений часто пользуются не точными коэффициентами искажения, а другими, пропорциональными им. Эти новые коэффициенты искажения, в отличие от точных, получили название приведенных и обозначаются К, M, N.

Схема построения аксонометрических проекций. Для построения аксонометрического изображения какого-либо предмета необходимо выполнить следующие действия:

определить вид аксонометрической проекции в зависимости от формы изображаемого предмета;

выбрать положение предмета относительно направления проектирования в соответствии с ортогональным чертежом;

соотнести предмет с некоторой системой прямоугольных координат для того, чтобы обеспечить наибольшие удобства определения координат его точек, используемых при построении аксонометрии;

отобрать аксонометрические оси в соответствии с выбранным видом аксонометрии;

построить аксонометрическую проекцию, при этом последовательность построений должна зависеть от формы предмета.

Рассмотрим теперь те общие соображения, которыми руководствуются при выборе вида аксонометрической проекции. Изометрическое изображение лучше применять тогда, когда все три видимые стороны предмета имеют примерно одинаковое количество особенностей, необходимых для характеристики изображенного предмета. В тех случаях, когда наибольшее число характерных особенностей сосредоточено на одной стороне предмета, следует выбирать диметрию, причем так, чтобы наиболее отличающуюся особенностями сторону предмета расположить параллельно плоскости П2 (рис. 16). Речь в данном случае идет о прямоугольных изометрии и диметрии. Косоугольная фронтальная диметрия удобна в тех случаях, когда изображаемый предмет содержит большое число окружностей, расположенных во взаимно параллельных плоскостях.

При расположении этих плоскостей параллельно картине все окружности проецируются на картину также в виде окружностей. Таким образом, применение фронтальной диметрии оправдывается в отдельных случаях лишь относительной простотой построения. Косоугольная фронтальная изометрия применяется при сложных контурах сооружения в плане.

Построение теней в аксонометрии

Применение теней в аксонометрии существенно усиливает эффект объемности изображения. Обычно при построении теней в ортогональных проекциях направления световых лучей параллельны диагонали куба, грани которого совпадают с плоскостями проекций. В аксонометрии направление световых лучей может быть выбрано любым (рис. 16), но при этом обязательно должны соблюдаться следующие условия:

1. Главный вид (фасад) должен быть освещен боковым светом, выявляющим характерные рельефы.

2. Световые лучи должны быть не параллельны аксонометрическим осям.

Обычно принимают солнечное освещение, т. е. освещение параллельными световыми лучами. Для построения теней необходимо показать направление светового луча в пространстве (первичную аксонометрическую проекцию S и его вторичную проекцию на одну из плоскостей проекций S₁, S₂, S₃).

Рис. 16. Направление светового луча при построении теней в аксонометрии

Преимущественно берется вторичная проекция луча на ту плоскость, на которую строится падающая тень.

Тень от точки. Для построения тени от точки А на горизонтальную плоскость П₁ через первичную проекцию точки А проводится первая проекция луча S, а через вторичную проекцию точки А₁ проводится вторичная проекция луча S₁. Точка А₁^T их пересечения и будет тенью от точки А на плоскость П₁(рис. 17).

Рис. 17. Тени от точки на горизонтальную и фронтальную плоскости проекций

Тени плоских фигур. Для построения тени плоской фигуры, например непрозрачной треугольной пластины, строят тени каждой из ее вершин (рис. 18). Соединяя точечные тени прямыми линиями, получают замкнутый контур падающей тени пластины.

Вся площадь внутри контура является тенью плоской фигуры, в данном случае треугольной пластины.

Рис. 18. Тень треугольной пластины

Рис. 19. Тень от призмы

Тени геометрических тел. Рассмотрим построение тени от прямой четырехугольной призмы, стоящей на горизонтальной плоскости проекций (рис. 19).

Для этого построим тень от четырехугольника на плоскость П₁. Тень от четырехугольника EFGK совпадает с самим четырехугольником. Построим падающие тени от точек В, С и D на плоскость П₁. Соединив прямыми точки F, B1^Т, С1^Т, D1^Т и К, получим контур падающей тени призмы. Грани BFGC и CGKD находятся в собственной тени.

