Текст книги "Мир по Эйнштейну. От теории относительности до теории струн"

Бергсон и Эйнштейн

Философ Анри Бергсон строил всю свою философию на тонком понимании течения времени, воспринимаемом в своем постоянном движении, как на «непосредственной данности сознания». Он углубил это понимание в серии книг: «Опыт о непосредственных данных сознания» (1889), «Материя и память» (1896), «Творческая эволюция» (1907) и др. Бергсон и его идеалистическая философия, основанная на концепции длительности, царила на философской сцене Франции. Вся парижская интеллигенция стремилась посетить его лекции в Коллеж де Франс, где он преподавал с 1900 по 1921 г. Бергсон, таким образом, воспринял как особый вызов выступление физика Поля Ланжевена на Международном конгрессе по философии 1911 г. в Болонье, посвященном «Эволюции пространства и времени». В своем выступлении Ланжевен резюмировал изменения, возникшие в понятиях пространства и времени благодаря идеям Эйнштейна. В частности, как мы уже говорили, он продемонстрировал парадокс близнецов в виде метафоры о путешественнике, заключенном в пушечном ядре, выпущенном с Земли, и затем вернувшемся назад на очень высокой скорости. Путешественник проживает только два года за время своего путешествия, в то время как на Земле проходит 200 лет.

Это упругое поведение времени, в том виде как оно воспринимается, разрушает общепринятое понятие универсального времени, задающее темп развития Вселенной. Бергсон, который основал всю свою философию на понимании времени, рассматриваемом как длительность, т. е. как поток, как движение, схваченное в данное мгновение, должен был чувствовать с 1911 г., что эйнштейновское время, по-видимому, конфликтует с основной концепцией его философского подхода. Переворот Эйнштейна в понимании времени не вызывал озабоченности широкой публики вплоть до 1919 г., т. е. до того момента, когда Эйнштейн и его теории начали привлекать интерес средств массовой информации. И, как показывают приведенные выше цитаты, заголовки многочисленных газетных статей, посвященных визиту Эйнштейна в Париж, журналисты вынесли из того, что они поняли из его теории, а именно, что «время не существует», что его поток, по-видимому, не что иное, как «иллюзия». Поэтому интерпретация философского смысла теории Эйнштейна стала серьезным вызовом для Бергсона. Более того, в течение нескольких месяцев, предшествующих визиту Эйнштейна в Париж, Бергсон был погружен с головой в редактирование новой книги, озаглавленной «Длительность и одновременность. По поводу теории относительности А. Эйнштейна»{38}38
  Бергсон А. Длительность и одновременность (о теории Эйнштейна). – М.: Добросвет, 2013; КДУ, 2006 (Henri Bergson, Durée et simultanéité. À propos de la théorie d’Einstein, Paris, Félix Alcan, 1922. Septième édition aux Presses universitaires de France, Paris, 1968; http://www.uqac.uquebec.ca/zone30/Classique_des_sciences_sociales/index.html).


[Закрыть]. Процитируем несколько фраз из написанного Бергсоном предисловия к этой книге:

«Мы хотели понять, в какой степени наша концепция длительности согласуется с представлениями Эйнштейна о времени. Наше восхищение этим ученым, убеждение, что он привнес не только новую физику, но и определенный новый способ мышления, идея, что наука и философия, будучи разными дисциплинами, тем не менее существуют, чтобы дополнять друг друга, все это внушало нам желание и даже обязывало продолжить противостояние. Но наши исследования, как нам вскоре показалось, представляют более общий интерес. Наша концепция продолжительности предполагала фактически прямой и непосредственный опыт. Не требуя в качестве необходимого следствия предположения о существовании универсального времени, она очень естественно согласовывалась с этой верой. Таким образом, это были в некоторой степени обывательские идеи, которые мы собирались противопоставить теории Эйнштейна. И та сторона, с которой эта теория выглядит неприемлемой для обывателя, вышла на первый план: требовалось найти более глубокое осознание “парадоксов” теории относительности – наличие множества времен, текущих быстрее или медленнее, одновременностей, становящихся последовательностями, и последовательностей – одновременностями при изменении точки зрения. Эти положения имеют ясный физический смысл: они сообщают то, что Эйнштейн заключил благодаря своей гениальной интуиции из уравнений Лоренца. Но каков их философский смысл?»

