Текст книги "Оптика. Строение вещества. Ядерная физика"

Формирование изображения в плоском зеркале

Плоское зеркало это часть плоскости зеркально отражающая свет. Пусть свет падает на зеркала (рисунок 11). По закону отражения каждый луч будет отражаться под тем углом под которым падал на зеркало. Расходящиеся отраженные лучи попадают в глаз и определяют точку их мнимого схождения. Эта точка А¹. Она не существует. Это умозрительное место схождения отраженных лучей. Истинная точк5а испускания лучей А и мнимая А¹ расположены симметрично плоскости зеркала.

Рисунок 11. Формирование изображения в зеркале

Линзы

Линза – это однородное оптически прозрачное тело, ограниченное с двух сторон поверхностями. Линзы изготавливают из стекла со специальными добавками. Поверхности линз бывают сферическими и плоскими. Более сложной формы линз практически не бывает. Служат линзы для рассмотрения мелких объектов, находящихся вблизи или крупных отдаленных предметов. Линзы применяются как отдельно, так и в совокупности некой оптической системы. Оптические системы, состоящие из линз, применяются в фотоаппаратах, биноклях, микроскопах, телескопах и других оптических системах. Чтобы понять, как работают эти приборы надо рассмотреть ход лучей в линзе.

Двояковыпуклая линза

Двояковыпуклая линза ограничена с двух сторон гладкими выпуклыми поверхностями.

Рассмотрим некоторые характеристики линзы и их определения. Центр линзы О есть пересечение двух взаимноперпендикулярных осей: вертикальной и горизонтальной (рисунок 12а).

Горизонтальная прямая, проходящая через центр линзы, перпендикулярно вертикальной оси называется главной оптической осью. Любая прямая проходящая через центр линзы называется оптической осью.

Рассмотрим ход лучей в такой линзе.

В воздухе из точки. А луч света направлен параллельно главной оптической оси, попадает на поверхность линзы под углом Для определения угла падения необходимо к точке В падения луча провести касательную к поверхности сферы линзы. Затем к касательной в точек В восстановить перпендикуляр . Угол, образованный перпендикуляром и падающим лучом называется, углом падения – Угол, образованный перпендикуляром и преломленным лучом называется преломленным – .

Рисунок 12. а – основные линии линзы,

б – ход лучей с тонкой двояковыпуклой линзе.

падения. Для этого через точку С проводим касательную к поверхности сферы линзы .Восстанавливаем из точки С перпендикуляр к касательной. Угол между лучом и перпендикуляром – это угол падения Угол между лучом, выходящим из линзы и перпендикуляром – это угол преломления Этот луч пересекает главную оптическую ось в точке F. Из точки. А луч света был направлен параллельно главной оптической оси, поэтому после прохождения линзы он пересекает главную оптическую ось в точке называемой фокусом. Точка F, расположенная на главной оптической оси, называется фокусом. С противоположной стороны линзы симметрично оптическому центру находится другой фокус.

Замечание. С целью упрощения показа прохождения луча через линзу не показано отражения луча от внешней поверхности, а потом после прохождения через линзу от внутренней поверхности. Для линзы эти отраженные лучи составляют не более нескольких процентов от мощности падающего луча

На основании прохождения светового луча через линзу можно сделать вывод:

луч света, выпущенный параллельно главной оптической оси после преломления в двояковыпуклой линзе пересечет ее в фокусе.

Произвольный луч света после преломления пересечется на фокальной плоскости с лучом, выпущенным параллельным первому и проходящим через оптический центр линзы.

Мы рассмотрели движение светового луча по траектории АВСF. Используя правило об обратимости движения светового луча (траектория движения луча в какую-то сторону и обратно совпадают). Поэтому луч, пущенный из фокуса главной оптической оси (точка В) после преломления в линзе будет двигаться параллельно главной оптической оси. То есть по направлению ВА. Отсюда следующее правило:

луч света, выпущенный из фокуса главной оптической оси, после преломления в линзе будет двигаться параллельно ей.

Пусть луч света выходит из точки А_о и проходит вдоль главной оптической оси (рисунок 13а). Другой луч КМ проходит через центр линзы. Для определения траектории этих лучей применим только что рассматриваемые рассуждения. Для лучей, проходящих через оптический центр линзы, преломление будем меньше, чем в рассмотренном первом случае. Различие в направлении падающего луча и отраженного будет уменьшаться с уменьшением толщины линзы. Сравните прохождение луча в линзе на рисунке 12б и более широкой линзе на рисунке 13а. В этой связи вводится понятие тонкой линзы. У тонкой линзы отношение радиуса кривизны поверхностей к толщине больше 30. В дальнейшее с целью упрощения построений луча проходящего через линзу принимается, что линза тонкая. Поэтому не учитывается влияние толщины линзы на прохождения луча. Мы будем рассматривать ход лучей в тонкой линзе.