Рис. 20. Тень от цилиндра

Рис. 21. Тень от конуса

Тень цилиндра. На рис. 20 показано построение тени от прямого кругового цилиндра на горизонтальную плоскость проекций. К основанию цилиндра проводятся касательные следы лучевых плоскостей αП₁ и βП₁ параллельно вторичной проекции луча. Точки касания определяют образующие А и В – границу собственной тени ВВ₁ и АА₁, а следы плоскостей – границу падающей тени В₁В₁^Т и А₁А₁^Т.

Рис. 22. Тени в нишах от пояска

Рис. 23. Тень от козырька

Тень от верхнего основания равна ему по величине. Находим тень от точки С (С₁^Т) и радиусом, равным радиусу окружности верхнего основания, проводим окружность.

Тень конуса. Построение тени от конуса рассмотрено на рис. 21. Сначала находится тень от вершины конуса на плоскость его основания. Затем проводятся касательные из этой точки к основанию конуса.

Точки касания А₁^T и В₁^T определяют образующие SA₁^T и SB₁^T – границу собственной тени конуса.

В качестве примеров приведем рисунки, изображающие тени от фрагментов зданий (рис. 22, 23).

Вопросы для самоконтроля

1. В чем заключается способ аксонометрического проецирования?

2. Что называется коэффициентом искажения по аксонометрическим осям?

3. В каких случаях аксонометрическая проекция называется изометрической, диметрической, триметрической?

4. Каково взаимное расположение аксонометрических осей в прямоугольной изометрии? Чему равны показатели искажения (натуральные и приведенные) по этим осям?

5. Каково взаимное расположение аксонометрических осей в прямоугольной диметрии? Чему равны показатели искажения (натуральные и приведенные) по этим осям?

6. Как выбирается направление большой и малой осей эллипса в прямоугольной аксонометрии, изображающего окружность, расположенную в координатной плоскости либо ей параллельной?

7. Чему равна длина большой и малой осей эллипсов в прямоугольной изометрии по приведенным коэффициентам искажения?

8. Чему равна длина большой и малой осей эллипсов в прямоугольной диметрии по приведенным коэффициентам искажения?

9. Как определяются коэффициенты искажения по осям?

10. В каких случаях применяется косоугольная фронтальная изометрия, косоугольная фронтальная диметрия?

11. Какие действия следует выполнить для построения аксонометрического изображения?

12. Что дает применение теней в аксонометрии?

13. Какие условия должны быть выполнены при построении теней в аксонометрии?

14. Как строится тень плоской фигуры?

15. Как строится тень от конуса?

§ 3. Виды перспективы

Перспектива (фр. perspective от лат. perspicere – смотреть сквозь) – наука об изображении пространственных объектов на плоскости или какой-либо поверхности в соответствии с теми кажущимися сокращениями их размеров, изменениями очертаний формы и светотеневых отношений, которые наблюдаются в натуре.

Другими словами можно сказать, что это – явление кажущегося искажения пропорций и формы тел при их визуальном наблюдении.

Перспектива – это геометрия живописи. Понятие перспективы можно пояснить при помощи пяти терминов математики: точка, линия, угол, поверхность и тело.

Линейная перспектива

Теория линейной перспективы впервые появилась у Амброджо Лоренцетти в XIV веке и вновь была разработана в эпоху Возрождения. Она основывалась на простых законах оптики и превосходно подтверждалась практикой.

В зависимости от того, как и где расположен наблюдаемый нами предмет, наши представления о нем меняются. Эти изменения подчиняются определенному закону.

Чтобы понять сущность понятия «перспектива», необходимо познакомиться с некоторыми другими понятиями. Представим себе, что между человеком и объектами помещено стекло перпендикулярно земле и линии взгляда (рис. 24). Через него зритель видит то, что находится по ту сторону стекла.

Обведя через него то, что видим, мы получим изображение на нем. Тогда:

предметная плоскость – плоскость земли;

картинная плоскость – плоскость, на которой мы получаем изображение;

основание картинной плоскости – прямая, ограничивающая картинную плоскость снизу;

главный луч зрения – луч, проведенный из точки зрения перпендикулярно картинной плоскости;

точка главного схода (Р) – точка пересечения главного луча зрения и картинной плоскости, плоскость горизонта проходит через главный луч зрения и линию горизонта;

главный перпендикуляр – перпендикуляр, проходящий через точку Р и основание картинной плоскости;

плоскость главного перпендикуляра – плоскость, проходящая через главный перпендикуляр и точку О;

линия горизонта (линия перспективного горизонта) – горизонтальная линия, проходящая через точку Р, параллельная основанию картинной плоскости.