Это откровенное признание глубокого и искреннего философа, стремящегося понять экзистенциальный смысл современной физики, вызывает восхищение. Тем не менее, несмотря на дань уважения Бергсону и его мысли, содержание этой книги приносит некоторое интеллектуальное разочарование, по крайней мере для «обывателя», и даже не вполне точно с научной точки зрения, как мы увидим далее.

Но вернемся к визиту Эйнштейна в Париж весной 1922 г. Мы оставили Бергсона среди толпы, пришедшей послушать первую лекцию Эйнштейна в Коллеж де Франс. Это было не то место, где мог состояться диалог между Эйнштейном и Бергсоном или другими французскими философами, пришедшими его послушать. Подходящая встреча была организована через неделю, 6 апреля 1922 г., во время заседания французского общества философов, в которой Эйнштейн принял участие. Подробный отчет об этой встрече был опубликован{39}39
  См. недавнее переиздание: La Pensée, numéro 210, février 1980, p. 12–29, précédée d’une introduction de Michel Paty, p. 3–11.


[Закрыть], и это захватывающее чтение. В частности, мы можем прочитать длинное выступление Бергсона, в котором он пытается резюмировать для Эйнштейна центральную идею своей книги «Длительность и одновременность», которая была еще не опубликована, но скоро ожидалась из печати. [Любопытно, что при этом Бергсон не делает ни единого упоминания о существовании этой книги.]

Идея заключается в следующем: «Согласно здравому смыслу время едино, одинаково для всех существ и всех предметов […] Каждый из нас чувствует свою длительность […] нет никаких причин, думаем мы, чтобы наша длительность не являлась таковой для всех». Является ли эта «идея универсального времени, общего для одушевленных и неодушевленных предметов» несовместимой с теорией относительности с ее множественными временами? Бергсон утверждает, что нет, и приходит к выводу, что «теория относительности не имеет ничего несовместимого с идеями здравого смысла». Этот вывод, который подводит итог длинного и довольно запутанного рассуждения, где Бергсон интерпретирует физическое понятие одновременности, привел Эйнштейна в явное замешательство. Эйнштейн довольствовался лишь комментарием, что нет оснований верить в существование чего-то совершенно выходящего за рамки обычной реальности, что будет, например, «философским временем», отличным от «физического времени». «Как я думаю, “философское время” – это, скорее всего, что-то среднее между психологическим и физическим временем; тогда как физическое понятие времени может быть выведено из осознанного восприятия времени». Иными словами, Эйнштейн вежливо ставит под сомнение обоснованность того подхода, который он, по-видимому, почувствовал в запутанном описании Бергсона и который, по существу, состоял в игнорировании определенных научных достижений во имя априорно философских предположений.

Другими словами, диалог между Бергсоном и Эйнштейном мог бы стать более эмоциональным, дойдя до предметного противопоставления их точек зрения и в особенности если бы заставил Эйнштейна выразить свою позицию в отношении того смысла, в котором «время не существует» в теории относительности. Однако беседа была прервана. Несомненно, Эйнштейн лучше понял то, что Бергсон имеет в виду, когда прочел его книгу «Длительность и одновременность». Тогда он обнаружил, что Бергсон на основе определенных допущений открыто заявляет, что воображаемый путешественник Ланжевена вернется на Землю, прожив точно такую же «длительность», как и его товарищи на Земле, и что поэтому было вполне возможно продолжать отождествлять продолжительность прожитого каждым в отдельности с единственным и универсальным временем. Позиция Бергсона сводилась к утверждению, что центральный элемент статьи Эйнштейна в июне 1905 г. был заблуждением. В самом деле, мы видели выше, что изменение «скорости течения времени» в зависимости от скорости наблюдателя и «парадокс близнецов», к которому этот эффект приводит, составляли концептуальный вклад революционной статьи Эйнштейна.

В любом случае Бергсон так и не изменил своего мнения и, похоже, считал до конца жизни, что его книга «зачастую плохо понималась»{40}40
  См. комментарий редакторов к седьмому изданию Henri Bergson, Durée et simultanéité. À propos de la théorie d’Einstein, Paris, Félix Alcan, 1922. Septième édition aux Presses universitaires de France, Paris, 1968, подчеркивающий актуальность переиздания этой книги.