Поэтому принимается, что луч света, проходящий через центр линзы, не преломляется.

Рассмотренная линза называется собирающей, так как лучи выпущенные параллельно главной оптической оси после прохождения линзы собираются в одной точке называемой фокусом.

Рисунок 13. а – ход лучей в собирающей линзе,

б – условное изображение тонкой собирающей линзы.

Условно тонкую собирающую линзу и проходящие через нее лучи изображают, как показано на рисунке 13б.

Двояковогнутая линза

Двояковогнутая линза ограничена с двух сторон гладкими вогнутыми поверхностями. Она также как и двояковыпуклая линза имеет оптический центр, как пересечение двух взаимноперпендикулярных осей, вертикальной и горизонтальной, которая называется главной оптической осью. Любая другая прямая, проходящая через оптический центр называется побочной оптической осью.

Пусть в воздухе из точки А выходит луч света параллельный главной оптической оси (рисунок 14а). На границе раздела сред воздух-линза происходит преломления луча. Для того чтобы построить траекторию луча в линзе определим угол падения луча на призму. Для этого в точке В к поверхности линзы проведем касательную прямую , и восстановим перпендикуляр в этой точке к касательной. Угол, образованный

Рисунок 14. а – ход лучей в рассеивающей линзе,

б – условное изображение тонкой рассеивающей линзы.

падающим лучом и перпендикуляром будет угол падения – . Угол образованный преломленным лучем и перпендикуляром будет угол преломления – . В линзе луч будет двигаться по прямой ВС. В точке С на границе раздела линза-воздух произойдет вторичное преломление луча. Проведем касательную в точке С к поверхности линзы и восстановим перпендикуляр. Получим угол падения и угол преломления . При выходе из призмы преломленный луч в своем движении будет все больше и больше отклоняться от главной оптической оси. Если посмотреть в противоположную сторону распространения луча (на пути преломленного луча будет глаз), то мы увидим, что продолжение преломленного луча пересекает главную оптическую ось в точке F. Эта точка на главней оптической оси называется фокусом двояковогнутой линза. С противоположной стороны линзы симметрично оптическому центру находится другой фокус.

В связи с тем, что луч света после преломления в линзе отклоняется от главной оптической оси такая линза называется рассеивающей. Понятие тонкой линзы справедливо и для двояковогнутой.

На основании рассмотрения движения луча в двояковогнутой линзе можно сделать следующие выводы:

Луч света, выпущенный параллельно главной оптической оси двояковогнутой линзы после преломления расходится с ней. Его продолжение в противоположную сторону пересекает главную оптическую ось в точке, называемой фокусом.

На противоположной стороне линзы расположен на таком же расстоянии другой фокус.

Вследствие обратимости хода лучей, если из фокуса направить луч света на двояковогнутую линзу, и посмотреть против преломленного луча с другой стороны, то увидим что он будет распространятся параллельно главной оптической оси со стороны выпущенного луча.

Считается, что для тонкой двояковогнутой линзы лучи проходящие через оптический центр не преломляются.

Условно тонкую рассеивающую линзу и проходящие через нее лучи изображают, как показано на рисунке 14б.

Формула линзы

Формула линзы имеет вид:

=

где – фокусное расстояние, м,

– расстояние от линзы до предмета, м,

– расстояние от линзы до изображения, м.

Знак (+) соответствует собирающей линзе, (-) соответствует рассеивающей линзе

Величина D называется оптической силой линзы и равна:

D =

Величина обратная фокусному расстоянию называется оптической силой линзы, обозначается буквой D и измеряется в диоптриях. Обозначаются диоптрии – дптр и имеет размерность 1/м

Увеличение линзы определяется формулой

Г =

где – высота изображения, м,

– высота предмета, м,

– расстояние от линзы до изображения, м,

– расстояние от предмета до линзы, м

Если имеется система линз, то общее увеличение системы равно сумме отдельных линз:

… =

Построение изображений

Вначале рассмотрим некоторые характеристики тонких линз. На рисунке 15а представлена собирающая линза. Расстояние от оптического центра линзы О до фокуса F обозначается буквой F и называется фокусным расстоянием. Расстояние от точки О до точки 2F называется двойным фокусным расстоянием. Причем фокус расположен по обе стороны линзы, как и двойное фокусное расстояние.