Рис. 24. Основные термины и понятия перспективы

Если на линии горизонта от точки Р отложить расстояние до зрителя РО вправо и влево, мы получим точки D и D₁, они называются точками отдаления и будут играть важную роль в перспективных построениях.

Точка Р и линия горизонта также имеют большое значение в перспективных построениях. С них начинается весь ход построений. На линии горизонта находятся точки, где сходятся на рисунке уходящие вглубь параллельные линии. Эти точки называются точками схода.

Линии перспективного и географического горизонта совпадают с горизонтальной прямой, проведенной на высоте точки наблюдения.

Законы перспективы:

1) все предметы по мере удаления от нашего глаза кажутся меньше;

2) все линии, идущие перпендикулярно к горизонту, сходятся в главной точке схода Р;

3) линии, параллельные горизонту, где бы они ни находились, не изменяют своего горизонтального положения.

Правила построения линейной перспективы. В геометрии линейная перспектива строится методом центрального проецирования, т. е. из выбранной точки пространства, которая будет являться центром перспективы, или точкой схода, проводят лучи (линии) ко всем точкам изображаемого предмета. Далее на пути этих линий помещают поверхность, на которой мы хотим получить изображение.

Лучше всего иллюстрирует этот метод пример построения куба, показанный на рис. 25. Это случай с одной и несколькими точками схода.

Рис. 25. Построение перспективы с одной и несколькими точками схода

При построении линейной перспективы следует помнить основные правила:

1. Параллельные прямые изображают непараллельными. Но пересекаются они не непосредственно на самом изображении, а в точке схода, т. е. их пересечение не является видимым. Исключение в этом случае составляют линии, располагающиеся вертикально или идущие параллельно линии горизонта.

2. Перпендикулярные линии пересекаются не под прямым углом (опять же смотрим на грани куба: на самом деле они строго перпендикулярны, но в перспективе пересечение происходит под острым или тупым углом).

3. Изображение круга имеет несколько особенностей в зависимости от его расположения: в основном он изображается как эллипс, но если круг находится к нам «лицом» (то же самое правило применимо к квадрату, прямоугольнику, многоугольнику), то он останется кругом, а если «лежит» на линии горизонта, то станет линией.

4. По мере удаления от наблюдателя размер объектов уменьшается соответственно.

Прямая линейная перспектива. Это вид перспективы, рассчитанный на неподвижную точку зрения и предполагающий единую точку схода на линии горизонта. В линейной перспективе предметы уменьшаются пропорционально по мере удаления их от переднего плана (рис. 26).

Рис. 26. Прямая линейная перспектива

С учетом того, что линейная перспектива – это изображение, построенное на плоскости, плоскость может располагаться вертикально, наклонно и горизонтально в зависимости от назначения перспективных изображений.

Вертикальная плоскость, на которой строят изображения с помощью линейной перспективы, используется при создании картины и настенных панно.

Построение перспективных изображений на наклонных плоскостях применяют в монументальной живописи, например при росписи на наклонных фризах внутри помещения дворцовых сооружений и соборов. На наклонной картине в станковой живописи строят перспективные изображения высоких зданий с близкого расстояния или архитектурных объектов городского пейзажа с высоты птичьего полета.

Построение перспективных изображений на горизонтальной плоскости применяют при росписи потолков.

Изображения, построенные в перспективе на горизонтальной плоскости потолка, называют плафонной перспективой.

В наше время доминирует применение прямой линейной перспективы в значительной степени из-за большей «реалистичности» такого изображения и, в частности, из-за использования данного вида проекции в 3D-играх.

В фотографии для получения на снимке линейной перспективы, близкой к реальной, используют объективы с фокусным расстоянием, приблизительно равным диагонали кадра.

Обратная линейная перспектива. Это вид перспективы, при которой изображенные предметы представляются увеличивающимися по мере удаления от зрителя, словно центр схода линий находится не на горизонте, а внутри самого зрителя. Картина при этом имеет несколько горизонтов и точек зрения (рис. 27).

Поскольку в обычных условиях человеческий глаз воспринимает изображение в прямой, а не в обратной перспективе, феномен обратной перспективы исследовался многими специалистами.