[Закрыть]. Он регулярно встречался с Эйнштейном в 1920-е гг. в составе Комиссии по интеллектуальному сотрудничеству Лиги Наций. Они уважали друг друга и, вероятно, избегали разговоров о противоположности своих взглядов на время. С другими Эйнштейн, однако, комментировал философскую концепцию Бергсона, зажатую априорными представлениями, кратким «Бог его простит». Как по иронии судьбы, первые конкретные экспериментальные подтверждения парадокса близнецов (полученные Айвзом и Стилуэллом с большой точностью с помощью движущихся атомов и с меньшей точностью Росси и Халлом с помощью космических лучей) были опубликованы в 1941 г., в год смерти Бергсона. Но уже задолго до этого все экспериментальные факты, успешно имеющие объяснение или предсказываемые специальной и общей теорией относительности, убедили большинство физиков в правильности концепции времени Эйнштейна.

Принцесса Германтская слушает Эйнштейна

Вернемся еще раз к визиту Эйнштейна в Париж весной 1922 г., и на этот раз обратим внимание не на Анри Бергсона, а на его двоюродного брата, писателя Марселя Пруста. В самом деле, как и его кузен Бергсон, Пруст сосредоточил всю свою работу на концепции времени. Однако, в отличие от Бергсона, его восприятие времени не только не противоречило положениям теории Эйнштейна, но, даже наоборот, было удивительно близко к ним. Некоторые читатели Пруста, введенные в заблуждение общим названием его шедевра «В поисках утраченного времени», считают, что прустовская концепция времени заключается в неумолимом течении времени, оставляющем человеку лишь возможность сожалеть о его безвозвратном беге. Однако, на самом деле, в основе этого произведения лежит идея о том, что ход времени – просто иллюзия и что лишь иногда люди могут приблизиться к «истинной, как правило, скрытой сути порядка вещей» и почувствовать, что истинная природа человека «свободна от этого времени».

Все развитие «В поисках утраченного времени» устремлено к его последнему тому «Обретенное время», в котором Пруст в своих размышлениях на утреннике в особняке принца де Германта раскрывает свою философию времени. Ему представляются люди, балансирующие на возвышении прожитых лет, как если бы они «стояли на постоянно растущих, подчас выше колоколен, живых ходулях». Другими словами, Пруст создает образ реальности, в которой время добавляется к пространству как своего рода вертикальное измерение, символически представленное в приведенной выше цитате в виде ходуль. У Пруста течения времени больше не существует и истинное «я», «свободное от порядка времени» оказывается способно, пусть даже на какие-то мгновения (для героя романа это созерцание колоколен Мартенвиля, красот Бальбека…), насладиться вечным поклонением реальности. Это представление Пруста о неподвижном времени, которое добавляется к пространству как новое вертикальное измерение, очень перекликается с релятивистской концепцией пространства-времени. Нужно заметить, что Прусту было известно о близости его представления о времени и тех идей, которые следуют из научных работ Эйнштейна.

В декабре 1921 г. Пруст пишет своему другу физику Арману де Гишу{41}41
  Пруст М. Письма (1879–1922), выбор и аннотация Франсуазы Лериш. Письмо 572 (Marcel Proust, Lettres (1879–1922), sélection et annotation par Françoise Leriche, Plon, 2004. Lettre 572, p. 1052–1054). Я благодарен Жану Ости, который обратил мое внимание на это письмо, и Тьерри Томасу, который обратил мое внимание на предварительные рукописи «Под сенью девушек в цвету» (À l’ombre des jeunes filles en fleurs), процитированные здесь.


[Закрыть]:

«Как бы мне хотелось поговорить с тобой об Эйнштейне! Мне часто пишут, что я основываюсь на его идеях или же он на моих, однако, не зная алгебры, я ни слова не понимаю в его теории. И я сомневаюсь, что он, со своей стороны, читал мои романы. Возможно, мы похожим образом деформируем время. Но я не смог бы прояснить это ни для себя, ни тем более для него, поскольку мы незнакомы и поскольку я не знаю ту науку, в которой он достиг таких высот, так что с первых строк меня останавливают “символы”, значения которых я не понимаю».

В подготовительных материалах к роману «Под сенью девушек в цвету» содержатся явные упоминания имени Эйнштейна: «Лица этих девушек (очень по-эйнштейновски, но не надо этого говорить, это только запутает) не имеют в пространстве постоянного размера и формы». Наконец, в письме к Вениамину Кремьё в 1922 г. Пруст говорит об интервале времени между вторым пребыванием в Бальбеке и утренником у Германтов, которому он собирается изменить размер: «эйнштейнизируем его», а затем показывает, что некоторые анахронизмы, возникающие в начале «Поиска», имеют место «из-за сплюснутой формы, которую принимают мои герои в результате движения по временной орбите».