Рисунок 15. а – ход лучей в сходящейся линзе,

б – ход лучей в расходящейся линзе.

Если через точку фокуса провести плоскость перпендикулярную главной оптической оси, то эта плоскость называется фокальной (Ф) (рисунок 15а). Относительно линзы имеется две фокальные плоскости.

Пусть через оптический центр линзы проходит световой луч. Он пересечет фокальную плоскость в точке S. Эта точка, лежащая на фокальной плоскости, называется побочным фокусом. Если пустить на собирающую линзу наклонный пучок света, то они все пройдут через побочный фокус.

Если пустить на рассеивающую линзу наклонный пучок света, то выйдя из линзы, они будут отдаляться от главной оптической оси. Их продолжения со стороны, откуда они были выпущены, пересекутся в побочном фокусе на фокальной плоскости.

Если предмет (точка) и его изображение расположены по разные стороны линзы, то такое изображение называется действительным. Действительное изображение всегда будет перевернутым. Если предмет (точка) и его изображение расположены по одну сторону – то мнимым. Мнимое изображение всегда прямое.

Если расстояние предмета до линзы меньше расстояния изображения до линзы, то получается увеличенное изображение предмета.

Если наоборот, то – уменьшенное.

Задача. 1.

Построить изображение точки S для собирающей тонкой линзы (в дальнейшем тонкая линза будет называться просто линзой.) находящейся вне главной оптической оси на расстоянии a от оптического центра линзы. При условии a F (рисунок 16).

Рисунок 16. Построение изображения точки находящейся вне главной оптической оси

Решение

Через точку S (рисунок 16) и оптический центр проводим луч 1. Этот луч пройдет через линзу без преломления. Через точку S проводим луч 2 параллельный главной оптической оси. Этот луч после преломления в линзе пересечет главную оптическую ось в фокусе. В дальнейшем эти два луча пересекутся в точке S₁ на расстоянии в от линзы. Если в этом месте поставить экран, то высветится точка S_1.

Задача. 2.

Построить изображение точки S для собирающей тонкой линзы находящейся на главной оптической оси на расстоянии a от оптического центра линзы. При условии a F (рисунок 17).

Рисунок 17. Построение изображения точки находящейся на главной оптической оси

Решение

Через точку S (рисунок 17) и оптический центр проводим луч 1. Этот луч пройдет через линзу без преломления. Через точку S проводим произвольный луч 2. Как он пойдет после преломления в линзе? Делаем дополнительное построение. Из оптического центра проводим луч 3 параллельно лучу 2. Он пересечет фокальную плоскость в точке С. Так как лучи 2 и 3 параллельны, то после преломления в линзе они должны пересекаться на фокальной плоскости в точке С. Это действительно так, поскольку из принципа обратимости хода лучей, если они вышли из одной точки на фокальной плоскости, то после преломления в линзе они будут распространяться параллельно между собой. Проводим преломленный в линзе луч 2 через точку С. Там, где он пересечет главную оптическую ось будет изображение S₁ точки S на расстоянии в от линзы.

Задача.3.

Построить изображение точки расположенной между фокусом и линзой вне главной оптической оси (a F) (рисунок 18).

Рисунок 18. Построение изображения точки.

Решение

Из точки S (рисунок 18) проводим луч 1 параллельно главной оптической оси и луч 2 проходящий через оптический центр. После преломления луч 1 пройдет через фокус F. Луч 2 пройдет через линзу без преломления. Лучи 1 и 2 будут расходиться. Если на их пути будет глаз, продолжение лучей 1 и 2 пересекутся в точке S₁. Это будет изображение тоски S. Так лучи пересекутся по одну сторону с действительной точкой S, то изображение будет мнимым, так как изображение S₁ и точка S находятся по одну сторону относительно линзы на расстоянии в .

Задача.4.

Построить изображение точки S, находящейся на главной оптической оси на расстоянии меньше фокусного(рисунок 19).

Решение

Из точки S (рисунок 19) проводим произвольный луч 1 и луч 2 через главную оптическую ось. После преломления в линзе луч 2 пойдет без преломления и пересечет главную оптическую ось в фокусе. Проведем фокальную плоскость (пунктирная зеленого цвета прямая параллельная оси линзы). Из оптического центра проведем луч 3 параллельно лучу 1.