Рис. 27. Обратная перспектива

Среди причин ее появления самой простой и очевидной для критиков было неумение художников изображать мир, каким его видит наблюдатель. Потому такую систему перспективы считали ошибочным приемом, а саму перспективу – ложной. Однако такое утверждение не выдерживает критики, обратная перспектива имеет строгое математическое описание и математически равноценна.

Перцептивная перспектива. Общая перспектива, соединившая обратную, аксонометрическую и прямую линейную перспективы, называется перцептивной. Перцептивная перспектива отличается от линейной увеличенными размерами далеких предметов и повышенным горизонтом (рис. 28).

Если изображать предметы такими, какими они видны, т. е. в перцептивной перспективе, то для изображения ближнего плана используется обратная перспектива, неглубокого дальнего – аксонометрическая перспектива, дальнего плана – прямая линейная перспектива (рис. 29).

Рис. 28. Перцептивная перспектива

Рис. 29. Перцептивная перспектива в живописи

Системы воздушной перспективы. Воздушная перспектива характеризуется исчезновением четкости и ясности очертаний предметов по мере их удаления от глаз наблюдателя. При этом дальний план характеризуется уменьшением насыщенности цвета (цвет теряет свою яркость, контрасты светотени смягчаются), таким образом, глубина кажется более светлой, чем передний план (рис. 30).

Воздушная перспектива связана с изменением тонов, потому она может называться также и тональной перспективой.

Первые исследования закономерностей воздушной перспективы встречаются еще у Леонардо да Винчи. «Вещи на расстоянии, – писал он, – кажутся тебе двусмысленными и сомнительными; делай и ты их с такой же расплывчатостью, иначе они в твоей картине покажутся на одинаковом расстоянии; не ограничивай вещи, отдаленные от глаза, ибо на расстоянии не только эти границы, но и части тел неощутимы». Великий художник отметил, что отдаление предмета от глаза наблюдателя связано с изменением цвета предмета.

Поэтому для передачи глубины пространства в картине ближайшие предметы должны быть изображены художником в их собственных цветах, удаленные приобретают синеватый оттенок, «…а самые последние предметы, в нем видимые, как, например, горы, вследствие большого количества воздуха, находящегося между твоим глазом и горою, кажутся синими, почти цвета воздуха…».

Воздушная перспектива зависит от влажности и запыленности воздуха и ярко выражена во время тумана, на рассвете над водоемом, в пустыне или степи во время ветреной погоды, когда поднимается пыль.

Рис. 30. Воздушная перспектива

Панорамная перспектива – это изображение, строящееся на внутренней цилиндрической (иногда шаровой) поверхности (рис. 31). Слово «панорама» в буквальном переводе означает «всё вижу», т. е. это перспективное изображение на картине всего того, что зритель видит вокруг себя.

При рисовании точку зрения располагают на оси цилиндра (или в центре шара), а линию горизонта – на окружности, находящейся на высоте глаз зрителя. Поэтому при рассматривании панорам зритель должен находиться в центре круглого помещения, где, как правило, располагают смотровую площадку. Перспективные изображения на панораме объединяют с передним предметным планом, т. е. с находящимися перед ней реальными предметами (рис. 32).

Рис. 31. Панорамная перспектива

Общеизвестными являются панорамы «Оборона Севастополя», «Бородинская битва», «Сталинградская битва».

Рис. 32. Панорамная перспектива в живописи

Часть панорамы с реальными предметами, лежащими между цилиндрической поверхностью и зрителем, называют диорамой. В диорамах часто применяют подсветку для создания эффекта освещения.

Правила панорамной перспективы используют при рисовании картин и фресок на цилиндрических сводах и потолках, в нишах, на внешней поверхности цилиндрических ваз и сосудов, а также при создании цилиндрических и шаровых фотопанорам.

Сферическая перспектива. Сферические искажения можно наблюдать на сферических зеркальных поверхностях. При этом глаза зрителя всегда находятся в центре отражения на шаре. Это позиция главной точки, которая реально не привязана ни к уровню горизонта, ни к главной вертикали.

При изображении предметов в сферической перспективе все линии глубины будут иметь точку схождения в главной точке и будут оставаться строго прямыми (рис. 33). Также строго прямыми будут главная вертикаль и линия горизонта. Все остальные линии будут по мере удаления от главной точки все более и более изгибаться, трансформируясь в окружность.