В виду данных обстоятельств становится ясно, что Марсель Пруст, должно быть, внимательно следил за ходом визита Эйнштейна. Безусловно он читал многочисленные статьи в парижской прессе, освещавшие лекции Эйнштейна либо представлявшие попытку осознать его теории. Однако прежде всего, я думаю, Пруст просил своих друзей, посетивших знаменательную публичную лекцию 31 марта в Коллеж де Франс, помочь ему более живо прочувствовать неповторимую атмосферу того дня. Вполне вероятно, что его близкий друг физик Арман де Гиш (с которым Пруст говорил об Эйнштейне несколько месяцев ранее) присутствовал на конференции Эйнштейна. Мы не располагаем полным списком участников той конференции, но среди небольшого числа прямо указанных имен можно заметить нескольких близких друзей Пруста. В частности, можно найти имена Анны де Ноай, княгини Эдмон де Полиньяк и графини Анри Греффюль.

Последняя, урожденная Элизабет де Караман-Шиме, была связана с Прустом и его произведением несколькими путями: герцог Арман де Гиш был ее пасынком, в течение многих лет она находилась в постоянном контакте с Прустом и, что самое главное, являлась прототипом одного из самых важных персонажей произведения Пруста, принцессы Германтской. Весьма заманчиво предположить, что именно благодаря принцессе Германтской Пруст мог иметь представление о выступлении Эйнштейна, посвященном концепции времени!

1922 г. стал последним годом жизни Пруста, он отдал свои последние силы, чтобы закончить и довести до совершенства «В поисках утраченного времени». По воспоминаниям Селесты Альбаре{42}42
  Селеста А. Господин Пруст. – СПб.: Модерн, 2002 (Céleste Albaret, Monsieur Proust, Souvenirs recueillis par Georges Belmont, Paris, Éditions Robert Laffont, 1973).


[Закрыть], в начале весны 1922 г. он снова принялся за финальную фразу романа «Обретенное время», завершающую описание утренника у принца Германтского. Действительно, однажды после полудня, около четырех часов, Пруст, едва проснувшись, позвал Селесту, чтобы поделиться с ней «значительной новостью»: «Этой ночью я написал слово “fin” (конец). […] Теперь я могу умереть». Давайте снова перечитаем эту финальную фразу, вызывающую воспоминание об эйнштейновском пространстве-времени и, возможно, переписанную Прустом с учетом представлений о выступлении Эйнштейна о концепции времени, почерпнутых из общения с Арманом де Гишем или принцессой Германтской:

«Если бы только мне было отпущено достаточно времени, чтобы закончить труд, я бы обязательно использовал это, чтобы отметить его печатью Времени, идея которого так сильно овладела мною теперь, и я бы описал людей как существ, занимающих значительно большее место, нежели то ограниченное, что отведено им в пространстве, место, которое, напротив, безмерно вытянуто во Времени, поскольку люди, как гиганты, погруженные в года и прикасающиеся одновременно к разным эпохам, разделенным таким количеством дней».

Новый «Мир»: пространство-время

В предыдущей главе мы видели, что существенным элементом теории относительности Эйнштейна от июня 1905 г. стал пересмотр понятия времени. Абсолютное универсальное Время, которое, как казалось, естественно совпадает со знакомым каждому психологическим восприятием длительности, было ниспровергнуто и заменено множественностью Относительных Времен, несогласованных между собой, что демонстрируется парадоксом близнецов. Существование этой множественности частных времен, не имеющих согласия между собой и ассоциированных с отдельными явлениями, часами или биологическими организмами, которые их измеряют или воспринимают, поставило под сомнение образ мысли, используемый в рамках ньютоновской физики.