Рисунок 19. Построение изображения точки

Он пересечет фокальную плоскость в точке С. Из принципа обратимости хода лучей, следует, что после преломления в линзе он пересечет фокальную плоскость в точке С. Действительно пучок лучей вышедших из побочного фокуса (точка С) после преломления в линзе пойдет параллельно. Преломленные в линзе лучи 1 и 2 – расходящиеся. Если на пути будет глаз, то их продолжения до преломления соберутся в точке S₁, которая будет изображением точки S. Изображение лежит по одну сторону с точкой. Поэтому изображение точки будет мнимым.

Задача 5.

Построить изображение точки лежащей на фокальной плоскости вне главной оптической оси (рисунок 20).

Рисунок 20. Построение изображения точки

Решение

Из точки S (рисунок 20) проводим произвольный луч 1 и луч 2 через главную оптическую ось. Из принципа обратимости лучей следует, что после преломления в линзе они пойдут параллельным пучком. Параллельные лучи не пересекаются. Поэтому в этом случае изображения не будет

Задача 6.

Построить изображение предмета АB, находящегося между фокусом и линзой (рисунок 21).

Решение

Если надо построить изображение предмета АB находящегося на расстоянии a меньше фокусного расстояния: a, то из точки А проведем

Рисунок 21. Построение изображения предмета.

луч вдоль главной оптической оси и на нее опустим перпендикуляр из точки B₁ Получим изображение А₁B₁ предмета AB мнимое, прямое и увеличенное поскольку . Увеличение линзы равно отношению расстояния изображения предмета до линзы к расстоянию предмета до линзы: Г = / a.

Аналогичным результаты можно получить, проанализировав формулу линзы. Формула линзы имеет вид:

=

Так как у нас собирающая линза, то в формуле берем знаки плюс. Тогда формула линзы примет вид:

=

Отсюда найдем После преобразований получим:

Так как по условию задачи a, то в правой части дробь будет положительной. Знак минус перед дробью показывает, что величина будет отрицательная. То есть изображение предмета будет мнимым. Разделим полученное выражение на a, получим:

,

Так как, то выражение .Поэтому модуль отношения . То есть изображение будет увеличенное. Таким образом, мы, анализируя формулу линзы, пришли к тем же результатам, что и при геометрическом решении задачи: изображение мнимое и увеличенное.

Задача 7.

Построить изображение предмета находящегося на двойном фокусном расстоянии от линзы: a (рисунок 22).

Решение

Рисунок 22. Построение изображения предмета.

Проведем два луча, как показано на рисунке 22: один параллельно главной оптической оси, другой – через центр линзы. Первый луч после преломления в линзе пересечет главную оптическую ось в фокусе. Второй луч пройдет через линзу без преломления. Оба луча пересекутся в одной точке. Из этой точки опустим перпендикуляр на главную оптическую ось. Получим изображение предмета. Из геометрических построений видно, что изображение будет перевернутым, действительным (предмет и изображение расположены по разные стороны от линзы), равным, то есть размер предмета и изображения равны.

Рассчитаем по формуле линзы какой должен быть результат.

В формулу линзы подставим условие задачи

=

В нашем случае a, тогда:

=

Отсюда следует, Это значит, что , поэтому изображение будет действительное. Так как a,то a = .Теперь понятно, что предмет равен изображению. Таким образом, анализ формулы линзы привел к аналогичным результатам как графический.

Задача 8.

Построить изображение предмета находящегося между фокусным и двойным фокусным расстоянием (рисунок 23).

Решение

Рисунок 23. Построение изображения предмета.

Проводим два луча: один через оптический центр, а другой параллельно главной оптической оси. Первый луч пройдет без преломления. Второй луч после преломления в линзе пройдет через фокус линзы. Из точки их пересечения опускаем перпендикуляр на главную оптическую ось. Получим изображение предмета перевернутое, действительное и увеличенное, потому что в. Увеличение линзы равно отношению расстояния изображения предмета до линзы к расстоянию предмета до линзы: Г = в/ a.

Рассчитаем по формуле линзы какой должен быть результат

В формулу линзы подставим условие задачи

=

Решим полученное уравнение относительно . Получим:

, или:

Так как , то полученное выражение будет положительным. Это означает, что изображение действительное. Разделим полученное выражение на получим:

Так как , то выражение с права будет больше единицы, поэтому отношение .То есть . Это означает, что изображение увеличенное.