Значительный прогресс в физическом понимании этой новой концепции множественного эйнштейновского времени был достигнут математиком Германом Минковским, который к тому же был одним из профессоров Эйнштейна в политехе Цюриха. 21 сентября 1908 г. в Кельне Минковский выступил на 80-м конгрессе немецких ученых и врачей с докладом, озаглавленным «Пространство и время». С точки зрения физики{43}43
  С математической точки зрения Пуанкаре предшествовал Минковскому в своей статье «О динамике электрона», написанной в июле 1905 г. и опубликованной в 1906 г. В самом деле, в конце этой статьи в ходе технического развития Пуанкаре (мысленно) комбинирует пространство и время в некоторое «четырехмерное пространство» c координатами (x, y, z, t√(−1)) и далее обсуждает (евклидову) геометрию этого «пространства», применяя его к физике, и в частности к физике гравитации. Возможные причины, по которым Минковский, знавший эту работу Пуанкаре, не ссылается на нее на сентябрьской конференции 1908 г., обсуждаются в статье Тибо Дамура «Что упущено из лекции Raum und Zeit Минковского» (Thibault Damour, What is missing from Minkowski’s «Raum und Zeit» lecture). Статья доступна в электронном архиве: Arxiv: 0807.1300 [physics. hist-ph].


[Закрыть] эта конференция знаменует рождение нового «Мира», если использовать слово, введенное Минковским для определения понятия пространства-времени. Его эффектное введение по праву заслужило мировую известность:

«Воззрения на пространство и время, которые я намерен перед вами развить, возникли на экспериментально физической основе. В этом их сила. Их тенденция радикальна. Отныне пространству самому по себе и времени самому по себе суждено исчезнуть как теням, и лишь некоторый вид объединения обоих сможет сохранить самостоятельную реальность».

Этот «союз» пространства и времени, воплощающий единственно возможную реальность, описываемую до Эйнштейна независимыми понятиями пространства и времени, получил название «Мира», или «пространства» (Die Welt), Минковского. Сейчас это называется пространством-временем. Чтобы глубже понять суть концептуальной революции, произошедшей в результате теории относительности, необходимо познакомиться с идеей пространства-времени и с его «хроногеометрической» структурой.

Напомним, что обычное, т. е. евклидово, пространство в том виде, в каком оно изучается в школе, представляет собой континуум с тремя измерениями (длина, ширина и высота), структура которого заключается в понятии расстояния между двумя точками. Математически расстояние между двумя точками определяется обобщением теоремы Пифагора. А именно, квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов расстояний по длине, ширине и высоте между рассматриваемыми точками{44}44
  Если мы фиксируем каждую точку в пространстве с помощью трех ортогональных координат x, y, z (длина, ширина и высота), то расстояние D между двумя точками с соответствующими координатами (x, y, z) и (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) определяется из уравнения D² = (∆x)² + (∆y)² + (∆z)².


[Закрыть]. Знание расстояния между любыми двумя точками позволяет определить все другие понятия обычной геометрии. Например, можно определить прямую как кратчайшую линию, соединяющую две заданные точки. Мы можем также определить угол между двумя прямыми, пересекающимися в точке А, исходя из длины сегмента, вырезаемого этими двумя линиями в круге единичного радиуса с центром в точке А. Возможный способ визуализации евклидовой геометрии трехмерного пространства заключается в том, чтобы представлять вокруг каждой точки в пространстве геометрическое место точек, которые отделены от данной точки единичным расстоянием. Другими словами, мы строим вокруг каждой точки сферу единичного радиуса. Ансамбль всех этих сфер определяет геометрическую структуру евклидова пространства (рис. 2).

Вспомнив геометрическую структуру обычного пространства, обратимся к структуре пространства-времени. Во-первых, что такое «точка пространства-времени» или «мировая точка», как говорил Минковский? Это «событие», т. е. то, что происходит в определенной точке пространства в определенный момент времени. Например, это может быть столкновение двух частиц или, если взять пример из повседневной жизни, обычная мимолетная встреча двух людей. Чтобы определить событие, требуется, как и для встречи, указать местоположение в пространстве, «где оно происходит», и момент времени, «когда оно происходит». Поэтому нужно задать четыре числа: три числа (длина, ширина и высота) для определения пространственного положения события и четвертое (дата) для идентификации положения во времени. Необходимость задания четырех независимых чисел для идентификации каждой точки пространства-времени означает на математическом языке, что пространство-время представляет четырехмерный континуум. Четыре независимых числа, позволяющих идентифицировать точки в четырехмерном континууме, называются на математическом языке четырьмя «координатами» данной точки. Поэтому можно считать, что длина, ширина, высота и дата определяют четыре координаты в пространстве-времени.