Таким образом, результат графического решения аналогичен результату аналитическому (по формуле) решению.

Задача.9.

Построить изображение предмета находящегося за двойным фокусным расстоянием (рисунок 24).

Решение

Построения лучей проводим аналогично предыдущим задачам. В результате получаем изображение действительное, перевернутое и уменьшенное.

При аналитическом решении этой задачи воспользуемся промежуточным решением предыдущей задачи.

Рисунок 24. Построение изображения предмета.

Так как , то величина будет положительная. Поэтому изображение будет действительным.

Воспользуемся другим выражением, полученным в предыдущей задаче:

Так как , то можно представить как:

+ , где (греческая буква дельта) – некоторая добавка. Тогда получим:

=

В полученном выражении знаменатель дроби больше его числителя, поэтому дробь будет меньше единицы, то есть 1. Поэтому изображение будет уменьшенное.

В результате получаем изображение действительное, перевернутое и уменьшенное, что совпадает с графическим решением.

Задача 10.

Построить изображение точки находящейся в фокусе рассеивающей линзы (рисунок 25).

Решение

Рисунок 25. Построение изображения точки в рассеивающей линзе.

Проведем произвольный луч 1 и луч 2 вдоль главной оптической оси. Для того чтобы узнать направление после преломления в линзе луча 1 сделает дополнительное построение. Через центр линзы проведем прямую параллельную первому лучу. Тогда обратное продолжение преломленного луча 1 пересечется с прямой 3 на фокальной плоскости. Его продолжение будет направлением преломленного луча 1. Точка S₁ на главной оптической оси как пересечение луча 2 и обратного продолжения преломленного луча 1 будет изображением точки S.

Задача 11.

Построить изображение точки находящейся на фокальной плоскости рассевающей линзы (рисунок 26).

Решение

Рисунок 26. Построение изображения в рассеивающей линзе.

Для решения задачи проведем через точку S и центр линзы первый луч. Он пройдет линзу без преломления. Проведем из точки S несколько лучей к линзе. Как они пойдут после преломления в линзе? После преломления в линзе они должны быть параллельны первому лучу. Действительно, по принципу обратимости, если пустить на рассеивающую линзу параллельный пучок света, то после преломления они пересекутся на фокальной плоскости в точке где ее пересекает луч прошедший через центр линзы.

Задача 12.

Построить изображение от пучка параллельных лучей и главной оптической оси рассевающей линзы (рисунок 27).

Рисунок 27. Построение изображения в рассеивающей линзе.

Если на рассеивающую линзу пустить пучок лучей параллельно главной оптической оси, то после преломления в линзе они будут расходится так, чтобы их продолжения пересеклись в фокусе со стороны падающих лучей.

Задача 13.

Построить ход лучей параллельных побочной оптической оси в рассеивающей линзы после преломления (рисунок 28).

Рисунок 28. Построение изображения в рассеивающей линзе.

Проведем луч параллельный падающим лучам так, чтобы он прошел через центр линзы. Он пройдет через линзу без преломления. В точке, где этот луч пересечет фокальную плоскость (до линзы) будут собираться продолжения лучей прошедших через линзу.

Задача 14.

Построить изображение точки находящейся вне главной оптической оси рассевающей линзы (рисунок 29).

Решение

Рисунок 29. Построение изображения в рассеивающей линзе

Проведем луч 1 параллельно главной оптической оси. Продолжение этог луча после преломления в линзе пересечет главную оптическую ось в точке фокуса. Второй луч проведем через центр линзы. Там, где обратное продолжение первого луча преломленного в линзе пересечет второй луч будет изображение данной светящейся точки. Изображение точки будет мнимым, так как находится на стороне действительной точки.

Задача 15.

Построить изображение предмета находящейся на расстоянии меньшем фокусного в рассевающей линзы a (рисунок 30).

Решение

Рисунок 30. Построение изображения в рассеивающей линзе

Графическое построение изображения предмета будет аналогично решению в предыдущей задачи. Изображение будет мнимым, уменьшенным, прямым.

Попробуем с помощью формулы линзы решить задачу. Для рассеивающей линзы формула имеет вид:

=

Отсюда следует, что:

Разделим обе части уравнения на получим:

,

Так как, то , тогда:

То есть изображение будет уменьшенное.

Решая формулу линзы относительно расстояния изображения предмета до линзы получим:

Нетрудно доказать, что из этого выражения следует, что. То есть изображение находится между фокусом и линзой.