Поскольку трудно представить себе такой четырехмерный континуум, рассмотрим более простой случай пространства-времени, имеющий лишь три измерения: два пространственных и одно временное. Такое трехмерное пространство-время связано с «миром» мелких насекомых, живущих на плоской поверхности: например, это может быть поверхность пола в здании. Чтобы определить каждое событие пространства-времени этих насекомых, мы должны задать три числа или, другими словами, три координаты: длину и ширину, задающие пространственное положение события на полу, и дату, задающую временное положение. Тогда можно представить себе это пространство-время, идентифицируя его с обычным трехмерным пространством: достаточно определить первые две координаты, продольную и поперечную, пространства-времени с продольной и поперечной координатами насекомых в обычном трехмерном пространстве, а третью координату пространства-времени – дату – отождествить с вертикальной координатой в обычном пространстве. Заметим походя, что таким образом мы воспроизводим образ, созданный Прустом в процитированном выше заключительном предложении романа «Обретенное время», в котором Время осознается как вертикальное измерение, символизированное ходулями, и добавляется к обычным пространственным измерениям{45}45
  В другом месте Пруст, говоря о комбрейской церкви, пишет: «Все это делало из нее […] сооружение, так сказать, четырех измерений, и четвертым было время».


[Закрыть].

Поскольку понятие пространства-времени заключает в себе всю физическую новизну, теорию относительности, полезно попытаться привыкнуть к этой концепции, которая по существу представляет собой основное отличие от нашего обычного представления о реальности. Например, это может быть осуществлено исходя из обычной идеи, что «мир» насекомых, живущих на полу, состоит из последовательности «снимков», каждый из которых представляет «состояние пола» в определенный момент времени. Каждый «снимок» описывает расположение на полу всех насекомых, живущих там, в определенный момент времени. Это пространственное расположение в данный момент может быть полностью передано одной фотографией, одним «снимком» поверхности пола. Затем трехмерное пространство-время насекомых, живущих на полу, получается путем вертикальной укладки непрерывной последовательности этих снимков, каждый из которых представляет собой состояние пространства в некоторый момент времени, аналогично колоде карт, представляющих различные моменты. Высота расположения каждого снимка в стопке пропорциональна соответствующей ему дате.

Каждому насекомому соответствует «пятно» на каждой фотографии в стопке, и каждому моменту времени соответствует по одному пятну на каждого насекомого. Жизнь каждого насекомого составляет, таким образом, непрерывную последовательность пятен, которые складываются в трубку (жирную линию) в пространстве-времени. Это и есть ходули из прустовской аллегории. Если насекомое остается на полу в покое, его «пространственно-временная трубка» (или «мировая трубка» Минковского) поднимается вертикально, т. е. ортогонально горизонтальным направлениям, представляющим «пространство», где живут насекомые. Если же насекомое движется, его пространственно-временная трубка будет отклоняться от вертикали. Чем быстрее оно движется, тем больше наклон трубки. Если мы рассматриваем, например, насекомое (муравья), которое, как водитель гоночного автомобиля «Формулы-1», движется по кругу с большой скоростью, его пространственно-временная трубка представляет спираль с вертикальной осью. Я предлагаю читателю потренировать воображение, представляя «пространственно-временные фигуры», формирующиеся при более сложных перемещениях насекомых – от столкновения двух насекомых до фигур энтомологической хореографии и, наконец, сражений между кланами насекомых.

Читатель может заметить, между прочим, что подобная реализация трехмерного пространства-времени является обобщением так называемых «схем перемещений», которые в свое время использовались для диспетчерского управления передвижением поездов. Рассмотрим, например, два поезда, находящихся на одном пути и отправляющихся с двух вокзалов навстречу друг другу в разные моменты времени и с разными скоростями. Необходимо определить, где и когда два поезда пересекутся. Простой способ решения заключается в том, чтобы представить историю перемещения поездов на двумерной схеме, где горизонтальное направление представляет собой расстояние вдоль пути, а вертикальное направление – время. Эта схема является примером двумерного пространства-времени с одним пространственным измерением (продольным направлением) и одним временным измерением. В таком пространстве-времени каждый поезд описывается непрерывной линией, состоящей из прямых отрезков, каждый из которых имеет тот или иной наклон по отношению к вертикали в зависимости от скорости поезда (неподвижный поезд описывается вертикальным отрезком). Событие, соответствующее пересечению двух поездов, определяет «точку пространства-времени», в которой линии двух поездов пересекаются: горизонтальная проекция этой «точки», т. е. его первая координата, определяет расстояние вдоль пути до того места, где поезда пересекаются в пространстве, в то время как вертикальная проекция, т. е. его вторая координата, определяет время, в которое это пересечение происходит.